“ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức”. Đây là một số cách giải khi gặp bài toán về chứng minh tỉ lệ thức, đáp ứng một phần nhu cầu giảng dạy và bồi dưỡng học sinh đại trà, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7.
Trang 1TÓM TẮT SÁNG KIẾN
1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến
Trong môn toán lớp 7 nói chung, nội dung phần tỉ lệ thức nói riêng thường làmcho các em lúng túng, thường khó xác định được hướng giải để làm công cụ tổngquát, đặc biệt là khi gặp các bài toán khó Lí do là học sinh mới được tiếp cận vớidạng toán đó, mặt khác SGK và các sách tham khảo khác cũng ít đề cập cụ thể đếncác dạng toán này Học sinh cũng ít được định hướng, khai thác sâu và không đượccủng cố nhiều về dạng toán này
Trong đó, chứng minh tỉ lệ thức là nội dung quan trọng để rèn luyện tư duy họcsinh và gợi hướng mở để giải các bài toán liên quan về số học, đại số, hình học.Không những áp dụng trong chương trình toán 7 mà còn áp dụng cho toán 8, toán
9 ( THCS ) khi các em học Có nhiều sách có bài tập về “ Chứng minh tỉ lệ thức”,song vẫn chưa có một trình tự, một hệ thống về phương pháp để giúp học sinh cómột công cụ , một hướng tư duy đúng và nhanh nhạy khi gặp dạng toán này Đểđáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra, tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn trình bày
kinh nghiệm: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức”.
2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến Áp dụng dạy cho học sinhlớp 7 và học sinh lớp 8,9 thuộc nội dung có liên quan Đối tượng là học sinh đại trà
và Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7
3 Nội dung sáng kiến: Trên cơ sở thực tế đòi hỏi cần có biện pháp để hướng
dẫn học sinh chứng minh các bài toán về tỉ lệ thức Tôi đã viết sáng kiến " Một số
kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức" và đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quí báu
của BGH, các đồng chí đồng nghiệp, các em học sinh nhiệt thành vận dụng Đã cónhiều ý kiến động viên, tán thành Mặt khác một thực tế hiện nay học sinh chưaxây dựng được thói quen tư duy có căn cứ, xây dựng được mối liên hệ giữa cácyếu tố đã học, kiến thức đã học, nhằm giải quyết các tình huống đặt ra, một nộidung yêu cầu của bài toán Do vậy việc xây dựng nội dung kiến thức và phươngpháp cụ thể , có hệ thống, có liên hệ chặt chẽ với nhau, nhằm củng cố kiến thức đãhọc, giúp học sinh định hướng, nắm bắt nhanh nội dung một kiến thức cụ thể là hếtsức quan trọng và cần thiết
Do vậy, tôi nhận thấy rằng chuyên đề này cần được bổ sung và phát triển thêm.Nên tôi viết đề tài này để đi sâu thêm một bước nữa, nhằm khai thác các bài toán
về chứng minh tỉ lệ thức đạt kết quả cao hơn Đồng thời cũng chú ý cho học sinhcách vận dụng đúng phương pháp, vận dụng phù hợp với từng bài toán; để đưa ralời giải chứng minh cho từng bài toán một cách ngắn gọn, đơn giản và đạt hiệu quảcao nhất Trên hai mục đích rõ ràng: áp dụng để bồi dưỡng học sinh đại trà và ápdụng để bồi dưỡng học sinh giỏi Được thể hiện ở các ví dụ áp dụng, hệ thống bàitập trình bày trong đề tài Sáng kiến này được áp dụng trong việc giảng dạy các
Trang 2chuyên đề trong trường học, áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh, áp dụng đểbồi dưỡng học sinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7 và các lớp 8; 9( ở trường THCS ) Mỗi đối tượng áp dụng và khai thác với mức độ khác nhau chophù hợp, đề tài chỉ đề cập đến bài toán chứng minh tỉ lệ thức Ngoài ra có thể vậndụng để giải một số bài toán về: tính giá trị của biểu thức, so sánh hai tỉ số, bàitoán tìm giá trị của biến, bài toán hình học có liên quan đến tỉ lệ thức mà đề tàichưa có điều kiện đề cập đến Để giúp học sinh tiếp thu nhanh, nắm vững kiếnthức; ngoài phương pháp suy nghĩ khoa học, cùng những kinh nghiệm cá nhân đãđược tích luỹ trong học tập, phương pháp dạy của thày để hình thành hướng suynghĩ, tìm lời giải đúng cho học sinh góp một phần rất quan trọng Nhiệm vụ khókhăn này đòi hỏi phải có thời gian và kinh nghiệm sư phạm, có lòng tận tâm vàphương pháp đúng đắn.
4 Kết quả của sáng kiến
Trong quá trình giảng dạy ở các năm học trước, đặc biệt là năm học 2015
-2016 Ở lớp Bồi dưỡng đại trà, cũng như Bồi dưỡng đội tuyển Tôi luôn hướng chohọc sinh những hướng chủ đạo, giúp các em thuận lợi rất nhiều khi làm các bàitoán về chứng minh tỉ lệ thức hay giải các bài toán có tính chất tương tự Phần lớn
đã củng cố khắc sâu cho học sinh những công cụ cơ bản khi chứng minh tỉ lệ thức,phát triển tư duy, thao tác, kĩ năng của học sinh, khả năng trình bày tốt hơn với cácbài toán về chứng minh tỉ lệ thức
Ngoài việc giải, nghiên cứu lời giải của các bài toán khó về chứng minh tỉ lệthức Học sinh trong đội tuyển, học sinh khá, giỏi còn tiếp tục khai thác các bàitoán không nằm trong phạm vi giới hạn của đề tài Nhưng có tính chất tương tựhay lấy đó làm công cụ để giải các bài toán nâng cao hơn, có liên quan đến tỉ lệthức Học sinh chủ động, hứng thú khi giải quyết các bài tập, hiểu rõ nội dung, bảnchất yêu cầu của bài toán Nâng cao khả năng suy luận logic, tinh thần tích cực họchỏi, tìm tòi sáng tạo, biểu hiện một cách rõ nét
Sau một thời gian áp dụng tại trường trên cả hai đối tượng: Học sinh đại trà vàhọc sinh khá, giỏi Tôi nhận thấy các em có kĩ năng tốt hơn khi trình bày, chứngminh được nhiều bài toán cơ bản và khó của chuyên đề tỉ lệ thức - Toán 7 Biểuhiện ổn định và rõ nét khi tôi chấm kết quả do tôi trực tiếp khảo sát
5 Khuyến nghị, đề xuất
- Ở đây, vì thời gian có hạn nên tôi mới chỉ trình bày được một số dạng bài, một
số phương pháp cơ bản để minh hoạ và giúp học sinh có công cụ giải các bài toánchứng minh tỉ lệ thức Đồng thời dã đưa ra bài tập tự giải để cho giáo viên và các
em học sinh luyên tập, để làm tư liệu, củng cố kiến thức về phương pháp
- Nếu có điều kiện, nên đưa ra những bài toán có chứa giá trị tuyệt đối, chứahằng số, số vô tỉ Không chỉ áp dụng cho số mà còn mở rộng cho biểu thức đại số
mà các em đã học ở kì II - lớp 7 Không chỉ dừng lại ở bài toán chứng minh tỉ lệthức đơn thuần mà còn đi sâu vào các bài toán: tính giá trị, chứng minh, tìm biến
Trang 3mà thông qua chứng minh tỉ lệ thức có thể suy ra được điều đó hay đó là bướcngoặt của bài toán.
Trong môn toán lớp 7 nói chung, nội dung phần tỉ lệ thức nói riêng thường làmcho các em lúng túng, thường khó xác định được hướng giải để làm công cụ tổngquát, đặc biệt là khi gặp các bài toán khó Lí do là học sinh mới được tiếp cận vớidạng toán đó, mặt khác SGK và các sách tham khảo khác cũng ít đề cập cụ thể đếncác dạng toán này Học sinh cũng ít được định hướng, khai thác sâu và không đượccủng cố nhiều về dạng toán này
Trong đó, chứng minh tỉ lệ thức là nội dung quan trọng để rèn luyện tư duyhọc sinh và gợi hướng mở để giải các bài toán liên quan về số học, đại số, hìnhhọc Không những áp dụng trong chương trình toán 7 mà còn áp dụng cho toán 8,toán 9 ( THCS ) khi các em học Có nhiều sách có bài tập về “ Chứng minh tỉ lệthức”, song vẫn chưa có một trình tự, một hệ thống về phương pháp để giúp họcsinh có một công cụ , một hướng tư duy đúng và nhanh nhạy khi gặp dạng toánnày Để đáp ứng một phần đòi hỏi thực tế đặt ra, tôi đã nghiên cứu và mạnh dạn
trình bày kinh nghiệm: “ Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức” Đây là một số
cách giải khi gặp bài toán về chứng minh tỉ lệ thức, đáp ứng một phần nhu cầugiảng dạy và bồi dưỡng học sinh đại trà, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7
Từ đó rèn luyện tư duy lôgíc, óc phân tích tổng hợp, sáng tạo, nhanh nhạy cầnthiết của học sinh khi học toán Tạo điều kiện tốt, giúp học sinh học và giải các bàitoán có liên quan Qua thời gian trực tiếp giảng dạy, thử nghiệm tôi thấy phươngpháp có hiệu quả nhất định trong quá trình giảng dạy học sinh
II - ĐIỀU TRA THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI NGHIÊN CỨU
Để đánh giá được khả năng giải toán và có phương án tốt để truyền đạtphương pháp đến học sinh Tôi đã tiến hành kiểm tra 20 em học sinh khá, giỏi lớp
7 ở trường, ra đề và cho học sinh làm bài trong 30 phút như sau:
Bài 1: (6 điểm) Cho a c 1, c 0
b d = ≠ ± ≠ CMR:
a)
3 3)
Trang 4III - CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP
Trên cơ sở thực tế đòi hỏi cần có biện pháp để hướng dẫn học sinh chứng
minh các bài toán về tỉ lệ thức Tôi đã viết sáng kiến " Một số kĩ thuật chứng minh tỉ lệ thức" và đã nhận được nhiều ý kiến đóng góp quí báu của BGH, các
đồng chí đồng nghiệp, các em học sinh nhiệt thành vận dụng Đã có nhiều ý kiếnđộng viên, tán thành Mặt khác một thực tế hiện nay học sinh chưa xây dựng đượcthói quen tư duy có căn cứ, xây dựng được mối liên hệ giữa các yếu tố đã học, kiếnthức đã học, nhằm giải quyết các tình huống đặt ra, một nội dung yêu cầu của bàitoán Do vậy việc xây dựng nội dung kiến thức và phương pháp cụ thể , có hệthống, có liên hệ chặt chẽ với nhau, nhằm củng cố kiến thức đã học, giúp học sinhđịnh hướng, nắm bắt nhanh nội dung một kiến thức cụ thể là hết sức quan trọng vàcần thiết
Do vậy, tôi nhận thấy rằng chuyên đề này cần được bổ sung và phát triểnthêm Nên tôi viết đề tài này để đi sâu thêm một bước nữa, nhằm khai thác các bàitoán về chứng minh tỉ lệ thức đạt kết quả cao hơn Đồng thời cũng chú ý cho họcsinh cách vận dụng đúng phương pháp, vận dụng phù hợp với từng bài toán; đểđưa ra lời giải chứng minh cho từng bài toán một cách ngắn gọn, đơn giản và đạthiệu quả cao nhất Trên hai mục đích rõ ràng: áp dụng để bồi dưỡng học sinh đạitrà và áp dụng để bồi dưỡng học sinh giỏi Được thể hiện ở các ví dụ áp dụng, hệthống bài tập trình bày trong đề tài
IV - PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI
Kinh nghiệm này được áp dụng trong việc giảng dạy các chuyên đề trongtrường học, áp dụng cho tất cả các đối tượng học sinh, áp dụng để bồi dưỡng họcsinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 7 và các lớp 8; 9 ( ở trườngTHCS ) Mỗi đối tượng áp dụng và khai thác với mức độ khác nhau cho phù hợp,
Trang 5đề tài chỉ đề cập đến bài toán chứng minh tỉ lệ thức Ngoài ra có thể vận dụng đểgiải một số bài toán về: tính giá trị của biểu thức, so sánh hai tỉ số, bài toán tìm giátrị của biến, bài toán hình học có liên quan đến tỉ lệ thức mà đề tài chưa có điềukiện đề cập đến.
Để giúp học sinh tiếp thu nhanh, nắm vững kiến thức; ngoài phương pháp suynghĩ khoa học, cùng những kinh nghiệm cá nhân đã được tích luỹ trong học tập,phương pháp dạy của thày để hình thành hướng suy nghĩ, tìm lời giải đúng cho họcsinh góp một phần rất quan trọng Nhiệm vụ khó khăn này đòi hỏi phải có thời gian
và kinh nghiệm sư phạm, có lòng tận tâm và phương pháp đúng đắn
Mặc dù đã rất cố gắng và được các cấp lãnh đạo, các đồng chí đồng nghiệp nhiệt thành góp ý Nhưng kinh nghiệm, tuổi nghề còn hạn chế; nên đề tài không trách khỏi những thiếu sót Tôi rất mong, sẽ tiếp tục nhận được những ý kiến đóng góp quí báu của các cấp lãnh đạo, các đồng chí chuyên viên, các bạn đồng nghiệp,
để đề tài phát huy hiệu quả cao hơn.
V - MỤC TIÊU CỦA ĐỀ TÀI
- Khắc sâu cho học sinh những kiến thức cơ bản về tỉ lệ thức Hình thànhmột số phương pháp cơ bản chứng minh tỉ lệ thức Ngoài ra hiểu và vận dụng tốttính chất của tỉ lệ thức của dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh các bài toán về tỉ lệthức (trong chương trình toán 7)
- Củng cố khắc sâu kiến thức cơ bản cho học sinh đại trà; khai thác, nângcao kiến thức cho học sinh khá, giỏi về chuyên đề tỉ lệ thức
- Giáo dục tinh thần tích cực học hỏi, tìm tòi sáng tạo của học sinh, tăngniềm hứng thú say mê trong lao động học tập Giáo dục cho học sinh thấy vẻ đẹpmuôn màu của toán học
VI - PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
1 Đọc tài liệu: SGK, sách tham khảo, các tạp chí toán học
2 Tính chất
a) Tính chất cơ bản: a c ad bc ( ,b d 0)
Trang 6( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
II - MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP (KĨ THUẬT) CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
1 - Phương pháp: Giá trị chung.
* Cách làm:
- Để chứng minh một tỉ lệ thức, ta cần chứng minh hai tỉ số ở hai vế cùngbằng một tỉ số thứ ba ( giá trị chung )
- Ta đặt giá trị chung của các hệ thức đã cho là k
- Từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ lệ thức cần chứng minh theo k
Trang 8(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
2 - Phương pháp: Biến đổi rồi áp dụng tính chất
* Cách làm: - Hoán vị các trung tỉ, ngoại tỉ một cách hợp lí
- Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
- Có thể tiếp tục hoán vị trung tỉ, ngoại tỉ một cách hợp lí để đi đến
Trang 9k k
3 - Phương pháp: Xét tích trung tỉ và ngoại tỉ
Trang 11Bài giải: Theo bài: a b c d
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
4 - Phương pháp: Biến đổi tỉ số một vế thành tỉ số của vế còn lại
Trang 13Do đó:
cx dy b cx dy bcx bdy adx bdy d ax by ax by
cx dy b cx dy bcx bdy adx bdy d ax by ax by
+
+
+ +
5 - Phương pháp: Tổng hợp (Vận dụng đồng thời nhiều phương pháp)
c d
+
=+
+ +
Bài giải:
Trang 14a) Cách 1: ( Gọi giá trị chung)
Gọi giá trị chung của a c
Trang 15Ta xét tích: (2a - 3b)(2c + 3d) và (2a + 3b).(2c - 3d)
Ta có: (2a - 3b)(2c + 3d) = 4ac + 6ad - 6bc - 9bd
(2a + 3b)(2c - 3d) = 4ac - 6ad + 6bc - 9bd
Trang 16* Bài tập áp dụng: (dành cho học sinh khá, giỏi)
(giả sử các tỉ số trên đều có nghĩa)
III - BÀI TOÁN LUYỆN TẬP ( có lời giải)
Bài toán 1: Cho bốn số khác 0: a1, a2, a3, a4 thoả mãn điều kiện:
Trang 17Lời giải 2: ( áp dụng phương pháp giá trị chung)
Gọi giá trị chung của: 1 2 3
a a a k
a = a = a = ⇒ a1 = ka2; a2 = ka3; a3 = ka4
Lời giải 1: ( áp dụng linh hoạt tính của dãy tỉ số bằng nhau)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
Trang 18Lời giải 2: ( áp dụng phương pháp giá trị chung)
Gọi giá trị chung của: 1 2 3 4 5
Trang 19Có hai bạn Giang và Sơn rất nhanh trí và có lời giải như sau:
Bạn Giang giải như sau:
Bạn Sơn giải như sau:
Từ giả thiết ta suy ra: 2 a 2 b 2 c
? Các bạn có nhận xét gì về đề bài, lời giải của hai bạn Giang và Sơn ở trên.
IV - CÁC BÀI TOÁN TỰ GIẢI ( dành cho học sinh khá, giỏi)
Bài 1: Cho các số: a, b, c, x, y, z, thoả mãn điều kiện x y z
a b c = = CMR:
Trang 20Trong quá trình giảng dạy ở các năm học trước, đặc biệt là năm học 2015
-2016 Ở lớp Bồi dưỡng đại trà, cũng như Bồi dưỡng đội tuyển Tôi luôn hướng chohọc sinh những hướng chủ đạo, giúp các em thuận lợi rất nhiều khi làm các bàitoán về chứng minh tỉ lệ thức hay giải các bài toán có tính chất tương tự Phần lớn
đã củng cố khắc sâu cho học sinh những công cụ cơ bản khi chứng minh tỉ lệ thức,phát triển tư duy, thao tác, kĩ năng của học sinh, khả năng trình bày tốt hơn với cácbài toán về chứng minh tỉ lệ thức
- Ngoài việc giải, nghiên cứu lời giải của các bài toán khó về chứng minh tỉ lệthức Học sinh trong đội tuyển, học sinh khá, giỏi còn tiếp tục khai thác các bàitoán không nằm trong phạm vi giới hạn của đề tài Nhưng có tính chất tương tựhay lấy đó làm công cụ để giải các bài toán nâng cao hơn, có liên quan đến tỉ lệthức
- Học sinh chủ động, hứng thú khi giải quyết các bài tập, hiểu rõ nội dung, bảnchất yêu cầu của bài toán Nâng cao khả năng suy luận logic, tinh thần tích cực họchỏi, tìm tòi sáng tạo, biểu hiện một cách rõ nét
VI - KẾT QUẢ KHẢO SÁT
Trang 21Sau một thời gian áp dụng tại trường trên cả hai đối tượng: Học sinh đại trà
và học sinh khá, giỏi Tôi nhận thấy các em có kĩ năng tốt hơn khi trình bày, chứngminh được nhiều bài toán cơ bản và khó của chuyên đề tỉ lệ thức - Toán 7 Biểuhiện ổn định và rõ nét khi tôi chấm kết quả do tôi trực tiếp khảo sát
Tôi chọn 20 em học sinh có học lực khá, giỏi và yêu cầu các em làm bàitrong thời gian 30 phút, với nội dung đề như sau:
Câu 1: (5điểm) Cho a c
VII - ĐIỀU KIỆN ÁP DỤNG
- Đề tài có thể áp dụng cho học sinh, giáo viên khi bắt đầu học nội dung tỉ lệthức ( trong chương trình toán 7) Áp dụng cho cả bồi dưỡng đại trà và bồi dưỡnghọc sinh giỏi Tuỳ theo đối tượng mà học sinh có thể chọn và vận dụng khác nhau,giáo viên có thể yêu cầu với mức độ khác nhau
- Đề tài trình bày hệ thống lí thuyết, các bài tập cơ bản áp dụng, các bài tập tương
tự ( tự giải), các bài toán nâng cao, với mức độ khai thác cao dần Rất phù hợp cho
cả bồi dưỡng đại trà và bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề tỉ lệ thức Hay có thể ápdụng để giáo viên dạy các tiếp luyện tập về chứng minh tỉ lệ thức Sau này là cácbài toán liên quan, thông qua chứng minh tỉ lệ thức để giải toán
VIII - NHỮNG HẠN CHẾ
- Nhiều bài toán có thể có thêm nhiều cách giải hay, ngắn gọn Nhưng chưaphù hợp với lớp 7, nên chưa đưa vào nội dung trình bày
- Nhiều bài toán có thể thêm nhiều yếu tố gây nhiễu như: Cho thêm hệ số vô
tỉ, thêm các số có căn bậc hai, luỹ thừa Nhưng do hạn chế của đề tài nên tác giảchưa có dịp đưa vào nội dung trình bày, chưa có điều kiện khai thác sâu
- Có thể phức hợp hay tổng quát hoá một số bài toán thành một hệ thốnglogic có tính tư duy cao hơn phục vụ cho bồi dưỡng học sinh giỏi, nhưng chưa có