ĐỀ CƯƠNG ÔN TOÁN HỌC KÌ 2

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 10 (CƠ BẢN) HỌC KỲ II NĂM HỌC 20132014 A. LÝ THUYẾT I. ĐẠI SỐ Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC – BẤT PHƯƠNG TRÌNH Bất đẳng thức: nắm vững các kiến thức sau: + Tính chất của bất đẳng thức: (1) (2) (3) (4) và

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP MÔN TOÁN LỚP 10 (CƠ BẢN)

ab≤ +

(∀a,b≥0)Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b

+ Tính chất của bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

(1) x ≥0, x ≥x, x ≥−x

(2) Với a>0, x ≤a⇔−a≤x≤a

a x a

+ Cách giải bất phương trình bậc nhất một ẩn: sử dụng các phép biến đổibất phương trình.

+ Cách giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn: ta giải từng bất phươngtrình rồi lấy giao các tập nghiệm

- Dấu của nhị thức bậc nhất: nắm vững các kiến thức sau:

ax x

- Dấu của tam thức bậc hai: nắm vững các kiến thức sau:

+ Khái niệm tam thức bậc hai

+ Cách xét dấu tam thức bậc hai f(x)=ax2+bx+c (a≠0).

Bước 1: Tìm nghiệm của f (x)

+ Tìm điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm,

có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

Chương VI: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

- Cung và góc lượng giác: nắm vững các kiến thức sau:

+ Khái niệm đường tròn lượng giác

+ Số đo dạng tổng quát của cung (góc) lượng giác

+ Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

- Giá trị lượng giác của một cung: nắm vững các kiến thức sau:

+ Định nghĩa các giá trị lượng giác của cung α : sinα,cosα,tanα,cotα.

+ Các công thức lượng giác cơ bản

+ Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt: cung đối nhau,cung bù nhau, cung hơn kém π , cung phụ nhau

+ Các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, côngthức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng

II HÌNH HỌC

Chương II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG

- Các hệ thức lượng trong tam giác: định lí côsin, công thức tính độ dàiđường trung tuyến, định lí sin, công thức tính diện tích tam giác

Chương III: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG

- Phương trình đường thẳng: cần nắm vững các kiến thức sau:

+ Vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của một đường thẳng

1

t u y

t u x x

)(

0

−x b y y x

a

Dạng 3: Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0;y0)và có hệ số

góc k có dạng:

)(

0

0 k x x y

+ Cách xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

+ Khái niệm và cách tính góc giữa hai đường thẳng

+ Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Phương trình đường tròn

Các dạng phương trình đường tròn:

Dạng 1: Phương trình đường tròn tâm I =( b a; ) bán kính R có dạng:

2 2

)(x−a + y−b =R Dạng 2: Phương trình có dạng x2+ y2−2ax−2by+c=0 với a2+b2−c>0

là phương trình đường tròn tâm I =( b a; ) bán kính

c b a

R= 2+ 2−

- Phương trình đường elip

+ Định nghĩa đường elip

+ Phương trình chính tắc của elip

+ Hình dạng của elip (trục lớn, trục nhỏ, các đỉnh, các tiêu điểm, hình chữnhật cơ sở)

b b

(∀a,b>0)e) (a+b)(b+c)(c+a)≥8abc (∀a,b,c≥0)

c

ab b

ca a

- Để giải bất phương trình bậc nhất một ẩn ta sử dụng các phép biến đổibất phương trình và định lí về dấu của nhị thức bậc nhất.

- Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phươngtrình trong hệ rồi lấy giao các tập nghiệm

Bài 5 Giải các bất phương trình sau:

)2)(

52( −− + + ≥

x

x x

g)

12

51

4 −+ >

x

x x

i)

3

32

21

x x

5)43(

112

x x

x x

5)43(2

43

25

x x

x x

53

32

35

321

3

15

2143

4

213

22

13

x x x

x x

523)

(

x

x x x f

−

−

−

=

e)

23

)13)(

75(

)(

2

2

−+

−

−+

−

=

x x

x x

x x

1492

2

≤++

+

−

x x

x x

4

14

2 ≥

−

−

x x

e) (2x2−5x+2)(x+2)≥0 f) (x−1)(x2+2x)≥0

45

)3)(

12

x x

9124

)1)(

23(2

x x x

1

132

k)

9

13

52

<

++

06

0792

2

2

x x

x x

−

≥

−

043

02

2

x x

x x

042

2

x x

9(

01272

2

x x

x x

≥+

−

09

01073

01272 2 2

x

x x

x x

Dạng 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình, bất phương trình có nghiệm, vô nghiệm hay có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.

Bài 10 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) 2x2+2(m+2)x+m2+4m+3=0

b) (m−1)x2−2(m+3)x−m+2=0

Bài 11 Cho f(x)=(2−m)x2+2(m−3)x+1−m Tìm m để bất phương

trình f(x)≥0thỏa ∀x∈R

Bài 12 Cho phương trình mx2 −2(m−1)x+4m−1=0 Tìm các giá trị của

tham số m để phương trình đã cho thỏa :

a Vô nghiệm

c Có hai nghiệm trái dấu.

d Có hai nghiệm dương phân biệt

Bài 13: Xác định m để các hàm số sau luôn xác định:

a) y= mx2−4x+m+3

b)

4)

1(223

1

++

−+

=

m x m x

y

Chương VI: CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Dạng 1: Dấu của các giá trị lượng giác

Phương pháp: Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung

(góc) ta xác định điểm ngọn của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nàotrên đường tròn lượng giác, từ đó suy ra dấu của giá trị lượng giác cần tìm

Bài 1 Cho 0o <α <90o, xác định dấu của các giá trị lượng giác sau:a) tan(α+180o) b) cos(2α +90o)

Dạng 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung) lượng giác Bài 3 Không sử dụng MTCT, hãy tính các giá trị lượng giác sau:

7cos π

o15

sin ;cos(−510o);tan480o;cot(−285o)

Bài 4 Hãy tính các giá trị lượng giác của góc α biết:

a)

5

3sinα =− và

2

πα

c)

3

1tanα = và cosα <0

d) tanα =2 và

2

3πα

π < <

Bài 5 Biết

4

1sina= và π <a<π

2 Hãy tính sin2a, cos2a.

Bài 6 Cho

5

3tana= , hãy tính giá trị biểu thức sau:

a a

a a A

2

2 cossin

cos.sin

Bài 8 Biết

2

1cossina− a= và π <a<π

5sin π − π

=

D

e) E=(cos15o−sin15o)(cos15o+sin15o)

f) F =sin48ocos12o+cos48osin12o

g)

o o

o o

o o

50cos.10cos

70sin.50sin.40sin.20sin

=

G

h) H =cos20o+cos40o+cos60o+ +cos160o+cos180o

i) I =cos210o+cos220o+cos230o+ +cos2180o

k) K =tan15o+cot15o

l) L=cos10o.cos50o.cos70o

Dạng 3: Bài toán rút gọn (đơn giản) biểu thức lượng giác

Bài 10 Rút gọn các biểu thức sau:

a)

α

α

πα

π

cos

4

sin4

tan

2+

2

sin2

sin

2sin

E

2sin

a

2sin

2cot

2(a≠ πk k∈Z

α

2 1 2tansin

c)

αα

αα

α

sin

2sin

cos1cos1

d) sin4α+cos4α =1−2sin2αcos2α

e) sin4α−cos4α =1−2cos2α

+

42cos212cos)

α

2 2

2 2

tancot

l) sin(α +β).sin(α−β)=sin2α −sin2β

Bài 12 Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào α :

a) A=(tanα+cotα)2−(tanα −cotα)2

b) B=3(sin4α +cos4α)−2(sin6α +cos6α)

2cos

d)

x

x x

x

x x

D

2

2 2

2

2 2

cos

sincot

b) Diện tích tam giác ABC

c) Độ dài đường cao AH

d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Bài 2 Cho tam giác ABC có a 13= cm, b 14= cm, c 15= cm Hãy tính:a) Diện tích tam giác ABC

b) Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A

d) Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Bài 3 Cho tam giác ABC có Aˆ =60o, Bˆ =75o, AB=2 Tính độ dài các cạnh BC, CA

Bài 4 Viết phương trình tham số và phương trình tổng quát của đường

thẳng ∆ trong các trường hợp sau:

a) ∆ đi qua điểm M(2;-3) và có vectơ pháp tuyến n=(-4;1)

b) ∆ đi qua hai điểm A(3;-2) và B(-1;3)

c) ∆ đi qua điểm M(2;-4) và vuông góc với đường thẳng x−2y−1=0.d) ∆ đi qua điểm M(-2;4) và song song với đường thẳng x−y−1=0

Bài 5 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(–1; 2), B(3; 1) và đường

t 1 x

.a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng AB

d) Tìm tọa độ điểm C nằm trên đường thẳng ∆ sao cho tam giác ABC cân tại

e) Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆.

Bài 6 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1)

Tính số đo các góc trong tam giác ABC

Bài 7 Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(–1; 0), B(1; 6), C(3; 2).

a) Viết phương trình tham số của đường thẳng AB

b) Viết phương trình tổng quát của đường trung tuyến AM của tam giác ABC.c) Viết phương trình tổng quát của đường cao CH của tam giác ABC (Hthuộc đường thẳng AB) Xác định tọa độ điểm H

d) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

e) Tính bán kính đường tròn (C) có tâm là điểm C và tiếp xúc với đườngthẳng AB

Bài 8 Viết phương trình đường tròn (C) biết:

a) (C) đi qua ba điểm A(2;0), B(0;-1) và C(-3;1)

b) (C) có đường kính AB, với A(-2;3), B(6;5)

c) (C) có tâm I(2;3) và đi qua gốc tọa độ

d) (C) có tâm I(2;-2) và tiếp xúc với đường thẳng d: x+ y−4=0.

e) (C) đi qua 2 điểm A(3;2), B(1;4) và tiếp xúc với trục hoành

f) (C) đi qua 2 điểm A(2;1), B(4;3) và có tâm nằm trên đường thẳng d:0

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm A(3;1)

c) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) đi qua điểm B(1;3).d) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến songsong với đường thẳng 3x−4y+1=0.

e) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến vuônggóc với đường thẳng x−2y−1=0.

Bài 10 Xác định độ dài các trục, tọa độ các tiêu điểm, tọa độ các đỉnh,

tiêu cự, tâm sai của elip (E) có phương trình sau:

925

2 2

=+ y

19

2

2

=+y x

c) 4x2+9y2 =16 d) x2+4y2=4

Bài 11 Lập phương trình chính tắc của elip (E) biết:

a) (E) có đỉnh A(-2;0) và một tiêu điểm F(− 2;0)

b) (E) có tiêu cự bằng 6 và tâm sai

M

và  5 

12

;3

d) (E) đi qua hai điểm  5

4

;5

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II

Năm học 2012 - 2013

Môn: TOÁN Lớp: 10

Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề)

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)

Câu 1 (2,0 điểm): Giải các bất phương trình sau:

1) x2 −2012x−2013 0>

2)

03

1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3;1) và đường thẳng ∆ có phương trình:

a Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d qua điểm A và vuông góc với đường thẳng ∆

b Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểmA( 2; 4) − − và đường thẳngd1có phương trình:

x− 3y+ 2014 0 = Tính số đo góc giữa đường thẳng d1 và đường thẳng d2đi qua hai điểm O và A.

II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Học sinh chỉ được chọn một trong hai phần sau (phần 1 hoặc phần 2)

1 Theo chương trình Chuẩn:

T = −

0.5

0.25 0.25

+Lập luận và suy ra được vtpt của đt ∆ là ur= − (2; 3)

0.25 0.25

Họ và tên thí sinh:………

Lớp: 10…

SBD:………….

+PTTQ của đt d: 2(x− − 3) 3(y− = 1) 0

2x 3y 3 0

0.25 0.25

b Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ 1.0

0.25 0.25

2)CMR: (cot cot 2 ) os( ).sin( 2 ) sin 3

4 7 4 4

{ {

[ m m m

m m m

+ <

+ ≥ + ≥ + > + +

⇔

+

2 7 4 2

2 3 0

{ {

[

m m m m

1(1)

a −b = +Vì e 2 c 2

Chú ý: Học sinh làm theo cách khác nhưng đúng, giáo viên căn cứ vào thang điểm của đáp án để cho

điểm hợp lí!

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II

Thời gian làm bài 90 phút.

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH (7,0 điểm)

Câu 1: (2,0 điểm) Giải các bất phương trình sau:

a/ 3 x + x − 1 > x + x − 1 + 2; b/ 2

3

3 3

5

b/ Rút gọn biểu thức: P x x sin 2 x

6 cos 6

2

x Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng ∆

II PHẦN RIÊNG.(3,0 điểm)

Học sinh chỉ được chọn 1 trong 2 phần (Phần A hoặc phần B).

A Dành cho chương trình Chuẩn:

Câu 4a: (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x2 +3x+2 ≥2

Câu 5a: (2,0 điểm).

a/ Cho tam giác ABC có b = 6, c = 4 và sin A 3

1cos4

B Dành cho chương trình Nâng cao:

Câu 4b: (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x2 + 3 x + 4 − 2 x + 3 < 1

Câu 5b: (2,0 điểm)

a/ Viết phương trình chính tắc của elip (E) biết (E) có tiêu cự bằng 2 5

và đi qua điểm M

;

x x

x

18

sin

14

sin

12

sin

1

−

=+

++

+ Tính đúng

4

15 cos α = −

4

3

sin sin

cos 3

cos

2

1

sin 6

cos 6

cos

2 2

2 2

x x

x x

x x

x P

π

π π

0,25 0,25 0,25 0,25

Ta có A(2,-3); B(4,1 =>AB= ( 2 ; 4 )

0,5

+ Vì đường thẳng AB đi qua 2 điểm A,B nên nhận AB= ( 2 ; 4 ) làm VTCP và đi qua

t x

4 3

=

⇔

− +

−

=

−

− +

0,25 0,25 0,25 0,25

3 3

2

6 2

0,25 0,25

+

≥ +

2 2 3

2 2

0,25 0,25

+Tính đúng h a với A=60 0

+Tính đúng h a với A=120 0

(Nếu không suy ra được A=120 0 thì tối đa được 0.5đ)

0,25 0,25

b/ 1.0

Ta có:

x x

x

x

x x

x x x

x x

x

2 sin

1 2

sin 2 cos cos

2 sin 2

x

x x

x

x x

x

16 cot 8 cot

16

sin

1

8 cot 4

0,25 0,25

1

0113

1

2243

02

2

043

2243

13243

2

2 2

≥

−

≥+

⇔

<

+

−+

+

x

x x

x

x x

x

x x

x

x x

x

0,25

0,25

0,25 0,25

+ PTCT của (E): 2 1

2 2

2

= +

b

y a

b/ 1,0

Ta có:

x x

x

x

x x

x x x

x x

x

2 sin

1 2

sin 2 cos cos

2 sin 2

x

x x

x

x x

x

16 cot 8 cot

16

sin

1

8 cot 4

0,25 0,25

– Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất ⇔ x = y.

– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất ⇔ x = y.

3 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối

C. Cả (1) và (2) đều đúng D.Cả (1) và (2) đều sai

Câu 6 Nếu a b c d> ; > thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng

x

x y y

Bất phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến dạng f(x) < g(x) hoặc f (x)

≤ g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức chứa của x.

Số thực x 0 sao cho f(x 0 ) < g(x 0 ) (f(x 0 ) ≤ g(x 0 )) là một mệnh đề đúng gọi là một nghiệm của bất phương trình (1).

Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì

ta nói bất phương trình vô nghiệm.

* Chú ý: Bất phương trình (1) cũng có thể viết lại dưới dạng sau: g(x) > f(x)

hoặc g(x) ≥ f(x)

2 Điều kiện của một bất phương trình:

Điều kiện của ẩn số x để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (haygọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1)

3 Bất phương trình chứa tham số:

Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể

có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số

Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy giao của các tập nghiệm.

III- MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Bất phương trình tương đương:

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phươngtrình tương đương và dùng kí hiệu "⇔" để chỉ sự tương đương của hai bấtphương trình đó

Khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta cũng nói chúngtương đương với nhau và dùng kí hiệu "⇔" để chỉ sự tương đương đó.

2 Phép biến đổi tương đương:

Để giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nóthành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khiđược bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nất mà ta có thể viết ngaytập nghiệm Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tươngđương

3 Cộng (trừ):

P(x) < Q(x) ⇔ P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

4 Nhân (chia):

P(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, ∀xP(x) < Q(x) ⇔ P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, ∀x

5 Bình phương:

P(x) < Q(x) ⇔ [P(x)]2 < [Q(x)]2

Bài tập tự luận Câu 1 Tìm điều kiện của bất phương trình sau:

x x

( )I Bất phương trình tương đương với x> − 2 2( +m)

( )II Một điều kiện để mọi x≥ − 12 là nghiệm của bất phương trình ( )∗ là m≥ 2

( )III Giá trị của m để ( )∗ thỏa ∀ ≥ −x 12 là m= ∨ 2 m≥ 4

Định lí: Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng dấu với hệ số a khi x lấy

các giá trị trong khoảng (−a b; +∞) và trái dấu với hệ số a khi x lấy các giá trịtrong khoảng (-∞;

c/ f(x) = (2x + 1)(x – 5) d/ f(x) = (3x - 1)(2 - x)(5 +x)

Câu 3 Giải bất phương trình :

x x

II- BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm bấtphương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.

Quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm(hay miền nghiệm) của bất phươngtrình ax + by ≤ c (1):

Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng

• Nếu ax0+by0 ≤ c là mệnh đề đúng thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ∆) chứa điểm

M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≥ 0

• Nếu ax0+by0 ≤ c là mệnh đề sai thì nửa mặt phẳng (kể cả bờ ∆) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax + by + c ≥ 0

* Lưu ý: Miền nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c bỏ đi đường thẳng

ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c

III- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhấthai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng Mỗi nghiệm chung đóđược gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho

Ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất haiẩn

 + − ≥

5 DẤU CỦA TAM THỨC

I- ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1 Tam thức bậc hai:

• Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c trong đó a,

b, c là những số thực cho trước gọi là các hệ số với a ≠ 0

• Nghiệm của tam thức bậc hai là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0

2 Dấu của tam thức bậc hai:

Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0), ∆ = b2 - 4ac

• Nếu ∆ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ R