Mẫu Ising và một số ứng dụng

Ngoài ra mô hình Ising còn được ứngdụng trong các lĩnh vực khác như kinh tế học nghiên cứu về ảnh hưởng của kinh tế - xãhội đến chỉ số kinh doanh, phân tích chuỗi thời gian tài chính tro

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ

Phản biện 2: TS Nguyễn Tiến Cường

Luận văn được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ tại:

Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Thư viện Đại học Quốc gia Hà Nội

TÓM TẮT LUẬN VĂN

MẪU ISING VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

Mẫu Ising là một mô hình toán học đơn giản mô tả các hiện tượng trong cơ họcthống kê Mục đích ban đầu của mẫu Ising, cũng là chủ đề luận án tiến sĩ của Ising là giảithích cấu trúc và tính chất của các chất sắt từ Ở đây, Ising đã cố gắng giải thích một số

dữ liệu thực nghiệm quan sát được về vật liệu sắt từ bằng cách sử dụng mô hình do ngườithầy của mình là Lenz đề xuất năm 1920

Kể từ khi mẫu Ising cho phép đơn giản hóa những tương tác phức tạp thì nó đãđược ứng dụng thành công trong các lĩnh vực khoa học Thống kê cho thấy trong khoảngnhững năm từ 1969 đến 1997 đã có hơn 12.000 bài báo về mẫu Ising được công bố, vàcon số này cho đến nay vẫn tăng không ngừng Có thể kể đến các biến thể của mẫu Isinggiúp hiểu được bản chất sâu xa của nhiều hiện tượng lý sinh như các đường cong bão hòacủa Hemoglobin, tốc độ phản ứng ban đầu của enzyme allosteric hay mô hình mạng thầnkinh và các đặc trưng quan trọng của màng lipid Ngoài ra mô hình Ising còn được ứngdụng trong các lĩnh vực khác như kinh tế học (nghiên cứu về ảnh hưởng của kinh tế - xãhội đến chỉ số kinh doanh, phân tích chuỗi thời gian tài chính trong thị trường kinhdoanh), xã hội học (hành vi xã hội của mỗi cá nhân thay đổi để phù hợp với hành vi củacác cá nhân khác trong vùng lân cận của họ) hay ngôn ngữ học (sự thay đổi của ngônngữ), …

Đối với ngành Vật lý, trong nhiều thập kỷ qua, mẫu Ising chủ yếu được áp dụng

để nghiên cứu các vật liệu từ Gần đây, sự phát triển của kỹ thuật màng mỏng đã mở ranhiều hướng nghiên cứu mới về mẫu Ising hai chiều, mẫu Ising cho màng mỏng sắt điệnhoặc sắt từ trong trường ngoài Những hướng nghiên cứu này thu hút cả các nhà vật lý lýthuyết và vật lý thực nghiệm Về mặt lý thuyết nó giúp xác định tính chất vĩ mô của hệvật chất Về mặt thực nghiệm, nó được ứng dụng trong rất nhiều lĩnh vực công nghệ khácnhau, chẳng hạn như trong lưu trữ dữ liệu, xúc tác, điện tử, tạo những bước ngoặt lớntrong tiến bộ của khoa học công nghệ

3

Trong luận văn này, tôi tiếp tục nghiên cứu phát triển mô hình Ising về mặt lýthuyết, ứng dụng trong việc khảo sát các tham số nhiệt động của mẫu Ising 2 chiều, mẫuIsing trong trường dọc, cho màng mỏng có trật tự và so sánh kết quả giữa lý thuyết vớithực nghiệm cho điểm Curie của màng mỏng sắt điện Các tính toán được thực hiện tronggần đúng phương pháp trường trung bình và lý thuyết Landau cho mẫu Ising đồng thời sosánh với kết quả dựa trên phương pháp Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏngmột lớp).

Mục tiêu nghiên cứu

- Xây dưṇ g lý thuyết Landau cho màng mỏng có chuyển pha trật tự - không trật tự,

tham số xuất phát từ mô hình Ising vớ i spin tù y ý theo phương pháp trườ ng trung bình

- So sánh phương pháp trườ ng trung bình và phương pháp Monte - Carlo cho màng đơn

lớ p

- Áp dụng lý thuyết trường trung bìn h giải thích sư ̣ phu ̣ thuôc̣ củ a nhiêṭ đ ộ Curie vào

độ dày màng

Phương pháp nghiên cứu

- Dựa trên mô hình Ising và lý thuyết trường trung bình, lý thuyết chuyển pha Landauthực hiện các bước biến đổi giải tích theo cơ học thống kê để xây dựng các biểu thứccho năng lượng tự do, độ từ hóa và nhiệt dung của hệ spin đặc trưng cho hệ có trật tự

xa, khảo sát hiện tượng chuyển pha xảy ra trên các hệ khi không vàkhi có trường ngoàitác dụng Từ đó sử dụng các phần mềm hỗ trợ tính toán số thu được các kết quả có thể ápdụng để phân tích các kết quả thực nghiệm khác nhau cho các đại lượng nhiệt động tươngứng

- Sử dụng phương pháp Monte – Carlo áp dụng cho một số trường hợp màng một lớp(mẫu 2D)có trật tự xa để so sánh với phương pháp giải tích trong gần đúng trườngtrung bình

Cấu trúc luận văn

Bên cạnh phần mục lục và mở đầu, cấu trúc luận văn gồm ba phần chính như sau: Chương 1: Mẫu Ising và lý thuyết chuyển pha Landau

Chương 2: Áp dụng mẫu Ising và lý thuyết chuyển pha Landau cho màng mỏng cótrật tự xa

Chương 3: Tính toán Monte – Carlo cho mẫu Ising 2D (màng mỏng một lớp) Kết luận

CHƯƠNG 1: MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA LANDAU 1.1 Mẫu Ising hai trạng thái (S = 1/2)

Mẫu Ising là cách biểu diễn lý thuyết đơn giản nhất cho hiện tượng sắt từ, tuynhiên nó có thể dùng để mô tả các hệ có trật tự khác nhau như trật tự sắt từ, sắt điện, hợpkim có trật tự,…

Xuất phát toán học của mẫu Ising: Coi mỗi nút mạng chỉ có spin σivà chỉ có hai định hướng là lên trên (spin up σi = +1) và xuống dưới (spin down σi = -1) Đối với vật

liệu có trật tự khác nhau, spin có thể đặc trưng cho độ phân cực từ (vật liệu từ) hay độphân cực điện (vật liệu sắt điện) hay tỷ số nồng độ thành phần trong hợp kim đôi trật tự

1.2 Lý thuyết chuyển pha Landau

1.2.1 Lý thuyết chuyển pha Landau khi không có trường ngoài

C 2

Lý thuyết chuyển pha Landau là lý thuyết hiện tượng luận cho chuyển phatrật tự - mất trật tự trong đó tham số trật tự η ở pha trật tự khác không và nó bằngkhông ở pha mất trật tự

Biểu thức năng lượng tự do Landau gần điểm chuyển pha có dạng:

Biểu thức (1.17) thuận lợi cho việc khảo sát sự phụ thuộc của năng lượng

tự do vào tham số trật tự không thứ nguyên ξ bằng cách thay đổi giá trị của α

2

d

A

B B3

2

Hình 1.1: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng tự do không thứ nguyên

f theo tham số trật tự không thứ nguyên ξ với các giá trị khác nhau của tham số

α

1.2.2 Lý thuyết chuyển pha Landau khi có trường ngoài

Biểu thức năng lượng tư do F có dạng:

Dựa vào biểu thức (1.27) ta sẽ khảo sát được sự phụ thuộc của năng lượng tự do vào tham số trật tự không thứ nguyên ξ.

dọc

Hình 1.2: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự không thứ nguyên

ξ theo từ trường ngoài h, tham số α = 0.1, sgn(B) = -1.

Hình 1.2 là đường biểu diễn sự phụ thuộc của tham số trật tự khôngthứ nguyên ξ vào từ trường ngoài h khi tham số α = 0.1 vàsgn(B) = -1.Trạng tháigiả bền (đường nét đứt) có thể tồn tại khi trường ngoài bé

1.3 Lý thuyết trường trung bình cho mẫu Ising spin -1/2 trong trường

Xét hệ spin trong mạng tinh thể với Hamiltonian Ising sau:

trong đó: σi = ±1/2 là giá trị của hình chiếu spin của nguyên tử từ tính ở nút mạngthứ i Biến spin σi = ±1/2 có thể được xem như thành phần z của spin -1/2 chuẩn (ma trậnPauli) với các giá trị riêng σzi = ±1/2.

Số hạng đầu tiên bên vế phải của phương trình (1.32) là tổng năng lượng liên kếtgiữa các cặp spin lân cận gần nhất, số hạng thứ hai là năng lượng Zeeman của cácmomen từ riêng ứng với momen spin σk trong trường ngoài h (ở đây h = g µB H, trong đó

H là cường độ từ trường ngoài, g là nhân tử Lande, µB là magneton Bohr), N là tổng sốcác spin (hay các nút mạng) và q là số phối vị (hay số lân cận gần nhất)

Mô hình Ising được cho bởi Hamiltonian phương trình (1.32) là bán cổ điển Đểtính được Hamiltonian của mẫu Ising theo công thức (1.32) cần những thuật toán rất tinh

vi Lý thuyết trường trung bình được đưa ra để tránh sự phức tạp này, bằng cách coi cácspin còn lại đó như một tập hợp không tương tác với nhau và thay thế bằng một giá trị kỳvọng, gọi là giá trị trung bình Do đó, Hamiltonian cho mỗi spin trong trường trung bình

Trong đó: m.f ký hiệu cho trường trung bình (mean field).

Ta có được ước tính trường trung bình cho năng lượng tự do chính xác Gibbscủa spin Ising -1/2 trong trường dọc là:

Ta tìm được nhiệt độ chuyển pha này từ phương trình (1.43).

A2m2+

A4m4+

…(

Từ (1.48) ta lại nhận được biểu thức (1.44) cho nhiệt độ

Curiekhi dùngkhai triển Land

au cho năng lượn

g tự do:

q JT

C 4k

.50)

B

Trong lý thuyết chuyển pha Landau,

sự chuyển pha liên tục bị ràng buộc bởi các điều kiện A2 = 0, A4 > 0 Và theo lý thuyết này thì tại điểm chuyển pha của spin Ising

-1/2 giá trị của nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc vào

số phối vị q cũng như độ lớn của tích

phân trao đổi J và spin (S = 1/2)

3

CHƯƠNG 2:ÁP DỤNG MẪU ISING VÀ LÝ THUYẾT CHUYỂN PHA

LANDAU CHO MÀNG MỎNG CÓ TRẬT TỰ XA 2.1 Mẫu Ising cho màng mỏng có trật tự xa, lời giải trong lý thuyết trường trung bình

Xét màng mỏng có trật tự xa gồm n lớp song song xếp chồng lên nhau, mỗi lớp có N spin.

Hamiltonian Ising cho hệ spin trong màng mỏng cấu trúc lập phương gồm n lớp được viết như sau:

ν

ν '

ν j ν ' j '  ν j

là ký hiệu trung bình thống kê lấy theo Hamiltonian H

m f .

Ta thu được biểu thức tổng thống kê của hệ spin trong gần đúng trường trung bình như sau:

Jνν ' (0) là ảnh Fourier của tích phân trao đổi khi k = 0

Năng lượng tự do của màng mỏng spin n lớp trong phép gần đúng trường trung bình là:

Phương trình xác định điểm Curie cho màng mỏng có trật tự xa:

Hình 2.3: Đồ thị so sánh kết quả của lý thuyết trường trung bình và thực nghiệm về sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie sắt điện của

perovskite PbTiO3 vào độ dày màng mỏng

Hình 2.2 biểu diễn sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie vào độ dày màng mỏng (sốlớp spin n) khi S = 1 Đồ thị cho thấy khi trao đổi dị hướng tăng η lớn thì nhiệt

độ Curie cũng tăng theo và xu hướng chung là nhiệt độ Curie giảm khi độ dày mànggiảm

Hình 2.3 thể hiện kết quả tính toán cho điểm Curie theo lý thuyết trường trungbình khi so sánh với kết quả thực nghiệm cho điểm Curie sắt điện xác định từ thựcnghiệm cho các màng mỏng có độ dày khác nhau Trong đó, đường liền nét là đường biểu

2.3 Khai triển Landau cho màng mỏng có trật tự mô tả bởi mô hình Ising

Khai triển Landau cho năng lượng tự do bây giờ có dạng:

F = N

2 ∑

ν ν

S S

Năng lượng tự do tính trên một nút mạng (hay trên một spin):

'

J

ν ν

f

ódạg:

f

−1

l n

(

2

S

+1

+

A

α2

+

B

α4

+

C

α6

+

(

2.30 b)

ν

n

2ν ν

ν

ννν ν ν ν ν

Cáchệsố

bởi(2.29)

Đặ

A

β0khôcótrngoàih

α

ν

=4

β

J m

∑

ta nhận lại đượcphương trình (2.15) xác định điểm Curie cho màng mỏng một lớp.

2.4 Nhiệt dung đẳng tích cho màng mỏng

Công thức chung cho nhiệt dung đẳng tích của một vật liệu mà

Hamiltonian của nó là H được cho bởi biểu thức sau:

2.5 Tính toán số cho màng mỏng đơn lớp có trật tự

2.5.1 Phương trình xác định sự phụ thuộc vào nhiệt độ của tham số trật tự

Biểu thức độ từ hóa tính cho màng mỏng một lớp như sau:

ν

giữa các

lân cận gầnnhất

Hình 2.4: Đường biểu diễn sự phụ thuộc của momen từ trên một nút mạng m vào

nhiệt độ không thứ nguyên ح = k B T J

TÀI LIỆU THAM KHẢO A- Tài liệutiếng Việt

[1] Nguyễn Thị Kim Oanh, luận văn Thạc sĩ khoa học “Mô hình Ising và ứng dụng cho

các chất sắt từ”, ĐH Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc gia Hà Nội, 2014.

B- Tài liệu tiếng Anh

[2] Clarendon Press, Statistical Mechanics of Phase Transitions, Oxford,1992 [3] C Kittel, Introduction to Solid State physics, chapter 16, eighth edition, John

Wiley

& Sons, Inc 2005

[4]Dillon D Fong, G Brien Stephenson, Stephen K Streiffer,Jeffrey A Eastman,

Orlando Auciello, Paul H Fuoss, Carol Thompson ,Science304 (2004) 1650.

[5] D K Khudier, Nabeil A Fawaz, Two dimensional Ising model application with

Monte Carlo method7(2013) 2.

[6] J A Krumhansl, Solid State communication 84 (1992) 251.

[7] J Borowska, L Lacinska, Jour of Appl Math Comput.Mech.14(2015) 11.

[8]J Strecka, M Jascur, Acta physica slovaca65 (2015) 235.

[9] K Binder and D W Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics,

Springer, Berlin, 1997

[10] M Hjorth Jensen, Computational physics, University of Oslo, 2003.

[11] N Metropolis, A W Rosenbluth, M N Rosenbluth, A H Teller and E

Teller,Journal of Chemical Physics, 1953.

[12]Nguyen Tu Niem, Bach Huong Giang, Bach Thanh Cong,Journal of Science:

Advanced Materials and Devices1 (2016) 531.

[13] Onsager Lars, Physical Review, Series II, 65 (3–4): 117–149, (1944).

[14] Sergio A Cannas, Pablo M Gleiser, Francisco A Tamarit, Two dimentional Ising

model with long-range competing interactions, Transworld Research Network