sử dụng các phương pháp lyapunov để nghiên cứu tính ổn định của các phương trình vi phân và một số mô hình ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNNGUYỄN THỊ MƠ SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ MƠ

SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LYAPUNOV ĐỂ NGHIÊN CỨU

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌCPGS.TS ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

Hà Nội - Năm 2012

Mục lục

1 Một số tính chất nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính

1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán tử giới nội trong

không gian Banach 5

1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng 5

1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội 7

1.1.3 Toán tử e-mũ 8

1.1.4 Ví dụ 9

1.1.5 Định lý Lyapunov tổng quát về các toán tử có phổ nằm ở nửa mặt phẳng trái 10

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach với toán tử hằng 12

1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất 12

1.2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình thuần nhất trên khoảng vô hạn 13 1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần nhất 18

1.2.4 Điều kiện tồn tại nghiệm giới nội của phương trình không

thiên 322.2.2 Tính ổn định của phương trình vi phân có nhiễu phi tuyến 332.3 Các hàm xác định dấu 352.4 Các định lí cơ bản của Lyapunov 362.5 Một số mô hình ứng dụng 452.5.1 Sự ổn định của quá trình chuyển động quay của một vật

thể rắn 452.5.2 Sự ổn định của phi cơ đang chuyển động 462.5.3 Mô hình quần thể 47

3 Về cân bằng tiệm cận và tương đương tiệm cận của phương

3.1 Sự cân bằng tiệm cận của phương trình vi phân tuyến tính trongkhông gian Hilbert 493.2 Về sự tương đương tiệm cận của các phương trình vi phân trongkhông gian Hilbert 54

Lời nói đầu

Việc nghiên cứu tính ổn định của phương trình vi phân (PTVP) có ý nghĩaquan trọng trong lý thuyết định tính các phương trình vi phân, đồng thời cónhiều ứng dụng trong các mô hình thực tế Vì vậy trong những năm gần đây đã

có rất nhiều công trình của các nhà khoa học trong và ngoài nước đi sâu nghiêncứu về lĩnh vực này Mục đích chính của bản luận văn này là trình bày lại một

số kết quả cơ bản của tính chất của nghiệm PTVP tuyến tính trong không gianBanach và một số ứng dụng của phương pháp Lyapunov đối với các mô hình cụthể trong khoa học kỹ thuật

Bố cục của luận văn này gồm ba chương

Chương 1: Trong chương một chúng tôi trình bày một số tính chất nghiệm củaphương trình vi phân tuyến tính trong không gian Banach

Chương 2: Trong chương hai chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản củaphương pháp Lyapunov trong việc nghiên cứu tính ổn định nghiệm của cácphương trình vi phân Sau đó trình bày một số ví dụ minh họa trong các môhình thực tế

Chương 3: Trình bày các kết quả về tính cân bằng tiệm cận và tương đươngtiệm cận của phương trình vi phân của các PTVP trong không gian Hilbert Nộidung của chương này dựa vào các kết quả nghiên cứu của: GS TS Nguyễn ThếHoàn

Chương 1

Một số tính chất nghiệm của

phương trình vi phân tuyến tính

trong không gian Banach

Nội dung chính trong chương này bao gồm các kiến thức chuẩn bị về toán tửtuyến tính trong không gian Banach và một số tính chất nghiệm của các phươngtrình vi phân tuyến tính với toán tử hằng Các kết quả chính của chương nàyđược trích dẫn từ tài liệu [1]

1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết các toán

tử giới nội trong không gian Banach

1.1.1 Những mệnh đề tổng quát về hình học các không gian

Banach và ánh xạ tuyến tính của chúng

1 Không gian định chuẩn và không gian Banach

Tập hợp L đươc gọi là không gian định chuẩn thực (phức) nếu

1 L là không gian tuyến tính (vector) trên trường số thực (phức)

2 mỗi phần tử (vector) x ∈ L xác định một số không âm kxk - chuẩn củaphần tử x- có các tính chất sau:

(a) kαxk = |α| kxk mọi x ∈ L và với mọi số thực (phức) α.

(b) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ L (bất đẳng thức tam giác)

n→∞ kx n − xk = 0 (nói cách khác khônggian Banach L(=B) là không gian đủ trong metric ρ (x, y) = kx − yk)

2.Toán tử tuyến tính

Giả sử B 1 và B 2 là các không gian Banach

Ánh xạ A : B 1 → B 2 được gọi là toán tử tuyến tính nếu:

A (αx + βy) = αAx+βAy

với mọi số α, β và mọi x, y ∈ B 1

Toán tử tuyến tính liên tục nếu nó liên tục tại x = 0

Tính liên tục tương đương với tính giới nội của toán tử A, tức là tính hữuhạn của đại lượng

kAkdef= sup



kAxk2kxk1 |x ∈ B1 , x6= 0



= sup {kAxk2|x ∈ B 1 , kxk1 = 1}

Tập các toán tử tuyến tính giới nội A : B 1 → B 2 kí hiệu là [B 1 ; B 2 ] Tập này

là không gian Banach với chuẩn được định nghĩa như trên và với phép cộng vàphép nhân toán tử với một số

(A + B) x = Ax + Bx; (αA)x = α (Ax)

Toán tử B : B 2 → B 1 được gọi là toán tử ngược của toán tử A : B 1 → B 2 và kíhiệu B = A−1, nếu AB = I 2 ; BA = I 1, trong đó Ik là toán tử đồng nhất trong

Bk : Ikx = x với mọi x ∈ Bk(k = 1, 2)

Định lý 1.1.1 Giả sử một toán tử A ∈ [B 1 , B 2 ] là ánh xạ một-một tương ứng

từ không gian Banach B 1 tới không gian Banach B 2 Khi đó toán tử nghịch đảocủa nó A−1 là toán tử tuyến tính bị chặn và A−1 ∈ [B 1 , B 2 ].

Tập các toán tử giới nội trong không gian B vào chính nó được kí hiệu ngắngọn là [B]

3 Tổng trực tiếp các không gian con và các phép chiếu

Một tập con tuyến tính đóng của không gian Banach B được gọi là không giancon của nó Ta nói rằng không gian Banach B được phân rã thành tổng trựctiếp các không gian con B 1và B 2 :

Pk2 = Pk; P 1 + P 2 = I; P 1 P 2 = P 2 P 1 = 0. (1.3)Toán tử P ∈ [B] được gọi là phép chiếu nếu P2= P.

1.1.2 Hàm các toán tử tuyến tính giới nội

1 Phổ và giải thức

Giả sử B là một không gian Banach phức Điểm λ của mặt phẳng phức đượcgọi là điểm chính qui của toán tử A ∈ B nếu trong [B] tồn tại một toán tử (giảithức của toán tử A), Rλ = (A − λI)−1.

Tập hợpρ (A)tất cả các điểm chính qui của toán tử Alà mở Phần bù σ (A)của

nó được gọi là phổ của toán tử Phổ σ (A) luôn khác rỗng, đóng và nằm tronghình tròn |λ| ≤ kAk Chính xác hơn, phổσ (A) nằm trong hình tròn có bán kính

k=0

λ−(k+1)Ak hội tụ tuyệt đối trong metric

[B] , vì chuỗi tương ứng từ các chuẩn được làm trội bởi cấp số nhân với công bội

λ−(k+1)Ak. (1.4)

Có thể chỉ ra rằng trên đường tròn |λ| = rA luôn có một điểm của phổσ (A)

Vì vậy giới hạn lim

1 Định nghĩa e-mũ toán tử

Trong lý thuyết phương trình vi phân toán tử hàm eAt đóng vai trò đặc biệtquan trọng, nó có thể được đưa ra nhờ bất kì một trong hai hệ thức

Đầu tiên ma trận eA xác định bởi

eA = lim

n→∞



I + A1!+

A22! + +

Ann!



=

∞Xn=0

Ann!

Aktk

Lấy vi phân hệ thức (1.5) theo t dưới dấu tích phân ta được công thức

(−1)n t(2n)!2n

∞Pn=0

(−1)n t(2n+1)!2n+1

−

∞Pn=0

(−1)n t(2n+1)!2n+1

∞Pn=0

t = max {Reλ |λ ∈ σ (A) } (1.8)

eAt ≤ c với mọi t ∈ (−∞, +∞) thì phổ σ (A) phân bố trêntrục ảo

1.1.5 Định lý Lyapunov tổng quát về các toán tử có phổ nằm

ở nửa mặt phẳng trái

Trong phần này các phép tính sẽ xét trong không gian Hilbert Tích vô hướngcủa các phần tử x, y ∈ B kí hiệu là (x, y) Điều kiện cần và đủ để toán tử tuyếntính A : B → B giới nội (A ∈ [B]) là tồn tại một toán tử tuyến tính A∗ : B → B

sao cho với mọi x, y ∈ B :(Ax, y) = (x, A∗y)

Cùng với A ∈ [B] thì cả A∗ ∈ [B], ngoài ra (A∗)∗ = A Toán tử A∗ được gọi làtoán tử liên hợp đối với toán tử A Ta có những tính chất đơn giản sau của toán

Toán tử H ∈ [B] được gọi là Hermit nếu H = H∗ Toán tử Hermit có đặc trưng

là dạng Hermit (Hx, x), x ∈ [B] chỉ nhận giá trị thực Phổ của toán tử σ (H) làmột tập đóng giới nội trên trục thực Đoạn nhỏ nhất chứa phổ σ (H) được kíhiệu là [λ m (H) , λ µ (H)] Ở đây:

λ m (H) = inf {(Hx, x) |kxk = 1 } ; λ µ (H) = sup {(Hx, x) |kxk = 1} ;

kHk = max {λ µ (H) ; −λ m (H)}.Toán tửH ∈ [B]được gọi là dương (không âm) nếu dạng (Hx, x)là dương (khôngâm) với mọi x 6= 0 Đối với H không âm luôn có kHk = λm(H)

Toán tử H được gọi là dương đều và viết H ≫ 0 nếu dạng (Hx, x) dương đềutrên hình cầu đơn vị S = {x |kxk = 1 } trong B, tức là nếu λm(H) > 0

Tương tự ta định nghĩa các toán tử âm, không dương và âm đều (và ý nghĩacủa cách viết H ≪ 0)

Rõ ràng rằng điều kiện để một toán tử không âm là khả nghịch là nó phải dươngđều

Định lý 1.1.3 Định lý tổng quát Lyapunov

Điều kiện cần và đủ để phổ của toán tử A nằm bên trong nửa mặt phẳng trái làtồn tại toán tử dương đều W sao cho

Re(W A) ≪ 0.

Hơn thế nữa, nếu σ (A) nằm bên trong nửa mặt phẳng trái thì với mọi H ≫ 0

tồn tại toán tử W ≫ 0 sao cho Re(W A) = −H.

1.2 Phương trình vi phân tuyến tính trong không

gian Banach với toán tử hằng

1.2.1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

và không thuần nhất

1 Phương trình vi phân dạng vector

Giả sử B là không gian Banach, trong chương này chúng ta sẽ xét các phươngtrình vi phân (PTVP) trong không gian Banach B dạng đơn giản nhất

dx

dt = Ax + f (t) (1.9)trong đó A ∈ B, không gian B được gọi là không gian pha của phương trình.Đầu tiên ta xét phương trình vi phân thuần nhất

dx

Nghiệm của bài toán Cauchy cho phương trình này với điều kiện

x (t 0 ) = x 0 (1.11)được cho bởi công thức

x (t) = eA(t−t0 ) x0 (1.12)Nghiệm này có đạo hàm liên tục theo t và là một nghiệm của bài toán (1.10)-(1.11)

Dễ dàng thử lại rằng nghiệm này là duy nhất trong lớp hàm khả vi Chỉ cầnchứng minh rằng nếu một hàm liên tụcx(t) thỏa mãn phương trình (1.10) bằng

0 tại t = t 0, thì nó cũng bằng 0 trong lân cận nào đó của điểm này

Thực vậy, hàm này phải thỏa mãn

x (t) =

tZ

t 0

Ax (s) ds,

Ngược lại, cũng đúng nếu (1.14) đúng với mọi nghiệm x(t) của phương trình(1.10) thì phổ σ (A) nằm trong nửa mặt phẳng trái.

Dáng điệu nghiệm của phương trình (1.10) với giả thiết σ (A)nằm trong nửamặt phẳng trái có thể được mô tả rõ hơn nếu ta đưa vào một chuẩn mới tươngđương với chuẩn ban đầu

kxkA =

∞Z0

eAsx (t) ds =

∞Z0

eA(t+s)x 0 ds =

∞Zt

Giả sử P + và P − là các phép chiếu phổ với sự phân tích của phổ như trên

và cho B = B + + B − là tương ứng với sự phân tách đó và B + và B − là sự khaitriển thành tổng trực tiếp của không gian B tương ứng là bất biến dưới toán tử

eAt(0 ≤ t < ∞), một nghiệm x (t) = eAtx 0 xuất phát từ một điểm trong khônggian này thì không đi ra khỏi không gian con tương ứng

Chúng ta đưa vào B chuẩn bất định:

kx (t)kA =

∞Z0

eAtP−x − e−AtP+x dt. (1.16)

Tính toán tương tự như trên ta được

kx (t)kA =

∞R0

eAseAtP − x 0 − e−AseAtP + x 0 ds

=

∞Rt

eAsP − x 0 ds −

∞R

−t

e−AsP + x 0 ds

.

a, Giả sử P + x 0 = 0, x 0 ∈ B − (P − B) Trong không gian con này kxkA ≥ 0 và kxk

và kxkA là tương đương Từ (1.17) suy ra kx (t)kA tiến tới 0

Do đó nghiệm kx (t)k = eAtx0 của phương trình (1.10) với vector gốc x0 dần tới0

b, Giả sử P−x0 = 0, x 0 ∈ B + (= P + B) Trong không gian con này đại lượng

kxkA ≥ 0 là một dạng vi phân tương đương kxk Ta có

2 Ý nghĩa hình học của chuẩn thay đổi

Nếu không gian pha B là không gian Hilbert, thì tất cả các lập luận được tiếnhành một cách tự nhiên với chuẩn kxkA,2 thay cho kxkA

Trong trường hợp này việc thay đổi chuẩn có ý nghĩa hình học đơn giản.Ban đầu giả sử A ≪ 0 Thì nghiệm của phương trình

c kAk

Vậy, α ≥ π2 + arcsinkAkc  và trường vector của tiếp tuyến của đường congtích phân của phương trình (1.10) là tại mỗi điểm hướng chủ yếu vào trong mặtcầu có tâm là gốc tọa độ

Bây giờ chúng ta xem xét trường hợp tổng quát khi phổσ (A)nằm trong nửamặt phẳng trái Khi đó từ Định lí 1.1.3 tồn tại toán tử dương đều W giới nộisao cho Re (W ) ≪ 0 Các suy luận trên vẫn đúng nếu các đánh giá được thựchiện với chuẩn metric mới (x, y)W = (W x, y) tương đương với metric cũ

Thật vậy tính bị chặn và tính dương đều của toán tử W đảm bảo tính tươngđương topo của các chuẩn k.k và k.kW Mặt khác, nếu

Re (W A) ≤ −cI (c > 0)thì đối với một nghiệm x(t) của phương trình (1.10) ta sẽcó:

Re x′(t), x(t)
W = ([A∗W + W A] x, x) ≤ −c (x, x) ≤ −c 1 (x, x)W

Ta nhớ lại, toán tử W có thể là một nghiệm của phương trình

A∗W + W A = −H, ở đó H là một toán tử dương đều tùy ý

Ví dụ, đặt H = I, ta có:

W =

∞R0

eA∗teAtdt (x, x)W = (W x, x) =

∞R0

eAtx 2dt

(1.18)

Trong trường hợp này hệ các mặt cầu được thay thế bởi hệ các mặt ellipxoit

(W x, x) = const với tâm là gốc mà các đường cong tích phân đi vào trong.Việc xét trong không gian pha Banach chuẩn (1.15) là tương tự với (1.18),

sẽ bao hàm ý tưởng về hình học tổng quát về đề cập hình học trên liên quan tớiphương pháp thứ 2 Lyapunov

Ở đây vai trò của các ellipxoit là các vật thể đối xứng tâm lồi được giới hạnbởi các mặt kxkA = const

Phức tạp hơn nhưng bức tranh hình học khá rõ ràng khi phổ của A có phần

tử nằm trong nửa mặt phẳng phải, tức là phương trình (1.10) gọi là nhị phân.Đầu tiên xét trường hợp kh pha B là không gian Hilbert H

Định lý 1.2.1 Phương trình (1.10) là nhị phân khi và chỉ khi là toán tử A là

W tán xạ đều đối với một toán tử Hermit khả nghịch bất định W ∈ H] là toán

tử Hermit có ngược thỏa mãn:

Re(W A) ≪ 0.

Với toán tử W bất kỳ thỏa mãn điều kiện này thì không gian con bất biến

H + (H − ) đối với toán tử A ứng với phần của phổ σ + (A) (σ − (A)) nằm trong nửamặt phẳng phải(trái) là toán tử W âm đều(W-dương đều)

Dạng vô định (W x, x) sinh ra trong H hai hệ hyperboloid bởi phương trình

(W x, x) = c: hyperboloid cộng khi c > 0 và hyperbilic trừ khi c < 0

Không khó thử lại, với toán tử W tán xạ đều của A suy ra:

d (W x (t) , x (t))

dt = 2Re(W Ax(t), x(t)) < 0 (x(t) 6= 0) ,

quan hệ này cho thấy dạng vô định(W x, x) giảm với mọi nghiệmx(t)của phươngtrình (1.10).

Nếu điểm x 0 nằm trên hyperboloid trừ thì việc giảm tiếp của (W x, x) khi ttăng có nghĩa là quỹ đạo của x(t) cắt các hyperboloid với các giá trị âm có giátrị tuyệt đối càng lớn và do đó quỹ đạo chạy ra vô cùng

1.2.3 Tính giới nội của các nghiệm của phương trình thuần

nhất

1 Phương trình vi phân cấp 1

Ta hãy xác định điều kiện để nghiệm của phương trình thuần nhất dx/dt = Ax

là bị chặn trên toàn bộ trục thực Vì tập nghiệm của phương trình này xác địnhbởi công thức x (t) = eAtx0(x0= x (0)), từ điều kiện giới nội của nghiệm suy ra

eAtx0 ≤ C x 0 (−∞ < t < ∞) ,

trong đó hằng số Cx0 chỉ phụ thuộc vào x0

Vậy tập toán tử eAt(−∞ < t < ∞) bị chặn tại mỗi phần tử x 0 ∈ B theo định

lí Banach-Stainhauss tập toán tử này bị chặn đều:

S−1(iB) S (B∗= B)

Vậy ta có kết quả sau:

Định lý 1.2.2 Nếu mỗi nghiệm của phương trình dx/dt = Ax bị chặn trên trục

thực thì phổ σ (A) nằm trên trục ảo.

Nếu không gian pha B là không gian Hilbert thì tất cả các nghiệm bị chặn khi

và chỉ khi toán tử A đồng dạng với một toán tử phản Hermit

2 Phương trình vi phân cấp 2 trong không gian Banach

Chúng ta xét phương trình cấp 2:

d2y

dt 2 + T y = 0, (1.20)trong đó T ∈ [B]

Việc nghiên cứu phương trình này dẫn tới việc nghiên cứu phương trình cấp

1 trong không gian pha đôi B(2)= B + B· có phần tử là cặp

x = (x 1 , x 2 ) (x 1 , x 2 ∈ B) và có chuẩn xác định bởi công thức

kxk22 = kx 1 k2+ kx 2 k2. Đặt y = x 1 và dy/dt = x 2, chúng ta thay phương trình(1.20) bởi hệ

tnA

n

n! =

∞Xk=0

t2k A

2k

(2k)! +

∞Xk=0

t2k+1 A

2k+1

(2k + 1)!. (1.23)

Áp dụng sự tương ứng giữa hàm vô hướng và hàm vector, ta có thể đặt:

cos T1/2t =

∞Xn=0

(−1)kT

k t2k(2k)!.

Vơí kí hiệu này từ (1.22) và (1.23) suy ra:

Công thức x(t) = eAx 0 , với x 0 = (y 0 , y0′) bây giờ dẫn ta tới biểu diễn của

nghiệm của phương trình (1.20) thỏa mãn điều kiện:

y (0) = 0, y′(0) = y0′, (1.24)dưới dạng

y (t) = cos T1/2ty0+T−1/2sin T1/2ty′0. (1.25)

Có thể thay trực tiếp để thử lại rằng hàm vecrtor (1.25) thỏa mãn phương

trình (1.20) và điều kiện (1.24) Từ công thức (1.25) suy ra rằng tính bị chặn

khit ∈ (−∞, +∞) của mỗi nghiệm của phương trình (1.20) tương đương với tính

bị chặn của hàm toán tử cos T1/2t và T−1/

2 sin T1/2t.Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng chỉ cần yêu cầu cho tính bị chặn của hàm toán

là bị chặn với mỗi y0 ∈ B và do đó là bị chặn theo chuẩn(định lí Steinhauss)

Banach-Vậy chỉ còn chỉ ra rằng từ tính bị chặn của của y(t) và y′′(t) suy ra tính bị chặncủa y′(t)

Ta đặt

y′′(t) − y(t) = f (t). (1.26)Hàm f(t) bị chặn trên trục thực cùng với y(t) và y′′(t) Nếu ta coi phương trình(1.26) như phương trình vi phân, ta có thể biểu diễn nghiệm là bị chặn trêntoàn trục thực nhờ công thức đã biết

3 Phương trình vi phân cấp 2 trong không gian Hilbert

Định lý 1.2.3 Để mỗi nghiệm của phương trình

d2y

dt 2 + T y = 0 (−∞ < t < +∞)

trong không gian Hilbert ~ là bị chặn trên toàn trục thì điều kiện cần và đủ làtoán tử T đồng dạng với toán tử dương đều

Chứng minh Để chứng minh điều kiện đủ ta chú ý rằng nếu

T = S−1T1S, trong đó T1 là dương đều, thì việc đặt y = Sx phương trình (1.20)

Điều này suy ra tính bị chặn của mỗi nghiệm cùng với đạo hàm của phươngtrình (1.20)

Ta chứng minh điều kiện cần

Trước hết chú ý rằng nếu nghiệm của (1.20) là bị chặn thì đạo hàm của nó cũng

bị chặn Thật vậy từ phương trình suy ra:

sup y′′(t) ≤ kT k sup ky(t)k , −∞ < t < +∞

Còn ở trên ta đã chỉ ra rằng từ tính bị chặn của một hàm và đạo hàm của cấp

2 của nó bị chặn suy ra tính bị chặn của đạo hàm cấp 1

Do đó tính bị chặn của nghiệm của phương trình (1.20) tương ứng với tính bịchặn của nghiệm của tất cả các phương trình (1.21) Theo định lý (2.2) để chỉ

ra toán tử A đồng dạng với toán tử phản Hermit Điều kiện sau có thể được

viết dưới dạng HA+A∗H= 0 Ở đây H là toán tử dương đều trong B(2).Thay vào đẳng thức này các ma trận

với f(t) là hàm liên tục Ta giả sử rằng phổ của toán tử A phân tách thành

2 tập phổ :

σ (A) = σ 1 (A) ∪ σ 2 (A) Kí hiệu B 1 và B 2 là hai không gian con bất biến của A

ứng với các tập này và P 1 và P 2 là phép chiếu tương ứng Ta nhớ lại rằng(I.2.4) tài liệu [1]có:

Điều này dễ dàng suy ra từ (1.28)

2, Bước nhảy của G(t) tại không bằng toán tử đồng nhất:

G(t − s)f (s)ds (1.29)

Ở đó f (t) là hàm liên tục thỏa mãn phương trình không thuần nhất (1.27) khi

a ≤ t ≤ b.

Để chứng minh ta lấy vi phân đẳng thức:

x(t) =

bZt

G(t − s)f (s)ds +

tZa

G(t − s)f (s)ds.

Ta được:

dx

dt = −G(−0)f (t) +

bRt

dG(t−s)

dt f (s)ds + G(+0)f (t) +

tRa

dG(t−s)

dt f(s)ds

=

bRa

σ (A) = σ + (A) vàP + = 0, P − = I khi σ (A) = σ − (A)

Vì phổ σ (A) không cắt trục ảo, nên tồn tại ν > 0 vàN > 0 sao cho:

kGA(t)k ≤ Ne−ν|t|. (1.31)

2 Nghiệm bị chặn trên toàn trục

Hàm Green chính đóng vai trò quan trọng trong việc xác định điều kiện tồn tạinghiệm bị chặn trên toàn trục của phương trình (1.27)

Định lý 1.2.4 Để ứng với mỗi hàm f (t) liên tục và bị chặn trên toàn trục tồntại một nghiệm duy nhất bị chặn trên toàn trục của (1.27) thì điều kiện cần và

đủ là phổ σ (A) không cắt trục ảo Nghiệm này được cho bởi công thức:

trong đó GA(t) là hàm Green chính của phương trình (1.27)

Chứng minh Giả sử tồn tại duy nhất nghiệm bị chặn ứng với hàm f(t) bất kìliên tục và bị chặn

Ta đặt f (t) = y, y là vector hằng và cho x(t) là nghiệm duy nhất bị chặn củaphương trình: dx

Từ định lí Banach (I.1.1) trong [1] một toán tử như vậy có nghịch đảo liên tục

A−1 tức là điểm λ = 0 là điểm chính quy của A Giả sử rằng ρi là một sốthuần ảo tùy ý Ta xét phương trình:

Lặp lại lập luận như trên, ta suy ra A − ρiI có nghịch đảo liên tục, tức là

ρi là một điểm chính qui Do đó điều kiện cần được chứng minh Để chứngminh điều kiện đủ ta sử dụng (1.31) Từ đánh giá này suy ra hàm vector (1.32)

Chỉ còn phải chứng minh tính duy nhất của một nghiệm bị chặn Muốn vậy chỉcần kiểm tra rằng phương trình thuần nhất là không có nghiệm bị chặn trêntoàn trục thực ngoài nghiệm tầm thường

Giả sử tồn tại nghiệm x(t) = eAtx 0 như vậy đặt A − = P − A và A + = P + A, ta cóthể viết nó dưới dạng:

x(t) = eA− t P − x 0 + eA+ t P + x 0

Vì phổ của toán tử A − trong B − là tập σ − (A) nằm trong nửa mặt phẳng tráinên hạng tử đầu bị chặn khit > 0, có nghĩa là hạng tử thứ hai cũng có tính chấtnày:

x(t) = eA(t−t0 ) x−0 +

∞Z

t 0

G A (t − s)f (s)ds. (1.33)

Chứng minh Phương trình (1.27) là tương đương với hệ 2 phương trình độc lập:

Ở đây, phổ của A + là tập σ + (A) nằm trong nửa mặt phẳng phải còn σ − (A)của

A − nằm trong nửa mặt phẳng trái

Phương trình (1.34) có một nghiệm bị chặn khi t ≥ t 0, với mọix(t 0 ) =P − (x 0 ).Nghiệm này xác định bởi công thức:

x − (t) = eA− (t−t 0 ) P − x 0 +

∞R

t 0

eA− (t−t 0 ) f − (s)ds

= eA(t−t0 ) P − x 0 +

tR

x + (t) = −

∞Zt

eA+ (t−t 0 ) f + (s)ds = −

∞Zt

ta có:

kx 2 (t) − x 1 (t)k ≤ eA(t−t0 ) P − [x 2 (t 0 ) − x 1 (t 0 )]

≤ Ne−ν(t−t0 ) kx 2 (t 0 ) − x 1 (t 0 )k .