Phân tích tính ổn định và thiết kế bộ quan sát cho một số lớp hệ dương trong mô hình mô hình Roesser

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRẦN THANH THÁI PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH ROESSER TUYẾN TÍNH LUẬN VĂ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH THÁI

PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT

CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH

ROESSER TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRẦN THANH THÁI

PHÂN TÍCH TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT

CHO MỘT SỐ LỚP HỆ DƯƠNG TRONG MÔ HÌNH

ROESSER TUYẾN TÍNH

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Hiện

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS.Lê Văn Hiện

đã dành nhiều thời gian tâm huyết, trực tiếp hướng dẫn tận tình, chỉ bảo và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh bản Luận văn thạc sĩ chuyên nghành Toán giải tích

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ, sẻ chia, giúp đỡ và đồng hành cùng tôi trong cuộc sống cũng như trong quá trình học tập nghiên cứu!

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Trần Thanh Thái

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng:

Số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác

Mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

TÁC GIẢ LUẬN VĂN

Trần Thanh Thái

MỤC LỤC

Mở đầu 2

Một số ký hiệu 6

Chương 1 Sơ bộ về hệ 2-D dạng Roesser .7

1.1 Ví dụ về mô hình hệ 2-D 7

1.2 Mô hình Roesser tổng quát 9

1.3 Tính ổn định của hệ 2-D tuyến tính trong mô hình Roesser 10

Chương 2 Tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ dương 2-D dạng Roesser 12

2.1 Hệ dương 2-D dạng Roesser 12

2.2 Tính ổn định của hệ dương 2-D tuyến tính 14

2.3 Thiết kế điều khiển 16

2.4 Ví dụ minh họa 17

Kết luận chương 2 20

Chương 3 Thiết kế bộ quan sát đối với hệ dương 2-D dạng Roesser có trễ 22

3.1 Phát biểu bài toán 22

3.2 Phân tích tính ổn định 24

3.3 Thiết kế bộ quan sát 27

3.4 Ví dụ minh họa 34

Kết luận chương 3 37

Kết luận chung 38

Tài liệu tham khảo 39

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hệ hai chiều nảy sinh trong rất nhiều mô hình vật lí, kỹ thuật ở đó sựlan truyền thông tin trạng thái xảy ra theo hai hướng độc lập Mô hình hệ haichiều được ứng dụng để mô tả và phân tích tính chất của nhiều lớp hệ trongthực tiễn kỹ thuật như các hệ trong mạng viễn thông, xử lí ảnh, xử lí và truyềntín hiệu và đặc biệt trong việc thiết kế các lọc tín hiệu số đa chiều (xem [2, 9]

và các tài liệu trích dẫn ở đó) Trong việc mô tả các mô hình thực tiễn đó,các hệ hai chiều thường được biễu diễn thông qua các phương trình trạng thái(state-space model) Một số lớp mô hình trạng thái thường được sử dụng như

mô hình Roesser, mô hình Fornasini-Marchesini (FM) thứ nhất và thứ hai, môhình Attasi hay mô hình Kurek [9] Do cấu trúc đặc biệt, mô hình Roesser được

sử dụng nhiều trong việc mô tả động lực các hệ trong thực tiễn kĩ thuật [1,5,6].Mặt khác, trong thực tế, các đại lượng như số lượng các gói dữ liệu truyềntải, số cá thể trong một quần thể hay số nơ-ron trong một mạng lưới v.v luônnhận giá trị không âm Các mô hình như thế thường được mô tả bởi các hệ độnglực mà các biến trạng thái của chúng luôn không âm Nói cách khác, với các

dữ kiện ban đầu không âm (nằm trong nón dương), quỹ đạo nghiệm của các hệđộng lực đó luôn nằm trong nón dương tương ứng Lớp hệ như vậy được gọi làcác hệ dương [3] Do các tính chất lý thuyết đặc biệt và những ứng dụng thựctiễn, lớp hệ dương đã và đang nhận được sự quan tâm đặc biệt của nhiều tácgiả trong vài thập kỉ gần đây Các kết quả nghiên cứu đã công bố đối với lớp hệdương 2-D, đặc biệt các lớp hệ dương có 2-D trễ, vẫn còn khá khiêm tốn Gầnđây, trong bài báo [8] các tác giả nghiên cứu tính ổn định và ứng dụng trongthiết kế bộ quan sát cho lớp hệ dương 2-D trong mô hình Roesser tuyến tính cótrễ Cách tiếp cận chính là dựa trên tính đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của

hệ, các điều kiện cần và đủ dạng bài toán quy hoạch tuyến tính được thiết lập

để đảm bảo tính ổn định, sự tồn tại cũng như các điều kiện thiết kế các bộ quansát Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về lớp hệ dương 2-D rời rạc, trongluận văn này, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu “Phân tích tính ổn định và thiết

kế bộ quan sát cho một số lớp hệ dương trong mô hình Roesser tuyến tính” dựatrên bài báo [8] và các tài liệu có liên quan

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu tính ổn định và bài toán thiết kế bộquan sát dạng Luenberger và bộ quan sát giảm chiều cho một số lớp hệ dương2-D trong mô hình Roesser tuyến tính dựa trên tài liệu [8]

3 Nội dung nghiên cứu

Các nội dung được nghiên cứu trong luận văn bao gồm:

a) Hệ thống hóa mô hình hệ 2-D rời rạc

b) Nghiên cứu tính ổn định và ổn định hóa của lớp hệ dương 2-D tuyến tính.c) Phân tích, làm rõ kết quả trong [8] về bài toán thiết kế bộ quan sát đối vớilớp hệ dương 2-D dạng Roesser có trễ

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Xét lớp hệ 2-D dạng Roesser có trễ sau đây

ở đóxh ∈Rn h, xv ∈Rn v,u ∈Rn u vày ∈Rn y tương ứng là vectơ trạng thái ngang,

Ad ∈Rn×n (n = nh+ n v), B ∈Rn×n u và C, Cd ∈Rn y × n là các ma trận thực cho

trước, τh, τv là các số nguyên dương biểu thị độ trễ của hệ theo phương ngang

như sau:

(0.3)

Rnh

+ với mọi (i, j).a) Đối tượng nghiên cứu là lớp hệ 2-D dạng (0.1) và các dạng đặc biệt của nó,chẳng hạn lớp hệ không có trễ tương ứng

b) Phạm vi nghiên cứu bao gồm:

các dãy ban đầu và điều khiển đầu vào không âm, quỹ đạo trạng tháitương ứng của hệ luôn không âm

hệ dương dạng (0.1)

chiều cho lớp hệ dương 2-D có trễ

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng phương pháp quy nạp hai thang để đánh giá trạng thái.Đối với bài toán ổn định, ổn định hóa và thiết kế bộ quan sát, chúng tôi sử dụngcác kết quả trong giải tích ma trận với các ma trận không âm và xây dựng cácđiều kiện phân tích và thiết kế thông qua các bài toán dạng quy hoạch tuyếntính

6 Bố cục của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo, luậnvăn được chia thành ba chương

Chương 1: Giới thiệu sơ bộ về mô hình Roesser và lớp hệ 2-D rời rạcChương 2: Phân tích tính ổn định và ổn định hóa theo điều khiển phản hồicho lớp hệ dương 2-D tuyến tính không có trễ

Chương 3: Nghiên cứu bài toán thiết kế các bộ quan sát dạng Luenberger

và bộ quan sát giảm chiều đối với lớp hệ dương 2-D có trễ dạng (0.1) dựa trênnội dung bài báo [8]

MỘT SỐ KÝ HIỆU

kxk ∞ Chuẩn max của vectơ x = (x i ) ∈Rn, kxk ∞ = maxi∈[n]|x i |

Chương 1

SƠ BỘ VỀ HỆ 2-D DẠNG ROESSER

Trong chương này, chúng tôi giới thiệu sơ lược về lớp hệ 2-D trong mô hìnhRoesser và một số khái niệm liên quan về tính ổn định và đưa ra các định nghĩacần thiết bổ trợ cho việc trình bày nội dung các chương sau

hằng số

ݕ(ݔ, ݐ) ݑ(ݔ, ݐ)

ܶ(ݔ, ݐ)

Pipe

Hình 1.1: Hệ điều khiển quá trình nhiệt

Mô hình (1.1) được sử dụng trong một số quá trình nhiệt trong các phảnứng hóa học hay trong các ống nhiệt của lò hấp [9] Trong thực tế, các tín hiệu

điều khiển thường được tổng hợp thông qua quá trình rời rạc hóa Đặt

Hàm điều khiển theo tín hiệu đầu ra (output feedback control) được thiết

kế dạng u(i, j) = ky(i, j) = kcT (i, j) Đặt xh(i, j) = T (i − 1, j) và xv(i, j) = T (i, j).Khi đó hệ đóng tương ứng của (1.1) có dạng

truyền thông tin theo hai phương độc lập được gọi chung là các hệ 2-D Việcnghiên cứu định tính các hệ 2-D nói chung khó khăn hơn rất nhiều so với các

nhiều phương pháp và công cụ nghiên cứu đã phát triển đối với hệ 1-D khôngcòn phù hợp với hệ 2-D, chẳng hạn như công thức nghiệm cơ bản hay các ước

1.2 Mô hình Roesser tổng quát

Trong các mô hình hệ hai chiều, mô hình Roesser (RM) được sử dụng mộtcách rộng rãi do cấu trúc tự nhiên và đơn giản Mô hình 2-D Roesser được mô

ở đói, j ∈Z+là các biến thời gian rời rạc theo tọa độ ngang và dọc,xh(i, j) ∈Rn 1

là vectơ trạng thái ngang, xv(i, j) ∈ Rn 2 là vectơ trạng thái dọc, u(i, j) ∈ Rm làđiều khiển đầu vào, y(i, j) ∈Rp là vectơ đầu ra và A 0 , B 1 , B 2 , C 1 , C 2 , D là các matrận hằng với số chiều thích hợp

nguyên dương T1, T2 sao cho φh(j) = 0, j ≥ T 1, φv(i) = 0, i ≥ T 2, hoặc tổng quát

lớp điều kiện đầu khác được nghiên cứu nhiều đối với lớp hệ 2-D là các dãy

φh∈ l 2 (N0 ,Rn h ) vàφv ∈ l 2 (N0 ,Rn v ), tức là

∞Xk=0



Để cho gọn, trong các phần sau ta viết chung là φh, φv ∈ l2

1.3 Tính ổn định của hệ 2-D tuyến tính trong mô hình Roesser

Xét hệ 2-D tuyến tính được mô tả bởi mô hình Roesser sau đây:

Định nghĩa 1.3.1 Hệ (1.7) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nghiệm bất kì

Từ Định lí 1.3.1 ta có điều kiện ổn định sau

S+

Chứng minh Xét hàm Lyapunov sau

= Vh(i + 1, j) − Vh(i, j) + Vv(i, j + 1) − Vv(i, j).

Chương 2

TÍNH ỔN ĐỊNH VÀ ỔN ĐỊNH HÓA CỦA LỚP HỆ DƯƠNG 2-D DẠNG ROESSER

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của lớp hệ dương 2-Ddạng Roesser Dựa trên tính chất đơn điệu cảm sinh bởi tính dương của hệ, mộtđiều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ đặc trưng thông qua điều kiện dạngbài toán quy hoạch tuyến tính Trên cơ sở kết quả nghiên cứu về tính ổn định,chúng tôi xét bài toán thiết kế điều khiển phản hồi sao cho hệ đóng tương ứng

là hệ dương và ổn định Kết quả của chương này được chúng tôi thực hiện dựatrên lược đề nghiên cứu trong [8]

Xét hệ 2-D dạng Roesser sau đây

Định nghĩa 2.1.1 Hệ (2.1) được gọi là hệ dương nếu với mọi điều kiện đầu

ứng của (2.1) thỏa mãn x(i, j) =

Kết quả sau đây cho một đặc trưng của tính dương của hệ (2.1)

ta có (i, j) = (i s + 1, j) = (i, j s + 1), ở đó is = i − 1 vàjs = j − 1 Chú ý thêm rằng

(is, j) ∈ Γq và (i, js) ∈ Γq Do đó,

tức làx(i, j)  0trênΓ q+1 Vì N2

0 =S∞q=0Γq, nên ta có thể kết luận rằngx(i, j) ≥ 0

2.2 Tính ổn định của hệ dương 2-D tuyến tính

điều khiển phản hồi đối với (2.1) được thiết kế dạng

đóng của (2.1), (2.3) được cho bởi

Mệnh đề 2.2.1 Giả sử hệ đóng (2.4) là hệ dương Khi đó, với bất kì điều kiện

Mặt khác, 0  x(i, j, φ 1 )  x(i, j, φ 2 ) với mọi điều kiện đầu 0  φ 1  φ 2 Do vậy,bằng phương pháp quy nạp tương tự trong chứng minh Mệnh đề 2.1.1 ta có điềuphải chứng minh.

Nhận xét 2.2.1 Do Mệnh đề 2.2.1, hệ dương (2.4) là ổn định tiệm cận khi vàchỉ khi nó ổn định tiệm cận với mọi điều kiện đầu φ ∈ l+2, ở đó l+2 = l 2 (N0 ,Rn

Điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ dương (2.4) được cho trongđịnh lí dưới đây

Định lí 2.2.1 Hệ dương (2.4) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại một

Chứng minh Điều kiện cần được chứng minh tương tự Định lí 1 trong [7] Bây

hàm Lyapunov 2-D sau đây

khác, từ (2.6) suy ra với ǫ > 0 đủ nhỏ ta có η ⊤ Ac− η ⊤

Xj=0

Xi=0

Xj=0

∞Xi,j=0

∞Xi,j=0

định tiệm cận Định lí được chứng minh

sau đây

2.3 Thiết kế điều khiển

Trong mục này chúng tôi xét bài toán thiết kế điều khiển phản hồi (2.3)sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định Theo Mệnh đề 2.1.1, hệ (2.4) là hệdương khi và chỉ khi điều kiện sau được thỏa mãn

Với điều kiện (2.11), hệ (2.4) là ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tồn tại

họa, chúng tôi lấy các dãy điều kiện đầu φh(j) = φv(i) = 0.1, 0 ≤ i, j ≤ 100 Quỹđạo nghiệm tương ứng của hệ mở được cho trên Hình 2.1 dưới đây Kết quả môphỏng đó chỉ ra rằng hệ mở là hệ không ổn định.

100

i

50 0

0

50

j

2 4 6 8

0 100

0

50

j

0 5 10 15

Hình 2.1: Một quỹ đạo nghiệm của hệ mở của (2.1)

Bây giờ ta áp dụng Định lí 2.3.1 để thiết kế điều khiển phản hồi dạng (2.3)sao cho hệ đóng (2.4) là hệ dương ổn định Sử dụng gói công cụ LinProg trong

Matlab chúng tôi tìm được nghiệm tối ưu với ràng buộc



0.1 0.1





1 1





1 1





1 1

Theo Định lí 2.3.1, hệ đóng của (2.1) với điều khiển phản hồi xác định bởi (2.3)

và (2.17) là hệ dương ổn định Một quỹ đạo nghiệm của hệ đóng (2.4) với điềukhiển xác định bởi (2.3), (2.17) được cho trên Hình 2.2 Kết quả mô phỏng trênHình 2.2 minh họa cho tính ổn định của hệ đóng (2.4) Điều này chứng tỏ tínhhiệu quả của phương pháp thiết kế điều khiển trình bày trong Định lí 2.3.1

i

50 0

0

50

j

0.2 0.3

0 0.1

0

50

j

0 1 2 3 4 5

1 Đặc trưng tính dương (tính bất biến của orthant dương) của hệ 2-D tuyến

tính mô tả bởi mô hình Roesser (Mệnh đề 2.1.1).

2 Đưa ra một điều kiện cần và đủ cho tính ổn định của hệ đóng (Định lí 2.2.1).Điều kiện này được thiết lập dưới dạng một bài toán quy hoạch tuyến tính,giúp cho việc kiểm chứng điều kiện ổn định có thể thực hiện bằng nhiềucông cụ tính toán hiệu quả sẵn có

3 Dựa trên điều kiện ổn định đưa ra trong Định lí 2.2.1, các điều kiện cần và

đủ để thiết kế một lớp điều khiển phản hồi sao cho hệ đóng tương ứng là

hệ dương ổn định cũng được thiết lập thông qua một bài toán quy hoạchtuyến tính (Định lí 2.3.1)

Một ví dụ số cũng được chúng tôi trình bày ở cuối chương nhằm minh họa chotính hiệu quả của các điều kiện thiết kế điều khiển đã trình bày

Chương 3

THIẾT KẾ BỘ QUAN SÁT ĐỐI VỚI

HỆ DƯƠNG 2-D DẠNG ROESSER CÓ TRỄ

Mục đích của chúng tôi trong chương này là nghiên cứu bài toán thiết kế

bộ quan sát đối với lớp hệ dương 2-D dạng Roesser tuyến tính có trễ dựa trênnội dung bài báo [8] Cụ thể, hai vấn đề chính được nghiên cứu bao gồm: (1)Thiết kế một bộ quan sát dạng Luenberger đủ chiều sinh ra các trạng thái dương

là xấp xỉ tiệm cận của vectơ trạng thái đối với lớp hệ dương 2-D dạng Roessertuyến tính có trễ; và (2) với một phiếm hàm tuyến tính cho trước của vectơtrạng thái, thiết kế một bộ quan sát giảm chiều là xấp xỉ dương tiệm cận củaphiếm hàm tuyến tính đã cho Dựa trên tính chất đơn điệu của hệ, các tác giảtrong [8] đưa ra các điều kiện không phụ thuộc độ trễ đặc trưng cho sự tồn tạicủa các bộ quan sát nói trên

3.1 Phát biểu bài toán

Xét hệ 2-D dạng Roesser sau đây

đo được) của hệ; A, Ad ∈ Rn×n (n = nh+ nv), B ∈ Rn×n u và C, Cd ∈ Rn y × n là

hiệu của hệ theo phương ngang và phương đứng của hệ

Điều kiện đầu của (3.1) được xác định bởi các dãy φh, φv như sau

(3.3)

Bài toán thiết kế bộ quan sát đối với hệ dương (3.1) là bài toán xây dựng

toán sau đây:

ˆ

(P2) Cho z(i, j) = F x(i, j) ∈Rn z

thái, ở đó F ∈Rn z × n

sát giảm chiều z(i, j) ∈ ˆ Rn z

+ sao cho vectơ sai số e(i, j), z(i, j) − z(i, j) → 0 ˆ

khi i, j → ∞

Tương tự Định nghĩa 1.3.1, tính ổn định của hệ (3.4) được phát biểu trongđịnh nghĩa dưới đây.

Định nghĩa 3.2.1 Hệ (3.4) được gọi là ổn định tiệm cận nếu với bất kì điềukiện đầu (1.3), ở đó φh, φv ∈ l 2, ta có lim i,j→∞ ke(i, j)k = 0

(3.4) với các điều kiện đầu φh, φv và φ˜h, ˜φv Bằng phương pháp quy nạp tương

tự trong Mệnh đề 2.1.1 ta thấy rằng nếu φh  ˜ φh và φv  ˜ φv thì e(i, j)  ˜ e(i, j)

Chính vì vậy, để xét tính ổn định của hệ dương (3.4) ta chỉ cần xét các dãy điềukiện đầu φh, φv ∈ l2+

Nội dung chính của mục này được trình bày trong định lí dưới đây

Chứng minh Điều kiện cần: Ta phân tích các ma trận A, ˜˜ Ad dạng sau đây

Giả sửe(i, j)là một nghiệm bất kì của (3.4) với điều kiện đầuφh 0, φ v  0

Ta sẽ chứng minh

ở đó L ∈Rn×n y là ma trận đạt được của hàm quan sát và sẽ được thiết kế Từ(3.1) và(3.16), vectơ sai sốe(i, j) = ˆ x(i, j) − x(i, j) được mô tả bởi hệ 2-D sau đây

i, j → ∞ khi và chỉ khi hệ dương (3.18) là ổn định tiệm cận Theo Định lí 3.2.1,điều này tương đương với điều kiện (3.21) Định lí được chứng minh.

Để thiết kế các tham số của bộ quan sát, ta sẽ chuyển các điều kiện

Các điều kiện còn lại trong (3.19) và (3.20) được chuyển tương tự Khi đó, một

bộ quan sát dạng (3.16)-(3.17) giải bài toán (P1) được thiết kế dựa trên bàitoán quy hoạch tuyến tính cho bởi định lí sau

Định lí 3.3.2 Đối với hệ dương 2-D cho bởi (3.1), một bộ quan sát dương dạng(3.16)-(3.17) tồn tại khi và chỉ khi bài toán quy hoạch sau đây là giải được đốivới Z ∈Rn y × n và η ∈Rn: