Tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động

Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động.. Tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động.. A × B tích Descartes của hai tập hợp A và Bcl A

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS BÙI THẾ HÙNG

Thái Nguyên - 2020

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với đề tài khác Nguồn tài liệu sử dụng cho việchoàn thành luận văn là nguồn tài liệu mở Các thông tin, tài liệu trongluận văn này đã được ghi rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020Người viết luận văn

Moukvilay Soukaloun

TS Bùi Thế Hùng

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc tới Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Thế Hùng, người đã trực tiếphướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình, tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôihoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Toán cùng toàn thểcác thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, ViệnToán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã truyền thụ cho tôi nhữngkiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi và cho tôi những ý kiến đónggóp quý báu trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đã quan tâm giúp

đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình làm luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2020Người viết luận văn

Moukvilay Soukaloun

Mục lục

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Mục lục iii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt iv

Mở đầu 1

Chương 1 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động 3

1.1 Không gian lồi địa phương 3

1.2 Nón và ánh xạ đa trị 5

1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ 7

1.4 Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ 13

Chương 2 Tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động 20

2.1 Bài toán tựa cân bằng véctơ chứa tham số 20

2.2 Tính nửa liên tục trên của ánh xạ nghiệm 21

2.3 Tính nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm 25

Kết luận 37

Tài liệu tham khảo 38

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

Rn không gian véctơ Euclide n− chiều

Rn+ tập các véctơ không âm của Rn

Rn− tập các véctơ không dương của Rn

A ∩ B giao của hai tập hợp A và B

A × B tích Descartes của hai tập hợp A và B

cl A bao đóng tôpô của tập hợp A

int A phần trong tôpô của tập hợp A

conv A bao lồi của tập hợp A

(QEP ) bài toán tựa cân bằng véctơ

(QEP )λ bài toán tựa cân bằng véctơ chứa tham số

usc nửa liên tục trên

lsc nửa liên tục dưới

H − usc nửa liên tục trên Hausdorff

H − lsc nửa liên tục dưới Hausdorff

Mở đầu

Bài toán tựa cân bằng véctơ có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật

lý, kinh tế, tối ưu, vận tải, Bài toán này bao hàm một số lớp bài toánkhác nhau như bài toán cân bằng, bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thứcbiến phân, bài toán điểm bất động, bài toán bù, Khi nghiên cứu bàitoán tựa cân bằng người ta thường quan tâm đến các vấn đề sau:

1 Sự tồn tại nghiệm

2 Tính ổn định nghiệm

3 Cấu trúc tập nghiệm

4 Thuật toán tìm nghiệm

Sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ đã được rất nhiềunhà toán học nghiên cứu (xem [9], [10] và các tài liệu liên quan) Ngoàiviệc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ người tacòn quan tâm nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán này thông quanghiên cứu tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm.Năm 2010, Chen, Li và Fang [6] đưa ra một số điều kiện đủ cho tính nửaliên tục dưới Hausdorff của ánh xạ nghiệm cho bài toán bất đẳng thứcbiến phân suy rộng dưới giả thiết (Hg) Năm 2012, Zhong và Huang [12]

đã nghiên cứu tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ thôngqua tính nửa liên tục dưới Hausdorff, liên tục và liên tục Hausdorff cho ánh

xạ nghiệm với giả thiết (Hg)0 Gần đây, Anh và Hung [3] đã thiết lập điềukiện cần và đủ cho tính nửa liên tục dưới Hausdorff, liên tục Hausdorff đốivới ánh xạ nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ mạnh chứa tham số.Năm 2019, Anh, Duy và Hien [4] đã thiết lập điều kiện đủ cho tính nửa

liên tục trên, nửa liên tục dưới Hausdorff cho ánh xạ nghiệm của bài toántựa cân bằng véctơ với nón di động dưới giả thiết (Hϕ) Ngoài ra các tácgiả còn đưa ra điều kiện cần và đủ để giả thiết (Hϕ) xảy ra.

Mục đích của luận văn nhằm trình bày một cách hệ thống các kết quảtrong công trình [4] về tính ổn định nghiệm của bài toán tựa cân bằngvéctơ với nón di động thông qua tính nửa liên tục trên và nửa liên tục dướiHausdorff của ánh xạ nghiệm Luận văn gồm phần mở đầu, hai chươngnội dung, phần kết luận và tài liệu tham khảo

Chương 1 của luận văn trình bày một số kiến thức về tập lồi, ánh xạ

đa trị và một số tính chất của ánh xạ đa trị Ngoài ra, chương này chúngtôi còn trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toántựa cân bằng véctơ với nón di động

Chương 2 trình bày một số điều kiện đủ cho tính ổn định nghiệm củabài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động thông qua tính nửa liên tụctrên và nửa liên tục dưới của ánh xạ nghiệm Một số ví dụ minh họa chokết quả lý thuyết cũng được trình bày

1.1 Không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tuyến tính Tập A ⊆ X đượcgọi là lồi nếu với mọi x1, x2 ∈ A ta luôn có

Chứng minh ĐặtA = λ1A1+λ2A2+· · ·+λmAm.Lấy x, y ∈ A,khi đó tồntại xi ∈ Ai, yi ∈ Ai, i = 1, 2, , m sao cho x = λ1x1+ λ2x2+ · · · + λmxm,

y = λ1y1 + λ2y2 + · · · + λmym Ta có

λx + (1 − λ)y = λ(λ1x1 + · · · + λmxm) + (1 − λ)(λ1y1 + · · · + λmym)

= λ1[λx1 + (1 − λ)y1] + · · · + λm[λxm+ (1 − λ)ym]

Do Ai là tập lồi nên λxi + (1 − λ)yi ∈ Ai, với mọi i ∈ {1, 2, , m} và

λ ∈ [0, 1] Suy ra λx + (1 − λ)y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1] Vậy A là tậplồi

Định nghĩa 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính, A là một tập concủa X Khi đó giao của tất cả các tập lồi chứa A được gọi là bao lồi củatập A và kí hiệu là conv A

Định lý 1.1.5 Giả sử A là tập con của không gian tuyến tính X Khi đó

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của tập A, tức là

Chứng minh Ta có conv A là tập lồi Vì A ⊂ conv A nên conv A chứa tất

cả các tổ hợp lồi của A Hơn nữa tập tất cả các tổ hợp lồi của A là lồi vàchứaA, do đó nó chứa conv A (vì conv A là tập lồi nhỏ nhất chứa A) Vậy

conv A trùng với tập tất cả các tổ hợp lồi của A

Định nghĩa 1.1.6 Cho X là không gian véctơ trên trường K

(i) Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của

X nếu các phép toán cộng và nhân vô hướng là các ánh xạ liên tục.(ii) Một không gian tôpô tuyến tính hay không gian véctơ tôpô trêntrường K là một cặp (X, τ ), trong đó X là không gian véctơ trên trường

K và τ là một tôpô tương thích với cấu trúc đại số của X

Định nghĩa 1.1.7 Không gian tôpô tuyến tínhX được gọi là không gianlồi địa phương nếu trong X có một cơ sở lân cận của gốc gồm toàn tập

lồi Hơn vậy, nếu không gian lồi địa phương X đồng thời là không gianHausdorff thì X được gọi là không gian lồi địa phương Hausdorff.

Ví dụ 1.1.8 Không gian định chuẩn, không gian Hilbert là các khônggian lồi địa phương Hausdorff

(i) C là nón lồi nếu C là tập lồi

(ii) C là nón nhọn nếu l(C) = {0}, trong đó l(C) = C ∩ (−C)

(iii) C là nón đóng nếu C là tập đóng trong Y

(iv) C là nón lồi đóng nhọn nếu C là nón lồi, đóng và nhọn

Giả sử X và Y là hai tập hợp Kí hiệu 2X là tập tất cả các tập con của

X

Định nghĩa 1.2.3 Một ánh xạ đa trịF từ X vào Y mà ứng với mỗi phần

tử x ∈ X cho một tập con của Y, được ký hiệu F : X → 2Y

Thực chất, mỗi ánh xạ đa trị F : X → 2Y được đặc trưng bởi một tậpcon của X × Y, kí hiệu là gph F và được xác định bởi

gph F := (x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)

Tập hợp gph F được gọi là đồ thị của F

Miền định nghĩa của F, kí hiệu dom F, xác định bởi

dom F := x ∈ X : F (x) 6= ∅

Ví dụ 1.2.4 Xét phương trình đa thức với hệ số thực

xn + a1xn−1 + + an−1x + an = 0,

Quy tắc cho ứng mỗi véctơ a = (a1, a2, , an) ∈ Rn với tập nghiệm củaphương trình trên, kí hiệu bởi F (a), cho ta một ánh xạ đa trị

F : Rn → 2C

từ không gian Euclide Rn vào không gian phức C

Định nghĩa 1.2.5 Cho X, Y là các không gian tuyến tính và ánh xạ đatrị F : X → 2Y Ta nói rằng

(i) F có giá trị lồi nếu F (x) là tập lồi trong Y, với mọi x ∈ X

(ii) F là ánh xạ lồi nếu gph F là tập lồi trong X × Y

Định nghĩa 1.2.6 Cho X, Y là các không gian tôpô và F : X → 2Y làánh xạ đa trị Ta nói rằng

(i) F có giá trị đóng nếu F (x) là tập đóng trong Y, với mọi x ∈ X.(ii) F là ánh xạ đóng nếu gph F là tập đóng trong X × Y

(ii) F là ánh xạ mở nếu gph F là tập mở trong X × Y

(iii) F là ánh xạ compact nếu F (X) là tập compact tương đối trong Y

Mệnh đề 1.2.7 Giả sử X, Y là các không gian tôpô tuyến tính và ánh

xạ đa trị F : X → 2Y Khi đó

(i) Nếu F là ánh xạ đóng thì F có giá trị đóng

(ii) Nếu F là ánh xạ mở thì F có giá trị mở

(iii) Nếu F là ánh xạ lồi thì F có giá trị lồi

(iv) F là ánh xạ lồi khi và chỉ khi

(1 − t)F (x) + tF (x0) ⊆ F ((1 − t)x + tx0) với mọi x, x0 ∈ X và t ∈ [0, 1]

Các ví dụ dưới đây chỉ ra rằng ánh xạ đa trị có giá trị lồi chưa chắc làánh xạ lồi và ánh xạ đa trị có giá trị đóng chưa chắc là ánh xạ đóng

Ví dụ 1.2.8 Cho ánh xạ đa trị F : N∗ → 2R định nghĩa như sau

F (n) =



conv1, 2, , n − 1 , nếu n ≥ 2,{0}, nếu n=1

Hiển nhiên F là ánh xạ đa trị với giá trị lồi Tuy nhiên F không là ánh xạlồi

Ví dụ 1.2.9 Xét ánh xạ đa trị F : R → 2R xác định bởi

F (x) =



[0, 1], nếu x = 0,

R, trong trường hợp còn lại

Hiển nhiên ánh xạ F có giá trị đóng Mặt khác ta có

gph F = (x, y) ∈ R2 : y ∈ F (x) = ({0} × [0, 1]) ∪ (R\{0} ×R)

là tập không đóng trong R2 và như vậy F không là ánh xạ đóng

Định nghĩa 1.2.10 Cho X, Y là các không gian tôpô Ánh xạ bao đóngcủa F là ánh xạ đa trị cl F : X → 2Y mà đồ thị của nó là bao đóng của

Ta nói F−1(y) là ảnh ngược của y

1.3 Tính liên tục theo nón của ánh xạ véctơ

Định nghĩa 1.3.1 Giả sử X là không gian tôpô và hàm g : X → R Ta

nói rằng:

(a) g nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại x ∈ X¯ nếu mỗi ε > 0, tồntại một lân cận U của x¯ sao cho

g(x) ≤ g(¯x) + ε với mọi x ∈ U

(b) g nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại x ∈ X¯ nếu mỗi ε > 0, tồntại một lân cận U của x¯ sao cho

g(x) > g(¯x) − ε với mọi x ∈ U

(c) g liên tục tại x ∈ X¯ nếu nó là usc và lsc tại x¯

Nhận xét Nếu X là không gian metric thì g là usc (tương ứng, lsc) tại

có phần trong Ánh xạ g : X × Z → Y được gọi là

(a) C - nửa liên tục dưới (viết tắt là C- lsc) tại (¯x, ¯z) nếu với mỗi lâncận V của θY trong Y, tồn tại một lân cận U của (¯x, ¯z) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯x, ¯z) + V + C(¯x) với mọi (x, z) ∈ U

(b) C- nửa liên tục trên (viết tắt là C- usc) tại (¯x, ¯z) nếu −g là C- lsctại (¯x, ¯z)

(c) C- liên tục tại (¯x, ¯z) nếu nó là C- usc và C- lsc tại (¯x, ¯z)

(d) C- lsc, C- usc, C- liên tục nếu nó là C- lsc, C- usc, C- liên tục tạimọi điểm trong X × Z, tương ứng

Mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ cho tính C- lsc của ánh xạvéctơ

Mệnh đề 1.3.3 Giả sử X, Z là các không gian tôpô, Y là không gianvéctơ tôpô, g : X × Z → Y là ánh xạ và C : X → 2Y là ánh xạ nón với giátrị lồi, nhọn, có phần trong Khi đó các phát biểu sau đây là tương đương:

(i) g là C- lsc.

(ii) Với mỗi (¯x, ¯z) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯x), tồn tại lân cận U của

(¯x, ¯z) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯x, ¯z) − c + int C(¯x) với mọi (x, z) ∈ U

(iii) Với mỗi x ∈ X¯ và a ∈ Y, tập g−1(a + int C(¯x)) là mở

Chứng minh [(i) =⇒ (ii)] Lấy (¯x, ¯z) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯x) Đặt

V = −c + int C(¯x) Khi đó V là lân cận của θY trong Y Bởi vì g là Clsc, tồn tại một lân cận U của (¯x, ¯z) sao cho

-g(x, z) ∈ g(¯x, ¯z) + V + C(¯x) với mọi (x, z) ∈ U (1.1)Bởi tính lồi của C(¯x), nên ta có

int C(¯x) + C(¯x) = int C(¯x)

Điều này và (1.1) kéo theo

g(x, z) ∈ g(¯x, ¯z) − c + int C(¯x) với mọi (x, z) ∈ U

[(ii) =⇒ (iii)] Với a ∈ Y, ta chọn (¯x, ¯z) ∈ g−1(a + int C(¯x)) và c =g(¯x, ¯z) − a Khi đó c ∈ int C(¯x) Bởi giả thiết suy ra tồn tại lân cận U của

U ⊂ g−1(g(¯x, ¯z) − c + int C(¯x))

(ii) Với mỗi (¯x, ¯z) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯x), tồn tại lân cận U của

(¯x, ¯z) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯x, ¯z) + c − int C(¯x) với mọi (x, z) ∈ U

(iii) Với mỗi x ∈ X¯ và a ∈ Y, tập g−1(a − int C(¯x)) là mở

Chứng minh [(i) =⇒ (ii)] Lấy (¯x, ¯z) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯x) Đặt

V = c − int C(¯x) Khi đó V là lân cận của θY trong Y Bởi vì g là C- usc,tồn tại một lân cận U của (¯x, ¯z) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯x, ¯z) + V − C(¯x) với mọi (x, z) ∈ U (1.2)Bởi tính lồi của C(¯x), nên ta có

int C(¯x) + C(¯x) = int C(¯x)

Điều này và (1.2) kéo theo

g(x, z) ∈ g(¯x, ¯z) + c − int C(¯x) với mọi (x, z) ∈ U

[(ii) =⇒ (iii)] Với a ∈ Y, ta chọn (¯x, ¯z) ∈ g−1(a − int C(¯x)) và c =g(¯x, ¯z) − a Khi đó −c ∈ int C(¯x) Bởi giả thiết suy ra tồn tại lân cận U

của (¯x, ¯z) sao cho

g(x, z) ∈ g(¯x, ¯z) − c − int C(¯x) với mọi (x, z) ∈ U

(i) Nếu f là C- lsc (tương ứng, C- usc, C- liên tục) thì tf là C- lsc(tương ứng, C- usc, C- liên tục) với mọi t > 0

(ii) Nếu f, g là C- lsc (tương ứng, C- usc, C- liên tục) thì f + g là Clsc (tương ứng, C- usc, C- liên tục)

-Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh cho tính C- lsc Các trường hợp cònlại chứng minh tương tự.

(i) Giả sử f là C- lsc Với mỗi t > 0, (¯x, ¯z) ∈ X × Z và c ∈ int C(¯x), tồntại lân cận mở U của (¯x, ¯z) sao cho

(a) nửa liên tục trên (viết tắt là usc) tại x¯ nếu với mỗi tập mở U chứa

F (¯x), tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (N ) ⊂ U

(b) nửa liên tục dưới (viết tắt là lsc) tại x¯ nếu với mỗi tập mở U trong

Y thỏa mãn F (¯x) ∩ U 6= ∅, tồn tại lân cận N của x¯ sao cho F (x) ∩ U 6= ∅

với mọi x ∈ N

(c) liên tục tại x¯ nếu nó là usc và lsc tại x¯.

(d) nửa liên tục trên Hausdorff (viết tắt là H- usc) tại x¯ nếu với mỗi

r > 0, tồn tại một lân cận N của x¯ sao cho F (x) ⊂ F (¯x) + B(θY, r) vớimọi x ∈ N, trong đó B(θY, r) là hình cầu mở tâm θY với bán kính r.(e) nửa liên tục dưới Hausdorff (viết tắt là H- lsc) tại x¯ nếu với mỗi

r > 0, tồn tại một lân cận N của x¯ sao cho F (¯x) ⊂ F (x) + B(θY, r) vớimọi x ∈ N

(f) liên tục Hausdorff (viết tắt H- liên tục) tại x¯ nếu nó là H- usc và

H- lsc tại x¯

Mệnh đề 1.3.7 ([8]) Giả sử X, Y là các không gian định chuẩn và ánh

xạ đa trị F : X → 2Y Khi đó

(i) Nếu F (¯x) compact thì F là usc tại x¯ khi và chỉ khi với mỗi dãy

{xn} ⊂ X hội tụ đến x¯ và yn ∈ F (xn), tồn tại dãy con {ynk} hội tụ đến

¯

y ∈ F (¯x)

(ii) F là lsc tại x¯ khi và chỉ khi với mỗi dãy {xn} ⊂ X hội tụ đến x¯ và

¯

y ∈ F (¯x), tồn tại dãy {yn} , yn ∈ F (xn) sao cho yn −→ ¯y

(iii) Nếu F là usc (tương ứng, lsc, H- usc, H- lsc) tại x¯ thì αF là usc(tương ứng, lsc, H- usc, H- lsc) tại x¯ với mọi α ∈ R.

(iv) Nếu F là usc thì F là H- usc

(v) Nếu F là usc và nhận giá trị đóng thì F là đóng, tức là đồ thị

với giá trị nón không tầm thường, nhọn, lồi và đóng Với ánh xạ mục tiêu

f : A × A × P → Y, xét bài toán tựa cân bằng véctơ với nón di động sau:

(QEP ): Tìm x ∈ K(¯¯ x) và ¯t ∈ T (¯x) sao cho

f (¯x, y, ¯t) ∈ Y \ − int C(¯x) với mọi y ∈ K(¯x)

Định nghĩa 1.4.1 Cho M, A, P, C, T và f như trong bài toán (QEP ).Với x ∈ A, ánh xạ f được gọi là tựa lõm 0- bậc đối với T (x) nếu với mỗitập con hữu hạn {y1, y2, , yn} ⊆ A và αi ≥ 0, i = 1, 2, , n thỏa mãn

x∈X0H(x)

là compact thì T

x∈AH(x) 6= ∅.Định lý 1.4.4 ([11]) Cho X là không gian véctơ tôpô Hausdorff, A là tậpcon không rỗng lồi của X và ϕ : A → 2A là ánh xạ với giá trị không rỗnglồi Hơn nữa, giả sử các điều kiện sau thỏa mãn

(i) Với mỗi x ∈ A, ϕ−1(x) là mở trong A;

(ii) Tồn tại tập con không rỗng X0 chứa trong tập con lồi, compact của

A sao cho A\S

y∈X0ϕ−1(y) là compact hoặc rỗng

Khi đó tồn tại x ∈ A¯ sao cho x ∈ ϕ(¯¯ x)

Tiếp theo chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệmcủa bài toán tựa cân bằng véctơ (QEP ) với nón di động.

Định lý 1.4.5 Giả sử tồn tại ánh xạ g : T (A) × A × A −→ Y sao cho:(i) Với mỗi x, y ∈ A, nếu g(T (x), y, x) ⊆ − int C(x) thì

Khi đó bài toán tựa cân bằng (QEP) có nghiệm

Chứng minh Với mỗi x, y ∈ A và i = 1, 2, ta đặt

Qi(y) := A\Φ−1i (y),

ở đây E := {x ∈ A : x ∈ cl K(x)} Bởi giả thiết (ii), ta suy ra x /∈ P2(x)

và y ∈ Q2(y) với mọi x, y ∈ A Ta chứng minh Q2(.) là ánh xạ KKM.Thật vậy, giả sử tồn tại tổ hợp lồi x :=ˆ Pn

j=1αjyj trong A sao cho

Khi đó x /ˆ ∈ Q2(yi) với mọi j = 1, 2 , n Điều này có nghĩa là yj ∈ ϕ2(ˆ

với mọi j = 1, 2 , n Nếu x ∈ Eˆ , thì yj ∈ P2(ˆ với mọi j = 1, 2 , n Từ

đó suy ra

g(T (ˆx), yj, ˆx) ⊆ − int C(x), với mọi j = 1, , n

Do tính tựa lõm 0- bậc của g(., , ˆx) đối với T (ˆx) nên tồn tại t ∈ T (ˆˆ x) sao

cho g(ˆt, ˆx, ˆx) ∈ − int C(ˆx) Điều này mâu thuẫn với (ii) Nếu x ∈ A\Eˆ

thì yj ∈ ϕ2(ˆx) = A ∩ K(ˆx), j = 1, , n Vì vậy x ∈ A ∩ K(ˆˆ x) Điềunày mâu thuẫn với x ∈ A\Eˆ Vậy Q2 là ánh xạ KKM Theo (i) ta có

P1(x) ⊆ P2(x) với mọi x ∈ A Từ đó suy ra ϕ1(x) ⊆ ϕ2(x) với mọi x ∈ A

Do đó, Q2(y) ⊆ Q1(y) với mọi y ∈ A Từ đó kéo theo Q1(.) là ánh xạ

Q1(y) = A\[(A\E) ∪ P1−1(y)] ∩ K−1(y)

= A\[(A\E) ∪ P1−1(y)] ∪ [A\K−1(y)]

= E ∩ (A\P1−1(y))∪ (A\K−1(y)) (1.3)

Vì A ∩ K(x) 6= ∅ với mọi x ∈ A, nên Sy∈AK−1(y) = A Mặt khác, theogiả thiết (v), ta có

A\D ⊆ [

x∈X 0

K−1(x) ⊆ A

Do đó A\S

x∈X0K−1(x) là tập con compact của D, tức là (ii) của Định

lý 1.4.4 được thỏa mãn Theo Định lý 1.4.4, K(.) có điểm bất động trong