Tính hữu hạn và tính ổn định tiệm cận của một số tập iđêan nguyên tố

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMMÃ ĐỨC NGHỊ TÍNH HỮU HẠN VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015... ĐẠI HỌC THÁI NGU

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MÃ ĐỨC NGHỊ

TÍNH HỮU HẠN

VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN

CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2015

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

MÃ ĐỨC NGHỊ

TÍNH HỮU HẠN

VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN

CỦA MỘT SỐ TẬP IĐÊAN NGUYÊN TỐ

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HOÀNG

THÁI NGUYÊN - 2015

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và cácthông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015

Người viết Luận văn

Mã Đức Nghị

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của Tiến sĩNGUYỄN VĂN HOÀNG - Giảng viên Trường Đại học Sư phạm - Đại họcThái Nguyên Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy,người đã hướng dẫn tôi cách đọc tài liệu, nghiên cứu khoa học đúng đắn,tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành nhiều thời gian, công sức hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của: ViệnToán học và Đại học Thái Nguyên những người đã tận tình giảng dạy vàkhích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập Tôi xin cảm

ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, KhoaSau đại học, Sở GD&ĐT Hà Giang, Ban Giám hiệu trường THPT ThôngNguyên, huyện Hoàng Su Phì, Hà Giang đã tạo mọi điều kiện thuận lợi,giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè,người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốtkhóa học của mình

Thái Nguyên, ngày 09 tháng 10 năm 2015

Người viết Luận văn

Mã Đức Nghị

Mục lục

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 4

1.2 Môđun Ext 5

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 7

1.4 Dãy chính quy và độ sâu của môđun 8

1.5 Vành và môđun phân bậc 11

2 Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết của một số môđun 13 2.1 Tính hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết 13

2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết 22

2.3 Tính ổn định của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương tại bậc d − 1 27

Mở đầu

Cho (R,m) là vành giao hoán Noether địa phương, I là iđêan của R, và N

là R−môđun hữu hạn sinh Năm 1992, C Huneke [15] đã đưa ra giả thuyết

”Liệu rằng các môđun HIj(N ) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết vớimọi môđun hữu hạn sinh N và mọi iđêan I?” Một số câu trả lời khẳng địnhđược đưa ra bởi Huneke-R Y Sharp, và G Lyubeznik cho các vành chính quyđịa phương đẳng đặc trưng Sau đó, A Singh [23] và M Katzman [16] đã xâydựng được các ví dụ về môđun hữu hạn sinh có một số môđun đối đồng điềuđịa phương có vô hạn các iđêan nguyên tố liên kết Bên cạnh đó, giả thuyếtnày vẫn đúng trong nhiều trường hợp, chẳng hạn: Trong trường hợp môđun N

có chiều nhỏ hơn 4, T Marley đã chỉ ra rằng AssR(HIj(N )) là tập hữu hạn vớimọi j M.Brodmann-A.Faghani chứng minh rằng AssR(HIt(N )) là tập hữu hạnnếu HIj(N ) là hữu hạn sinh với mọi j < t Tiếp đó, K Khashyarmanesh - Sh.Salarian [17] chứng minh được rằng nếu Supp HIj(N ) là tập hữu hạn với mọi

j < t thì Ass HIt(N ) là tập hữu hạn Năm 2005, L.T Nhàn [22] đã định nghĩakhái niệm dãy chính quy suy rộng, và đặc trưng được số nguyên t nhỏ nhất để

Supp HIt(N )là tập vô hạn, số t đó là độ dài của dãy chính quy suy rộng cực đạicủa N trong I và Ass(HIj(N ) là hữu hạn Gần đây N.T Cường - N.V Hoàng

đã thu được kết quả mới về tính hữu hạn cho tập các iđêan nguyên tố liên kếtcủa một số môđun đối đồng điều địa phương, cụ thể là các định lý sau:

Định lý 1 (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.1]) Cho (R,m) là vành địa phươngNoether, I là một iđêan của R và N là R-môđun hữu hạn sinh Cho k ≥ −1 làmột số nguyên và r = depthk(I, N ) Nếu r < ∞ và x1, , xr là một N-dãy từchiều > k trong I, thì với mọi số nguyên j ≤ r, tập hợp AssR(HIj(N ))≥k là hữuhạn Hơn nữa, với mọi l ≤ r ta có

Mục tiêu thứ nhất của luận văn là trình bày lại một cách chi tiết chứngminh Định lý 1 của Cường - Hoàng như đã nêu trên và trình bày chi tiết một

- Khánh [14] đã chứng minh được một số kết quả mới về tính ổn định của tậpiđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương trong một sốđiều kiện nhất định, đó là các định lý sau:

Định lý 2 (Cường - Hoàng [8, Theorem 1.2]) Cho (R,m) là vành địa phươngNoether vàI là một iđêan củaR LấyR = ⊕n≥0Rn là một đại số phân bậc chuẩnhữu hạn sinh trên R 0 = R và N = ⊕ n≥0 N n là một R-môđun phân bậc hữu hạnsinh Với mỗi số nguyên k ≥ −1, gọi r là giá trị ổn định của depthk(I, Nn) Khi

đó với mỗi số nguyên l ≤ r tập hợp S

j≤l AssR(HIj(Nn))≥k là ổn đinh với n đủlớn

Định lý 3 (Hoàng - Khánh [14]) Cho (R,m) là vành địa phương Noether,I, J

là hai iđêan của R và M làR−môđun hữu hạn sinh Cho R = ⊕n≥0Rn một đại

số phân bậc chuẩn hữu hạn sinh trên R0 = R và N = ⊕n≥0Nn là một môđunphân bậc hữu hạn sinh Lấy L n để kí hiệu cho R−môđun N n hoặc R−môđun

M/JnM Khi đó với mỗi số nguyên không âm l tập hợp S

j≥l SuppR(HIj(Ln)) là

ổn định với n đủ lớn Đặc biệt, tập hợp AssR(HId−1(Ln)) ∪ {m} là ổn định với n

đủ lớn, trong đó d là giá trị ổn định của dim Ln

Mục tiêu thứ hai của luận văn là trình bày lại chi tiết chứng minh cho Định

lý 2 và Định lý 3 nêu trên Luận văn được chia làm hai chương Chương 1dành để trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết bao gồm: iđêan nguyên

tố liên kết, môđun Ext, môđun đối đồng điều địa phương, dãy chính quy và

độ sâu của môđun, vành và môđun phân bậc Chương 2 là chương chính củaluận văn gồm ba mục tương ứng dành để chứng minh chi tiết cho các định lý:Định lý 1, Định lý 2, và Định lý 3

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Chương này nhằm giới thiệu một số kiến thức chuẩn bị phục vụ cho chứngminh các kết quả ở những chương sau Trong chương này ta luôn giả thiết R

là vành giao hoán Noether và M là R−môđun

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.1 (Iđêan nguyên tố liên kết) Một iđêan nguyên tố p của R

được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu có một phần tử 0 6= x ∈ M saocho Ann(x) =p Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là

AssR(M ) hoặc Ass(M )

Sau đây là một số tính chất của các tập iđêan nguyên tố liên kết

Mệnh đề 1.1.2 (i) Cho p∈ Spec(R) Khi đó p∈ AssR(M ) nếu và chỉ nếu M

có một môđun con đẳng cấu với R/p

(ii) Nếu p là phần tử tối đại của của tập tất cả các iđêan của R có dạng Ann(x)

(với 0 6= x ∈ M), thì p∈ AssR(M ) Vì R là vành Noether nên M 6= 0 khi và chỉkhi AssR(M ) 6= 0 Hơn nữa, tập ZD(M ) tất cả các ước của không của M là hợpcủa tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M

(iii) Cho 0 → M0→ M → M00→ 0 là dãy khớp các R−môđun Khi đó

AssRM0 ⊆ AssRM ⊆ AssRM0∪ AssRM00.

(iv) AssR(M ) ⊆ SuppR(M ) và mỗi phần tử tối thiểu của tập SuppR(M ) đềuthuộc vào tập AssR(M )

(v) Nếu M là R−môđun hữu hạn sinh thì AssR(M ) là tập hữu hạn Hơnnữa AssR(M ) ⊆ V (Ann M ) và mỗi phần tử tối thiểu của V (Ann M ) đều thuộc

AssR(M ) Vì thế pAnn(M ) là giao các iđêan nguyên tố liên kết của M

(vi) AssRp(Mp) = {qRp|q∈ AssR(M ),q⊆p}.

Định nghĩa 1.2.1 Một giải xạ ảnh của R−môđun M là một dãy khớp

→ P2 → P1 → P0→ M → 0

của các R−môđun, trong đó Pi là R−môđun xạ ảnh với mọi i

Chú ý 1.2.2 Giải xạ ảnh của một R−môđun M luôn tồn tại Thật vậy, giả

sử Y là một hệ sinh của M, gọi P0 = ⊕y∈YRy, với Ry = R là R−môđun tự dotrên Y Khi đó ta có toàn cấu ϕ : P0 → M cho bởi ϕ(ay)y∈Y = Σy∈Yayy Đặt

K1 = Ker ϕ Lấy Y1 là hệ sinh của K1 và P1 là R−môđun tự do sinh bởi Y1.Khi đó ta có một toàn cấu tự nhiên f 1 : P 1 → K 1 Đặt µ 1 = j 1 f 1, trong đó

j1: K1 ,→ P0 là phép nhúng tự nhiên từ K1 vào P0 Dễ thấy Im µ1 = Ker ϕ Đặt

K2 = Ker µ1 Bằng lập luận tương tự ta có một toàn cấu f2 : P2 → K2 sao cho

K2 là môđun tự do và Im µ2 = Ker µ1 trong đó µ2 = j2f2 với j2 : K2 ,→ P1 làphép nhúng tự nhiên Cứ tiếp tục quá trình này ta thu được một dãy khớp

Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có phức

0 → Hom(P0, N ) f

∗ 0

−→ Hom(P1, N ) f

∗ 1

−→ Hom(P2, N ) f

∗ 2

(i) Nếu M là xạ ảnh thì ExtiR(M, N ) = 0 với mọi i>1

(ii) Ext0R(M, N ) ∼ = Hom(M, N )

(iii) Nếu 0 → N0 → N → N00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấunối ExtnR(M, N00) → Extn+1R (M, N0) với mọi n>0 sao cho ta có dãy khớp dài

0 → Hom(M, N0) → Hom(M, N ) → Hom(M, N00) → Ext1R(M, N0)

→ Ext1R(M, N ) → Ext1R(M, N00) → Ext2R(M, N0) →

(iv) Nếu 0 → N0 → N → N00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấunối ExtnR(N0, M ) → Extn+1R (N00, M ) với mọi n>0 sao cho ta có dãy khớp dài

0 → Hom(N00, M ) → Hom(N, M ) → Hom(N0, M ) → Ext1r(N00, M )

→ Ext1R(N, M ) → Ext1R(N0, M ) → Ext2R(N00, M ) →

Từ Chú ý 1.2.2 và từ Định nghĩa môđun Ext ta có kết quả sau

Hệ quả 1.2.5 Nếu M, N là môđun hữu hạn sinh trên R thì ExtiR(M, N ) cũng

là hữu hạn sinh với mọi i

Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa môđun Ext và hàm tử địaphương hóa

Mệnh đề 1.2.6 Nếu S là tập đóng nhân của R thì

S−1(ExtnR(M, N )) ∼ = ExtnS−1 R (S−1M, S−1N ).

Đặc biệt, ta có (ExtnR(M, N ))p∼= Extn

R p (Mp, Np) với mọi p∈ Spec R

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương

Môđun đối đồng điều địa phương được định nghĩa bởi A Grothendieck (vàonhững năm 1960) Ngày nay chúng đã trở thành công cụ quan trọng trongHình học đại số, Đại số giao hoán Trước hết ta giới thiệu về hàm tử I−xoắn.Định nghĩa 1.3.1 (Hàm tử I−xoắn) ChoI là iđêan củaR Với mỗiR−môđun

môđun ΓI(−) được gọi là hàm tử I− xoắn

Bổ đề 1.3.2 Cho I là iđêan của R Giả sử M là môđun hữu hạn sinh trên R.Khi đó các phát biểu sau đây là đúng

(i) ΓI(M ) 6= 0 nếu và chỉ nếu I ⊆ ZD(M ), trong đó

ZD(M ) = {a ∈ R | tồn tại 0 6= m ∈ M sao cho am = 0}.

(ii) Ass(ΓI(M )) = Ass(M ) ∩ V (I) và Ass(M/ΓI(M )) = Ass(M ) \ V (I)

Định nghĩa 1.3.3 i) (Môđun nội xạ) Một R−môđun M được gọi là nội xạnếu với mọi đơn cấu f : N → N0 và mọi đồng cấu g : N → M, luôn tồn tại đồngcấu h : N0 → M sao cho g = h ◦ f

ii) (Giải nội xạ) Một giải nội xạ của R−môđun M là một dãy khớp

0 → M − → Eµ 0 f0

−→ E1 f1

−→ E2 f2

−→ · · ·

trong đó Ei là các R−môđun nội xạ với mọi i ≥ 0

Chú ý 1.3.4 Giải nội xạ của một R−môđun M luôn tồn tại

Định nghĩa 1.3.5 (Môđun đối đồng điều địa phương) Cho M là R−môđun

và I là iđêan của R Lấy giải nội xạ của M

0 → M − → Eµ 0 −→ Ef0 1−→ Ef1 2 −→ · · ·f2

Tác động hàm tử I−xoắn vào dãy khớp trên ta được phức

0 → ΓI(E0) f

∗ 0

−→ ΓI(E1) f

∗ 1

−→ ΓI(E2) f

∗ 2

(ii) Nếu M là nội xạ thì HIi(M ) = 0 với mọi i ≥ 1

(iii) Nếu 0 → M0→ M → M00→ 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồng cấunối HIn(M00) → HIn+1(M0) với mọi n ≥ 0 sao cho ta có dãy khớp dài

0 → ΓI(M0) → ΓI(M ) → ΓI(M00) → HI1(M0)

→ HI1(M ) → HI1(M00) → HI2(M0) → · · ·

Kết quả sau đây cho ta tính chất giao hoán giữa đối đồng điều địa phương

và hàm tử địa phương hóa

Mệnh đề 1.3.7 NếuS là tập đóng nhân củaR thìS−1HIn(M ) ∼ = HSn−1 I (S−1M ).Đặc biệt, (HIn(M ))p ∼= Hn

IR p (Mp) với mọi iđêan nguyên tố p của R

Hệ quả 1.3.8 Với mỗi p ∈ Spec(R), ta có p ∈ Ass H n

I (M ) nếu và chỉ nếu

pR p ∈ Ass HIRn

p (M p )

Trước hết ta giới thiệu khái niệm dãy chính quy

Định nghĩa 1.4.1 (Dãy chính quy) Cho R là vành giao hoán Noether và M

làR−môđun hữu hạn sinh khác 0 Phần tửa ∈ Rđược gọi là phần tử M −chínhquy nếu a không là ước của 0 trong M (tức là, ax 6= 0 với mọi 0 6= x ∈ M).Một dãy các phần tử a1, , an ∈ R được gọi là một M −dãy chính quy (hay

M −dãy) nếu

(1) M/(a1, , an)M 6= 0 và

(2) a i là phần tử M/(a 1 , , a i−1 )M −chính quy, với mọi i = 1, , n.

Chú ý 1.4.2 Cho M là R−môđun hữu hạn sinh

i) Dãy các phần tử (a 1 , , a n ) ∈ R được gọi là M −dãy chính quy nghèo nếu nóchỉ thỏa mãn điều kiện (2) trong định nghĩa trên

ii) Độ dài của một M −dãy là số phần tử của dãy đó Một M −dãy không cóphần tử nào gọi là M −dãy có độ dài 0

iii) a ∈ R là phần tử M −chính quy nghèo nếu và chỉ nếu a / ∈ p với mọi

p∈ AssRM

iv) a 1 , , a n ∈ R là M − dãy chính quy khi và chỉ khi M/(a 1 , , a n )M 6= 0 và

ai∈ / p với mọi p∈ AssRM/(a1, , ai−1)M với i = 1, , n

Mệnh đề 1.4.3 (xem [19, Định lý 16.1 và Bài tập 6.3]) Giả sử (R,m) là vànhgiao hoán địa phương Noether và M là môđun hữu hạn sinh trên R Khi đó,nếu a 1 , , ak ∈m là M −dãy thì

nếu không tồn tại phần tử an+1 ∈ I sao cho a1, , an, an+1 là M −dãy chínhquy

Mệnh đề 1.4.5 Cho M là R−môđun hữu hạn sinh khác 0 Lấy I là iđêan của

R sao cho M 6= IM Với mỗi số nguyên dương n cho trước, khi đó các mệnh

đề sau là tương đương:

i) Tồn tại a1, , an ∈ I là một M −dãy

ii) ExtjR(R/I, M ) = 0 với mọi j < n

Định nghĩa 1.4.6 (Độ sâu của môđun) Cho M là R−môđun hữu hạn sinhkhác 0 Lấy I là iđêan của R sao cho M 6= IM Khi đó mọi M −dãy chínhquy trong I đều có thể mở rộng thànhM −dãy chính quy tối đại trong I Các

M −dãy chính quy tối đại của M trong I đều có cùng độ dài n, đó là số thỏamãn điều kiện

ExtjR(R/I, M ) = 0, ∀j < n và ExtnR(R/I, M ) 6= 0.

Ta đặt n = depth(I, M ) và gọi là độ sâu của M trong I Nếu M = IM thì taquy ước depth(I, M ) = ∞

Trong trường hợp (R,m) là vành địa phương, thì độ sâu của M trong m là

depth(m, M ) còn được gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M

Kết quả sau đây là đặc trưng qua tính không triệt tiêu của môđun đối đồngđiều địa phương và môđun Ext

Mệnh đề 1.4.7 Giả sử I là iđêan của R và M là R−môđun hữu hạn sinh.Khi đó

depth(I, M ) = inf{i | HIi(M ) 6= 0} = inf{i | ExtiR(R/I, M ) 6= 0}.

Tiếp theo ta giới thiệu một số mở rộng của khái niệm dãy chính quy Đó

là khái niệm dãy lọc chính quy được định nghĩa bởi N.T Cường - N.V Trung

- P Schenzel [11], và khái niệm dãy chính quy suy rộng được định nghĩa bởiL.T Nhàn [22]

Định nghĩa 1.4.8 (xem [11]) Cho (R,m) là vành giao hoán địa phươngNoether và M là R−môđun hữu hạn sinh Một dãy các phần tử x1, , xr

của m được gọi là một dãy lọc chính quy của M nếu x i ∈ / p với mọi

p∈ Ass(M/(x1, , xi−1)M ) \ {m} với mọi i = 1, , r

Định nghĩa 1.4.9 (xem [22]) Cho (R,m) là vành giao hoán địa phươngNoether và M là R−môđun hữu hạn sinh Một dãy các phần tử x 1 , , x r

của m được gọi là một dãy chính quy suy rộng của M nếu xi ∈ / p với mọi

p∈ Ass(M/(x1, , xi−1)M )mà dim(R/p) > 1 với mọi i = 1, , r

Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm chiều của môđun

Chú ý 1.4.10 Ta gọi một dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂p1 ⊂ ⊂pn (trong

đó với mọi i ta có pi 6=pi+1) là một dãy các iđêan nguyên tố có độ dài là n Tanói chiều (Krull) của vành R, kí kiệu là dim R, là cận trên của các độ dài củacác dãy iđêan nguyên tố trong R KhiM làR−môđun, ta nói chiều môđun M,

kí hiệu là dim M, là cận trên của các số n sao cho có một dãy các iđêan nguyên

tố có độ dài n trong tập Supp M Trong trường hợp M là R−môđun hữu hạnsinh thì Supp M = V (AnnRM ), do đó

dim M = sup{dim(R/p) |p∈ Ass M } = dim(R/ Ann M ).

Kết quả sau đây chỉ ra rằng chiều của một môđun có thể đặc trưng thôngqua tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương.Mệnh đề 1.4.11 Cho I là iđêan của R và M 6= 0 là R−môđun hữu hạn sinh.Khi đó

(i) HIi(M ) = 0 với mọi i ≥ dim M

(ii) Nếu (R,m) là vành giao hoán địa phương Noether thì

dim M = sup{i | Hmi(M ) 6= 0}.

Định nghĩa 1.5.1 (i) Một vành phân bậc A là một vành giao hoán (A, +, )

thỏa mãn các tính chất A =Ln≥0A n (tức là, nhómA là tổng trực tiếp của họcác nhóm con An của nhóm cộng (A, +)), và AnAm ⊆ An+m với mọi n, m ∈N.

Khi đó, mỗi phần tử a ∈ An được gọi là phần tử thuần nhất bậc n Ta quy ướcphần tử 0 có bậc tùy ý

(ii) Cho A =Ln≥0A n là vành phân bậc và M là một A−môđun Ta nói M là

A−môđun phân bậc nếu thỏa mãn các điều kiện M = L

n≥0 Mn (như là cácnhóm cộng) và AnMm ⊆ Mn+m với mọi n, m ∈N Khi đó, mỗi phần tử x ∈ Mn

gọi là phần tử thuần nhất (hay phần tử phân bậc) có bậc là n Cho N là mộtmôđun con củaA−môđun phân bậcM, khi đó N được gọi là môđun con thuầnnhất (hay môđun con phân bậc) của M nếu N =L

n≥0 (Mn∩ N )

Chú ý 1.5.2 Giả sử A = n≥0An là vành phân bậc Khi đó

i) A0 là một vành con của A Thật vậy, vì hiển nhiên có (A0, +) là nhóm concủa nhóm A và A0A0⊆ A0; và ngoài ra nếu 1 = a0+ a1+ + an với ai∈ Ai thìvới mỗi i ta có

ai= 1ai= aia0+ aia1+ + aian.

Do biểu diễn duy nhất của tổng trực tiếp ta suy ra ai= aia0 Do đó

1 = a0+ a1+ + an = a0a0+ a1a0+ + ana0

= (a 0 + a 1 + + a n )a 0 = 1a 0 = a 0 ∈ A 0

ii) An là A0−môđun với mọi n ≥ 0 (vì A0An ⊆ An)

iii) Đặc biệt A có cấu trúc tự nhiên là một A0−đại số (vì có đồng cấu vành

f : A0 →L

n≥0 An = A, a0 7−→ a0+ 0 + + 0 + ) Nếu tồn tại hữu hạn phần

tử a 1 , , a n ∈ A 1 sao cho A = A 0 [a 1 , , a n ] thì ta nói A là A 0 −đại số phân bậcchuẩn hữu hạn sinh, trong trường hợp này A là ảnh đồng cấu của vành đa thức

n biến trên A0 Do đó nếu A0 là vành Noether thì theo Định lí cơ sở Hilbert,

ta suy ra vành đa thức trên A0 là vành Noether Vì thế A là vành Noether

Chương 2

Tính hữu hạn và ổn định tiệm cận của tập iđêan nguyên tố liên kết

của một số môđun

Chương này nhằm chứng minh chi tiết các kết quả chính của luận văn (cácĐịnh lý 1, 2 và 3 như đã nêu ở phần Mở đầu) Trong cả chương này, ta luôngiả thiết (R,m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duynhất là m; cho I, J là hai iđêan của R và M, N là các R−môđun hữu hạn sinh.Hơn nữa, ta giả thiết R = L

n≥0 Rn là đại số phân bậc chuẩn hữu hạn sinhtrên R0 = (R,m), và giả sửN =L

n≥0 Nn làR−môđun phân bậc hữu hạn sinh.Nội dung của chương này được viết dựa trên bài báo [8] và một phần bàibáo [14]

Với S là tập con của Spec(R) và với số nguyên k ≥ −1, ta đặt

S≥k = {p∈ S | dim(R/p) ≥ k}

và

S>k = {p∈ S | dim(R/p) > k}.

Năm 2008, M Brodmann-L.T Nhàn đã định nghĩa khái niệm N −dãy từ chiều

> k trong bài báo [4] như sau

Định nghĩa 2.1.1 (xem [4]) Cho số nguyên k ≥ −1 Một dãy các phần

tử x1, , xr ∈ m được gọi là một N −dãy từ chiều > k nếu xi ∈ / p với mọi

p∈ AssR(N/(x1, , xi−1)N )>k với mọi i = 1, , r

Chú ý 2.1.2 Trong [4], họ cũng chứng minh rằng mọi N-dãy từ chiều > kcựcđại trong I đều có cùng độ dài Độ dài chung đó được kí hiệu là depthk(I, N )

(khi dim(N/IN ) ≤ k thì quy ước depthk(I, N ) = ∞) Theo [4, Lemma 2.4] ta có

depthk(I, N ) = inf{i | dim Supp(HIi(N )) > k}.

Chú ý rằngdepth−1(I, N )chính là độ sâudepth(I, N )củaN trongI;depth0(I, N )

chính là độ sâu lọc f-depth(I, N ) định nghĩa bởi R L¨ u - Z Tang [18] và

depth1(I, N ) chính là độ sâu suy rộng gdepth(I, N ) định nghĩa bởi L.T Nhàn[22]

Kết quả chính thứ nhất của luận văn này là định lý sau của Cường-Hoàngtrong [8, Theorem 1.1]

Định lý 2.1.3 (Định lý 1) Cho (R,m) là vành Noether địa phương, I làiđêan của R và N là R−môđun hữu hạn sinh Cho số nguyên k ≥ −1 và

r = depthk(I, N ) Nếu r < ∞ và x1, , xr là một N-dãy từ chiều > k trongiđêan I, thì với mọi số nguyên j ≤ r ta có tập AssR(HIj(N ))≥k là hữu hạn Hơnnữa, ta có đẳng thức

Np−dãy chính quy với mọi p∈ (Supp N )>k mà p ⊇ (x1, , xr)

ii) Nếu x1, , xr là một N-dãy từ chiều > k, thì xn1

1 , , xnr

r cũng là N-dãy từchiều > k với mọi n1, , nr ∈Z+

Thực vậy, ta chỉ cần chứng minh xν1, , xr cũng là N-dãy từ chiều > k vớimọi ν ∈ Z+ Ta tiến hành quy nạp theo ν Giả sử ν > 1 và xν−11 , x2, , xn là

N-dãy từ chiều > k Vìx1 làN-dãy từ chiều > k, nên rõ ràng xν1 cũng vậy Lấy

i > 1, giả sử tồn tại p∈ Ass(N/(xν1, , x i−1 )N )>k sao chox i ∈p Khi đó ta cũng

có p∈ (Supp N )>k và p⊇ (x1, , xi) Suy rax1/1, , xi/1làNp−dãy chính quy(theo giả thiết và theo ý trên của chú ý này) và pRp ∈ AssRp(N/(xν1, , xi−1)N )p

Từ đó theo Mệnh đề 1.4.3 ta suy ra xν1/1, , xi/1 cũng là Np−dãy chính quy

Do đó xi/1 / ∈ pR p, điều này mâu thuẫn với xi ∈ p Vậy xν1, x2, , xn là N-dãy

từ chiều > k với mọi ν ∈Z+

Bổ đề 2.1.5 ([9, Lemma 2.3]) Cho số nguyên k ≥ −1 Khi đó

depthk(I, N ) = inf{depthk−i(I p , N p ) |p∈ SuppR(N/IN )≥i}

với mọi 0 ≤ i ≤ k + 1, ở đây để tiện lợi ta quy ước inf(∅) = ∞

Tiếp theo ta nhắc lại một số kiến thức về lớp môđun đối đồng điều địaphương suy rộng được định nghĩa bởi J Herzog năm 1970 trong [13]

Định nghĩa 2.1.6 (xem [13]) Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng thứ

j của hai môđun M và N đối với giá là iđêan I, kí hiệu là HIj(M, N ), xác địnhbởi công thức

Sau đây là một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

Bổ đề 2.1.7 (xem [1, Proposition 5.5]) Đẳng thức sau là đúng

depth(IM, N ) = inf{i | HIi(M, N ) 6= 0},

trong đó IM = AnnR(M/IM ) là iđêan linh hóa tử của R−môđun M/IM

Bổ đề 2.1.8 (xem [6, Theorem 2.4]) Đặt r = depth(IM, N ) Giả sử r < ∞ và

x1, , xr là một N −dãy chính quy trong iđêan IM Khi đó

AssR HIr(M, N )
= AssR N/(x1, , xr)N
∩ V (IM).