Lý thuyết ổn định và ứng dụng

Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phépđánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chấtlượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu lo

đề ổn định của chuyển động không có nhiễu về vấn đề ổn định của vị trí cânbằng Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phépđánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chấtlượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu loạn tác dụng thường xuyên.

Ngoài ra hàm Liapunov cho phép giải quyết vấn đề: ổn định “trongtoàn cục” tức là đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian không vượt rangoài giới hạn của một miền cho trước

Chính vì những lý do trên, tôi chọn đề tài “lý thuyết ổn định và ứngdụng” với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng và sâu rộng hơn về lýthuyết ổn định, đặc biệt là vận dụng hàm liapunov trong các hệ phương trìnhtuyến tính và hệ phi tuyến có dạng đặc biệt

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệphương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, các định lý về ổn định vàkhông ổn định của liapunov

- Đánh giá sự ổn định nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính

1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov (tức

ổn định với những nhiễu ban đầu) Đánh giá nghiệm các hệ phương trìnhtuyến tính

5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp định tính đánh giá hệ phương trình vi phân

6 Những đóng góp của luận văn

Vận dụng hàm liapunov xét sự ổn định của các hệ phương trình tuyếntính

CHƯƠNG 1MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 Không gian véctơ

1.1.1 Định nghĩa không gian

Phép toán trong, kí hiệu:

x, y, z, giả sử trên V có 2 phép toán:

  với mọi α ,

Khi đó V (cùng với 2 phép toán xác định như trên) gọi là một không gian véctơ trên trường K , hay K - không gian véctơ, hay vắn tắt là không

gian véctơ

Khi K = □ , V được gọi là không gian véctơ

thực Khi K = □ , V được gọi là không gian

véctơ phức

Các phần tử của V gọi là các véctơ, các phần tử của K gọi là vô

hướng

Phép toán “+” gọi là phép cộng véctơ, phép toán “ ” gọi là phép nhân

véctơ với vô hướng

Để cho gọn dấu “ ” nhiều khi lược bỏ, thay x.α ta viết xα

Bốn tiên đề đầu tiên chứng tỏ V là một nhóm giao hoán đối với phép

cộng véctơ Các tiên đề 5, 6 và 7 theo thứ tự nói lên rằng phép nhân véctơ với

vô hướng có tính chất phân phối đối với phép cộng vô hướng, phân phối đốivới phép cộng véctơ và có tính chất kết hợp

1.1.2 Ví dụ về không gian véctơ

a) Tập hợp các véctơ (“tự do”) trong không gian □ , □ 2

, □ 3

với các phép toáncộng và nhân véctơ với một số thực là một không gian véctơ thực

b) Tập K [x]các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường K với phép cộng đa thức và nhân đa thức với một phần tử thuộc trường K là một K -

không gian véctơ

c) Tập số phức □ với phép cộng số phức và nhân số phức là một □ - khônggian véctơ Trong khi đó □ cùng với phép cộng số phức và nhân số phứcvới một số thực là □ - không gian véctơ

d) Tập □ các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu tỷ là một

□ - không gian véctơ

e) Trong nhóm cộng các ma trận cỡ (m × n)

phép nhân với vô hướng sau, với:

trên trường K ta đưa vào

là dạng song tuyến tính đối xứng trên □ - không gian véctơ V

Ánh xạ (tức hàm số)

α  H (α ) = η(α,α)

gọi là dạng toàn phương trên V ứng với dạng song tuyến tính đối xứng η

Chú ý: Nếu cho trước dạng toàn phương H trên □ - không gian

véctơ V thì dạng song tuyến tính đối xứng η trên V nhận H làm

dạng toàn phương tương ứng là hoàn toàn xác định:

→

1.2.3 Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương

Nếu trong □ - không gian véctơ V có cơ sở (µ , µ , , µ ), trong đó

1.3.1 Định nghĩa phương trình vi phân cấp một

Phương trình vi phân cấp một có dạng tổng quát :

2 2trực tiếp hàm

+ c)

với mỗi hằng số c cố định cũng là nghiệm của

phương trình (1.3) trên khoảng xác định tương ứng

1.3.2 Định nghĩa phương trình vi phân cấp cao

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:

F (x, y, y′, , y ( n )

Hàm F xác định trong một miền G nào đấy của không gian n+ 2

Trong phương trình (1.4) có thể vắng mặt một số trong các biến:

1.3.3 Định nghĩa phương trình vi phân tuyến tính cấp n

Phương trình vi phân tuyến tính cấp n có dạng tổng quát là:

a0 (x) y

( n ) + a (x)

y ( n− 1)

+ + a n (x) y = g(x) (1.6)

Như vậy ở đây hàm F trong định nghĩa dạng tổng quát của phương

trình vi phân cấp cao phụ thuộc một cách tuyến tính theo

;

f (x)

là những hàm số liên tục trên khoảng (a,b)

Nếu trong phương trình (1.7) hàm f (x)

Hệ n phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương trình

sau:

(x)) ∈ G và khi thay chúng vào hệ (1.9) thì ta được n

đồng nhất thức theo x trên (a,b)

Bây giờ ta coi ( y1, y2 , , y n

chứa trong không gian pha Không gian n

là véctơ vận tốc của điểm đó Tại mỗi điểm M của không gian pha véctơ vận

tốc thay đổi theo thời gian nên ta nói hệ (1.10) xác định một trường vận tốc

không dừng Nếu kí hiệu X là véctơ (x1 , x2 , , x n ) , F là véctơ ( F1 , F2 , ,

F n )thì hệ (1.10) được viết dưới dạng dX

Đối với hệ (1.11) véctơ vận tốc tại mỗi điểm M không thay đổi theo

thời gian Ta nói rằng hệ (1.11) xác định một trường vận tốc dừng và gọi nó là

hệ ô- tô-nôm hay hệ dừng

1.5 Tiêu chuẩn Hurwitz

1.5.1 Một số khái niệm cần thiết Xét

đa thức:

n 1 2

n

n 1 2

f (z) = a0 + a1.z

+ + a n z (với n ≥ 1) (1.12)Trong đó

Định lí Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn (1.15) là đa thứcHurwitz là tất cả các định thức chéo chính của ma trận Hurwitz của nó đềudương, tức là:

CHƯƠNG 2PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ LIAPUNOV

2.1 Định nghĩa ổn định theo nghĩa

liapunov Ta xét hệ phương trình vi

phân:

dy

= Y ( y,t) dt

< ε với t qua ≥ t o Ở đây

y(t) ta đã kí hiệu một nghiệm bất kỳ khác của hệ (2.1), xác định bởi điều kiện

ban đầu y(t0 ) Chuyển

động

(t)

gọi là ổn định tiệm cận theo nghĩa

Liapunov nếu nó ổn định theo nghĩa Liapunov và nếu có tồn tại một số dương

h sao cho khi y(t0 )

Nếu như nghiệm y(t) tiến tới f (t) khi t → ∞

đều đối với t o

điều kiện ban đầu Nếu như hệ (2.1) là ô-tô-nôm tức vế phải không phụ thuộc

vào t thì sự ổn định tiệm cận sẽ luôn luôn đều đối với điều kiện ban đầu đã

nói rằng chuyển động y = f

(t)

ổn định tiệm cận với bất kỳ điều kiện ban đầu

cho trước( hay là ổn định tiệm cận trong toàn cục).

Trong hệ (2.1) thực hiện phép biến đổi x = y −

của hệ (2.3) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối

với số dương ε bất kỳ luôn luôn có thể chỉ ra số dương σ sao cho từ bất

đẳng thức

x(t0 < σ

suy ra

x(t)

< ε với t nghiệm> t0 Còn nếu như mọi

thỏa

liên tục trong một miền D nào đó, chứa gốc tọa độ Ta cũng

giả v(x1 , x2 …., xn ) có trong miền D các đạo hàm

riêng liên tục

Hàm số v(x1 , x2

…., xn

)

gọi là xác định dương trong miền D nếu như

trong miền D trừ điểm O

thì hàm v gọi là xác định âm trong cả hai trường hợp

đó hàm số đều được gọi là có dấu xác định.

Nếu như khắp nơi trong miền D ta có bất đẳng thức v

≥

0

hoặc v ≤

0

thì hàm số v được gọi là có dấu không đổi , hơn nữa trong trường hợp đầu

tiên hàm v còn gọi là có dấu dương và trường hợp thứ hai gọi là hàm có dấu

âm.

Nếu hàm số v lấy giá trị trong miền D , lúc thì dấu dương, lúc thì dấu

âm thì khi ấy v gọi là hàm đổi dấu Chẳng hạn hàm v

Thông thường chúng ta chỉ sử dụng tới các dạng toàn phương của các

x1 , x2 ,…, xn Rõ ràng, một dạng toàn phương bất kỳ đều có

thể viết dướidạng:

Định lí đảo cũng đúng tức là điều kiện ∆k >0 là điều kiện cần và đủ để dạng

v xác định dương Từ tiêu chuẩn Sylvester dễ dàng đưa ra điều kiện cần và

đủ để dạng v xác định âm Điều kiện này được viết dưới dạng bất đẳng

2.3 Định lý về sự ổn định và không ổn định của Liapunov

thỏa mãn, khi đó điểm O sẽ là điểm kỳ dị của hệ (2.4) hay nói cách khác là vị

trí cân bằng của hệ này Ta giả sử rằng vế phải của hệ (2.4) trong trường hợp

đang xét không phụ thuộc vào t , tức ta xem hệ là ô-tô-nôm.

Định lí 2.3.1 (Định lý Liapunov về sự ổn định):

Nếu đối với hệ (2.4) có tồn tại trong miền D một hàm xác định dấu v , đạo hàm của nó theo thời gian v , lấy theo hệ (2.4) là một hàm có dấu không đổi, trái dấu với hàm v thì vị trí cân bằng ổn định theo nghĩa Liapunov.

Chứng minh:

Ta sẽ kí hiệu qua Jε phần trong của hình cầu tâm O bán kính ε và qua

Sε mặt biên của hình cầu này

Để xác định ta giả sử v là hàm xác định dương Giả sử rằng ε

được chọn sao cho Jε nằm trong miền D và giả sử l là giá trị cực tiểu của hàm v trên mặt cầu Sε Ta hãy chọn số dương σ , sao cho tại những điểmcủa hình

cầu Jσ bất đẳng thức v

< l

được thỏa mãn và giả sử p là một điểm tùy ý của

Jσ Xét quỹ

Sε tại điểm q nào đó bởi vì:

f ( p,t) , khi thời gian tăng lên,

không thể vượt ra ngoài giới hạn của mặt cầu Sε

Bây giờ ta có thể chứng tỏ rằng có thể sử dụng lược đồ chứng minh

của định lý để đánh giá miền nhiễu loạn thừa nhận được Một miền E nào đó được gọi là miền nhiễu loạn thừa nhận được của miền G đã cho,

nếu như tất cả các quỹ đạo xuất phát từ các điểm của nó, không vượt ra

khỏi giới hạn của miền G Rõ ràng, trong trường hợp đã cho, miền Jσ sẽ

là miền nhiễu loạn thừa nhận được đối với miền Jε Vậy thì để xác định

miền nhiễu loạn thừa nhận được cần phải tìm cực tiểu l của hàm v trên biên của miền G và để lấy làm miền E ta sẽ chọn miền, trong đó thỏa mãn

v < l

Định lí 2.3.2 (Định lí Liapunov về sự ổn định tiệm cận):

Nếu đối với hệ phương trình vi phân (2.4) có tồn tại một hàm xác định

dấu v , đạo hàm toàn phần của nó theo thời gian, lấy theo hệ (2.4), cũng sẽ là hàm xác định dấu, trái dấu với v thì vị trí cân bằng sẽ ổn định tiệm cận.

Từ định lí 2.3.1 ta suy ra rằng vị trí cân bằng sẽ ổn định nên có tồn tại

số r > 0 sao cho: nếu điểm p nằm

Giả sử điểm p nằm trong Jε Giả thiết rằng

Nếu như tăng t lên vô hạn thì vế phải của bất đẳng thức (2.5) trở nên

âm, điều đó dẫn chúng ta đến mâu thuẫn vì vế trái của bất đẳng thức này làgiá trị của hàm số Liapunov nên không thể âm Vậy để tránh mâu thuẫn ta

phải giả thiết rằng tại một thời điểm nào đó, điểm f (

p,t) sẽ rơi vào trong

hình cầu Jσ ; nhưng số σ đã được chọn sao cho sau khi rơi vào trong

Jσ ,

điểm f (

p,t) không thể nào vượt ra khỏi Jε Bởi vì ε là một số có thể chọn

bé bao nhiêu cũng được nên từ đó ta suy ra rằng lim f ( p,t) = 0

t→∞

Vậy định lí được chứng minh

2.3.2 Định lí về sự không ổn định của Liapunov

Định lí 2.3.3: Nếu có tồn tại một hàm số v , đạo hàm của nó theo thời

gian là một hàm xác định dấu và sao cho trong một lân cận bất kỳ của điểm 0,

v không phải là một hàm không đổi dấu và trái dấu với v thì nghiệm không

của hệ (2.4) không ổn định

Chứng minh:

Giả sử trong hình cầu Jε các điều kiện của định lí được thỏa mãn Để

xác định ta giả sử rằng v là hàm xác định dương, xét trong lân cận khá bé

Jσ của điểm 0 Ta hãy chứng tỏ rằng có tồn tại một điểm p , quỹ đạo của

nó khi

t > 0 sẽ vượt ra ngoài giới hạn của Jε Theo điều kiện của định lí trong

Jσ có một điểm p sao cho v( p) = v0 > 0 Do tính liên tục của hàm v

v( f ( p,t)) tăng khi t tăng và vì vậy

Ta giả sử rằng điểm f (

p,t) không vượt ra khỏi Jε Bởi vì trong miền

sẽ tăng không giới nội nhưng

mặt khác, hàm v liên tục nên nó lại phải giới nội trong lớp cầu

thuẫn đó suy ra định lý được chứng minh

Jε \ Jη Mẫu

Định lí 2.3.4: Nếu có tồn tại một hàm số v sao cho đạo hàm của nó

theo thời gian có dạng:

dv

= λv + ω

Trong đó λ là một hằng số dương còn ω hoặc là đồng nhất

bằng không hoặc là không đổi dấu và nếu như trong trường hợp sau, v

không phải là một hàm không đổi dấu và trái dấu với ω , trong một lâncận bất kỳ của điểm 0 thì nghiệm không của hệ (2.4) không ổn định

Để xác định ta giả sử ω ≥ 0 , trong một lân cận tùy ý bé Jσ ta chọn điểm

khi t tăng sẽ vượt ra

khỏi giới hạn của một lân cận Jε bất kỳ, trong đó những điều kiện của định lýđược thỏa mãn Bằng cách xem các hàm

v( f (

p,t))

như những

hàm của thời gian, từ phương trình vi phân (2.7) ta có thể xác định v( f ( p,t))

theo công thức cauchy đã biết:

> 0 nên khi t tăng, hàm v( f ( p,t)) tăng không giới nội và điều

này có nghĩa là điểm f (

p,t) vượt ra khỏi miền Jε .

Định nghĩa : Nghiệm không của hệ (2.8) gọi là ổn định trong toàn cục

(hay là ổn định với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu) nếu nó ổn định theo nghĩa

Liapunov và nếu mọi nghiệm

y = 0 và x → ∞ , hàm v không tiến tới vô cùng.

Mặt mức của một hàm vô cùng lớn là mặt giới nội

Thật vậy, ta hãy xét một mặt mức v

có thể chỉ ra hình cầu bán kính R mà ở bên ngoài nó ta sẽ có v >

mặt v

= c sẽ nằm bên trong hình cầu này.

Định lí 2.4.1 (Về sự ổn định tiệm cận trong toàn cục):

Nếu có tồn tại một hàm v vô cùng lớn, xác định dương, có đạo hàm

xác định âm trong toàn bộ không gian thì nghiệm không của hệ ổn định tiệmcận với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu

Định lý này có định lý đảo và một trường hợp riêng của định lý tổngquát hơn dưới đây

Định lí 2.4.2: Giả sử có tồn tại một hàm v xác định dương, vô cùng

Chứng minh định lí:

Giả sử p là một điểm tùy ý của không gian pha Từ điểm p xuất phát

nửa quỹ đạo

f ( p,t) (t > 0) Theo điều kiện của

trùng với gốc tọa độ và chúng ta có lim x(t) = 0 Bởi

Bây giờ chú ý rằng nếu tập M chứa những quỹ đạo nguyên vẹn thì từ

chứng minh của định lý ta suy rằng tất cả các quỹ đạo của hệ (2.8) đều co về

một tập hợp nào đó nằm trong M Tập hợp này là bất biến tức là lập nên từ

những quỹ đạo nguyên vẹn

0

0

Định lí 2.4.3: (Về sự ổn định trong toàn cục của nghiệm không của hệ

tuyến tính): Nếu như nghiệm không của hệ tuyến tính ổn định tiệm cận theonghĩa Liapunov thì nó ổn định trong toàn cục

Thật vậy, nghiệm không sẽ ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunov chỉ khi tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm Đối với bất kỳ dạng toàn phương xác định âm ω đều có thể chỉ ra một dạng xác

định dương v

sao cho ta có v = ω Vì dạng v là một vô cùng lớn nên ta có thể áp

dụng định lý

2.4.1

2.5 Bài toán Aizerman

Cùng với phương trình tuyến tính cấp hai:

> 0 thì nghiệm không của phương trình ổn định tiệm

cận trong toàn cục Điều kiện b

> 0

có thể giải thích như điều kiện phân bố

đường thẳng y =

bx vào trong góc vuông thứ nhất và thứ ba của mặt mặt

phẳng tọa độ Vậy thì nảy ra một vấn đề như sau: nếu như đồ thị của hàm đơntrị

đường thẳng

bằng

0không chứa những quỹ đạo nguyên vẹn trừ ra vị trí cân

Vậy thì để áp dụng định lý 2.4.2 chỉ cần phải làm cho hàm v là một vô

cùng lớn Muốn thế chỉ cần hoàn thành điều kiện:

Giả sử ta đã biết rằng nghiệm không của hệ (2.11) ổn định tiệm cận đối

với mọi b thỏa mãn điều kiện:

α < b < β

1

Nghiệm không của hệ (2.12) có ổn định trong toàn cục hay không, nếuthỏa mãn điều kiện: