Lý thuyết ổn định và ứng dụng

Ngoài ra hàm Liapunov cho phép giải quyết vấn đề: ổn định “trong toàn cục” tức là đánh giá miền nhiễu ban đầu, theo thời gian không vượt ra ngoài giới hạn của một miền cho trước.. Chính

MỞ ĐẦU  

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết ổn định là một lý thuyết toán học có rất nhiều ứng dụng trong khoa học, đặc biệt về kỹ thuật cơ học. Đã có nhiều nhà Toán học nghiên cứu 

lý thuyết ổn định, tuy nhiên vẫn chỉ bó hẹp trong việc giải quyết bài toán xác định sự ổn định cũng như không ổn định. A.M.Liapunov đã thiết lập hàng loạt điều  kiện  đủ  tổng  quát  cho  sự  ổn  định  và  không  ổn  định  của  chuyển  động không có nhiễu, mô tả bởi hệ phương trình vi phân thông thường. Để đưa vấn 

đề ổn định của chuyển động không có nhiễu về vấn đề ổn định của vị trí cân bằng. Vận dụng hàm Liapunov đối với những hệ thống điều chỉnh cho phép đánh giá: Sự thay đổi của các đại lượng điều chỉnh, thời gian điều chỉnh,chất lượng điều chỉnh ảnh hưởng của những nhiễu loạn tác dụng thường xuyên. 

Ngoài  ra  hàm  Liapunov  cho  phép  giải  quyết  vấn  đề:  ổn  định  “trong toàn cục” tức là đánh  giá  miền  nhiễu  ban đầu, theo  thời  gian không vượt ra ngoài giới hạn của một miền cho trước. 

Chính  vì  những  lý  do  trên,  tôi  chọn  đề  tài  “lý  thuyết  ổn  định  và  ứng dụng” với mong muốn được tìm hiểu một cách rõ ràng và sâu rộng hơn về lý thuyết ổn định, đặc biệt là vận dụng hàm liapunov trong các hệ phương trình tuyến tính và hệ phi tuyến có dạng đặc biệt. 

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết ổn định theo nghĩa liapunov và ứng dụng vào hệ phương trình tuyến tính, hệ phi tuyến có dạng đặc biệt.  

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Trình bày định nghĩa ổn định theo nghĩa liapunov, các định lý về ổn định và không ổn định của liapunov. 

- Đánh giá sự ổn định nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. 

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 

1.1 Không gian véctơ 

1.1.1 Định nghĩa không gian véctơ

2) Có  0 V

 sao cho  0  0 

 3) ' V

 sao cho  '  '0

 kí hiệu  ,

  

 4) 

 5)  (x y).x. y.

 6)   (x )x.x.

 7)  ( )x y ( ).x y 

 8) 1. 

 trong đó 1 là phần tử đơn vị của trường  K  

Khi đó  V  (cùng với 2 phép toán xác định như trên) gọi là một không  gian  véctơ  trên  trường  K ,  hay  K -  không  gian  véctơ,  hay  vắn  tắt  là  không 

1.1.2 Ví dụ về không gian véctơ

a) Tập hợp các véctơ (“tự do”) trong không gian  2 3

, ,  với các phép toán cộng và nhân véctơ với một số thực là một không gian véctơ thực. 

b) Tập K x các đa thức (một biến) với hệ số thuộc trường  K  với phép  

cộng  đa  thức  và  nhân  đa  thức  với  một  phần  tử  thuộc  trường  K   là  một  K - 

không gian véctơ. 

c) Tập số phức   với phép cộng số phức và nhân số phức là một  - không gian  véctơ.  Trong  khi đó    cùng  với  phép  cộng  số phức  và  nhân số phức với một số thực là  - không gian véctơ. 

d) Tập   các số thực với phép cộng số thực và nhân số thực với số hữu 

tỷ là một  - không gian véctơ. 

e) Trong nhóm cộng các ma trận cỡ  (m n ) trên trường  K  ta đưa vào 

phép nhân với vô hướng sau, với: 

Chú ý: Nếu cho trước dạng toàn phương  H  trên  - không gian véctơ 

1.2.3 Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương

Nếu trong  - không gian véctơ V  có cơ sở ( ,  1 2, ,n),

 trong đó  ( ,i j) 0

n

i i i i

1.4 Hệ phương trình vi phân 

1.4.1 Định nghĩa

Hệ  n  phương trình vi phân cấp một dạng chuẩn tắc là hệ phương trình 

sau: 

gian n   chiều1 n1

. 

Hệ  n   hàm  khả  vi  y11( );x y2 2( ); ;x y n n( )x   xác  định  trên khoảng  ( , )a b   được  gọi  là  nghiệm  của  hệ  (1.9)  nếu  với  mọi  x( , )a b   điểm 

Ta coi  t  là biến độc lập,  x x1, 2, ,x  là tọa độ của một điểm trong không  n

gian pha  n

. Khi đó hệ phương trình vi phân cấp một: 

1.5 Tiêu chuẩn Hurwitz

1.5.1 Một số khái niệm cần thiết

   Xét đa thức:  

    ( ) 0 1 n

n

f z a a z a z  (với n  ) 1         (1.12)  Trong  đó zxi y   là  số phức  và a a0, , 1 a   có  thể  là các  hệ  số  thực  hoặc  n

phức. 

tất cả các nghiệm (không điểm) z z1, , 2 z  của nó đều có các phần thực âm:   n

    R Z e j 0j 1, 2, ,n           (1.13) tức là tất cả các nghiệm z  đều nằm ở nửa mặt phẳng phức bên trái. Sau đây  j

chúng ta giả thiết rằng các hệ số a a0, , 1 a  của đa thức (1.12)  ( ) n f z  là thực 

và : 

      a0 0;a n    0            (1.14) 

Một đa thức như vậy rõ ràng không có nghiệm không và để ngắn gọn ta gọi đa thức đó là đa thức bậc chuẩn bậc   (n n 1). 

  Định lí Hurwitz: Điều kiện cần và đủ để đa thức chuẩn (1.15) là đa thức Hurwitz  là  tất  cả  các  định thức  chéo chính  của  ma  trận  Hurwitz  của nó  đều dương, tức là: 

1 1

1 0 2

3 2

1

00

  Ta  lấy  ra  một  chuyển  động  y f t( )  nào  đó  của hệ (2.1)  và  gọi nó  là 

chuyển động không có nhiễu loạn. 

  Chuyển động y f t( ) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối với 

mọi      có  thể  chỉ  ra  được 0     sao  cho  từ  bất  đẳng  thức 0

điều kiện ban đầu. Nếu như hệ (2.1) là ô-tô-nôm tức vế phải không phụ thuộc 

vào  t  thì sự ổn định tiệm cận sẽ luôn luôn đều đối với điều kiện ban đầu đã 

cho. 

Nếu  chuyển  động  y f t( )ổn  định  theo  liapunov  và  hệ  thức  (2.2)  đúng  đối với nghiệm  ( )y t được xác định bởi điều kiện ban đầu cho trước bất kỳ thì ta 

nói rằng chuyển động y f t( ) ổn định tiệm cận với bất kỳ điều kiện ban đầu

cho trước( hay là ổn định tiệm cận trong toàn cục). 

Trong  hệ  (2.1)  thực  hiện  phép  biến  đổi  x  y   ( ) f t   hệ  mới  sẽ  có dạng: 

thành bài toán ổn định của nghiệm không x  của hệ (2.3). 0

  Nghiệm x 0 của hệ (2.3) gọi là ổn định theo nghĩa liapunov nếu đối 

với  số  dương   bất  kỳ  luôn  luôn  có  thể  chỉ  ra  số  dương    sao  cho  từ   bất đẳng  thức  x t(0    suy  ra  x t( )    với  t   Còn  nếu  như  mọi  nghiệm t0

  Hàm số v x , x 1 2., xn gọi là xác định dương trong miền D  nếu như  trong miền  D  trừ điểm  O0, ,0 ta có bất đẳng thức v   Còn nếu như 0

có bất đẳng thức v   thì hàm  v  gọi là xác định âm trong cả hai trường hợp 0

đó hàm số đều được gọi là có dấu xác định

Nếu như khắp nơi trong miền  D  ta có bất đẳng thức  v   hoặc 0 v   0

thì  hàm số  v  được gọi là  có dấu không đổi , hơn nữa trong trường hợp đầu  tiên hàm  v  còn gọi là có dấu dương và trường hợp thứ hai gọi là hàm có dấu

âm. 

       Nếu hàm số  v  lấy giá trị trong miền  D , lúc thì dấu dương, lúc thì dấu 

âm  thì  khi  ấy  v   gọi  là  hàm  đổi dấu.  Chẳng  hạn  hàm  2 2 2

 x x –  x

v     sẽ  là hàm đổi dấu trong không gian các biến x x x  còn hàm số 1, 2, 3 2 2 2

, 1

11 1

1

k k

Vế  phải X x ,i 1 ., xncủa  nó  liên tục  và  thỏa  mãn  điều  kiện  lipschitz 

trong  một  miền  D   nào đó  của không gian pha, bao gồm  điểm  O0,0,,0 

cùng với  một lân  cận nào đó của nó.  Giả sử điều kiện X 0,i .,0  được 0

  Chứng minh: 

Ta sẽ kí hiệu qua  J  phần trong của hình cầu tâm O  bán kính  và qua 

S mặt biên của hình cầu này. 

  Để  xác  định  ta  giả  sử  v   là  hàm  xác  định  dương.  Giả  sử  rằng   được 

chọn sao cho  J nằm trong miền  D  và giả sử  l  là giá trị cực tiểu của hàm  v   trên mặt  cầu  S. Ta hãy chọn số dương , sao cho tại những điểm của hình 

cầu  J bất đẳng thức  vl được thỏa mãn và giả sử  p  là một điểm tùy ý của 

J. Xét quỹ đạo    ( , )f p t , xuất phát từ điểm  p  và giả sử rằng nó cắt hình cầu 

nên  hàm  v   không  tăng  dọc  theo  quỹ  đạo  và  vì  vậy  có  ( ) v q v q( )   Mặt l

khác vì  l  là cực tiểu của hàm  v  trên  S nên nhất thiết phải có   ( ) 1v q   Mâu thuẫn  vừa  nhận  được  chứng  tỏ  rằng  điểm  f p t ,  khi  thời  gian  tăng  lên, ( , )

thừa  nhận được đối với  miền  J   Vậy  thì  để  xác định  miền nhiễu  loạn  thừa nhận được cần phải tìm cực tiểu l  của hàm  v  trên biên của miền  G  và để lấy 

làm miền  E  ta sẽ chọn miền, trong đó thỏa mãn  v  l

  Nếu đối với hệ phương trình vi phân (2.4) có tồn tại một hàm xác định 

dấu  v , đạo hàm toàn phần của nó theo thời gian, lấy theo hệ (2.4), cũng sẽ là  hàm xác định dấu, trái dấu với  v  thì vị trí cân bằng sẽ ổn định tiệm cận. 

  Chứng minh: 

Để xác định ta giả sử  v  là hàm xác định dương, giả sử  R  là một số sao 

  Từ định lí 2.3.1 ta suy ra rằng vị trí cân bằng sẽ ổn định nên có tồn tại 

ra ngoài hình cầu J  Giả sử  R  là một số dương đủ bé, theo định lí 2.3.1 ta lại 

có thể chỉ ra số    sao cho từ 0 pJ ta sẽ suy ra  f p t( , ) J với t   0

Giả sử điểm  p  nằm trong  J. Giả thiết rằng điểm  ( , )f p t  với  t   không thể 0

rơi  vào  trong  hình  cầu  J.  Khi  đó  nửa  quỹ  đạo  f p t ,  với ( , ) t    sẽ  nằm 0trong lớp cầu J R \J. Bởi vì trong lớp cầu này ta luôn có v  0 nên có tồn tại một hằng số m   sao cho ta sẽ có  v0  m tại tất cả các điểm của lớp cầu đã nói. Từ đẳng thức: 

0( ( , )) ( )

hình  cầu  J;  nhưng  số   đã  được  chọn  sao  cho  sau  khi  rơi  vào  trong  J, 

điểm  ( , )f p t  không thể nào vượt ra khỏi  J  Bởi vì  là một số có thể chọn 

một điểm  p  sao cho  v p( )v0   Do tính liên tục của hàm  v , có tồn tại một 0

số  sao cho trong  J ta sẽ có  v v0. Bởi vì v  là hàm xác định dương nên 

( ( , ))

Ta giả sử rằng điểm  ( , )f p t  không vượt ra khỏi  J. Bởi vì trong miền 

theo thời gian có dạng: 

      dv v

dt          (2.7) Trong  đó   là  một  hằng  số  dương  còn   hoặc  là  đồng  nhất  bằng 

không hoặc là không đổi dấu và nếu như trong trường hợp sau,  v  không phải 

là  một  hàm  không  đổi  dấu  và  trái  dấu  với ,  trong  một  lân  cận  bất  kỳ  của điểm 0 thì nghiệm không của hệ (2.4) không ổn định. 

  Để xác định ta giả sử 0, trong một lân cận tùy ý bé  Jta chọn điểm 

khỏi giới hạn của một lân cận  J  bất kỳ, trong đó những điều kiện của định lý được thỏa mãn. Bằng cách xem các hàm  ( ( , ))v f p t  và  ( ( , )) f p t  như những hàm của  thời gian, từ phương trình vi phân (2.7) ta có thể xác định  ( ( , ))v f p t  

2

2 21

Mặt mức của một hàm vô cùng lớn là mặt giới  nội. 

Thật vậy, ta hãy xét một mặt mức  v   nào đó. Đối với  c  cho trước ta  c

có thể chỉ ra hình cầu bán kính  R  mà ở bên ngoài nó ta sẽ có  v  và do đó c

mặt  v  sẽ nằm bên trong hình cầu này. c

Định lí 2.4.1 (Về sự ổn định tiệm cận trong toàn cục): 

Nếu  có  tồn  tại  một  hàm  v   vô  cùng  lớn,  xác  định  dương,  có  đạo  hàm 

xác định âm trong toàn bộ không gian thì nghiệm không của hệ ổn định tiệm cận với bất kỳ nhiễu loạn ban đầu.  

  Định  lý này  có  định lý đảo và  một  trường  hợp  riêng  của định  lý tổng quát hơn dưới đây. 

 Giả sử  p  là một điểm tùy ý của không gian pha. Từ điểm  p  xuất phát 

nửa  quỹ  đạo  f p t( , ) t 0.  Theo  điều  kiện  của  định  lý  dv 0

dt    nên  ta  có: 

0( ( , ))

trong một miền giới nội, do đó có điểm  giới hạn. Ta suy ra rằng toàn bộ tập  giới hạn nằm trên cùng một mặt mức  vv. 

Thật vậy, nghiệm không sẽ ổn định tiệm cận theo nghĩa Liapunov chỉ khi tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm. Đối với bất kỳ dạng toàn phương xác định âm  đều có thể chỉ ra một dạng xác định dương  v  

đường  thẳng  y    không  chứa  những  quỹ  đạo  nguyên  vẹn  trừ  ra  vị  trí  cân 0bằng. 

Vậy thì để áp dụng định lý 2.4.2 chỉ cần phải làm cho hàm  v  là một vô 

cùng lớn. Muốn thế chỉ cần hoàn thành điều kiện: 

0( )

Bây giờ ta hãy xét vấn đề với quan điểm tổng quát hơn. Cùng với hệ tuyến tính: 

n

k k k n i

ik k k

dx

dt dx

ik k k

dx

dt dx

    1

1

( )

f x x

           (2.13) 

Nói  cách  khác,  nếu  đồ  thị  của  đường  cong  y f x( )  nằm  giữa  các  đường 

thẳng  yx và  y x (hình 1) 

        Hình 1 

thì  đã  đủ  đảm  bảo  cho sự  ổn  định  trong  toàn  cục  của nghiệm không  của hệ (2.12) hay chưa? Bài toán này đã được M.A.Aizerman phát biểu lần đầu tiên 

và là xuất phát điểm cho rất nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học 

và cơ học. 

N.N.Kraxovsky  đã  xây  dựng  được  ví  dụ  đầu  tiên  để  chứng  tỏ  rằng trong  trường  hợp  hệ  hai  phương  trình,  việc  thực  hiện  điều  kiện  suy  rộng (2.13) chưa đủ để đảm bảo cho sự ổn định trong toàn cục. 

V.A.Pliss  đã  có  những  nghiên  cứu  sâu  sắc  về  các  hệ  cấp  ba  cũng  đã chứng  tỏ rằng việc hoàn thành  điều kiện  (2.13) dưới dạng còn  chặt  chẽ hơn tức là dưới dạng: 

CHƯƠNG 3

ỨNG DỤNG

3.1 Đánh giá nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

Trước hết ta hãy đưa ra một bất đẳng thức quan trọng của lý thuyết các dạng toàn phương.  Ta hãy  xét  dạng  toàn phương v( ,x Bx)  và  đặt bài  toán tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của dạng toàn phương này trên mặt cầu: 

1

n i i



Theo những quy tắc đã biết về cách giải bài toán cực trị tương đối, ta phải tìm cực trị của dạng toàn phương:  

    tại những điểm cực trị cần phải thỏa mãn điều kiện:  

1r v n r

             (3.3) đúng với tất cả các điểm của không gian. 

Và giả sử  rằng tất cả những giá trị riêng của  ma trận  A  có phần thực 

âm.  Khi  đó  tồn  tại  một  dạng  toàn  phương  xác  định  dương   v( ,x Bx)  sao cho, dựa vào hệ (3.4) ta sẽ có: 

n i i

Tích phân (3.7) từ không cho đến  t  và ký hiệu  v  là giá trị của hàm  v  0

2 1 0( , ) nln

ik k i n k

n i

ik k k

trong đó    còn  M  là một hằng số dương. 0

Hệ (3.10) được gọi là hệ xấp xỉ thứ nhất

Ta đặt bài toán tìm điều kiện để khi chúng được thỏa mãn thì từ sự ổn định hoặc không ổn định của hệ xấp xỉ thứ nhất ta suy ra một cách tương ứng 

còn 

1/ 2 2 1

n

i i

v t

Thực  vậy,  tồn tại  một  dạng  toàn  phương xác định  dương  v ,  đạo  hàm 

Định lý 3.2.2: (Định lý về sự không ổn định theo xấp xỉ thứ nhất): Nếu 

trong số các nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ xấp xỉ thứ nhất có dù chỉ một nghiệm với phần thực dương thì nghiệm không của hệ (3.9) không ổn định. 

Hệ  xấp  xỉ  thứ  nhất  có  dạng  x y y, 0  từ  đó  suy  ra  

0, 0 0

y y x y tx   Vậy  thì  nghiệm  không  của  hệ  xấp  xỉ  thứ  nhất  không  ổn định.  Nhưng  vì  cả  hai  nghiệm  của  phương  trình  đặc  trưng  đều  bằng  không nên dựa trên cơ  sở định lý 3.2.2  chúng ta  không thể kết  luận nghiệm không của hệ (3.17) không ổn định. Hơn thế nữa, nghiệm không của hệ (3.17) trong trường  hợp  này  lại  ổn  định  tiệm  cận.  Thực  vậy,  đạo  hàm  của  hàm  số Liapunov: 

v x  y   dựa  vào  hệ  (3.17)  có  dạng  4 2

v x y   và  do  đó  sẽ  mang  dấu 

âm. Dễ dàng chỉ ra rằng các trục tọa độ  x0,y , trên đó hàm số 0 v  triệt 

tiêu,  không  chứa  những  quỹ  đạo  nguyên  vẹn  trừ  ra  vị  trí  cân  bằng  bằng không. Từ đó suy ra có sự ổn định tiệm cận. 

ma  trận  A   với  các  phần  thực    âm  và   i (k1, , )q   là  tất  cả  các 

nghiệm  đặc  trưng  của  A   với  phần  thực  bằng  không.  Khi  đó  nghiệm  bất  kỳ 

a) Chứng minh điều kiện đủ: 

Giả  sử  1, ,m(mn)  là  tất  cả  các  nghiệm  đặc  trưng  của  A   và 

Rej0 (j 1, 2, , )m  Ta có thể suy ra rằng mỗi nghiệm của hệ (3.18) có dạng: 

1( ) j ( ),

m t j j

b) Bây giờ ta chứng minh điều kiện cần:  

Giả  sử  hệ  (3.18)  ổn  định  tiệm  cận.  Khi  đó  hệ  này  sẽ  ổn  định  theo 

Liapunov khi  t    và do đó theo định lý 3.3.1 ta có: 

Rej0 (j1, 2, , )m          (3.20) Giả sử tồn tại ít nhất một nghiệm đặc trưng s is (1 s m) sao cho: 

Vì mặt cầu  S là một tập compắc và hàm  ( ) X  liên tục và dương trên 

S  cho nên cận dưới của hàm sẽ đạt được tại một điểm  X S

  nào đó, vì vậy 

Giả sử t0( ,a   là  tùy ý.  Hàm ) v t X  liên tục theo  X  và ( ,0 ) v t( ,0)0  

Do đó tồn tại một lân cận  X    sao cho  0v t X( ,0 ) với: 

    X t( 0)    

Giả sử bất đẳng thức (3.28) thỏa mãn không phải với mọi  tt0, 

và t  là điểm đầu tiên nghiệm 1 X t  gặp biên  S( ) , tức là  X( )t  với t0   t t1

và X t( )1    Hãy  xét  sự  biến  động  của  hàm  v t( )v t X t( , ( ))dọc  theo nghiệm X t  Từ điều kiện của định lý: ( )

Như vậy, nghiệm X X t( ) với mọi tt0,  hữu hạn luôn luôn ở bên 

trong  mặt  cầu  S   và  bởi  vì   H  nên  nghiệm  này  xác  định  với