Tính diện tích tam giác OAB.. Tính diện tích tam giácABC... Ta sẽ còn dùng nhận xét này cho cácví dụ tiếp theo.. Tìm tất cả giá trị m để 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện
Trang 1(Tổng hợp và trình bày LATEX)
Ứng dụng tích có hướng vào mặt phẳng
Oxy
−→ trà giảm cân ←−
Liên hệ:
\ Thầy Quyền - Quận 6, TP HCM - 0122 667 8435
\ Page: Casiotuduy - https://www.facebook.com/casiotuduy
\ Mua trà giảm cân của Học Viện Quân Y - 0979 118 113 (free ship)
Tháng 12 năm 2016
Trang 2Trong không gian Oxyz, cho các vecto −→a = (a 1 ; a 2 ; a 3 ), − →
b = (b 1 ; b 2 ; b 3 ), tích có hướng của hai vecto −→a , − →
b là vecto [− →a ;−→b ] được xác định như sau:
[− →a ;−→b ] =
a2 a3
b2 b3
;
a3 a1
b3 b1
;
a1 a2
b1 b2
Một trong những ứng dụng của tích có hướng cho phép ta tính diện tích của một tam giác ABC khi mà tọa độ của các điểm A, B, C đã xác định,
SABC = 1
2.
[ −→
AB; −→
AC]
.
Có thể xem các vectơ −→u = (A, B) , − →v = (C, D) trong mặt phẳng Oxy cũng là các
vectơ trong không gian Oxyz bằng cách viết lại chúng dưới dạng −→u = (A, B; 0) và
−
→v = (C, D; 0), khi đó tích có hướng
[− →u ; −→v ] = (0; 0; AD − BC)
Như vậy, đối với các điểm A, B, C trong mặt phẳng Oxy mà −→AB = − →u ,−−→CD = −→v ta
có
SABC = 1
2.|AD − BC| (∗)
Trong tài liệu này, chúng ta sử dụng (*) như một công thức hữu dụng cho phép tính nhanh diện tích tam giác trong mặt phẳng Oxy
Ví dụ 1 Cho đồ thị hàm số y = x3− 3x2+ 1 có hai điểm cực trị là A, B Tính diện tích tam giác OAB
Giải Tìm được A(0; 4), B(2; 0), tức là A = 0, B = 4, C = 2, D = 0 Áp dụng (*), diện tíchSOAB = 1
2 |0.0 − 4.2| = 4 Đáp án: B
Ví dụ 2 Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x4− 4x2+ 1 Tính diện tích tam giácABC
2
Giải Các điểm cực trị là A(0; 1), B(1; −1); C(−1; −1), ta có −→AB = (1; −2); −→
AC = (−1; −2), diện tích ∆ABC cho bởi
SABC = 1
2 |1.(−2) − (−2).(−1)| = 2.
Đáp án: B
Để ý rằng, nếu A ∈ Oy, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm bậc 4 trùng
Trang 3phương thì ta luôn có SABC = |xB.(yB− yA)| Ta sẽ còn dùng nhận xét này cho các
ví dụ tiếp theo
Ví dụ 3 Tìm tất cả giá trị của tham sốmđể đồ thị hàm sốy = x4−2(1−m2)x2+m+1
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất?
A.m = 1
Giải Ta cóA(0; m + 1), B(
√
1 − m 2 ; 2m2+ m − m4), C(− √
1 − m 2 ; 2m2+ m − m4) với
m ∈ (−1; 1) Theo đó
SABC =
p
1 − m 2 (2m2− m4− 1)
đạt giá trị lớn nhất khi m = 0 Đáp án: C
Ví dụ 4 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3− 3x2+ 3(1 − m)x + 1 + 3m có hai cực trị, đồng thời hai điểm cực trị đó cùng với gốc tọa độ O
tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4
Giải Ta cần y0 = 3x2− 6x + 3(1 − m) > 0 ⇒ m > 0 (loại B) Cách nhanh nhất là thử lần lượt từng giá trị > 0 của m Ứng với mỗi giá trị đó, ta solve phương trình
3x3− 6x + 3(1 − m) = 0theo biếnx, gán 2 nghiệm vào A, C Gán y(A), y(C)tương ứng vào B, D Sau cùng xét hiệu AD − BC, kết quả ra 8 hoặc −8 thì nhận m tương ứng
Cụ thể, với m = 2 ta có AD − BC ∼ 16, 97 (loại), vậy chọn D
Ví dụ 5 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 + m − 1
có ba điểm cực trị cùng thuộc một đường tròn có bán kính bằng 1
A.m = 1 ∨ m = −1 +√5
2
C m = −1 ±√5
Giải Ta có A(0; m − 1), B √m; −m2+ m − 1, C −√m; −m2+ m − 1, (m > 0)
Sử dụng công thức S = abc
4R, ta có
m2√
m = 2
√
m √
m + m 4 4.1
solve phương trình này (hoặc thử đáp án) chọn B
Ví dụ 6 Tìm tất cả giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 + 2m + m4
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất?
Trang 4A.√2 B √31
2
Giải Ta có y0 = 4x(x2− m) nên phải có m > 0 (loại D), khi đó 3 điểm cực trị là
A(0; 2m + m4), B( √
m; m4− m 2 + 2m) và C(− √
m; m4− m 2 + 2m) Bán kính cho bởi
R = abc 4S =
√
m + m 4 2 √
m
4 √
1 + m3 2m .
Thay lần lượt các giá trịm > 0của đáp án thấy R nhỏ nhất khi m = √31
2, chọn B
Ví dụ 7 Tìm tất cả giá trị của tham sốmđể đồ thị hàm sốy = x4−2(m−3)x 2 +m−1
có ba điểm cực trịA, B, C lập thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1
A.m = 4 ∨ m = 5 + 2 √
2
Giải Các điểm cực trị làA(0; m − 1), B(
√
m − 3; −m2+ 7m − 10), C, bán kính nội tiếp cho bởi r = S
p, hay
1 = |√m − 3.(−m2+ 6m − 9)|
p
(m − 3) + (m − 3) 4 + √
m − 3
solve phương trình này hoặc thử đáp án chọn C
Ví dụ 8 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x3+ 3x2+ m
có 2 điểm cực trịA, B sao cho góc AOB = 60b ◦, trong đó O là gốc tọa độ
A.m = −12 +√12
3
3
Giải Tìm được A(0; m), B(−2; 4 + m), ta có SAOB = 1
2.OA.OB sin 60
◦ hay
|2m| = 1
2.
√
m 2 p4 + (4 + m) 2
√ 3 2
thay đáp án, chọn D
Bài tập
Bài 1 Biết rằng đồ thị hàm sốy = x4− 2mx 2 − m + 2 có 3 điểm cực trị Tìm tất cả giá trị m để 3 điểm cực trị đó tạo thành một tam giác có diện tích bằng 32
Trang 5Bài 2 GọiA, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x3− 3x2+ 4 Tính diện tích tam giác OBC
Bài 3 Gọi A, B là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số y = (x + 1)2(2 − x) Tính diện tích của tam giác ABC với C(1; −3)
A 3
Bài 4 Gọi A, B, C là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số y = 2x4− 4x2+ 1 Tính diện tích tam giác ABC
2
Bài 5 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị hàm số y =
x4− 2mx2+ 2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích bằng 1
A.m = √51
Bài 6 Tìm tất cả giá trị của tham sốm để đồ thị hàm số y = x4+ 22mx2+ m2+ m
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có một góc bằng 120◦
A.m = 0 ∨ m = − 1
3
√
3
√ 3
3
Bài 7 Tìm tất cả giá trị của tham sốm thì đồ thị hàm sốy = x4− 2mx 2 + m − 1 có
ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1
A.m = 1 ∨ m = −1 −√5
2
C m = −1 ∨ m = −1 +√5
2
Bài 8 Tìm tất cả giá trị của tham số m thì đồ thị hàm số y = x4+ (3m + 1)x2− 3
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2
3 độ dài cạnh bên
A.m = 5
5
Bài 9 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 + 2m2− 4
có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 1
4 D m = ± √51
4
Trang 6Bài 10 Tìm tất cả giá trị của tham sốm để đồ thị hàm sốy = x4− 2mx2+ m − 1có
ba điểm cực trị tạo thành một tam giác nội tiếp đường tròn có bán kính nhỏ nhất
A.√2 B √31
2
Bài 11 Tìm tất cả giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x4− 2mx 2 + m − 1
có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1
2
...b1 b2
Một ứng dụng tích có hướng cho phép ta tính diện tích tam giác ABC mà tọa độ điểm A, B, C xác... A, B Tính diện tích tam giác OAB
Giải Tìm A(0; 4), B(2; 0), tức A = 0, B = 4, C = 2, D = 0 Áp dụng (*), diện tích< small>SOAB... 4 Tính diện tích tam giác OBC
Bài Gọi A, B điểm cực trị đồ thị hàm số y = (x + 1)2(2 − x) Tính diện tích tam