giải một phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS dưới hình thức nêu ra một số cách giải các dạng phương trình vô tỉ.

a. đặt vấn đề. 1. Cơ sở lý luận. Mục đích của việc giảng dạy bộ môn Đại số THCS là: Mở rộng khái niệm về số. Biến đổi đồng nhất các biểu thức đại số (hữu tỉ và vô tỉ). Hàm số. Phương trình. “Phương trình” là 1 trong 4 mục đích cần đạt của việc giảng dạy bộ môn Đại số THCS. Đây là một vấn đề xuyên suốt toàn cấp mang tính chất “kỹ thuật” có nhiều áp dụng thực tiễn. Khái niệm “phương trình” được hiểu một cách tường minh theo quan điểm hàm: là một đẳng thức f(x) = g(x), f và g là hai hàm số xét trên miền xác định chung mà ta phải tìm giá trị của biến số x sao cho giá trị tương ứng của hai hàm số bằng nhau. Có thể nói: “Tư tưởng của khái niệm là tư tưởng hàm, nội dung của khái niệm thể hiện ở kỹ thuật tìm nghiệm tức là ở việc giải phương trình. Do vậy biến số có tên là ẩn số nói lên phần nào nội dung của khái niệm”. Giải một phương trình là thực hiện liên tiếp các phép biến đổi tương đương phương trình đã cho để đi đến một phương trình đơn giản nhất: A(x) = B(x) ............ x = a (nghiệm) Vì vậy dạy “phương trình” chủ yếu là làm cho học sinh nắm vững kỹ thuật giải phương trình(kỹ thuật tìm nghiệm) song không được coi nhẹ tư tưởng của phương trình là hàm số. 2. Cơ sở thực tiễn. Trong chương trình Đại số cấp 2, phương trình có dạng như: Phương trình bậc nhất một ẩn số ax + b = 0 (a ≠0). Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số, phương trình bậc 2 một ẩn số ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Ngoài ra còn các phương trình quy về dạng chính tắc như: + Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức + Phương trình tích dạng: f(x).g(x) ….h(x) = 0 + Phương trình giải bằng cách đặt ẩn phụ. + Phương trình quy về phương trình bậc hai. + Phương trình được đưa về phương trình bậc nhất. ………….. Trong chương trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm của một phương trình có chứa ẩn số trong dấu căn(phương trình vô tỉ) đối với học sinh còn gặp những khó khăn như chưa trình bày được lời giải 1 phương trình một cách đầy đủ và chính xác, học sinh thường vi phạm một trong các sai lầm như: chưa tìm tập xác định của phương trình( điều kiện có nghĩa của phương trình) đã thực hiện các phép biến đổi phương trình như: bình phương hai vế, lập phương hai vế … Hoặc khi chọn được nghiệm thì kết luận ngay không đối chiếu nghiệm với tập xác định để chọn nghiệm rồi kết luận. Học sinh thường bỏ qua các phép biến đổi tương đương một phương trình với một hệ điều kiện và trình bày phương trình rời rạc không theo một quy trình(Angôrit). Mặt khác, việc định dạng các phương trình thường gặp trong chương trình cũng như trong các tài liệu ôn tập tham khảo khác học sinh chưa có được cách giải phù hợp với từng dạng đó. Chỉ áp dụng máy móc như bình phương liên tục (nhiều lần) các phương trình làm cho việc trình bày lời giải dài dòng, thiếu hiệu quả. Hơn nữa, do thực tế của chương trình Đại số 9 việc giải phương trình vô tỉ cũng chỉ dừng ở những bài tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ quan, không đề cập cho học sinh những dạng phương trình vô tỉ khác sách giáo khoa và bài tập quy định, vì thế khi dự thi các kỳ thi học sinh giỏi nhiều học sinh không giải được các phương trình vô tỉ đòi hỏi vận dụng kiến thức trong chương trình. Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh lớp 9 có được một cách nhìn nhận mới về các phương pháp giải một phương trình vô tỉ trên nền tảng cá giải một phương trình vô tỉ trong chương trình toán THCS dưới hình thức nêu ra một số cách giải các dạng phương trình vô tỉ.c kiến thức cơ bản đã được trang bị của cấp học, qua đó giúp các em trau dồi được những phẩm chất trí tuệ như: tính độc lập, linh oạt, sáng tạo trong quá trình giải toán, góp phần bồi dưỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi bộ môn toán ở trường THCS. Tôi xin trình bày một số quan điểm của mình về

“Phơng trình” là 1 trong 4 mục đích cần đạt của việc giảng dạy bộ môn Đại

số THCS Đây là một vấn đề xuyên suốt toàn cấp mang tính chất “kỹ thuật” cónhiều áp dụng thực tiễn

Khái niệm “phơng trình” đợc hiểu một cách tờng minh theo quan điểm hàm:

là một đẳng thức f(x) = g(x), f và g là hai hàm số xét trên miền xác định chung mà

ta phải tìm giá trị của biến số x sao cho giá trị tơng ứng của hai hàm số bằng nhau

Có thể nói: “T tởng của khái niệm là t tởng hàm, nội dung của khái niệm thểhiện ở kỹ thuật tìm nghiệm tức là ở việc giải phơng trình Do vậy biến số có tên là

ẩn số nói lên phần nào nội dung của khái niệm”

Giải một phơng trình là thực hiện liên tiếp các phép biến đổi tơng đơng

ph-ơng trình đã cho để đi đến một phph-ơng trình đơn giản nhất:

A(x) = B(x)   x = a (nghiệm)

Vì vậy dạy “phơng trình” chủ yếu là làm cho học sinh nắm vững kỹ thuật giảiphơng trình(kỹ thuật tìm nghiệm) song không đợc coi nhẹ t tởng của phơng trình làhàm số

Trong chơng trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm của một phơng trình có chứa

ẩn số trong dấu căn(phơng trình vô tỉ) đối với học sinh còn gặp những khó khăn nhcha trình bày đợc lời giải 1 phơng trình một cách đầy đủ và chính xác, học sinh th-ờng vi phạm một trong các sai lầm nh: cha tìm tập xác định của phơng trình( điềukiện có nghĩa của phơng trình) đã thực hiện các phép biến đổi phơng trình nh: bìnhphơng hai vế, lập phơng hai vế ….h(x) = 0 Hoặc khi chọn đợc nghiệm thì kết luận ngaykhông đối chiếu nghiệm với tập xác định để chọn nghiệm rồi kết luận Học sinh th-ờng bỏ qua các phép biến đổi tơng đơng một phơng trình với một hệ điều kiện vàtrình bày phơng trình rời rạc không theo một quy trình(Angôrit)

Mặt khác, việc định dạng các phơng trình thờng gặp trong chơng trình cũng

nh trong các tài liệu ôn tập tham khảo khác học sinh cha có đợc cách giải phù hợpvới từng dạng đó Chỉ áp dụng máy móc nh bình phơng liên tục (nhiều lần) các ph-

ơng trình làm cho việc trình bày lời giải dài dòng, thiếu hiệu quả

Hơn nữa, do thực tế của chơng trình Đại số 9 việc giải phơng trình vô tỉ cũngchỉ dừng ở những bài tập quen thuộc, đơn điệu nên nhiều giáo viên chủ quan, không

đề cập cho học sinh những dạng phơng trình vô tỉ khác sách giáo khoa và bài tậpquy định, vì thế khi dự thi các kỳ thi học sinh giỏi nhiều học sinh không giải đợccác phơng trình vô tỉ đòi hỏi vận dụng kiến thức trong chơng trình

Để khắc phục những tình trạng nói trên, đồng thời nhằm giúp học sinh lớp 9

có đợc một cách nhìn nhận mới về các phơng pháp giải một phơng trình vô tỉ trênnền tảng các kiến thức cơ bản đã đợc trang bị của cấp học, qua đó giúp các em traudồi đợc những phẩm chất trí tuệ nh: tính độc lập, linh oạt, sáng tạo trong quá trìnhgiải toán, góp phần bồi dỡng các em trở thành học sinh khá, giỏi bộ môn toán ở tr-ờng THCS Tôi xin trình bày một số quan điểm của mình về giải một phơng trình vô

tỉ trong chơng trình toán THCS dới hình thức nêu ra một số cách giải các dạng

ph-ơng trình vô tỉ

B Nội dung I/ Các kiến thức cần chú ý khi giải một ph ơng trình vo tỉ.

1 Khái niệm về phơng trình vô tỉ: là một phơng trình đại số có chứa ẩn số trong dấu căn.

2 Các phép biến đổi tơng đơng, không tơng đơng một phơng trình.

* Khái niệm về hai phơng trình tơng đơng:

Hai phơng trình tơng đơng là hai phơng trình có cùng một tập hợp nghiệm

- Chú ý:

+ Nếu phơng trình này là hệ quả của phơng trình và ngợc lại thì hai

ph-ơng trình đó tph-ơng đph-ơng.(phph-ơng trình (1) là hệ quả của phph-ơng trình (2) nếu S1  S2với S1 là tập nghệm của (1); S2 là tập nghiệm của (2)

+ Mọi phơng trình vo nghiệm đều đợc coi là tơng đơng vì chúng cócùng tập nghiệm là 

a Các phép biến đổi tơng đơng các phơng trình:

- Các định lý về biến đổi tơng đơng ở lớp 8

- Thực hiện biến đổi hằng đẳng ở từng vế của một phơng trình không làmthay đổi TXĐ của chúng sẽ đợc một phơng trình mới tơng đơng với phơng trình đãcho

b Các phép biến đổi có thể dẫn tới hai phơng trình không tơng đơng (dẫn tới một phơng trình hệ quả).

- Nhân hai vế của một phơng trình với cùng một đa thức chứa ẩn( có thể xuấthiện nghiệm lạ, nghiệm ngoại lai)

- Chia hai vế của một phơng trình với cùng một đa thức chứa ẩn số( có thểlàm mất nghiệm của phơng trình đầu)

- Cộng vào hai vế của phơng trình đã cho với cùng một phân thức

- Nâng hai vế của một phơng trình lên cùng một luỹ thừa tự nhiên: m > 1

Nếu m chắn: thì khi nâng hai vế của f1(x) = f2(x) lên cùng một luỹ thừachẵn thì phơng trình mới nhận thêm nghiệm của phơng trình f1(x) = - f2(x)

(

) ( ) (

2 1

2 1

x f x

f

x f x f

Vì thế khi giải phơng trình vô tỉ ta cần thử nghiệm vào phơng trình đầu đểloại bỏ nghiệm ngoại lai( phép bình phơng hai vế của một phơng trình có thể dẫn

đến một phơng trình hệ quả)

3 Những sai lầm thờng gặp khi giải một phơng trình vô tỉ.

- Không đặt điều kiện cho các căn thức có nghĩa mà đã vội bình phơng hai vếcủa phơng trình

- Không đặt điều kiện để biến đổi tơng đơng

- Khi tìm đợc nghiệm bỏ quên bớc thử lại phơng trình đầu hoặc chọn nghiệmthích hợp theo điều kiện đã đặt ra mà vội kết luận nghiệm cảu phơng trình vô tỉ

Ví dụ: Khi gải phơng trình: x 1 - 5 x 1 = 3 x 2 (1)Học sinh giải: x 1 = 5 x 1 + 3 x 2 (2)Bình phơng hai vế: x 1  5x 1  3x 2  2  5x 1  3x 2  (3)

x x

* Phân tich ssai lầm của học sinh:

+ Học sinh đã không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức là:

3

0 1

5

0 1

x x

x x x

2

x x

Phơng trình (5) là hệ quả của phơng trình (4), nó chỉ tơng đơng với (4) với

điều kiện:

7

2 0

+ Cách 2: Đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa x  1 (*) sau đó từ (4)

chuyển sang (5) đặt thêm điều kiện

3x   x 

Vế trái < 0, vế phải >0, vậy (1) vô nghiệm

* Nói chung để tránh sai lầm cho học sinh khi giải một phơng trình vô tỉ tanên hớng học sinh làm theo các bớc sau:

B1: Tìm TXĐ của phơng trình (đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa)

B2: Nâng hai vế phơng trình lên cùng một luỹ thừa, nếu phơng trình còn cănbậc hai thì đặt tiếp điều kiện, tiếp tục khử căn để đa phơng trình về dạng đã biếtcách giải.

B3: Thử nghiệm theo các điều kiện hoặc theo phơng trình đầu suy ra kết luậnnghiệm

II/ Các ph ơng pháp giải ph ơng trình vô tỉ.

1 Sử dụng các phép biến đổi tơng đơng.

a Dạng: f x A(A là một số hoặc một biểu thức đã biết) (1)

* Chú ý: Khi A< 0 ta kết luận ngay phơng trình f x A vô nghiệm

* Ví dụ: Khi giải phơng trình 2 3 2

4 0 1 0

4 1

0 4 3

4 3

x x

x

x x

x x

x x

Vậy phơng trình có hai nghiệm là: x1 = 1; x2 = -4

ở phơng trình trên không cần thiết phải đặt điều kiện 2 3 0



x vì (1)  với(2) trong đó   2   0





A f x x

5 1

1 2

4 1 3 0 2 0 1 3

x x

- B3: Đặt điều kiện mới cho (2): g x2  f x  h x  0 (**)

Bình phơng hai vế của (2) đa về một phơng trình (3) đã biết cách giải

- B4: Giải (3), chọn nghiệm thoả mãn (*) và (**) => Kết luận nghiệm

* Ví dụ: Giải phơng trình x 3  5  x 2 (1)

(1)  x 3  x 2  5 (2)

2 3 0 2 0 3

(*)Với x  2 hai vế không âm, bình phơng hai vế của (2) rồi thu gọn ta có phơng

(3)   6 6

12 150 25 12 12 6 0 12

g x

* Chú ý: Với phơng trình thuộc dạng (1), khi phơng trình đã cho cha ở dạng

 x h x g x

f   mà nh ở ví dụ trên, ta nên biến đổi tơng đơng phơng trình đã cho

về dạng (1), không nên để nguyên phơng trình mà bình phơng hai vế vì cho dù có

điều kiện để phơng trình có nghĩa nhng phép biến đổi không tơng đơng (do hai vế

3



x và 5  x 2 không đồng thời lớn hơn hoặc bằng 0)

Cách giải phơng trình dạng f x  h x  g x hoàn toàn tơng tự

Nếu g(x) là một biểu thức của (1) có giá trị âm với mọi x thì ta kết luận ngayphơng trình (1) vô nghiệm

x

k

x g

x

h

x f

(*)B2: Với điều kiện (*) bình phơng hai vế của (1) ta có:

x x x x

0 0 9 0 9 0

x x

x x

x x

x x

x x

x x

4 9

4 9

4

(vì x 9  x 4 0; x1  x  0)Nên phép biến đổi từ phơng trình (2’): x 9  x 4  x 1  x là phép biến

đổi tơng đơng

x x

9

5

(4’)Cộng vế với vế của (2’) và (4’) rồi rút gọn ta đợc phơng trình:

x x

* Mục đích của việc đặt ẩn phụ là nhằm đa phơng trình đang xét về một

ph-ơng trình đơn giản hơn (đã biết cách giải) Tuy nhiên, cần phải biết chọn các ẩn phụmột cách thích hợp phù hợp với đặc thù bài toán đang xét:

Cần chú ý rằng để có thể đặt đợc ẩn phụ có thể thông qua một vài bớc biến

đổi phơng trình đã cho để làm xuất hiện “biểu thức cần chọn” làm ẩn phụ

30 1

0 30 29

2

x

x x

x x

Nhằm giúp học sinh có đợc thói quen áp dụng phơng pháp trên theo hớng

đúng đắn, hợp lý, chống máy móc, rập khuôn phơng pháp này Nên cần chú ý tớimột số dạng phơng trình vô tỉ thờng gặp sau:

a Dạng 1: Phơng trình có dạng af x b f x c 0 (1)

* Cách giải: Đặt điều kiện cho phơng trình có nghĩa f x  0 (*)

Đặt ẩn phụ: t f  x t 0 

Giải phơng trình với ẩn mới (t): at2+ bt+c = 0

(giải theo cách một phơng trình bậc hai)Tìm t (chọn t thích hợp)

b Dạng 2: f x  h x n f   x h x g x (2)

* Cách giải: Để giải dạng 2 ta dùng ẩn phụ t f x  h x (2’)

 x h x f   x h x f

Giải phơng trình ẩn t sau đó chọn t theo điều kiện

Giải phơng trình (2’) sau đó chọn x theo điều kiện có nghĩa của (2)

* Ví dụ: Giải phơng trình:

x x

x x

x 1   2  2  1  2  13  2



Điều kiện để phơng trình (1) có nghĩa là 2

13 2

0 2 13

0 2 0 1

Đặt t x 1  x 2  t 0

 1  2  2  1  2  2 1 2

13 1

2 5 5

X= 3 thoả mãn (*) Vậy phơng trình có một nghiệm duy nhất x= 3

d b c a

d c b a

2 4 1

2 2

t t t t

- Giải phơng trình: x  3  x 9 (thoả mãn điều kiện x  0)

- Kết luận: Nghiệm của phơng trình ban đầu là x = 9

* Nhận xét: ở dạng 3 dùng ẩn phụ lần thứ nhất ta đã “hữu tỉ hoá” phơng trình

đã cho Song cha có đợc phơng trình ở dạng quen thuộc nhờ đặt ẩn phụ lần hai ta đã

đa phơng trình về dạng phơng trình bậc hai Cần lu ý trong cách đặt ẩn phụ lần hai

có thể có nhiều cách lựa chọn khác nhau nh: y= t2+ 5t+ 4 hoặc y = t2 + 5t + 6 hoặc y

= t2 + 5t + 5 đó là tính linh hoạt của việc chọn ẩn phụ mà ngời giải cần chú ý

Nh vậy khi giải một phơng trình bằng cách đặt ẩn phụ ta có thể đặt nhiều ẩnphụ khác nhau sao cho đích cuối cùng là đa phơng trình ban đầu về dạng quenthuộc.

m

Nh vậy để tìm nghiệm của (*) ta quy về việc tìm nghiệm của hệ phơng trình(**) Vì ở đây với điều kiện tồn tại của phơng trình thì phơng trình và hệ phơngtrình đã cho là tơng đơng Nh thế việc giải một phơng trình không bị gò bó vì nóthông qua giải một hệ phơng trình tơng đơng, từ nghiệm của hệ phơng trình ta suy

ra nghiệm của phơng trình ban đầu thông qua tập xác định của phơng trình (*)

* Ví dụ 1: Giải phơng trình: 1

2

1 2

1

3 x  x 

Khi đa ra bài toán này học sinh rất lúng túng về phơng pháp giải vì gặp mộtphơng trình vô tỉ không “thuần chủng” do vế trái vừa chứa căn bậc hai và căn bậc

ba Song nếu đặt ẩn phụ và tìm cách chuyển phơng trình về một hệ phơng trình tơng

đơng thì việc giải quyết bài toán đợc dễ dàng hơn

Ta có thể tiến hành giải phơng trình theo phơng trình hệ nh sau:

Điều kiện:

2

1 0

1 1 1 1 1 1

b b b a b a b a b a b b

1 1

1

2 2

b b

b b b

b

3

; 1

;



Với b = 0 => a = 1 thay vào (*) ta có

2

17

; 2

1

; 2

1

3 2

1  x   x  

x

* Ví dụ 2: Giải phơng trình 2  x  2  x2 (1)

Nhiều học sinh khi giải phơng trình này thờng dẫn tới lúng túng khi bình

ph-ơng trình hai vế của (1) vì sẽ đợc một phph-ơng trình bậc bốn khó giải

2 2

x y

y x

(2)Trừ vế với vế của hai phơng trình ở hệ (2) ta có phơng trình:

     0 2

x y y

x

x y

1 1

Nếu y= x thử từ y2 = 2- x ta có phơng trình:

2

; 1 0

1  x  x2  x2  x 

Phơng trình này có hai nghiệm là:

2

5 1

; 2

5 1

2 1

2 0

2  x2   x2   x    x

Thì

2

5 1 1

;

1 21





 x x

Nh vậy việc dùng phơng pháp hệ phơng trình đã cho giúp học sinh tìm đợccách giải cho bài toán trên một cách hợp lý hơn Tuy nhiên với bài toán này cần chú

ý điều kiện của nghiệm là:

2 2 2 2 2 0 2 0 2

Thì việc lựa chọn nghiệm mới chính xác, cho nên ngay từ đầu ta nên tìm hết

điều kiện cho ẩn x Trên cơ sở tìm điều kiện cho phơng trình có nghĩa và cónghiệm, nói gọn là tìm điều kiện cho nghiệm số

* Ví dụ: Giải phơng trình x 1  5x 1  3x 2 (1)

Điều kiện để (1) có nghĩa là 1

3 1 0

2 3

0 1 5

0 1

x

Với điều kiện x  1 ta đánh giá hai vế của phơng trình:

0 1 5 1 1

5 1 5

b Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế (phơng pháp đối lập).

* Cơ sở của phơng pháp này là khi giải phơng trình f(x) = g(x) (*) nên chứngminh đợc f x A và g x A với mọi x TXĐ của phơng trình (*) thì:

A x f x

g x f

ở đây ta đã đánh giá hai vế của phơng trình rồi tìm giá trị của x để hai vébằng nhau

* Ví dụ 1: Giải phơng trình:

2 2

Vậy phơng trình đã cho có nghiệm là x= -1.

Điều chú ý ở phơng trình này là: làm cho hai vế “đối lập” nhau rồi tìm ẩn số

để hai vế đều bằng nhau Sơ đồ giải nh sau:

x x

(thoả mãn điều kiện) Vậy phơng trình có nghiệm là x= 0

c Sử dụng điều kiện xảy ra dấu = ở bất đẳng thức không chặt.

* ở đây ta sử dụng trờng hợp xảy ra dấu “=” (đẳng thức) của một bất đẳngthức không chặt Từ đó suy ra nghiệm của phơng trình đã cho Vấn đề then chốt ởchỗ là phải chỉ ra phơng trình là một trờng hợp đặc biệt của bất đẳng thức quenthuộc dạng f x g x hoặc f x g x từ đó suy ra trờng hợp xảy ra bất đẳng thứcvới điều kiện nào Khi đó sẽ giải đợc phơng trình ban đầu

mà ta dễ dàng chứng minh đợc bắt đẳng

thức luôn đúng với mọi a và b cùng dấu Dấu “=” xảy ra khi a = b Hay nói cáchkhác đẳng thức xảy ra khi a = b.

* Nhận xét: Vấn đề quan trọng của phơng pháp này là phải xác định đợc

ph-ơng trình là đẳng thức nào của một bất đẳng thức đã biết (bất đẳng thức chứng minh

đợc) sau đó tìm điều kiện để xảy ra đẳng thức đó trong hằng bất đẳng thức Do vậyphơng trình cần giải sẽ tơng đơng với điều kiện để xảy ra “=” của bất đẳng thứckhông chặt

5 Phơng pháp đoán nghiệm và suy ra sự duy nhất của nghiệm (phơng pháp duy nhất).

* Cơ sở của phơng pháp này là: để giải một phơng trình ta có thể kiểmnghiệm trực tiếp một số hữu hạn các giá trị của ẩn số là nghiệm của phơng trình sau

đó chứng minh ngoài nghiệm đó phơng trình không còn nghiệm nào khác

Nh vậy theo phơng pháp này ta nên làm theo hai bớc sau:

B1: Đoán nhận nghiệm

B2: Chứng minh tính duy nhất của các nghiệm số

* Bài toán 1: Giải phơng trình

Điều kiện để cho phơng trình có nghĩa là x  0

Ta thấy x= 1 là nghiệm của phơng trình (1)

Chứng minh x= 1 là nghiệm duy nhất của (1)

- Với x >1 ta có: VT VP

x x

Vậy phơng trình (1) vô nghiệm với x > 1

- Với x < 1 ta có: VT VP

x x

Vậy phơng trình (1) vô nghiệm với 0 < x < 1

Kết luận: phơng trình (1) chỉ có duy nhất một nghiệm là x = 1

* Bài toán 2: Giải phơng trình: 0

x

(2)

Điều kiện tồn tại của phơng trình: 1- x2 > 0  -1 < x < 1

Nếu tiến hành giải phơng trình (2) theo các cách thông thờng thì gặp nhiềukhó khăn Song nếu quan sát kỹ ta thấy ngay phơng trình (2) có một nghiệm x = 0việc còn lại là chứng minh trong TXĐ - 1 < x < 1 phơng trình (2) không cònnghiệm nào khác.

- Nếu 0 < x < 1 ta có: 0

0 1

0 1

Vậy phơng trình (2) vô nghiệm với 0 < x < 1

- Nếu -1 < x < 0 ta có: 0

0 1

0 1

Vậy phơng trình (2) vô nghiệm với -1 < x < 0

Kết luận: phơng trình (2) có một nghiệm duy nhất x= 0

* Bài toán 3: Giải phơng trình 3 x 2  x 1  3 (3)

Điều kiện để phơng trình có nghĩa x 1  0  x  1

Ta thấy x= 3 nghiệm đúng phơng trình (3)

Ta cần chứng minh phơng trình (3) không còn nghiệm với x 3

- Với x > 3 ta có 3

2 1 1 2

x

Vậy phơng trình (3) vô nghiệm với x > 3

- Với x < 3 ta có 3

2 1 1 2

x

Vậy phơng trình (3) vô nghiệm với x < 3

Kết luận: phơng trình (3) có nghiệm duy nhất x = 3

* Nhận xét: Phơng pháp “duy nhất” nói trên tỏ ra u thế khi học sinh đoán

nhận đợc nghiệm của phơng trình đã cho Song việc chứng minh tính duy nhất củanghiệm số cần chú ý: Khi x =  là nghiệm số của phơng trình, ta chứng minh cho





x không phải là nghiệm số của phơng trình đã cho Song các giá trị x phảithuộc tập xác định của phơng trình Nên TXĐ của phơng trình ban đầu có liên quantới việc xét các khả năng còn lại của ẩn số x

Tuy nhiên phơng pháp này vẫn còn áp dụng trong trờng hợp khi nhẩm đợcnhiều nghiệm của một phơng trình đã cho, chỉ lu ý đến các khả năng còn lại của ẩn

x phải chứng minh cho phơng trình vô nghiệm

Ví dụ: Khi đoán nhận đợc x1  ; x2   là hai nghiệm của phơng trình (  )thì phải chứng minh các trờng hợp còn lại: