Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = 2BD... Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = 2BD.. So sánh BAC và 1 Giải: Gọi M là trung điểm của DC.. Trên tia đối của DC.
Trang 1Đề thi học sinh giỏi lớp 9 Thời gian làm bài: 150’ ( không kể thời gian giao đề ) Câu 1: ( 1 điểm ) Giải phơng trình: 5 14 3
x x
x
Câu 2: ( 2 điểm ) Rút gọn các biểu thức:
a) 84 3 24 4
2
A
x x
b)
2
1
B
x
Câu 3: ( 0.5 điểm ) Khoanh tròn vào đáp án đúng:
Tỉ số giữa bán kính đờng tròn ngoại tiếp và đờng tròn nội tiếp của một tam giác vuông cân là: A 1 2 B 2 2 C 2 1 D 2 2
2
Câu 4: ( 0.5 điểm ) Khoanh tròn vào đáp án đúng
Cho ABC vuông tại A, điểm I nằm trong tam giác vẽ IDBC IE, CA,
IFAB
Biểu thức: ID2 IE2 IF2 nhỏ nhất khi:
A I là tâm đờng tròn nội tiếp B I là tâm đờng tròn ngoại tiếp
C I là trọng tâm tam giác D I là trung điểm của đ ờng cao AH
(HBC)
Câu 5: ( 1 điểm ) Điền số thích hợp vào ô trống:
a) 4 7 4 7 b.3 45 29 2 3 45 29 2 =
Câu 6:(2 điểm)Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nếu có của các biểu thức
sau:
A
2 B x x ( 3)(x 1)(x 4)
Câu 7: ( 2 điểm ) Gọi ha,hb, hc là các đờng cao tơng ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC; r là bán kính đờng tròn nội tiếp Chứng minh:
a ha + hb + hc 9r b h a2 h b2 h c2 27r2
Câu 8: ( 2 điểm ) Giải phơng trình:
a 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2 x x 2 b 5 x 1 3 x 8 1 x3
Câu 9: ( 3 điểm ) Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đờng chéo.
Kí hiệu S1SAIB;S2 SCID;S S ABCD
a Chứng Minh: S1 S2 S
b Khi tứ giác ABCD là hình thang thì hệ thức trên xảy ra nh thế nào?
Câu 10: ( 2 điểm ) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của: 2 2 1
1
x x A
x
Câu 11: ( 2 điểm ) Cho 1 1 1 0
a b c Tính giá trị của biểu thức 2 2 2
ab bc ac P
Câu 12: ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D
sao cho CD = 2BD
So sánh BAC và 1
Câu 13: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
2x2 + 4x = 19 – 3y2
Câu 14: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác và x, y, z là độ dài
các đờng phân giác trong của các góc đối diện với các cạnh đó.
x y z a b c
Trang 2Đáp án đề thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học: 2008-2009 Câu 1: (1 điểm) giải phơng trình: 5 14 3
x x
x
(1)
Giải:
đk: x 5
Đặt x 5 t 0 x t 2 5
2 9
3
t
t
t
2 2
nghiệm với t 0
Vậy phơng trình (1) có vô số nghiệm với x 5
Câu 2: (2 điểm) rút gọn các biểu thức sau
a 84 3 24 4
2
A
x x
Giải:
Ta có: 84 42 4 8 6 2 4 64 42 2 2 2 4 2 2 4
A
4 2
2
b
2
.
B
1
1
x
(1) đk:x 1;x 2
2
B
x
Nếu: x > 2 ta có:
1 1 1 1. 2 2
B
Nếu: 1<x<2 ta có:
1 1 1 1. 2 2
B
Câu 3: (0.5 điểm) câu (D):2 2
2
đúng
Câu 4: (0.5 điểm) câu (A): I là tâm đờng tròn nội tiếp thì ID2 IE2 IF2nhỏ nhất
Câu 5: (1 điểm)
a 4 7 4 7 2 b.3 45 29 2 3 45 29 2 6
Câu 6: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nếu có của các biểu thức
sau: 1 2 1
A
2 B= x(x-3)(x+1)(x+4)
Giải:
A
ta có x2 2 2x 5 x2 2 2x 2 3 (x 2) 2 3 3
Ta có x2 2 2x 5 chỉ có giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi x 2
Vậy Amax=1
3 khi x 2
Trang 32 B= x(x-3)(x+1)(x+4) =(x2+x)( x2+x-12) (1)
Đặt: x2 + x = t
Ta có: B = t ( t -12 ) = t2 -12t = t2 -12t +36 -36 =(t -6)2 -36 36
Do đó: Bmin= -36 khi t = 6
Vậy Bmin = -36 khi x = 2; x = -3
Câu 7 : (2 điểm) Gọi ha,hb, hc là các đờng cao tơng ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC; r là bán kính đờng tròn nội tiếp Chứng minh:
a ha + hb + hc 9r b h a2 h b2 h c2 27r2
Giải:
trong tam giác ABC ta đặt BC = a; AC = b; AB = c; S là diện tích của tam giác ABC
a Do đó ta có: 1 . 1 . 1 .
S h a h b h c
Suy ra: h a 2S(1);h b 2S(2);h c 2S(3)
cộng các vế của (1) (2) và (3) ta đợc
a b c
Dấu bằng sảy ra khi a=b=c suy ra tam giác ABC đều
b ta có
2 2 2 2 2 2 2 2 2
(1)
(2)
(3)
Từ (1) (2) và (3) suy ra:
a b b
(đpcm)
Câu 8: Giải các phơng trình sau:
a 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2 x x 2 ; b 5 x 1 3 x 8 1 x3
Giải:
a 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2 x x 2
Ta có:VT= 3x2 6x 7 5x2 10x 14 3(x 1) 2 4 5(x 1) 2 9 5
VP= 4 2 x x 2 (x 1) 2 5 5 do đó dấu bằng sảy ra khi và chỉ khi
x + 1 = 0 x = -1
Vậy nghiệm phơng trình x = -1
b 5 x 1 3 x 8 1 x3
*Xét với x = 0 ta có: VT = 5 x 1 3 x 8 1 2 1
VP = 1-x3 = 1 do đó x = 0 (tm)
*Xét với x < 0 ta có: VT = 5 x 1 3 x 8 1 2 1
VP = 1-x3 > 1 do đó x < 0 không thoả mãn
*Xét với x > 0 ta có: VT = 5 x 1 3 x 8 1 2 1
VP = 1- x3 < 1 do đó x > 0 không thoả mãn
Vậy nghiệm phơng trình x = 0
Câu 9: (3 điểm)
Cho tứ giác ABCD, gọi I là giao điểm của hai đờng chéo Kí hiệu
1 AIB; 2 CID; ABCD
S S S S SS
a Chứng Minh: S1 S2 S
Trang 4S4 S3
S2
S1 I K H
D
C
B
A
b Khi tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang th× hÖ thøc trªn x¶y ra nh thÕ nµo?
Gi¶i:
a Gäi S1= SAIB ; S2 = S CID ; S3 = S BIC ; S 4 = S AID
KÎ AH BD CK; BD
Ta cã:
1 2 1 2
AIB
AID
1 4
(1)
S BI
S DI
1 2 1 2
CID
BIC
3 2
(2)
S BI
S DI
Tõ (1) vµ (2) suy ra: 1 3 1 2 3 4
4 2
S S
S S S S
Ta cã: S ABCD = S1 + S2 + S3 + S4 S1S2 2 S S3 (4)4
S S S S S S S S S S
(®pcm)
b Khi tø gi¸c ABCD lµ h×nh thang ta xÐt:
* NÕu AB // CD ta cã: S ACD = S BCD suy ra: S 3 = S 4 S S1 S2
* NÕu BC // AD ta cã: S ABC = S CAD Suy ra: S 1 = S 2
2
S
DÊu b»ng s¶y ra khi: S1 = S 2 = S 3 = S 4 =
4
S
ABCD lµ h×nh b×nh hµnh
C©u 10: (2 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña: 2 2 1
1
x x A
x
Gi¶i:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau:
2
2
1 1
x x
A
x
XÐt: A-1 = 0 A 1 x 0
XÐt: A-1 0 A 1
§Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lín nhÊt vµ cã gi¸ trÞ nhá nhÊt th× ph¬ng tr×nh trªn
cã nghiÖm:
Ta cã: 1 4(A 1)(A 1) 1 4 A2 8A 4 4A2 8A 3 0 4A2 8A 3 0
VËy Amax = 3
2 khi x = 1
A min = 1
2 khi x = -1
C©u 11: cho 1 1 1 0
a b c TÝnh gi¸ tri cña biÓu thøc P = 2 2 2
ab bc ac
c a b
Gi¶i:
Ta cã:
3
3 3 3
(1) Mµ: 1 1 1 1 1; 1 1 1; 1
a b c b c a c a b (2)
Trang 53 2 1
E
M D
C B
A
Từ (1) và (2) ta có: 13 13 13 3 0 13 13 13 3
a b c abc a b c abc (3)
Mà: P = ab bc ac2 2 2 abc abc abc3 3 3 abc(13 13 13)
c a b c a b c a b (4)
Từ (3) và (4) suy ra: P = abc. 3 3
abc
Vây P = 3
Câu 12: : ( 2 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D
sao cho CD = 2BD
So sánh BAC và 1
Giải:
Gọi M là trung điểm của DC Trên tia đối của
DC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho
ME = MA ta có AMC EMD (c.g.c)
vì: MA = ME (c/d)
AMCEMD (đ đ); MD = MC (cd)
Do đó: AC = ED; CAM DEM
Mặt khác ADC ABC (góc ngoài của ABD)
Mà ABCACB do đó ADC ACD AC ADHay DE > AD A2 E Hay Â2> Â3 (1)
Ta có ABD ACM (c.g.c) A1A3 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: Â2 > Â1
Mà: Â2 +Â3 > Â1+ Â3 hay 2Â1 < Â2 + Â 3
2