CÔNG THỨC ĐẠI SỐ

tóm tắt các công thức về bất đẳng thức , số phức, đạo hàm , .. giúp tra cứu trong quá trình học tập , nội dung đề cập chính xác, bất đẳng thức co-si, bdt bu-nhi-a-cop-xki, bdt svac-xơ, công thức Euler ,...

↢↢↢↢Họ cười tôi vì tôi khác họ – tôi cười họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ MỤC LỤC

I Các hằng đẳng thức 2

1 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (đáng nhớ hay là đáng chết … :3 ) 2

2 Một số công thức khác 2

3 Khai triển theo công thức pascal 2

II Lũy thừa Mũ số nguyên Căn bậc n 3

III Phân thức , biểu thức liên hợp 3

IV Bất đẳng thức 3

1 Bất đẳng thức đơn giản 4

2 3 bất đẳng thức hay gặp 4

3 LƯU Ý: 5

V Cấp số cộng cấp số nhân 5

1 Cấp số cộng 5

2 Cấp số nhân 6

VI Dãy số, tổng hữu hạn của dãy số 6

1 Tổng của một dãy số dãy số có quy luật 6

2 LƯU Ý: 7

VII Số phức Công thức Euler 8

1 Đi ̣nh nghĩa và tính chất 8

2 Da ̣ng lươ ̣ng giác của số phức : 9

3 Công thức Moa-vrơ 10

VIII Công thức lượng giác 10

1 Cung có liên quan đă ̣c biê ̣t 10

2 Công thức lượng giác cơ bản 11

3 Công thức lượng giác 11

4 Ba ̉ng lươ ̣ng giác của 1 số góc đă ̣c biê ̣t 13

IX Logarit 13

X Đa ̣o hàm các hàm số 14

1 Quy tắ c đa ̣o hàm cơ bản 14

2 Đa ̣o hàm hàm số sơ cấp 14

3 Đa ̣o hàm của mô ̣t số hàm số: 15

I Các hằng đẳng thức

1 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (đáng nhớ hay là đáng chết … :3 )

2 Một số công thức khác

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc

(a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 6abc + 3(a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c +bc2)

(a1 + a2 +… + an )2 = a12 + a22 +…+ an2 + 2(a1a2 + a1a3 + ….+ an-1an)

a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = (a2 - √2ab + b2 )( a2 + √2ab + b2)

a4 - b4 = (a2 - b2) (a2 + b2) = (a – b)(a + b)( a2 + b2)

a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4)

a5 - b5 = (a – b)( a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4)

3 Khai triển theo công thức pascal

Công thức Newton :

các hệ số trong khai triển nhị thức được ti ́nh theo tam giác pascal

↢↢↢↢Họ cười tôi vì tôi khác họ – tôi cười họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣

Hệ số C bằng số cùng cột hàng trên và số liền trước

Vi ́ dụ: với n = 9 thì ta có khai triển :

(a + b)9 = a9 + 9a8b + 36a7b2 + 84 a6b3 + 126 a5b4 + 126 a4b5 + 84 a3b6 +

36 a2b7 + 9 ab8 + b9 Chú ý: (a – b)n = [a +(-b)]n

II Lũy thừa Mũ số nguyên Căn bậc n

am = a.a….a (m số a) quy ước: a0 = 1

𝑎𝑚

𝑎𝑛 = am-n ; (𝑎

𝑏)m =𝑎𝑚

𝑏𝑚 (b#0) ; am an = am+n ; (ab)m = ambm ; (𝑎𝑚)𝑛 = amn ; a-m = 𝑎1𝑚 ;

√𝑎𝑛 = a1/n ; √𝑎𝑏𝑛 = √𝑎𝑛 √𝑏𝑛 ; √𝑎𝑛 𝑚 = ( √𝑎𝑛 )𝑚 ;

Nếu: 𝑎

𝑏 = 𝑐

𝑑 thì: √𝑥𝑎 𝑏 = √𝑥𝑐 𝑑 III Phân thức , biểu thức liên hợp

Hỗn số: a 𝑏

𝑐 = 𝑎𝑐+𝑏

𝑐

Phân số bằng nhau: 𝑎

𝑥 = 𝑏

𝑦 = 𝑐

𝑧 = 𝑎+𝑏+𝑐

𝑥+𝑦+𝑧

Ki ̃ thuật nhân liên hợp: (giả sử với x là ẩn còn a,b,c,d,… là tham số)

𝑥

√𝑎

𝑛 = 𝑥 √𝑎𝑛−1

𝑛

√𝑎 ± √𝑏 = 𝑥(√𝑎 ∓ √𝑏)

𝑎2− 𝑏2 ; 𝑎

√𝑏𝑥 + 𝑐±𝑑 =

𝑎 (√𝑏𝑥 + 𝑐 ∓𝑑)

𝑏𝑥 + 𝑐 − 𝑑2 𝑎

√𝑏𝑥 + 𝑐

3

±𝑑 =

𝑎(√(𝑏𝑥 + 𝑐)3 2

∓𝑑 √𝑏𝑥 + 𝑐3 + 𝑑2)

𝑏𝑥 + 𝑐±𝑑3

IV Bất đẳng thức

1 Bất đẳng thức đơn giản

➢ a ≥ b ⟹ -a ≤ -b

➢ a ≥ b ⟹ a± c ≥ b±c

➢ a ≥ b ; c ≥ 0 ⟹ ac ≥ bc ; 𝑎

𝑐 ≥ 𝑏

𝑐

➢ 0 < a ≤ b ⟹ 1𝑎 ≥ 1𝑏 > 0

➢ 0 > a ≥ b ⟹ 1

𝑎 ≤ 1𝑏 < 0

➢ a ≤ b ; n > 0 ⟹ an ≤ bn ; a-n ≤ b-n ; ln a ≤ ln b

➢ ex≥ 1 + x (*)

➢ aa + bb ≥ ab + ba > 1 , với a,b > 0.

➢ (1 + 𝑎)𝑟 ≥ 1 + 𝑟𝑎 với r≥ 0 , a > -1.

2 3 bất đẳng thức hay gặp

➢ Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy):

𝑣ớ𝑖 𝑛 𝑠ố nguyên dương thì ta có :

𝑎1 + a2 + ……+ an ≥ 𝑛 √𝑛 𝑎1 + 𝑎2 + ⋯ + 𝑎𝑛

Dấu bằng xảy ra khi : 𝑎1 = a2 = ……= an

Bất đẳng thức thông dụng với n=2 tức là:

a + b ≥ 2 √𝑎𝑏

➢ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski

Với n cặp số nguyên dương ta có:

(𝑎12+ 𝑎22+ ……+ 𝑎𝑛2)( 𝑏12+ 𝑏22+ ……+ 𝑏𝑛2) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2

↢↢↢↢Họ cười tôi vì tôi khác họ – tôi cười họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣

Dấu bằng xảy ra khi: 𝑎1

𝑏1 = 𝑎2

𝑏2 = ⋯ = 𝑎𝑛

𝑏𝑛

Bất đẳng thức thông dụng với n = 2 Tức là:

(𝑎12+ 𝑎22)( 𝑏12+ 𝑏22) ≥ (a1b1 + a2b2)2

➢ Bất đẳng thức Svac-xơ

𝑎12

𝑏1 +

𝑎22

𝑏2+ +

𝑎𝑛2

𝑏𝑛 ≥ (𝑎1+ 𝑎2+ ⋯ + 𝑎𝑛)

2

𝑏1 + 𝑏2+ ⋯ + 𝑏𝑛

Dấu bằng xảy ra khi: 𝑎1

𝑏1 = 𝑎2

𝑏2 = ⋯ = 𝑎𝑛

𝑏𝑛

3 LƯU Ý:

➢ Từ bất đẳng thức (*) trở đi chủ yếu chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

➢ Đối với 3 bất đẳng thức cuối cùng k cần thiết phải biết cách chứng minh tổng quát, vì các bài toán k áp dụng với nhiều số (cặp số ) mà chi ̉ thường chi ̉ là 2 hoặc 3 số (cặp số)

V Cấp số cộng cấp số nhân

1 Cấp số cộng

Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,…

Với công sai là d thì:

a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d; … ; an = a1 +(n-1)d

Ti ́nh chất: an+1 – an =an+2 – an+1

an+1 =𝑎𝑛+𝑎𝑛+2

số hạng tổng quát: an = a1 + (n-1)d

Tổng n số hạng đầu:

Sn= a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = (𝑎1+𝑎𝑛)𝑛

2 Cấp số nhân

Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,…

Với công bội là q thì:

a2 = a1.q , a3 = a1.q2 , … , an = a1.qn-1

Ti ́nh chất: 𝑎𝑛+1

𝑎𝑛+1 ;

an+1 = √𝑎𝑛𝑎𝑛+2 , an > 0

Số hạng tổng quát: an = a1.qn-1

Tổng của n số hạng đầu:

Sn= a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an

= a1 + a1.q + a1.q2 + … + an-1.qn-2+ an.qn-1

= a1.(1 + q + q2 + … + qn-2 + qn-1 ) = a1

1−qn 1−q (q # 1).

VI Dãy số, tổng hữu hạn của dãy số

1 Tổng của một dãy số dãy số có quy luật

1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + n = 𝑛(𝑛−1)

2

p + (p+1) + … + (q - 1) + q = (𝑞+𝑝)(𝑞−𝑝+1)

2

1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) + (2n – 1) = n2

2 + 4 + 6 + … + (2n – 2) + 2n = n(n+1)

12 + 22 + 32 + … + (n-1)2 + n2= 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)

6

13 + 23 + 33 + … + (n-1)3 + n3 = 𝑛

2 (𝑛+1)2 4

12 + 32 + … + (2n-3)2 + (2n-1)2 = 𝑛 (4𝑛−1)

3

13 + 33 + … + (2n-3)3 + (2n-1)3 = n2(2n2 - 1)

↢↢↢↢Họ cười tôi vì tôi khác họ – tôi cười họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣

14 + 24 + 34 + … + (n-1)4 + n4= 𝑛(𝑛+1)(2𝑛+1)(3𝑛

2 +3𝑛−1) 30

15 + 25 + 35 + … + (n-1)5 + n5 = 1

12 n2 (n + 1)2 (2n2 + 2n + 1) 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + n(n+1) = 1

3 n(n+1)(n+2) (*) 1∙2∙3 + 2∙3∙4 + 3∙4∙5 + … + n(n+1)∙(n+2) = 1

4 n(n+1)(n+2)(n+3) 1∙2 + 2∙5 + 3∙8 + … + n(3n – 1) = n2(n+1)

1

1 ∙ 2+

1

2 ∙ 3+

1

3 ∙ 4+ ⋯ +

1

𝑛 ∙ (𝑛 + 1)=

𝑛

𝑛 + 1 1

1 ∙ 2 ∙ 3+

1

2 ∙ 3 ∙ 4+

1

3 ∙ 4 ∙ 5+ ⋯ +

1

𝑛 ∙ (𝑛 + 1) ∙ (𝑛 + 2)

= 𝑛(𝑛 + 3) 4(𝑛 + 1)(𝑛 + 2) 3

(1 ∙ 2)2 + 5

(2 ∙ 3)2+ ⋯ + 2𝑛 + 1

[𝑛(𝑛 + 1)]2 = 𝑛(𝑛 + 2)

(𝑛 + 1)2

2 LƯU Ý:

1 Các công thức trên ĐA SỐ có thể chứng minh theo cách quy nạp

2 Tuy nhiên từ bắt đầu ở tổng (*) ta có thể chứng minh theo cách khác là phân ti ́ch số hạng tổng quát rồi đưa các phần tử

của dãy theo như đã phân ti ́ch rồi khử những phần giống nhau

ta được tổng cần ti ́nh

3 Vi ́ dụ: ở tổng (*) có số hạng tổng quát là n(n+1)

Ta có: n(n+1) = 1

3 [n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)]

Suy ra: 1∙2 = 1

3[1∙2∙3 - 1∙ 2 ∙ 0]

2∙ 3 = 1

3 [2∙ 3 ∙ 4 - 2∙ 3 ∙ 1]

………

n(n+1) = 1

3 [n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)]

thay vào ta được :

S = 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + n(n+1)

= 1

3 [(1∙2∙3 - 1∙ 2 ∙ 0) +(2∙ 3 ∙ 4 - 2∙ 3 ∙ 1) +…+ n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)]

= 1

3 n(n+1)(n+2) (được CM)

4 Ngoài 2 cách chứng minh như đã nêu ở trên thì các tổng còn được chứng minh bằng nhiều cách khác nhau

VII Số phức Công thức Euler

1 Định nghĩa và tính chất

➢ Số i : số i là số thỏa mãn t/m 𝑖2 = −1 (i gọi là đơn vi ̣ ảo)

➢ Da ̣ng a + bi

Kí hiê ̣u số phức z là z= a + bi với a là phần thực, b là phần ảo

❖ Chú ý : + số z =a là số thực

+ số z = bi là số ảo

+ số z = 0 vừ a là số thực vừa là số ảo

➢ Hai số phức bằng nhau : hai số z = a + bi, và z’ = a’ + b’i go ̣i là bằng nhau nếu a = a’, b = b’ thì z= z’

➢ Tổng( hiê ̣u) của hai số phức: tổng của hai số z = a ±bi và z’ = a’ ± b’i là

z ± z’ = (a ± a’) + ( b ± b’)i

↢↢↢↢Họ cười tôi vì tôi khác họ – tôi cười họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣

➢ Tích hai số phức: z = a + bi và z’ = a’ + b’i là số phức

zz’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i

➢ Số phức liên hợp: của số phức z = a + bi là a – bi kí hiê ̣u là 𝑧̅

➢ Môđun của số phức z = a + bi là mô ̣t số thực không âm √𝑎2+ 𝑏2 và được kí hiê ̣u

là |𝑧|

➢ Phép chia cho số phức khác 0:

Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 𝑧−1 = 1

|𝑧| 2𝑧̅ Thương của 𝑧′𝑧 = 𝑧

′ 𝑧̅

|𝑧| 2 (với z ≠ 0 ) Tức là nhân cả tử và mẫu với 𝑧̅

➢ Căn bâ ̣c hai của số phức:

w = a + bi có căn bâ ̣c hai là z = x + yi khi và chỉ khi 𝑧2 = w tứ c là :

(𝑥 + 𝑦𝑖)2 = a + bi

➢ Nhân chia số phức dưới da ̣ng lượng giác:

Nếu z = r(cos 𝜑 + i sin 𝜑)

z’ = r’(cos 𝜑′ + i sin 𝜑′)

Thì zz’ = rr’[cos(𝜑 + 𝜑′) + i sin(𝜑 + 𝜑′)],

𝑧′

𝑧 = 𝑟′

𝑟 [cos(𝜑′ − 𝜑) + i sin(𝜑′ − 𝜑)]

2 Dạng lươ ̣ng giác của số phức :

Số phứ c z = a + bi ≠ 0

r = |𝑧|

𝜑 là acgumen của z tức {𝑎 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑏 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

Vậy z sẽ được viết dưới da ̣ng z = r(cos𝜑 + i sin𝜑 )

3 Công thứ c Moa-vrơ

[𝑟(cos𝜑 + i sin𝜑)]𝑛 = 𝑟𝑛(cosn𝜑 + i sinn𝜑)

Khi r = 1 thì (cos𝜑 + i sin𝜑)𝑛 = cosn𝜑 + i sinn𝜑

VIII Công thứ c lươ ̣ng giác

1 Cung có liên quan đă ̣c biê ̣t

Đố i nhau : sin(-𝛼) = -sin(𝛼) ; cos(-𝛼) = cos(𝛼)

tan(-𝛼) = -tan(𝛼) ; cot(-𝛼) = -cot(𝛼)

Bù nhau: sin(𝜋-𝛼) = sin(𝛼) ; cos(𝜋-𝛼) = -cos(𝛼) tan(𝜋-𝛼) = -tan(𝛼) ; cot(𝜋-𝛼) = -cot(𝛼) Hơn kém ∏ : sin(𝜋+𝛼) = -sin(𝛼) ; cos(𝜋+𝛼) = -cos(𝛼) tan(𝜋+𝛼) = tan(𝛼) ; cot(𝜋+𝛼) = cot(𝛼)

Phụ nhau: sin( 𝜋

2 - 𝛼) = cos(𝛼) ; cos(𝜋

2 - 𝛼) = sin(𝛼)

tan(𝜋

2 - 𝛼) = cot(𝛼) ; cot( 𝜋

2 - 𝛼) = tan(𝛼)

Hơn kém 𝜋2 : sin( 𝜋

2 + 𝛼) = cos(𝛼) ; cos(𝜋

2 + 𝛼) = -sin(𝛼)

↢↢↢↢Họ cười tôi vì tôi khác họ – tôi cười họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣ tan(𝜋

2 + 𝛼) = -cot(𝛼) ; cot( 𝜋

2 + 𝛼) = -tan(𝛼)

2 Công thứ c lươ ̣ng giác cơ bản

sin2𝛼 + cos2𝛼 = 1 ; 1 + tan2𝛼 = 1

cos2𝛼 (𝛼 ≠ 𝜋

2 + k𝜋, k ∈ ℤ )

1 + cot2𝛼 = 1

sin2𝛼 (𝛼 ≠ k𝜋, k ∈ ℤ ); tan𝛼 cot𝛼 = 1 (𝛼 ≠ k𝜋

2, k ∈ ℤ)

sin3𝛼 + cos3𝛼 = (sin𝛼 + cos𝛼 )(1 – sin𝛼 cos𝛼 )

sin3𝛼 − cos3𝛼 = (sin𝛼 – cos𝛼 )(1 + sin𝛼 cos𝛼 )

sin4𝛼 + cos4𝛼 = 1 - 2sin2𝛼 cos2𝛼

sin4𝛼 − cos4𝛼 = sin2𝛼 − cos2𝛼 = -cos(2𝛼)

sin6𝛼 + cos6𝛼 = 1 - 3sin2𝛼 cos2𝛼

sin6𝛼 − cos6𝛼 = -cos(2𝛼)( 1 - sin2𝛼 cos2𝛼)

3 Công thứ c lươ ̣ng giác

Công thứ c cô ̣ng

Sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa

Sin(a −b) = sina cosb − sinb cosa

Cos(a + b) = cosa cosb − sinb sina

Cos(a − b) = cosa cosb + sinb sina

tan(𝑎 − 𝑏) = tan 𝑎 − tan 𝑏

1 + tan 𝑎 tan 𝑏 ; tan(𝑎 + 𝑏) =

tan 𝑎 + tan 𝑏

1 − tan 𝑎 tan 𝑏

Công thứ c nhân đôi, nhân ba

Sin(2𝛼) = 2sin𝛼 cos𝛼 ;

Cos(2𝛼) = cos2𝛼 - sin2𝛼 = 2cos2𝛼 -1 = 1 - 2sin2𝛼

tan(2𝛼) = 2tan 𝛼

1− tan2𝛼 ; tan(3𝛼) = 3 tan 𝛼 − tan

3 𝛼 1−3 tan2𝛼 ;

sin(3𝛼) = 3sin𝛼 - 4sin3𝛼 ; cos(3𝛼) = 4cos3𝛼 – 3cos𝛼

Công thứ c ha ̣ bâ ̣c

sin2𝛼 = 1− cos 2𝛼

2 ; cos2𝛼 = 1+ cos 2𝛼

2

sin3𝛼 = 3 sin 𝛼− sin 3𝛼

4 ; cos3𝛼 = 3 c𝑜𝑠 𝛼+ cos 3𝛼

4 ;tan2 𝛼 = 1− cos 2𝛼

1+ cos 2𝛼

Công thứ c biến tích thành tổng

cos𝛼 cos𝛽 = 1

2 [cos(𝛼 - 𝛽) – cos(𝛼 + 𝛽)]

sin𝛼 sin𝛽 = 1

2 [cos(𝛼 - 𝛽) + cos(𝛼 + 𝛽)]

sin𝛼 cos𝛽 = 1

2 [sin(𝛼 - 𝛽) + sin(𝛼 + 𝛽)]

Công thứ c biến tổng thành tích

cos𝛼 + cos𝛽 = 2[cos(𝛼+𝛽

2 )cos(

𝛼−𝛽

2 )]

cos𝛼 – cos𝛽 = -2[sin(𝛼+𝛽

2 )sin(

𝛼−𝛽

2 )]

sin𝛼 + sin𝛽 = 2[sin(𝛼+𝛽

2 )cos(

𝛼−𝛽

2 )]

sin𝛼 - sin𝛽 = 2[cos(𝛼+𝛽

2 )sin(

𝛼−𝛽

2 )]

↢↢↢↢Họ cười tôi vì tôi khác họ – tôi cười họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣

4 Bảng lươ ̣ng giác của 1 số góc đă ̣c biê ̣t

IX Logarit

log𝑎𝑏 = 𝛼 ⇔ 𝑎𝛼 = 𝑏 ;

Quy ước: log𝑎1 = 0 ; log𝑎𝑎 = 1 ; log𝑎𝑎𝑏 = b ; 𝑎log𝑎 𝑏 = b (b > 0)

So sánh 2 logarit cùng cơ số:

+ Nếu a > 1 thì log𝑎𝑏 > log𝑎𝑐 ⇔ b > c

+Nếu 0 < a < 1 thì log𝑎𝑏 > log𝑎𝑐 ⇔ b < c

Hệ quả: + khi a > 1 thì log𝑎𝑏 > 0 ⇔ b > 1

+ khi 0 < a < 1 thì log𝑎𝑏 > 0 ⇔ b < 1

+ log𝑎𝑏 = log𝑎𝑐 ⇔ b = c

Quy tắ c tính: log𝑎(𝑏𝑐) = log𝑎𝑏 + log𝑎𝑐 ; log𝑎𝑏

𝑐 = log𝑎𝑏 - log𝑎𝑐 ;

log𝑎𝑏𝛼 = 𝛼 log𝑎𝑏 ; log𝑎1

𝑏 = - log𝑎𝑏 ; log𝑎 𝑛√𝑏 = 1

𝑛 log𝑎𝑏

Đổi cơ số : log𝑏𝑐 = log𝑎𝑐

log𝑎𝑏 hay log𝑎𝑏 log𝑏𝑐 = log𝑎𝑐

log𝑎𝑏 = 1

log𝑏𝑎 ; log𝑎𝛼𝑐 =

1

𝛼 log𝑎𝑐 ( 𝑣ớ𝑖 𝑎, 𝑏 ≠ 1)

X Đa ̣o hàm các hàm số.

1 Quy tắ c đạo hàm cơ bản

Đa ̣o hàm hằng số = 0: (c)’ = 0

Đa ̣o hàm của tổng bằng tổng đa ̣o hàm : (x + y)’ = x’ + y’

Đa ̣o hàm của tích: (xy)’ = x’y + xy’

Đa ̣o hàm của thương: (𝑥

𝑦) ′ = 𝑥’𝑦 – 𝑥𝑦’

𝑦2

2 Đạo hàm hàm số sơ cấp

Vớ i x, y là ẩn còn a, b, c, n, m là tham số , u = f(x),v = f(y) là các hàm số

(ax)’ = a (au)’ = a u’

(xn)’ = n xn-1 (un)’ = n un-1 u’

( √𝑥𝑛 )’ = 1

𝑛 √𝑥𝑛 𝑛−1 ( √𝑢𝑛 )’ = 𝑢′

𝑛 √𝑥𝑛 𝑛−1

(ax)’ = ax lna ⟹ (ex)’ = ex (au)’ = u’ au lna ⟹ (eu)’ = u’ ex

(log𝑎𝑥)’ = 1

𝑥 𝑙𝑛 𝑎 ⟹ (ln 𝑥)’ = 1

𝑥 (log𝑎𝑢)’ = 𝑢′

𝑢 ln 𝑎 ⟹ (ln 𝑢)’ = 𝑢′

𝑢

(sin x)’ = cos x (sin u)’ = u’ cos u

(cos x)’ = -sin x (cos u)’ = - u’ sin u

(tan x)’ = 1+ tan2𝑥 = 1

cos 2 𝑥 (tan u)’ = (1+ tan2𝑥)𝑢′ = 𝑢′

cos 2 𝑥

(cot x)’ = -(1 + cot2𝑥) = −1

sin 2 𝑥 (cot u)’ = -(1 + cot2𝑥)𝑢′ = −(𝑢)′

sin 2 𝑥

↢↢↢↢Họ cười tôi vì tôi khác họ – tôi cười họ vì họ quá giống nhau↣↣↣↣

3 Đạo hàm của mô ̣t số hàm số:

f(x)’ = (ax2 + bx + c)’ = 2ax + b

f(x)’ = (𝑎𝑥+𝑏

𝑐𝑥+𝑑)′ = 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐

(𝑐𝑥+𝑑)2 =

|𝑎 𝑏

𝑐 𝑑| (𝑐𝑥+𝑑)2

f(x)’ = (𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐

𝑑𝑥+𝑒 )

′

= 𝑎𝑑𝑥2+2𝑎𝑒𝑥+𝑏𝑒−𝑐𝑑

(𝑑𝑥+𝑒)2

f(x)’ = (𝑎1𝑥2+ 𝑏1𝑥+𝑐1

𝑎2𝑥2+ 𝑏2𝑥+𝑐2)

′

=

|𝑎1 𝑏1

𝑎2 𝑏2| 𝑥2+ |𝑎𝑎1 𝑐1

2 𝑐2| 𝑥 +|𝑏𝑏1 𝑐1

2 𝑐2| (𝑎2𝑥2+ 𝑏2𝑥+𝑐2)2

Trong khi viết tái liếu không tránh khói sai sót, mong các bán góp ý thêm ! thân !