CÔNG THỨC ĐẠI SỐ

Khai triển theo công thức pascal...2 II.. Khai triển theo công thức pascal... Công thức Moa-vrơ.. Công thức lượng giác.. Cung có liên quan đặc biệt... Công thức lượng giác

I Các hằng đẳng thức 2

1 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (đáng nhớ hay là đáng chết … :3 ) 2

2 M t số công thức khác ột số công thức khác 2

3 Khai triển theo công thức pascal 2

II Lũy thừa Mũ số nguyên Căn b c n ậc n .3

III Phân thức , biểu thức liên hợp 3

IV Bất đẳng thức 3

1 Bất đẳng thức đơn giản 4

2 3 bất đẳng thức hay g p ặp .4

3 LƯU Ý: 5

V Cấp số c ng cấp số nhân ột số công thức khác 5

1 Cấp số c ng ột số công thức khác 5

2 Cấp số nhân 6

VI Dãy số, tổng hữu hạn của dãy số 6

1 Tổng của m t dãy số dãy số có quy lu t ột số công thức khác ậc n .6

2 LƯU Ý: 7

VII Số phức Công thức Euler 8

1 Định nghĩa và tính chất 8

2 Dạng lượng giác của số phức : 9

3 Công thức Moa-vrơ 10

VIII Công thức lượng giác 10

1 Cung có liên quan đặc biệt 10

2 Công thức lượng giác cơ bản 11

3 Công thức lượng giác 11

4 Bảng lượng giác của 1 số góc đặc biệt 13

IX Logarit 13

X Đạo hàm các hàm số 14

1 Quy tắc đạo hàm cơ bản 14

2 Đạo hàm hàm số sơ cấp 14

4 Đạo hàm của một số hàm số: 15

XI Nguyên hàm tích phân 15

1 Tính chất của nguyên hàm 15

2 Các nguyên hàm cơ bản 16

3 Nguyên hàm phức tạp 16

4 Một số loại nguyên hàm khó và ít gặp 18

XII Giới hạn 18

1 18

I Các hằng đẳng thức 1 7 hằng đẳng thức đáng nhớ (đáng nhớ hay là đáng chết … :3 ) 2 M t số công thức khác ột số công thức khác (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b - c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab - 2ac - 2bc (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 - 2ab - 2ac + 2bc (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 6abc + 3(a2b + ab2 + a2c + ac2 + b2c +bc2) (a1 + a2 +… + an )2 = a12 + a22 +…+ an2 + 2(a1a2 + a1a3 + ….+ an-1an) a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = (a2 - √2ab + b2 )( a2 + √2ab + b2) a4 - b4 = (a2 - b2) (a2 + b2) = (a – b)(a + b)( a2 + b2) a5 + b5 = (a + b)(a4 - a3b + a2b2 - ab3 + b4) a5 - b5 = (a – b)( a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4) 3 Khai triển theo công thức pascal Công thức Newton : (a+b)n =

các h số trong khai triển nhị thức được tính theo tam giác pascal

H số C bằng số cùng c t hàng trên và số liền trước ột số công thức khác Ví dụ: với n = 9 thì ta có khai triển :

(a + b)9 = a9 + 9a8b + 36a7b2 + 84 a6b3 + 126 a5b4 + 126 a4b5 + 84 a3b6 +

36 a2b7 + 9 ab8 + b9 Chú ý: (a – b)n = [a +(-b)]n

II Lũy thừa Mũ số nguyên Căn b c n.ậc n

am = a.a….a (m số a) quy ước: a0 = 1

a

m

a n = am-n ; (a

b)m =a

m

b m (b#0) ; am an = am+n ; (ab)m = ambm ; (a m)n = amn ; a-m = a1m ;

n

√a = a1/n ; n

√ab=√n a√n b ; √n a m=(√n a) m ; Nếu: a b=c

d thì: √a x b=√c x d III Phân thức , biểu thức liên hợp

Hỗn số: a b c=ac +b

c . Phân số bằng nhau: a x=b

y=

c

z= a+ b+c

x + y +z

Kĩ thu t nhân liên hợp: (giả sử với x là ẩn còn a,b,c,d,… là tham số).ậc n.

x

n

√a=

x√n a n−1

a ;√a ± x√b=x (√a ∓√b)

a2

−b2 ;

a

√bx+c ± d=

a(√bx+c ∓ d)

bx +c−d2 a

3

√bx+c ± d=a¿ ¿

e

3

√ax+ b+√cx +d=

e

6

√( ax+b )2+√6(cx+ d )3

1 Bất đẳng thức đơn giản.

 a ≥ b ⟹ -a ≤ -b

 a ≥ b ⟹ a±c ≥ b±c

 a≥ b ; c ≥0 ⟹ ac ≥ bc ; a c ≥ b

c

a ≥

1

b> 0

 0 > a ≥ b ⟹ 1a ≤1b< 0

 a ≤ b ; n > 0 ⟹ an ≤ bn ; a-n≤ b-n ; ln a ≤ln b.

 ex≥ 1 + x (*)

 aa + bb ≥ ab + ba ¿ 1 , với a,b > 0.

 (1+a)r ≥ 1+ra với r≥ 0 , a > -1.

 B ´â t đ ´ă ng th ´ư c Cô-si (Cauchy):

v ´ơ i n s ´ô nguyên dương thì ta có :

a1 + a2 + ……+ an ≥ n√n a1+a2+…+a n

Dấu bằng xảy ra khi : a1 = a2 = ……= an

Bất đẳng thức thông dụng với n=2 tức là:

a + b≥ 2√ab

 Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cop-ski

Với n c p số nguyên dương ta có:ặp

(a12+ a22+ ……+ a n2)(b12+ b22+ ……+ b n2) ≥ (a1b1 + a2b2 + … + anbn)2

1

=a2

b2=…=

a n

b n

Bất đẳng thức thông dụng với n = 2 Tức là:

¿ ¿+ a22)(b12+ b22) ≥ (a1b1 + a2b2)2

 Bất đẳng thức Svac-xơ.

a12

b1+

a22

b2+ +

a n2

b n ≥

(a1+a2+…+a n)2

b1+b2+…+b n

Dấu bằng xảy ra khi:a b1

1

=a2

b2=…=

a n

b n

3 LƯU Ý:

 Từ bất đẳng thức (*) trở đi chủ yếu chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học

 Đối với 3 bất đẳng thức cuối cùng k cần thiết phải biết cách chứng minh tổng quát, vì các bài toán k áp dụng với nhiều số (c p số ) mà chỉ thường chỉ là 2 ho c 3 số ặp ặp (c p số).ặp

V Cấp số c ng cấp số nhân.ột số công thức khác

1 Cấp số c ng.ột số công thức khác

Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,….

Với công sai là d thì:

a2 = a1 + d; a3 = a1 + 2d; … ; an = a1 +(n-1)d

Tính chất: an+1 – an =an+2 – an+1

an+1 =a n+2a n+2

Tổng n số hạng đầu:

Sn= a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an = (a¿¿1+a2 n)n¿ = 2 a1 +(n−1) d

2 Cấp số nhân.

Dãy số a1, a2, a3, … , an-1, an,…

Với công b i là q thì: ột số công thức khác

a2 = a1.q , a3 = a1.q2 , … , an = a1.qn-1

Tính chất: a a n +1

n

=a n+2

a n+1 ;

an+1 = √a n a n+2 , an > 0.

Số hạng tổng quát: an = a1.qn-1

Tổng của n số hạng đầu:

Sn= a1 + a2 + a3 + … + an-1 + an

= a1 + a1.q + a1.q2 + … + an-1.qn-2+ an.qn-1

= a1.(1 + q + q2 + … + qn-2 + qn-1 ) = a11−q n

1−q (q # 1).

VI Dãy số, tổng hữu hạn của dãy số.

1 Tổng của m t dãy số dãy số có quy lu tột số công thức khác ậc n

1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + n = n(n−1)2

p + (p+1) + … + (q - 1) + q = (q + p)(q−p+1)2

1 + 3 + 5 + … + (2n – 3) + (2n – 1) = n2

2 + 4 + 6 + … + (2n – 2) + 2n = n(n+1)

12 + 22 + 32 + … + (n-1)2 + n2= n(n+1)(2 n+1)6

13 + 23 + 33 + … + (n-1)3 + n3 = n

2

(n+1)2

4

12 + 32 + … + (2n-3)2 + (2n-1)2 = n(4 n−1)3

13 + 33 + … + (2n-3)3 + (2n-1)3 = n2(2n2 - 1)

14 + 24 + 34 + … + (n-1)4 + n4= n(n+1)(2 n+1)(3 n

2

+3 n−1)

30

15 + 25 + 35 + … + (n-1)5 + n5 = 121 n2 (n + 1)2 (2n2 + 2n + 1)

1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + n(n+1) = 13 n(n+1)(n+2) (*)

1∙2∙3 + 2∙3∙4 + 3∙4∙5 + … + n(n+1)∙(n+2) = 14 n(n+1)(n+2)(n+3)

1∙2 + 2∙5 + 3∙8 + … + n(3n – 1) = n2(n+1)

1

1∙ 2+

1

2 ∙3+

1

3∙ 4+…+

1

n ∙(n+1 )=

n n+1

1

1∙ 2∙ 3+

1

2 ∙ 3∙ 4+

1

3 ∙ 4 ∙ 5+…+

1

n ∙(n+1 )∙ (n+2)=

n(n+3)

4 (n+1)(n+2)

3

(1 ∙2)2+

5 (2∙ 3)2+…+

2 n+1

[n(n+1)]2=

n(n+2)

(n+1)2

2 LƯU Ý:

1 Các công thức trên ĐA SỐ có thể chứng minh theo cách quy nạp

2 Tuy nhiên từ bắt đầu ở tổng (*) ta có thể chứng minh theo cách

khác là phân tích số hạng tổng quát rồi đưa các phần tử của dãy theo

như đã phân tích rồi khử những phần giống nhau ta được tổng cần

tính

3 Ví dụ: ở tổng (*) có số hạng tổng quát là n(n+1)

Ta có: n(n+1) = 13 [n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)]

Suy ra: 1∙2 = 13 [1∙2∙3 - 1∙ 2∙ 0]

2∙ 3 = 13 [2∙ 3∙ 4 - 2∙ 3∙ 1] ………

thay vào ta được :

S = 1∙2 + 2∙3 + 3∙4 + … + n(n+1) = 13 [(1∙2∙3 - 1∙ 2∙ 0) +(2∙ 3∙ 4 - 2∙ 3∙ 1) +…+ n(n+1)(n+2) – n(n+1)(n-1)]

= 13 n(n+1)(n+2) (được CM)

4 Ngoài 2 cách chứng minh như đã nêu ở trên thì các tổng còn được chứng minh bằng nhiều cách khác nhau.

1 Định nghĩa và tính chất

 Số i : số i là số thỏa mãn t/m i2 =−1 (i gọi là đơn vị ảo)

 Dạng a + bi

Kí hiệu số phức z là z= a + bi với a là phần thực, b là phần ảo

 Chú ý : + số z =a là số thực

+ số z = bi là số ảo

+ số z = 0 vừa là số thực vừa là số ảo

 Hai số phức bằng nhau : hai số z = a + ¿ bi, và z’ = a’ + ¿b’i gọi là bằng nhau nếu a = a’, b

= b’ thì z= z’

 Tổng( hiệu) của hai số phức: tổng của hai số z = a ±bi và z’ = a’ ± b’i là

z ± z’ = (a ± a’) + ¿ ( b ± b’)i

 Tích hai số phức: z = a + bi và z’ = a’ + b’i là số phức

zz’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i

 Số phức liên hợp: của số phức z = a + bi là a – bi kí hiệu là ´z

 Môđun của số phức z = a + bi là một số thực không âm √a2

+b2và được kí hiệu là |z|

 Phép chia cho số phức khác 0:

Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z−1 = 1

|z|2´z Thương của z ' z = z

'´z

|z|2 (với z ≠ 0 ) Tức là nhân cả tử và mẫu với ´z

 Căn bậc hai của số phức:

w = a + bi có căn bậc hai là z = x + yi khi và chỉ khi z2 = w tức là :

(x + yi)2 = a + bi

 Nhân chia số phức dưới dạng lượng giác:

Nếu z = r(cos φ + i sin φ)

z’ = r’(cos φ ' + i sin φ ')

Thì zz’ = rr’[cos(φ+φ ') + i sin(φ+ φ '¿],

z '

z = r ' r [cos(φ '−φ¿ + i sin(φ '−φ¿]

2 Dạng lượng giác của số phức :

Số phức z = a + bi ≠ 0

r = |z|

φlà acgumen của z tức {a=r cosφ b=rsinφ

Vậy z sẽ được viết dưới dạng z = r(cosφ + i sinφ )

3 Công thức Moa-vrơ

[r (cos φ+isin φ)] n

=r n

(cosn φ+i sinn φ)

Khi r = 1 thì (cos φ+isin φ)n

=cosnφ+i sinnφ VIII Công thức lượng giác

1 Cung có liên quan đặc biệt

Đối nhau : sin(-α) = -sin(α) ; cos(-α) = cos(α)

tan(-α) = -tan(α) ; cot(-α) = -cot(α) Bù nhau: sin(π-α) = sin(α) ; cos( π-α) = -cos(α)

tan(π-α) = -tan(α) ; cot(π-α) = -cot(α)

Hơn kém ∏ : sin(π+α) = -sin(α) ; cos(π+α) = -cos(α) tan(π+α) = tan(α) ; cot(π+α) = cot(α)

Phụ nhau: sin( π - α) = cos(α) ; cos(π - α) = sin(α)

tan(π2 - α) = cot(α) ; cot( π2- α) = tan(α)

Hơn kém π2 : sin( π2 + α) = cos(α) ; cos(π2 + α) = -sin(α)

tan(π2 + α) = -cot(α) ; cot( π2+ α) = -tan(α)

2 Công thức lượng giác cơ bản

sin 2α+cos2α=1 ; 1 + tan 2α = 1

cos 2α (α ≠ π

2 + kπ, k ∈ Z )

1 + cot2α = 1

sin2α (α ≠ kπ, k ∈ Z ); tanα cotα = 1 (α ≠ kπ2, k ∈ Z)

sin3α+cos3α=¿ ¿ (sinα + cosα )(1 – sinα cosα )

sin3α−cos3α=¿ ¿ (sinα – cosα )(1 + sinα cosα )

sin4α+cos4α=¿ ¿ 1 - 2sin2α cos2α

sin4α−cos4α=¿ ¿ sin2α−¿ cos2α = -cos(2α)

sin6α +cos6α=¿ ¿ 1 - 3sin2α cos2α

sin6α−cos6α=¿ ¿ -cos(2α)( 1 - sin2α cos2α)

3 Công thức lượng giác

Công thức cộng

Sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa

Sin(a − ¿b) = sina cosb − ¿ sinb cosa

Cos(a + b) = cosa cosb − ¿ sinb sina

Cos(a − ¿ b) = cosa cosb + sinb sina

tan( a−b )= tan a−tan b

1+ tan a tan b ; tan( a+b)=

tan a+tan b 1−tan a tan b

Công thức nhân đôi, nhân ba

Sin(2α) = 2sinα cosα ;

Cos(2α) = cos2α - sin2α = 2cos2α -1 = 1 - 2sin2α

tan(2α) = 2 tan α

1−tan2α ; tan(3α) = 3 tan α−tan3α

1−3 tan2α ;

sin(3α) = 3sinα - 4sin3α ; cos(3α) = 4cos3α – 3cosα

Công thức hạ bậc

sin 2α = 1−cos2 α2 ; cos 2α = 1+cos2 α2

sin3α = 3 sin α−sin 3 α4 ; cos3α = 3 c os α+cos 3 α4 ; tan2α = 1−cos2 α 1+cos2 α

Công thức biến tích thành tổng

cosα cosβ = 12 [cos(α - β) – cos(α + β)]

sinα sinβ = 12 [cos(α - β) + cos(α + β)]

sinα cosβ = 12 [sin(α - β) + sin(α + β)]

Công thức biến tổng thành tích

cosα + cosβ = 2[cos(α+β2 )cos( α−β2 )]

cosα – cosβ = -2[sin(α+β2 )sin(α−β2 )]

sinα + sinβ = 2[sin(α+ β2 )cos(α−β2 )]

sinα - sinβ = 2[cos(α+ β2 )sin(α−β2 )]

4 Bảng lượng giác của 1 số góc đặc biệt

loga b=α ⇔a α

=b ; Quy ước: loga1 = 0 ; loga a = 1 ; loga a b = b ; aloga b = b (b > 0)

So sánh 2 logarit cùng cơ số:

+ Nếu a > 1 thì loga b > loga c ⇔ b > c

+Nếu 0 < a < 1 thì loga b > loga c ⇔ b < c

Hệ quả: + khi a > 1 thì loga b > 0 ⇔ b > 1

+ khi 0 < a < 1 thì loga b > 0 ⇔ b < 1

+ loga b = loga c ⇔ b = c

Quy tắc tính: loga(bc) = loga b + loga c ; loga b

c = loga b - loga c ; loga b α = α log a b ; loga1

b= -loga b ; loga√n b = 1n loga b

Đổi cơ số : logb c = loga c

loga b hay loga b logb c = loga c

logb a ;log a α c=1

α loga c (v ´ơ i a ,b ≠ 1)

1 Quy tắc đạo hàm cơ bản

Đạo hàm hằng số = 0: (c)’ = 0 Đạo hàm của tổng bằng tổng đạo hàm : (x + y)’ = x’ + y’

Đạo hàm của tích: (xy)’ = x’y + xy’

Đạo hàm của thương: (x y)' = x ’ y – xy ’

y2

2 Đạo hàm hàm số sơ cấp

Với x, y là ẩn còn a, b, c, n, m là tham số, u = f(x),v = f(y) là các hàm số

(xn)’ = n xn-1 (un)’ = n un-1 u’

¿)’ = 1

n√n x n−1

(ax)’ = ax lna ⟹ (ex)’ = ex (au)’ = u’ au lna ⟹ (eu)’ = u’ ex

(loga x)’ = x ln a1 ⟹¿)’ = 1x (loga u)’ = u ln a u ' ⟹¿)’ = u' u

(cos x)’ = -sin x (cos u)’ = - u’ sin u (tan x)’ = 1+ tan2x= 1

cos 2x (tan u)’ = (1+ tan2x¿u '= u '

cos 2x¿

(cot x)’ = -(1 + cot2x¿ = −1

sin 2x (cot u)’ = -(1 + cot2x¿u ' = −(u)'

sin 2x

3 Đạo hàm của hàm lượng giác ngược

(arcsin x ) '= 1

√1−x2;(arccos x) '

√1−x2

(arctan x ) '= 1

x2+1

4 Đạo hàm của một số hàm số:

f(x)’ = (ax2 + bx + c)’ = 2ax + b

f(x)’ = (ax +b cx +d)'= ¿ ad−bc

(cx +d)2 = |a b c d|

(cx +d)2

f(x)’ = (a x2+bx+c

dx +e )'= ¿ adx2+2aex +be−cd

(dx+e)2

f(x)’ = (a1x2+b1x +c1

a2x2+b2x +c2)'= ¿ |a1 b1

a2 b2|x2

+|a1 c1

a2 c2|x +|b1 c1

b2 c2|

(a2x2 +b2x +c2)2

XI Nguyên hàm tích phân

1 Tính chất của nguyên hàm

∫kf (x ) dx = k∫f (x )dx

( ∫f ( x ) dx)' = f(x)

∫[f ( x)+g ( x )]dx = ∫f (x )dx + ∫g (x)dx

∫[f ( x)−g (x )]dx = ∫f (x )dx − ¿ ∫g (x)dx

∫udv= uv - ∫vdu

2 Các nguyên hàm cơ bản

∫0dx = C ∫sinx dx = - cosx + C

∫xn dx = x n+1

n+1 + C ( n ≠ 1) ∫tan x dx = -ln cosx + C

∫ 1xdx = ln|x| + C ∫cot x dx = ln sinx + C

∫ x1n dx = −1

(n−1) x n−1 + C ∫sindx2x=−cot (tanx)+C

∫e xdx = ex + C ∫cosdx2x=tan x +C

∫a xdx = a x

ln a + C ( 0<a≠ 1)

√x dx = √x + C

3 Nguyên hàm phức tạp

x2−a2=

1

2 aln|x−a x +a|+C

x2+a2=¿=

1

aarctan

x

a+C¿

√x2

−a2 =ln| √x2

−a2

+x|+C

√x2

+a2 =ln| √x2

+a2

+x|+C

x2+a2=

1

2ln|x2

+a2|+C

−a2 = 1

2ln|x2

−a2

|+C

√x2± a2 =√x2± a2

+C

∫ dx

x√x2

−a2 = 1

aarccos|x a|+C

x√x2

+a2 = −1

a ln| √x2+a2+x

x |+C

2√x2± a2± a

2ln|x+√x2± a2|+C

∫sin x dx =ln|tanx

2|+C ;∫cos x dx = ln|tan(2x+

π

4) |+C ;

∫sin ( ax+b) dx=−1

a cos(ax +b )+C

∫cos (ax+b) dx=1

a sin (ax+b)+C

(ax+b)=

−1

a cot ( ax+b )+C

cos2(ax+b)=

1

a tan( ax+b)+C

∫(ax +b) α

= 1

a

(ax +b ) α+1

α +1 +C ;∫e ax+b dx=1

a e

ax+b

+C

4 Một số loại nguyên hàm khó và ít gặp

−x2dx= x√a2−x2

a2

2 arcsin

x

a+C

∫e ax sin bx dx=¿e ax¿ ¿ ¿ ¿

∫e ax cosbx dx=¿e ax

¿ ¿ ¿ ¿

a dx=xarcsin

x

a+√a2−x2+C

∫arccosx

a dx=xarccos

x

a−√a2

−x2

+C

∫arctanx

a dx =xarctan

x

a−

a

2ln(x

2

+a2)+C

∫arccotx

a dx=xarccot

x

a+

a

2ln(x

2

+a2)+C

XII Giới hạn

1 Giới hạn đặc biệt

lim

x→ x0

x=x0; lim

x → x0

c=c ; lim

x → ±∞ c=c ;

lim

x→ ±∞ c

x =0 ;

lim

x→+∞ x k=+∞(k la s ´ô nguyên dương);

lim

x→−∞ x k

=−∞¿ ¿

lim

x→−∞ x k=+∞(k la s ´ô chẵn);

2 Định lý về giới hạn hữu hạn

a Định lí 1:

 Nếu x→ xlim

0

f (x )=L và x→ xlim

0

g ( x )=M thì:

lim

x→ x0

[f ( x ) ± g ( x )]=L ± M

lim

x→ x0

[f ( x ) ∙ g ( x )]=L ∙ M

lim

x → x0

f ( x) g(x ) =

L M

 Nếu f(x) ≥ 0 và x→ xlim0f (x )=L

Thì: L ≥ 0 và x→ xlim

0

√f (x)=√L

b Định lí 2:

lim

x→ x0

f (x )=L ↔¿

5 Quy tắc về giới hạn vô cực