Một số lớp bài toán về xác định đa thức đại số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNGTRƯƠNG TRUNG DUYÊN MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.10.13 Người hướng dẫn khoa h

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRƯƠNG TRUNG DUYÊN

MỘT SỐ LỚP BÀI TOÁN VỀ XÁC ĐỊNH ĐA THỨC ĐẠI SỐ

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.10.13

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

ĐÀ NẴNG - NĂM 2015

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

Phản biện 1: TS NGUYỄN NGỌC CHÂU

Phản biện 2: TS HUỲNH QUANG TUYẾN

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệpthạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 12 tháng 12năm 2015

Có thể tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

Trong các kì thi học sinh giỏi cấp quốc gia, quốc tế, kì thi Olympic Toánsinh viên giữa các trường đại học, các bài toán liên quan đến đa thức thườngxuyên được đề cập và xem như là những dạng toán khó Do đó, đa thức tuy

là vấn đề cổ điển nhưng đối với tôi, đa thức vẫn có sức cuốn hút và hấp dẫn

vô cùng

Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài

"Một số lớp bài toán về xác định đa thức đại số"

Đề tài này nhằm đáp ứng mong muốn của bản thân về một đề tài phùhợp, có thể phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy của mình trong nhà trườngphổ thông

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

a Đối tượng nghiên cứu

Đề tài này tập trung nghiên cứu về các dạng toán xác định đa thức theocác yếu tố đại số và giải tích

b Phạm vi nghiên cứu

Đề tài chỉ tập trung nghiên cứu về các bài toán xác định đa thức đại sốtrên tập số thực.

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo, giáo trình của GS.TSKH NguyễnVăn Mậu, các trang web toán học từ đó trao đổi với thầy hướng dẫn các kếtquả đang nghiên cứu Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tạo được một đề tài gần gũi và phù hợp cho việc giảng dạy và bồi dưỡnghọc sinh giỏi trung học phổ thông

Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học các chuyên đề toán trunghọc phổ thông, qua đó đem lại niềm say mê sáng tạo từ những bài toán cơbản nhất

6 Cấu trúc của luận văn

Bài toán xác định về đa thức thường gặp khi giải phương trình hàmtrên tập các đa thức Ta có thể trước hết xác định bậc của đa thức rồi lầnlượt xác định các hệ số hoặc sử dụng các tính chất của vành các đa thức.Thật khó để phân chia các bài toán xác định về đa thức theo một biên giớirạch ròi như tiêu đề của từng chương, và đâu đó trong một vài vấn đề củabài này vẫn có xuất hiện bóng dáng của vấn đề kia.Tuy nhiên, người viết đã

cố gắng trình bày một cách mạch lạc, hệ thống các bài tập xoay quanh chủ

đề của từng chương luận văn

Luận văn bao gồm phần mở đầu, 3 chương, phần kết luận, và danh mụctài liệu tham khảo

Chương I Những kiến thức bổ trợ

Trong chương này, người viết trình bày tóm tắt các kiến thức cơ bản về

đa thức và đa thức hệ số nguyên, một số bất đẳng thức được dùng trong cácchương sau

Chương II Xác định đa thức theo các yếu tố đại số

Chương này trình bày tổng quan các bài toán xác định đa thức theo các

yếu tố đại số như đặc trưng số học, tính chất nghiệm, đặc trưng nội suy, đặctrưng hàm với các biến tự do, với các phép biến đổi đối số

Chương III Xác định đa thức theo các yếu tố giải tích

Chương này trình bày tổng quan các bài toán xác định đa thức theo cácyếu tố giải tích như là các đặc trưng giới hạn, tích phân, vi phân

CHƯƠNG 1

NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA ĐA THỨC ĐẠI SỐĐịnh nghĩa 1.1 (Định nghĩa về đa thức một biến, [4]) Giả sử A = Rhoặc A = C Ta gọi đa thức bậc n biến x trên A là một biểu thức (hàm số)

đa thức một biến trên trường số thực R

Định nghĩa 1.2 (Bậc của đa thức, [4]) Cho

Pn(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0trên trường số thực R

Nếu an 6= 0 thì n được gọi là bậc của đa thức Pn(x), kí hiệu degP = n.Nếu ak = 0 (k = 1, , n) và a0 6= 0 thì ta có bậc của đa thức là 0 Tagọi đa thức Pn(x) = a0 là đa thức hằng

Nếu ak = 0 (k = 0, , n) thì ta gọi Pn(x) là đa thức không và người

ta định nghĩa bậc đối với đa thức không là âm vô cùng

Định nghĩa 1.3 (Đồng nhất thức, [7]) Cho hai đa thức f, g ∈ R[x],

f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, an 6= 0,

g (x) = bmxm + bm−1xm−1 + · · · + b1x + b0, bm 6= 0

Đa thức f (x) và g (x) được gọi là đồng nhất với nhau nếu

f (x) = g (x) , ∀x ∈ R,tức là f ≡ g ⇔ n = m và ai = bi với i = 0, 1, , n

Định nghĩa 1.4 ([7]) Giả sử A là một trường, a ∈ A, m, n ∈ N∗,

f (x) ∈ A [x], m là số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 1

a là nghiệm bội cấpmcủaf (x)khi và chỉ khif (x)chia hết cho(x − a)m

và không chia hết cho (x − a)m+1 Trong trường hợp m = 1, ta gọi a lànghiệm đơn, còn khi m = 2 thì a được gọi là nghiệm kép

Số nghiệm của một đa thức là tổng số nghiệm của đa thức đó kể cả bộicủa các nghiệm (nếu có) Vì vậy, người ta coi đa thức có một nghiệm bội cấp

m như đa thức có m nghiệm trùng nhau

Định lý 1.1 ([8]) Mỗi đa thức thực bậc n đều có không quá n nghiệmthực

Hệ quả 1.1 ([4]) Đa thức có vô số nghiệm là đa thức không

Hệ quả 1.2 ([1]) Nếu đa thức thực có bậc n có hơn n nghiệm thì đó

n − 1, có dạng

q (x) = bn−1xn−1+ · · · + b1x + b0,trong đó

bn−1 = an, bk = abk+1 + ak+1, k = 0, , n − 1,

và dư số r = ab0 + a0

Định lý 1.2 ([4]) Điều kiện cần và đủ để hai đa thức P (x) và Q (x)nguyên tố cùng nhau là tồn tại cặp đa thức u (x) và v (x) sao cho

P (x) u (x) + Q (x) v (x) ≡ 1

Định nghĩa 1.5 (Ước chung lớn nhất, [4]) Nếu hai đa thức P (x) và

Q (x) khác đa thức không, có ước chung d (x) là đa thức chia hết cho tất cảcác ước chung khác thì d (x) được gọi là ước chung lớn nhất của P (x) và

kí hiệu là L∗[x] Vậy P (x) khả quy trên L [x] kéo theo P (x) ∈ L∗[x] và

P (x) bất khả quy trên L [x] kéo theo P (x) /∈ L∗[x]

Tính chất 1.2 ([4]) Mọi đa thức P (x) ∈ R[x] với bậc lớn hơn 2đều phân tích được thành nhân tử bậc nhất và bậc hai nên cũng có thể coi

P (x) ∈R∗[x]

Nhận xét 1.1 ([4]) Tính khả quy của đa thức thực chất chỉ có ýnghĩa trong Q[x] và Z[x] hoặc trong L [x] Nếu P (x) ∈ Q[x] thì gọi M làmẫu chung nhỏ nhất của các mẫu số của các hệ số trong P (x) thì P (x) =1

MP1(x) với P1(x) ∈Z[x].

Hiển nhiên, nếu P (x) khả quy trên L [x] thì với mọi A ∈ L, đa thứcA.P (x) cũng khả quy trên L [x] Bởi vậy ta chỉ xét tính khả quy của các đathức thuộc Z[x]

Định nghĩa 1.8 ([4]) Đa thứcP (x) ∈ Z[x]được gọi là đa thức nguyênbản nếu bộ các hệ số của nó nguyên tố cùng nhau (có thể không đôi mộtnguyên tố cùng nhau)

Tính chất 1.3 ([4]) Nếu f (x) ∈ Q[x] thì tồn tại duy nhất một đathức nguyên bản f1(x) và một phân số tối giản a

b (a ∈ Z, b ∈ N

∗) sao cho

f (x) = a

bf1(x) Tính chất 1.4 ([4]) Tích của hai đa thức nguyên bản là một đa thứcnguyên bản

Tính chất 1.5 ([4]) Nếu đa thức P (x) ∈ Z[x] có bậc lớn hơn 1 màkhông thuộc Z∗[x] thì nó cũng không thuộc Q∗[x]

Bổ đề 1.1 Cho đa thức P (x) ∈ Z[x]có bậc n, vàa, b là hai số nguyênkhác nhau Khi đó [P (a) − P (b)] (a − b)

Bổ đề 1.2 ([4]) Chứng minh rằng nếu phân số tối giản p

q, ((p, q) = 1)

là nghiệm của đa thức với hệ số nguyên

f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0thì p là ước của a0 và q là ước của an

Mệnh đề 1.1 ([7]) Nếu đa thức đa thức f (x) ∈ Z[x] có nghiệm sốhữu tỉ p

q, ((p, q) = 1) thì qx − p là một nhân tử của đa thức f (x) ∈ Z[x].Tính chất 1.6 (Tiêu chuẩn Eisentein) Cho đa thức

f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0với các hệ số nguyên Giả sử có ít nhất một cách chọn số nguyên tố p, thỏamãn các điều kiện:

(1) Hệ số cao nhất an không chia hết cho p;

(2) Tất cả các hệ số còn lại chia hết cho p;

(3) Hệ số tự do a0 chia hết cho p nhưng không chia hết cho p2

Khi đó đa thức f (x) không phân tích được thành tích các nhân tửvới bậc thấp hơn, với các hệ số hữu tỉ hay đa thức f (x) bất khả quy trong

Q[x]

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hai bộ số (xi) và (yi) tỉ lệ với nhau,tức tồn tại cặp số thực α, β không đồng thời bằng 0, sao cho

αxi + βyi = 0, ∀i = 1, 2, , n

Bất đẳng thức thường được gọi là bất đẳng thức Cauchy (đôi khi còngọi là bất đẳng thức Bunhiascopki, Cauchy - Schwarz hoặc Cauchy - Bunhi-ascopki)

Bất đẳng thức (1.1) là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trungbình nhân, thường được gọi là bất đẳng thức AM - GM

CHƯƠNG 2

XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO CÁC YẾU TỐ ĐẠI SỐ

Trong chương này, người viết trình bày một số bài toán xác định đathức theo một số yếu tố của đại số như là các tính chất nghiệm của đa thức,đặc trưng số học, đặc trưng nội suy và đặc trưng hàm với các biến tự do, cácphép biến đổi đối số của hàm đa thức

2.1 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG SỐ HỌC

Trong phần này, ta xét các bài toán xác định đa thức đại số theo một

số tính chất của số học như là tính chia hết, tính chia có dư, số nguyên tố,ước của một số tự nhiên Trước hết, ta nhắc lại một số kiến thức cơ bản.Định lý 2.1 ([4]) Giả sử A là một trường (A = R hoặc A = C) và

A [x] là vành các đa thức trên A Với f (x) và g (x) là hai đa thức khác đathức không của vành A [x], khi đó luôn tồn tại cặp đa thức duy nhất q (x)

và r (x) thuộc A [x] sao cho

f (x) = g (x) q (x) + r (x) , với degr (x) < degg (x) Nếu r (x) = 0 ta nói f (x) chia hết cho g (x) hay g (x) chia hết f (x)hay f (x) là bội của g (x) hay g (x) là ước của f (x) Ta kí hiệu f g, g/f Nhận xét 2.2 Từ định lí trên, nếu ta lấy đa thức f (x) chia cho đathức g (x) ta được thương là q (x) và phần dưr (x) với degr (x) < degg (x)

Và từ f (x) = g (x) q (x) + r (x) suy ra f (x) − r (x) = g (x) q (x) Vậy[f (x) − r (x)] g (x)

Định nghĩa 2.9 ( Nghiệm của đa thức) [[4]]Giả sử a ∈ A,

f (x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0, an 6= 0,

là đa thức tùy ý của vành A [x], phần tử

f (a) = anan+ an−1an−1 + · · · + a1a + a0

có được bằng cách thay x bởi a được gọi là giá trị của f (x) tại a

Nếu f (a) = 0 thì ta gọi a là nghiệm của f (x) Bài toán tìm nghiệm

của f (x) trong A gọi là giải phương trình đại số bậc n

anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 = 0trong A với x là ẩn

Định lý 2.2 ([4]) Giả sử A là một trường, a ∈ A và f (x) ∈ A [x] Dư

số của phép chia f (x) cho x − a chính là f (a)

Hệ quả 2.5 ([4]) Giả sử A là một trường, a ∈ A và f ∈ A [x] a lànghiệm của f (x) khi và chỉ khi f (x) chia hết cho x − a

Bài toán 2.1 ([7]) Tìm đa thức bậc ba f (x) sao cho f (x) chia hếtcho (x − 2) và f (x) chia cho x2 − 1 thì dư 2x

Bài toán 2.2 ([7]) Xác định đa thức f (x) = 6x4− 7x3+ ax2+ 3x + 2chia hết cho x2 − x + b

Bài toán 2.3 Tìm các cặp số a, b sao cho x4 + 4x3 + ax2 + bx + 1 làbình phương của một đa thức

Bài toán 2.4 ([4]) Xác định đa thức bậc n dạng

f (x) = xn + an−1xn−1+ · · · + a1x + a0,biết rằng khi chia f (x) cho

(x − b1) , (x − b2) , , (x − bn) , (bi ∈ Z, bi 6= bj, i 6= j),

đều có chung số dư là m với m ∈ Z

Bài toán 2.5 Xác định các đa thức P (x) với hệ số nguyên sao cho vớimọi số tự nhiên n thì P (n) luôn là ước tự nhiên của 2015

Bài toán 2.6 ([4]) Chứng minh rằng không tồn tại đa thức bậc lớnhơn 1 với hệ số nguyên dương để m ∈ N∗ luôn luôn kéo theo P (m) là sốnguyên tố

2.2 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO TÍNH CHẤT NGHIỆMTrong phần này, ta xét các bài toán xác định đa thức đại số theo tínhchất các nghiệm của đa thức như là định lí Vieete, tính chất nghiệm thực,nghiệm hữu tỉ của một đa thức Ta nhắc lại một số kiến thức liên quan

Định lý 2.3 (Định lí Vieete, [4]) a Giả sử phương trình

En(x) = x1x xn = (−1)na0Nhận xét 2.4 Định lí Vieete đã chỉ ra mối quan hệ giữa bộ các nghiệmcủa đa thức với tất cả các hệ số trong đa thức đó

Mệnh đề 2.2 Nếu đa thức f (x) ∈ Z[x] có nghiệm số hữu tỉ r

s với(r, s) = 1 thì sx − r là một nhân tử của f (x) ∈ Z[x]

Định lý 2.4 ([7]) Cho đa thức f (x) ∈ R[x] có nghiệm x1, x2, , xmvới bội tương ứngk1, k2, , km Khi đó tồn tại đa thức g (x) ∈ R[x]sao cho

Đặc biệt, khi

k1 + k2 + · · · + km = nthì ta có phân tích đầy đủ theo các nghiệmx1, x2, , xm (có thể trùng nhau)của đa thức f (x) bậc n

f (x) = a0(x − x1) (x − x2) (x − xn) , a0 ∈ R.Bài toán 2.7 ([7]) Xác định đa thức P (x) = x3 + ax2 + bx + c biếtrằng đa thức có ba nghiệm u, v, t và u3, v3, t3 là ba nghiệm của phương trình

p = anan−1 a1a0

ta xét đa thức fp(x) ∈ Z [x] tương ứng dạng

fp(x) = anxn+ an−1xn−1 + · · · + a1x + a0.Xác định tất cả các đa thức fp(x) như trên biết rằng nó có nghiệm hữu tỉ.Bài toán 2.12 ([1]) Xác định đa thức P (x) ∈ Z (x) không đồng nhấtkhông có bậc nhỏ nhất nhận x = √

2 +√3

3 làm nghiệm

2.3 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG HÀM VỚICÁC BIẾN TỰ DO

Bài toán xác định đa thức theo đặc trưng hàm với các biến tự do thựcchất là bài toán giải phương trình hàm trong lớp hàm đa thức với các cặpbiến tự do

Phương pháp đặc biệt hóa là phương pháp thường hay sử dụng giảiphương trình hàm với cặp biến tự do Trong phương pháp này, khi thay biến

xbởi các giá trị đặc biệt thì việc chọn các giá trị đặc biệt này đòi hỏi sự nhạycảm nhất mới giúp ta tìm được hàm đa thức f (x) từ một phương trình.Một số kĩ thuật cần lưu ý khi giải phương trình hàm với các cặp biến tự dolà

(1) Nếu trong phương trình hàm có chứa x + y và x − y thì ta thường đặt

u = x + y và v = x − y

(2) Nếu phương trình hàm chứa cặp biến tự do x, y và chứa nhiều ẩn hàmchẳng hạn hàm f và g, ta thường tách biến theo x hoặc y để biểu diễnhàm f theo g, sau đó thay vào phương trình hàm đã cho để đưa về cònmột ẩn hàm

Bài toán 2.13 (Đề thi Olympic 30-4-2012, [1]) Tìm tất cả các cặp đathức f (x) , g (x) ∈ R[x] thỏa mãn điều kiện f (0) = g (0) = 1, g (1) = 2 và

f (x) − f (y) = (x − y) g (x + y) , ∀x, y ∈ R.Bài toán 2.14 ([1]) Tìm tất cả đa thức f (x) ∈R[x] bậc n thỏa mãnđiều kiện

f x2 − y2

= f (x + y) f (x − y) , ∀x, y ∈ R.Bài toán 2.15 ([1]) Tìm đa thức f (x) thỏa mãn

f (x) f (y) = f2



x + y2



− f2



x − y2

, ∀x, y ∈ R.

Bài toán 2.16 (MONDOVA-2004; Algerial MO-2011, [1]) Tìm tất cảcác đa thức P (x) ∈ R[x] thỏa mãn điều kiện

f x3
− f y3

= x2 + xy + y2
[f (x) − f (y)] , ∀x, y ∈ R

Bài toán 2.17 (Olympic Toán sinh viên toàn quốc năm 2011, [1]) Tìmtất cả các đa thức f (x) ∈ R[x] thỏa mãn điều kiện

(x − y) f (x + y) − (x + y) f (x − y) = 4xy x2 − y2

, ∀x, y ∈ R.Bài toán 2.18 (Bangladesh MO - 2012, [1]) Tìm tất cả các đa thức

f (x) ∈R[x] thỏa mãn điều kiện

f x2 − y2

= (x − y) [f (x) + f (y)] , ∀x, y ∈ R.2.4 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC BỞI PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỐI SỐBài toán 2.19 Tìm tất cả các đa thức f (x) ∈ R[x] thỏa mãn điềukiện

f (x) f x2
= f 2015x3 + 2016x2
, ∀x ∈ R.Bài toán 2.20 ([1]) Xác định đa thức f (x) ∈ R[x] thỏa mãn điềukiện

(x − 1) f (x + 1) − (x + 2) f (x) = 0, ∀x ∈ R.

Bài toán 2.21 ([4]) Cho a, b ∈ R+ Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈

R[x] thỏa mãn điều kiện

xP (x − a) = (x − b) P (x) , ∀x ∈ R.Bài toán 2.22 (Việt Nam, 2006, [1]) Tìm tất cả các đa thức P (x) ∈

R[x] thỏa mãn điều kiện

P x2
+ x [3P (x) + P (−x)] = P2(x) + 2x2, ∀x ∈ R.

Bài toán 2.23 Cho số nguyên dươngk Tìm tất cả các đa thức f (x) ∈

R[x] thỏa mãn điều kiện

(x − 2015)kP (x) = (x − 2016)kP (x + 1) , ∀x ∈ R.Bài toán 2.24 (Olympic Moldova - 2014, [1]) Tìm tất cả các đa thức

P (x) ∈R[x] thỏa mãn điều kiện

x3 + 3x2 + 3x + 2
P (x − 1) = x3 − 3x2 + 3x − 2
P (x) , ∀x ∈ R

2.5 XÁC ĐỊNH ĐA THỨC THEO ĐẶC TRƯNG NỘI SUYBài toán 2.25 (Bài toán nội suy Lagrange, [6]) Cho bộ nsố thực phânbiệt x1, x2, , xn và bộ n số thực bất kì a1, a2, , an Tìm tất cả các đathức P (x) có degP (x) ≤ n − 1 và thỏa mãn điều kiện

P (xk) = ak ∈ R với k = 1, , n.Nhận xét 2.5 Đa thức f (x) ∈ R[x] thực có bậc không quá n hoàntoàn được xác định khi biết n giá trị f (xk) , (k = 1 n) với bộ n số thựcphân biệt x1, x2, , xn cho trước

Bài toán 2.26 Xác định đa thức bậc năm f (x) ∈ R[x] biết

f (0) = 1, f (1) = 2, f (−1) = −2, f (2) = 37, f (−2) = 43 và f (3) = 262.Bài toán 2.27 ([4]) Tìm tất cả các đa thức P (x) có bậc nhỏ thua n

và thỏa mãn điều kiện

Bài toán 2.30 ([4]) Chứng minh rằng tồn tại đa thức P (x) bậc n với

hệ số nguyên sao cho

P (x) − 1

2

< 1

1000, ∀x ∈

1

10,

910



Bài toán 2.31 ([4]) Cho hai số nguyên dương p, q Chứng minh rằngtồn tại đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên sao cho

P (x) − p

q

< 1

q2 với mọi x ∈

12q,

32q



Bài toán 2.32 Tồn tại hay không một đa thức P (x) hệ số nguyênthỏa mãn

P (2015) = 2014 và P (2013) = 2011

910



Bài toán 2.31 ([4]) Cho hai số nguyên dương p, q Chứng minh rằngtồn đa thức P (x) bậc n với hệ số nguyên cho

P (x) − p

q

...

q2 với x ∈

12q,

32q



Bài tốn 2.32 Tồn hay khơng đa thức P (x) hệ số nguyênthỏa mãn

P (2015) = 2014 P (2013) = 2011