TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Tính giới hạn của dãy số. • Vận dụng một số giới hạn đặc biệt: • Vận dụng nội dung định lý liên hệ giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực 2) Vận dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn. • Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội thỏa mãn • Công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn B) Bài tập: 1) Tính giới hạn của dãy số Bài 1: Tính các giới hạn sau: Bài 2: Tính các giới hạn: Bài 3: Tính các giới hạn sau: Bài 4: Cho dãy số xác định bởi . Biết có giới hạn hữu hạn khi . Hãy tìm giới hạn đó. 2) Vận dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Bài 1:Tính tổng Bài 2: Tìm dạng khai triển của cấp số nhân lùi vô hạn , biết tổng của nó bằng và . Bài 3: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số hữu tỉ: (chu kì ). 2 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG CHỦ ĐỀ: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Tính giới hạn của hàm số: • Vận dụng một số giới hạn đặc biệt: • Vận dụng một số qui tắc về giới hạn vô cực: a) Qui tắc tìm giới hạn của tích b) Qui tắc tìm giới hạn của thương Dấu của Tùy ý >0 0 <0 * Chú ý: Một số kiến thức hỗ trợ: a) Nếu ( có hai nghiệm phân biệt thì b) Trong quá trình giải đôi lúc chúng ta gặp phải một số dạng vô định: . Chúng ta phải khử dạng vô định bằng cách nhân và chia cho lượng liên hợp hoặc phân tích thành nhân tử đa thức… B) Bài tập: 1) Tính các giới hạn sau: 2) Tính các giới hạn sau: 3 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG 3) Tính các giới hạn 4) Tính các giới hạn một bên và giới hạn (nếu có) của: Định để có giới hạn tại 1 5) Tính các giới hạn sau: 6) Tính các giới hạn sau: 4 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LIÊN TỤC A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm : Chúng ta thường thực hiện thuật toán sau đây: • B1: Tính Nếu là giới hạn hữu hạn tồn tại thì thực hiện B2. Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại • B2: Tính . Nếu tồn tại thì thực hiện B3. Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại • B3: Kiểm tra Nếu đúng kết luận hàm số liên tục tại . Ngược lại kết luận hàm số không liên tục tại 2) Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định: - Chia từng khoảng hợp lý để xét tính liên tục. - Kiểm tra tính liên tục tại những điểm đầu mối. - Tổng hợp kết quả và kết luận. 3) Nội dung định lý 3 và mệnh đề tương đương: • Định lý 3: Nếu hàm số liên tục trên đoạn và thì tồn tại ít nhất một điểm sao cho • Mệnh đề tương đương: Cho hàm số liên tục trên đoạn và . Khi đó phương trình có ít nhất một nghiệm trong khoảng . B) Bài tập: 1) Hàm số liên tục: Bài 1: Cho các hàm số và . Với mỗi hàm số, hãy xác định các khoảng trên đó hàm số liên tục. Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau tại điểm đã chỉ ra: a) b) 5 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG c) d) e) Bài 3: Phải chọn bằng bao nhiêu để các hàm số sau đây liên tục tại điểm chỉ ra: a) b) c) Bài 4: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của nó: a) b) 2) Sử dụng định lý 3 Bài 1: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm: . Bài 2: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số Bài 3: Sử dụng định lý 3 để chứng minh phương trình có nghiệm: a) Chứng minh rằng phương trình: có ba nghiệm trên đoạn . b) Chứng minh rằng phương trình: có ba nghiệm phân biệt. c) Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất một nghiệm: i) ii) d) Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi i) ii) iii) 6 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: * Nhận dạng và sử dụng đúng các công thức để tính đạo hàm của hàm số: * Phương trình tiếp tuyến : • Tìm phương trình tiếp tuyến với đồ thị tại tiếp điểm là: . Trong đó hệ số góc của tiếp tuyến là . • Tìm phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc . Tìm tiếp điểm bằng phương trình rồi dùng công thức tiếp tuyến tại tiếp điểm * Định nghĩa đạo hàm bậc hai: Giả sử hàm số có đạo hàm . Nếu cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của và kí hiệu là B) Bài tập: Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) c) 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG d) e) f) g) h) Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) c) d) Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) g) h) Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị a) Tại điểm có hoành độ . b) Song song với đường thẳng: . c) Vuông góc với đường thẳng: . Bài 5: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) Bài 6: Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra: a) b) c) 8 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG HÌNH HỌC 11 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG 9 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG LƯU HÀNH NỘI BỘ CHỦ ĐỀ: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh đẳng thức vectơ: a) Sử dụng qui tắc ba điểm, qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia và ngược lại. b) Sử dụng các tính chất của phép toán về vectơ và các tính chất hình học của hình đã cho. 2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng a) Dựa vào định nghĩa: Chứng tỏ các vectơ có giá song song với một mặt phẳng. b) Ba vectơ đồng phẳng có cặp số duy nhất sao cho trong đó và là hai vectơ không cùng phương. B) Bài tập: 1) Chứng minh đẳng thức vectơ: Bài 1: Cho hình hộp . Chứng minh rằng . Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật . Chứng minh rằng: . Bài 3: Cho hình lập phương cạnh . Gọi và theo thứ tự là tâm của hai hình vuông và . a) Hãy biểu diễn các vectơ theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho. b) Chứng minh . Bài 4: Trong không gian cho điểm và bốn điểm phân biệt và không thẳng hàng. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để bốn điểm tạo thành một hình bình hành là : . Bài 5: Cho hình hộp có và lần lượt là trung điểm các cạnh và . Gọi lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành . a) Chứng minh rằng . b) Chứng minh hai tam giác và có trọng tâm trùng nhau. 2) Chứng minh ba vectơ đồng phẳng: Bài 1: Cho tứ diện . Trên cạnh lấy điểm sao cho và trên cạnh lấy điểm sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. Bài 2: Cho hình hộp . Gọi là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành và là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng. 10 [...]... số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia Cơ sở của phương pháp này là sử dụng điều kiện cần và đủ: β Chứng minh mặt phẳng thứ nhất chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thứ hai qua hai bước cơ bản: d a • B1: Quản lý các giả thiết để tìm ra đường thẳng (có M 15 α TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG tính ưu việt cho bài toán) và... b) Bài 4: Cho tứ diện có và và tam giác Chứng minh rằng và vuông cân tại Gọi và là trung điểm CHỦ ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN TỔNG HỢP CHỦ ĐỀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: Dùng tất cả các kiến thức đã học về hình học không gian đã học để giải quyết các dạng toán B) Bài tập: Bài 1: Cho hình hộp có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng minh Khi nào mặt phẳng vuông góc với... minh vuông góc với có và Chứng minh rằng: 13 Gọi là TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG a) Tam giác vuông b) Bài 3: Cho hình chóp Với đáy là trọng tâm tam giác Bài 4: Cho hình chóp rằng là hình thoi có và Chứng minh rằng có và Gọi là trung điểm Chứng minh CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc... Bài tập: 1) Ứng dụng của tích vô hướng: Bài 1: Cho hình lập phương ta có cạnh Gọi sao cho: và , và từ đó suy ra góc là tâm của hình vuông và là một điểm Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm theo 11 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG Bài 2: Trong không gian cho hai vectơ rằng và và Hãy tìm và biết Bài 3: Cho tứ diện có hai mặt a) Chứng minh rằng b) Gọi tạo với nhau một góc và và là hai tam... giác có tất cả các cạnh đều bằng nhau (hình hộp như vậy được gọi là hình có tất cả các cạnh bằng và là hình vuông CHỦ ĐỀ: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 12 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG 1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng Cơ sở của phương pháp này là phải chứng minh đường thẳng vuông góc... Tính độ dài TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG Bài 4: Hình chóp có đáy là hình thang vuông có cạnh và và , có , a) Chứng minh mặt phẳng mặt phẳng b) Gọi vuông tại vuông góc với mặt phẳng , mặt phẳng vuông góc với Hãy xác định và xác định là mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng định thiết diện của hình chóp với CHỦ ĐỀ: KHOẢNG CÁCH A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1)... không gian cho hai hình bình hành minh rằng các vectơ và và chỉ có chung nhau một điểm Chứng đồng phẳng CHỦ ĐỀ: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN VÀ ỨNG DỤNG A) Phương pháp giải một số dạng toán thường gặp: 1) Ứng dụng của tích vô hướng: a) Muốn tính độ dài của đoạn thẳng hoặc tính khoảng cách giữa hai điểm thức: và ta dựa vào công b) Tính góc giữa hai vectơ và ta dựa vào công thức: c)...TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG Bài 3: Cho tứ diện Gọi ta lần lượt lấy các điểm và lần lượt là trung điểm của các cạnh sao cho: Trên các cạnh và Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng Bài 4: Trong... chứa đường thẳng kia Bài 1: Cho tứ diện có và Chứng minh Bài 2: Cho hình chóp có đáy là hình thoi và Chứng minh Bài 3: Chứng minh rằng hai cạnh đối bất kì của tứ diện đều thì vuông góc với nhau 14 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG Bài 4: Cho tứ diện có minh tam giác và Gọi là đường cao tam giác Chứng vuông Bài 5: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và Gọi là đường cao của tam giác... phương pháp để tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là sử dụng định nghĩa đường vuông góc chung qua hai bước cơ bản sau: • B1: Chọn ; và chéo nhau Sau đó chứng minh: d α B B' a' tại , TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG • B3: Kết luận đường vuông góc chung là Ghi chú: chung là các độ dài đường vuông góc B) Bài tập: 1) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Bài 1: Hình chóp . tuyến tại tiếp điểm * Định nghĩa đạo hàm bậc hai: Giả sử hàm số có đạo hàm . Nếu cũng có đạo hàm thì ta gọi đạo hàm của nó là đạo hàm cấp hai của và kí hiệu. TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 11 TỔ TOÁN TRƯỜNG THCS&THPT NGUYỄN TRI PHƯƠNG LƯU HÀNH NỘI BỘ 1 TỔ TOÁN TRƯỜNG