Giáo án phụ đạo Toán 11 đầy đủ chi tiết

Phương trình bậc nhất với một hay nhiều hàm số lượng giác a Phương trình lượng giác bậc nhất với một hàm số lượng giác – Dạng: a.X + b = 0, với X là sinfx, hoặc cosfx, hoặc tanfx, hoặc

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG YÊN PHONG 2

Phụ ñạo Toán 11

1

PHỤ ðẠO TOÁN 11 PHẦN I ðẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

Bài 1: Tìm tập xác ñịnh của các hàm số sau

1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1

2

x x

+ + 3) y = sin x+4 4) y =

II Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác

Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx

sin2(-x) = [ ]2

sin(-x) = (-sinx)2 = sin2x

Phương pháp: Bước 1 : Tìm TXð D ; Kiểm tra x∈D⇒ − ∈ ∀x D, x

Bước 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) Có 3 khả năng

Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau

1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2

III Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác

Chú ý : Hàm số y = sinx ñồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2

Hàm số y = cosx ñồng biến trên mỗi khoảng (−π + πk2 ; 2k π)

Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2 ; π π + πk2 )

Hàm số y = tanx ñồng biến trên mỗi khoảng ;

Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng (kπ π + π ; k )

Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số

Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số

1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên ñoạn [−π π ; ] 2) y = -2cos 2

IV Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác

Chú ý : − ≤ 1 s inx ≤ 1 ; -1 ≤ cosx ≤ 1; 0 ≤sin2 x ≤1 ; A2 + B ≥B

Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [ ]a b; thì

[ ] a ; ax ( ) ( ) ; min ( ) [ ] a ; ( )

b b

B.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1 Phương trình lượng giác cơ bản

u n

u n2

Học sinh cần nhớ bẳng các giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt

2 Phương trình bậc nhất với một hay nhiều hàm số lượng giác

a) Phương trình lượng giác bậc nhất với một hàm số lượng giác

– Dạng: a.X + b = 0, với X là sinf(x), hoặc cosf(x), hoặc tanf(x), hoặc cotf(x)

– Phương pháp: ðưa về phương trình lượng giác cơ bản

b) Phương trình lượng giác bậc nhất với hai hàm số lượng giác

– Phương trình bậc nhất với sin và cosin:

+ Dạng: a.sinu + b.cosu = c

+ ðiều kiện để phương trình cĩ nghiệm: a2 + b2 ≥c 2

+ Nếu a = 0 hoặc b = 0 ta đưa về phương trình cơ bản

+ Xét a ≠0, b≠0 ta cĩ thể giải theo các cách sau

Cách 1 Chia hai vế phương trình cho a2+b2 và đặt

(b+c)t −2at+ − =c b 0 Giải ra tìm t, rồi tìm ra u, từ ñó tìm nghiệm của phương trình

Chú ý Với phương trình a.sin u+b.cos u=c.sin v+d.cos v mà a2+b2 =c2+d2 >0 ta chia hai vế của phương trình cho a2+b2 và ñưa về phương trình cơ bản Với phương trình dạng a.sinu + b.cosu = 0 ta có thể ñưa về phương trình cơ bản của tanu hoặc cotu

– Phương trình bậc nhất với tang và cotang:

+ Dạng: a.tanu + b.cotu + c = 0

+ Phương pháp: ñặt t = tanu

– Các phương trình dạng a.X + b.Y = 0 với X là sinu hoặc cosu, còn Y là tanu hoặc cotu,

ta thường ñưa về phương trình tích, hoặc phương trình bậc hai ñối với sin hoặc cosin

3 Phương trình bậc hai với một hay nhiều hàm số lượng giác

a) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác

– Dạng: a.X2 + b.X + c = 0, với X là sin hoặc cosin hoặc tang hoặc cotang

– Phương pháp: ðặt t = X, nếu X là sin hoặc cosin thì có ñiều kiện 1− ≤ ≤t 1

b) Phương trình bậc hai với sin và cosin

– Phương trình thuần nhất bậc hai ñối với sin và cosin

+ Dạng a.sin u2 +b.sin u.cos u+c.cos u2 =d

+ Phương trình này còn ñược gọi là phương trình ñẳng cấp bậc hai với sin và cosin + Phương pháp giải:

Cách 1 Tìm cách ñưa về phương trình tích

Cách 2 Dùng công thức hạ bậc ñể ñưa về phương trình bậc nhất ñối với sin và cosin

Cách 3 Xét cosu = 0 Xét cos u≠0, chia hai về phương trình cho cos2u và ñặt t = tanu

Chú ý Với phương trình a.sin3u + b.sin2u.cosu + c.sinu.cos2u + d.cos3u + e.sinu + f.cosu = 0 ta làm tương tự như cách 3 nói trên

– PT ñối xứng ñối với sin và cosin có dạng a(sinu + cosu) + b.sinu.cosu +c = 0 Ta ñặt

– Phương trình dạng a(sinu – cosu) + b.sinu.cosu + c = 0, ta thường ñặt

t=sin u−cos u t 2, sin u.cos u 1 t2

2

−

4 Các phương trình lượng giác khác

• Ta có thể biến ñổi phương trình lượng giác về dạng phương trình tích Muốn vậy cần nắm vững các công thức lượng giác, các hằng ñẳng thức, các phương pháp ñặt nhân tử chung … Chúng ta lưu ý một số kĩ thuật sau:

☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, sin3x, tanx, tan2x, tan3x … ta có thể

ñặt nhân tử chung là sinx

☺ Nếu trong phương trình lượng giác có chứa sin2x, cos3x, cotx, tan2x, cot3x … ta có thể

ñặt nhân tử chung là cosx

Phụ đạo Tốn 11

5

☺ Nếu trong phương trình lượng giác cĩ chứa cos2 x, cot2 x,sin x, tan x 2 2

2 2 ta cĩ thể đặt nhân tử chung là 1 + cosx

☺ Nếu trong phương trình lượng giác cĩ chứa sin2 x, tan2 x,sin x, tan x 2 2

2 2 ta cĩ thể đặt nhân tử chung là 1 – cosx

☺ Nếu trong phương trình lượng giác cĩ chứa cos x, cot x,sin (2 2 2 x ), cos (2 x)

2 4 4 2

cĩ thể đặt nhân tử chung là 1 + sinx

☺ Nếu trong phương trình lượng giác cĩ chứa cos x, cot x,sin (2 2 2 x), cos (2 x )

4 2 2 4

ta

cĩ thể đặt nhân tử chung là 1 – sinx

☺ Nếu trong phương trình lượng giác cĩ chứa cos2x, cot2x, 1 + sin2x, 1 + tanx, 1 + cotx, tanx + cotx … ta cĩ thể đặt nhân tử chung là sinx + cosx

☺ Nếu trong phương trình lượng giác cĩ chứa cos2x, cot2x, 1 – sin2x, 1 – tanx, 1 – cotx, tanx – cotx … ta cĩ thể đặt nhân tử chung là sinx – cosx

• Ta cĩ thể dùng các cơng thức hạ bậc, nhân đơi, biến tổng thành tích, biến tích thành tổng …

để biến đổi các phương trình lượng giác về dạng quen thuộc đã biết cách giải Cĩ thể dùng bất đẳng thức để giải phương trình lượng giác Nhiều phương trình lượng giác cần chú ý đến điều

kiện xác định

Bài tập

Bài 1 Giải các phương trình sau:

1 3cosx−sinx= 2 , 2 cosx− 3sin x =−1

3 3sin3x− 3cos9x=1+4sin33x, 4

4

1)4(cossin4 + 4 +π =

x x

5 cos7x−sin5x = 3(cos5x−sin7x), 6 tanx−3cotx=4(sinx+ 3 cos )x

7 3(1 cos 2 ) cos

2 sin

x

x x

sin 2 sin

2

x+ x=

Bài 2 Giải các phương trình sau:

1 2cos2x +5sinx – 4 = 0 , 2 2cos2x – 8cosx +5 = 0

3 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4 2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1

5 sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x 6 x cos2 x

Bài 3 Giải các phương trình sau:

1) 2sin2x – 5sinx.cosx – cos2 x = - 2 2) 3sin2x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos2x = 0 3) 4sin2x +3 3 sin2x – 2cos2x = 4 4) 6sinx – 2cos3x = 5sin2x.cosx

Bài 4 Giải các phương trình sau :

1) 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2) sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12

3) 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4) sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0

Bài 5 Giải các phương trình sau :

1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos2x – 9sinx = 0,

Bài 6 Giải các phương trình sau :

1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) HD : đặt t =sinx

4

π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 =

2

1 7/ 2cos2 2x +cos 2x = 4sin22xcos2x 8/ cos 3x – cos 2x = 2

9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan

2

x 10/ sin2x+ 2tanx = 3

11/ sin2x + sin23x = 3cos22x HD :đặt t =cos 2x

14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x =

4

π

+ kπ 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0

Bài 7 Giải các phương trình sau :

1/ sin2 x + 2sin 2x –3 +7cos2x = 0 2/ cos3x – sin3x = cosx + sinx

3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos3x

4/ sin3x + cos3x = 2( sin5x + cos5x ) ĐS : x=

7/ 3sin4x +5cos4x – 3 = 0 8/ 6sinx – 2cos3x = 5sin 2x cosx

Bài 8 Giải các phương trình sau :

1/ cos3x + sin3x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos3x + cos 2x +sinx = 0

3/ 1 + sin3x + cos3x =

2

3sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0

5/ sin3x – cos3x = 1 + sinxcosx 6/

3

10cossinsin

1cos

1

=++

sin2 + 2tan2x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos3x – sin3x = sin 2x

10/ cos3x – sin3x = - 1 11/ 2cos 2x + sin2x cosx + cos2x sinx = 2( sinx + cosx )

Bài 9 Giải các phương trình sau:

1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2

3/ sin2x + sin23x – 3cos22x = 0 4/ cos3x cos3x – sin3xsin3x = cos34x +

sincos

1

sincos

=

−

+ 11/ sin2

) 4 2

3sin3cos(sin

17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 18/ 4 2

19/ tanx +cosx – cos2x = sinx (1+tanx.tan

4)8sin x cos x−3sin x+2sin x cos x+cos x=1. 5)sin 6x cos 7x=sin 8x cos 5x

6)2sin x cos 2x 1 2cos 2x− + −sin x=0. 7) sin x2 +sin 2x2 =sin 3x2 +sin 4x.2

3 + 2 + 6 = 2 18) cos 2x+4sin x4 =8cos x.6

4 4 3 cos 6x

19)sin x cos x

4

−+ = 20) sin 3x+cos 2x+ =2 0. 21) sin 2x 12 + =cos 3x.2

+ 26) sin x− 3 cos x=2sin 4x.

27) cos 2x+ 3 sin 3x= 3 sin 2x−cos 3x 28)sin x+sin 2x+sin 3x+sin 4x=0

x2cos236) tan x

cos x

−+ =

54)(2sin x 1) tan 2x− +3(2cos x 1)− =0 55)cos2x (1 2cos x)(sin x cos x) 0.+ + − =

56) sin11x cos11x 2 cos(x )

69) tan( cos x) cot( sin x).π = π 0 0 0 0 1

70)cos(22 x)cos(82 x) cos(112 x)cos(172 x) (sin x cos x)

77) cos 3x−cos x=1 78) cos x+cos 2x =sin x 3 3

79) sin x+cos x= +1 sin 2x

80) sin x+cos x+sin x cos x= −1 81) sin x2 +sin x+cos x+sin x cos x = −cos x.2

182) sin x sin 2x sin 3x sin 4x

4

= 83)2 tan x2 +3 tan x+2 cot x2 +3cot x+ =2 0

84) cos x tan 3x =sin 5x 85) sin 3x1 1sin 5x

89)8cos x−4 cos 2x+sin 4x=4 6 6 1

90)sin x cos x sin 4x 0

1 Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B

Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách Khi ñó, công việc ñược thực hiện theo n + m cách

Bản chất : n(A B) n(A) n(B) n(A B)

Phụ ñạo Toán 11

10

2 Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công ñoạn A và B Công ñoạn A có thể thực

hiện bởi n cách; công ñoạn B có thể thực hiện bởi m cách Khi ñó, công việc ñược thực hiện bởi n.m cách

Bản chất : n(A B) n(A).n(B)

II Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

1 Hoán vị:

a ðịnh nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử ñó theo một thứ tự ñịnh

trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A

b ðịnh lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n

2 Chỉnh hợp:

a ðịnh nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k ∈ mà 1 ≤ ≤ k n Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi ñem sắp xếp k phần tử ñó theo một thứ tự ñịnh trước, ta ñược một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử

a ðịnh nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số k ∈ mà 1≤ ≤ k n Một tập hợp con của A có

k phần tử ñược gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử

n n 1 n k 1 n!

phần tử thì tập A\B là tập con có n – k phần tử của A Có bao nhiêu tập con B thì có bấy nhiêu

tập con A\B Mà số tập con có n – k phần tử của A là Cn kn− Vậy phải có k n k

n n

C = C − (1) Cách 3: Ta có khai triển nhị thức ( )n n k n k k

Phụ ñạo Toán 11

11

- Tập B không chứa phần tử a, thì B là tập con gồm k phần tử của tập A\{a}, có Ckn 1− tập B như thế

- Tập B có chứa a, tức là B\{a} là tập con có k – 1 phần tử của tập A\{a}, có Ck 1n 1−− tập B như

thế Theo phân tích này thì có Ckn 1− +Ck 1n 1−− tập con có k phần tử của A Vậy Ckn 1− +Ck 1n 1−− =C kn

= + ðồng nhất hệ số của x ở hai khai triển này ta ñược k Ckn 1− +Ck 1n 1−− =C kn

III Khai triển nhị thức Newton

+ =∑ là khai triển theo số mũ của a tăng dần

 Học sinh cần chú ý thêm tới tam giác Pascal

B Các Dạng bài toán cơ bản

Dạng 1: Bài toán về quy tắc ñếm

Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm ñược tiến hành theo phương án A hoặc

B ñể chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm công ñoạn A và B ñể chọn quy tắc nhân

Bài 1: Bạn X vào siêu thị ñể mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn?

Bài 2: Cho tập A ={0;1; 2;3; 4} Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong

số các phần tử của A?

Bài 3: Từ tập A ={1, 2, 3, 4, 5} hỏi có thể lập ñược bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần?

Dạng 2: Thực hiện phép hoán vị

Phụ ñạo Toán 11

12

Phương pháp giải:

• Sử dụng phép xếp ñặt của n phần tử có thứ tự: Pn = n! = 1.2.3…n

• Thực hiện quy tắc cộng hoặc quy tắc nhân

Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật Bạn ñịnh xếp nam, nữ ngồi

riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài Hỏi X có bao nhiêu cách xếp ñặt?

Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 ñiểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau Có bao nhiêu vectơ nối hai

ñiểm trong các ñiểm ñó?

Bài 6: Từ tập A ={0,1, 2, 3, 4,5}có thể lập ñược bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau?

Bài 7: Cho 7 ñiểm phân biệt không tồn tại ba ñiểm thẳng hàng Từ 7 ñiểm trên có thể lập ñược

bao nhiêu tam giác?

Dạng 5: Tìm n ∈ * trong phương trình chứa P , A ,Cn kn kn

Phương pháp giải: Dùng các công thức:

Dạng 6: Tìm phần tử ñặc biệt trong khai triển của (a + b) n

Phương pháp giải: Sử dụng công thức khai triển của nhị thức Newton:

k 0

a b C a b −

= + =∑ khai triển theo lũy thừa của a giảm dần, b tăng dần)

Bài 9: Tìm số hạng chứa x3 và hệ số lớn nhất, nhỏ nhất trong khai triển (11 + x)13

Bài 10: Tìm hệ số của số hạng trong các khai triển sau

1) Hệ số của số hạng chứa x4 trong khai triển

12 5 3

1

xx

3) Hệ số của số hạng chứa x y z.t trong khai tri7 2 3 ển (x+ + +y z t)13

4) Hệ số của số hạng chứa x3 trong khai triển (x2 −x +2)10

5) Hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 4 (1+x +3x )2 10

Phụ ñạo Toán 11

13

6) Hệ số của x trong khai triển: 3 S(x)=(1+x)3 +(1+x)4 +(1+x)5 + +(1+x)50 7) Hệ số của x trong khai triển 3 S(x)=(1+2x)3 +(1+2x)4 +(1+2x)5 + +(1+2x)22 8) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1+x) (x10 +1)10

Bài 11: Trong khai triển

  , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x

Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 2( ) 8

Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau

1) Số hạng thứ 13 trong khai triển (3−x)25

2) Số hạng thứ 18 trong khai triển (2−x )2 25

3) Số hạng không chứa x trong khai triển

12

1xx

Dạng 7: Tìm tổng hoặc chứng minh ñẳng thức, bất ñẳng thức có chứa P , A ,Cn kn kn

Phương pháp giải: Từ ñề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp,

Bài 16 : Hai hộp chứa các quả cầu, hộp I chứa 3 quả ñỏ và 2 quả xanh, hộp II chứa 4 quả ñỏ

và 6 quả xanh Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả, tính xác suất ñể :

a) Cả 2 quả là ñỏ ; b) Hai quả cùng màu ; c) Hai quả khác màu

Bài 17 : Cho hai biến cố A, B có P(A B) a.

2) Dãy số (un) ñược gọi là dãy số tăng (tăng không nghiệm ngặt, giảm, giảm không nghiêm ngặt) nếu un < un 1+ (tương ứng un ≤ un 1+ , un > un 1+ , un ≥ un 1+ ) với mọi n ∈ A.

3) Dãy số (un) ñược gọi là tuần hoàn nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho

n k n

u + = u , n ∀ ∈ A. Số k nhỏ nhất thoả mãn tính chất này ñược gọi là chu kì của dãy tuần hoàn (un) Nếu k = 1 thì ta ñược một dãy hằng (tất cả các số hạng bằng nhau)

4) Dãy số (un) ñược gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho un ≤ M với mọi

n ∈ A. Dãy số (un) ñược gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho un ≥ m với mọi

n ∈ A. Dãy số (un) ñược gọi là bị chặn (hoặc giới nội) nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại số thực M, m sao cho m ≤ un ≤ M với mọi n ∈ A, hoặc tồn tại số thực C sao cho un ≤ ∀ ∈ C, n A. Dãy số hữu hạn hoặc tuần hoàn thì luôn bị chặn

VD1 Cho các số dương a , a , , a1 2 13 thoả mãn a1+ a2+ + a13≥ 13. Chứng minh dãy (un) cho bởi un = a1n + an2 + + a , n13n ∀ ∈ *, là dãy tăng không nghiêm ngặt

HD Với mọi số dương a và số nguyên dương n ta có (an− 1)(a 1) − ≥ 0 nên an 1+ − an ≥ − a 1. Từ

ñó suy ra un 1 un (a1n 1+ an 12+ a13n 1+ ) (a1n an2 a )13n a1 a2 a13 13 0, n *,

hay un 1+ ≥ u , nn ∀ ∈ *. Vậy (un) là dãy số tăng không nghiêm ngặt

Vậy (un) là dãy số giảm

* Vì (un) giảm nên 1 = u1> u2 > > un > un 1+ > suy ra (un) bị chặn trên bởi 1 Vậy (un) là dãy

2) Xác định số hạng tổng quát, tính đơn điệu và bị chặn của dãy (u )n cho bởi :

1 1

u =2 +3 với mọi n và tìm số dư khi chia u2010×u2011 cho 2011

5) Cho dãy số (u ) cĩ n u1=1; un 1+ =un 1+ + +(n 1).2 , nn ∀ =1, 2, Chứng minh rằng

n n

B CẤP SỐ CỘNG

1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số

hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai

Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: un+1 = un + d (n = 1, 2, )

Phụ đạo Tốn 11

16

Đặc biệt: Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số trong đó tất cả các số hạng đều bằng

nhau

Để chỉ rằng dãy số (un) là một cấp số cộng,ta kí hiệu ÷ u1, u2, , un,

2 Số hạng tổng quát

Định lí: Số hạng tổng quát un của một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d được cho bởi công thức: un = u1 + (n - 1)d

3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng

Định lí: trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai ( và trừ số hạng cuối

cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Định lí: Để tính Sn ta có hai công thức sau:

Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30

Bài 3: Cho cấp số cộng:







= +

=

− + 26

10

6 4

3 5 2

u u

u u u

Tìm số hạng đầu và công sai của nó

Bài 4: Tìm CSC có 5 số hạng có tổng là 25,ø tổng các bình phương của chúng là 165 Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng

là 1140

Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp

số cộng với công sai là 25

Bài 7: Cho cấp số cộng ÷ u1, u2, u3, Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 Tính u1 + u6 + u11 + u16

Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó

Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối

và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó

Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10

Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây:

Bài 12 : Cho CSC (un) có u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên

Bài 13 : Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20

Bài 20: Tổng của số hạng thứ 3 và số hạng thứ 9 của một cấp số cộng bằng 8 Tính tổng 11

số hạng đầu tiên của cấp số cộng đĩ

C CẤP SỐ NHÂN

1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hay vô hạn), tronh đó kể từ số

hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội

Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có un+1 =un.q (n = 1, 2, )

Đặc biệt:

Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, 0, 0, , 0,

Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u1, u1, , u1,

Nếu u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0, ,

Để chỉ dãy số (un) là một cấp số nhân ta thường dùng kí hiệu u1, u2, , un,

2 Số hạng tổng quát

Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức:

un = u1 n− 1

q (q≠ 0)

3 Tính chất các số hạng của cấp số nhân

Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối

đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là: u k = u k−1.u k+1 (k ≥ 2 )

Bài tập

Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết:

1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1

2/ Cho q =

4

1, n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6

Bài 2: Tìm u1và q của cấp số nhân có a) u3 = 18 và u6 = -486 b) u3=12, u5=48

Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: a)

72

3 5

2 4

u u

u u

= + +

351

13

6 5 4

3 2 1

u u u

u u u

Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21 Nếu số thứ hai trừ đi 1 và

số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân Tìm ba số đó

Bài 8: Một cấp số cộng và cấp số nhân cĩ các số hạng đều dương Biết các số hạng thứ nhất và thứ hai của chúng bằng nhau Chứng minh mọi số hạng của cấp số cộng khơng lớn hơn số hạng tương ứng của cấp số nhân

Bài 9: Cho dãy số (u )n cĩ n

là cấp số nhân Tìm cơng thức tính x , un n theo n

Bài 10: Cho dãy số (u )n cĩ n

1 n 1

(n 1)u 1

(v ) là cấp số nhân Tìm cơng thức tính v , un n theo n

Bài 11: Cho dãy (u ) cĩ n u1 =0, u2 =1, 3un 2+ =2un 1+ +u , nn ∀ =1, 2,3, ðặt vn =un 1+ −u nChứng minh (v ) là cấp số nhân và tính n u theo n n

Bài 12: Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân cĩ 100 số hạng và số hạng đầu tiên là 1, cơng bội là 0,5

Bài 13: Tính tổng tất cảc các số hạng của một cấp số nhân biết số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai là 54, số hạng cuối là 39366

Bài 14: Viết số 1,014301430143 ở dạng phân số

Bài 15: Số hạng thứ hai, số hạng đầu, số hạng thứ ba của một cấp số cộng với cơng sai khác 0 theo thứ tự đĩ lại lập thành một cấp số nhân Tìm cơng bội của cấp số nhân đĩ

Bài 16: Tìm hai số thực x và y sao cho ba số 1; x 1; xy− + +x 2y2−1 lập thành cấp số

nhân, ba số (x 1) 2y; x− −y; 2−y x−2 lập thành cấp số cộng

1 Ôn lại nội dung ñịnh lí 1 và ñịnh lí 2 về giới hạn của hàm số

2 Nêu một số giới hạn cơ bản ñã chứng minh ñược:

lim ( Với c=conts)

• Nếu hàm số f(x) xác ñịnh tại ñiểm x0 thì lim ( ) ( 0)

0

x f x f

với k nguyên dương,c là hằng số

3 Ví dụ: Tính giới hạn của các hàm số sau;

1 2 lim

x

C= lim→−∞( 2x3+ 4x2 + 9x− 1 )

x

2 2

1 lim

x

2 2

1 lim

3 2 lim

x

x

x H

x

1 lim

II Các dạng toán ñiển hình

*GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ CHO BỞI HAI HAY NHIỀU BIỂU THỨC

*Kiến thức cần nhớ:

1 Ôn lại giới hạn bên phải,bên trái của hàm số tại một ñiểm

2 Ôn lại cách tìm giới hạn của hàm số :

0 1

) (

) ( ) (

x x khi x f

x x khi x f x f

x

→ B2:

1 2

3 )

(

x khi x

x khi x

2 1

) (

x khi x

x khi x

x f

0 )

( )

x khi x

x khi x x f

3

1 1

) (

x khi x

x khi x

x f

b

*TÍNH GIỚI HẠN DẠNG

0 0

+) Phương pháp chung:

Khử dạng vô ñịnh

0

0

bằng cách làm xuất hiện nhân tử chung:

+,Khử nhân tử chung ñể ñưa về dạng xác ñịnh

+,ðưa về dạng giới hạn cơ bản, quen thuộc ñã biết rõ kết quả hoặc cách giải

+)Các dạng bài tập:

• Dạng ( )

) (

lim

x f

1 lim 2

1 (

1 lim

1 lim

1 +

→ x

4 1

b)

4

8 lim 2

2 (

) 4 2 )(

2 ( lim

2

+ +

−

x x x

2 lim

2 3

x b

15 7 2

10 13 3 lim 2

x

c)

3 2 1

1 lim

- Rút gọn thương , bài toán chuyển về dạng ñã biết cách giải

Lưu ý : Liên hợp của biểu thức

Phụ ñạo Toán 11

21

3 3

3 3

−

x x

2 lim 2

x (nhân liên hợp với biểu thức 3 x2 + 2 3 x+ 4)

*Bài tập ñề nghị: Tính các giới hạn sau:

1 ) lim

3 2

→−

+ + −

x

x d

x

3 0

1 1 ) lim

∞ của hàm hữu tỷ f(x) tại vô cực

- Khai triển và sắp sếp tử và mẫu thức theo lũy thừa giảm dần của x

- Tìm giới hạn L ( có thể là vô cực ) của thương với tử và mẫu tương ứng

là các số hạng có bậc cao nhất ở tử và mẫu thức trong phân thức khai triển

6 2

*Khử dạng vô ñịnh ( ∞ − ∞ ) của ña thức f bậc n tại vô cực

*) Phương pháp :

Phụ ñạo Toán 11

22

- ðặt xn làm nhân tử chung (n là bậc cao nhất)

- áp dụng quy tắc tìm giới hạn của tích

- sử dụng biểu thức liên hợp ñể viết f(x) dưới dạng thương

- Rút gọn thương , bài toán chuyển về dạng

3 3

) ( sin lim

0 ) ( F x

x F

sin

sin

=

b a

2.Bài tập áp dụng: Tìm các giới hạn sau:

0

→ ; f)

0 −

−

→

B HÀM SỐ LIÊN TỤC

*Liên tục: Hàm số f(x) xác ñịnh trên khoảng (a ; b) và x0∈ ( ; )a b

+) f(x) liên tục tại ñiểm x0 khi và chỉ khi

Phụ ñạo Toán 11

23

+) f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) nếu f(x) liên tục tại mọi ñiểm thuộc (a ; b)

+)f(x) liên tục trên ñoạn [a ; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a ; b) và

*Gián ñoạn: f(x)gián ñoạn tại x0 nếu không thoả mãn một trong những ñiều kiện sau

+) x0 không thuộc tập xác ñịnh của f(x)

+) Hàm ña thức, hàm phân thức hữu tỉ, hàm lượng giác liên tục trên TXð của nó

+) ñồ thị của hàm số liên tục trên khoảng (a ; b) là một ñường nét liền trên khoảng này +) f(x) liên tục trên ñoạn [a ; b] nếu f a( ) ≠ f b( ) thì mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một ñiểm c∈ ( ; )a b sao cho: f(c) = M

1.Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại x 0

1

6

x x

f x = −x liên tục trên ñoạn: [-2 ; 2]

3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm x 0

và x 0 =-1

khi x ≠ 1 khi x=1

và x 0 =1

khi x ≠ -3 khi x=3

, nếu x≠ 3 f(x)=

3.Tính ñạo hàm của hàm số y = x tại x = 100

4 Tính ñạo hàm của các hàm số sau:

Hàm số y = sinx có ñạo hàm tại ∀ ∈x R và (sinx)' = cosx

Nếu hàm số y= sinu và u = u(x) thì : (sin ) 'u =u'cosu

Hàm số y = cosx có ñạo hàm tại ∀ ∈x R và (cosx)' = -sinx

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)' = -u' sinu

Hàm số y = tanx có ñạo hàm tại mọi ,

u

= −

II Bài tập áp dụng:

Bài 1 Tính ñạo hàm của các hàm số sau:

a) y= 2 sinx+ 1 b) y= 2 sin(x+π); c) 1sin(2 1)

2

Bài 2.Tính ñạo hàm của các hàm số sau:

a) y= 2 sinx+ sin 5x; b) 1sin(2 1) 3sin

2

y= x+ + x; c) y= sin sin 2x x

Bài 3. Tính ñạo hàm của các hàm số sau:

a) y = cos( x5 + 2x2 - 1) b) y = cos( sinx ) c)y = 3sinx - 5cosx d) y = cos

1

x

x+

Bài 4. Tính ñạo hàm của các hàm số sau:

a) y =x+ tanx b) y=tan(4x2 + 3) c) y = 1 tanx+

d) y = 2x + cotx e)y = cot4x f)y = cot( 2x – 1) g)y = cot 1 x+ 2

III Bài tập :Tính ñạo hàm của các hàm số sau:

4 y= sin 2x+ 1 5 y=tan(5x2 + 2) 6 y = cot( 3x + 1)

7 y = xcot x4 8) y = cos x 9) y = sin x x cos x

cosx xsin x

−+

10) y = ( 2 - x2)cosx + 2xsinx 11) y = cos5xcos2x

Phụ ñạo Toán 11

27

B ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN THPT

1 Nhắc lại ñịnh nghĩa và tính chất của ñạo hàm

của hàm số f(x) tại ñiểm x0 và kí hiệu là f '(x )0 hoặc y '(x ),0 khi ñó

0

0 0

 ðạo hàm của hàm số tại ñiểm x0 (nếu có) là một hằng số

 Hàm số có ñạo hàm tại x0 thì liên tục tại x0

 Khi giải toán cần lưu ý

 Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm tại mọi ñiểm thuộc khoảng K thì ta nói f(x) có ñạo hàm trên K

v v

−

2 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số của ña thức

 Nhờ ñạo hàm ta có thể tính ñược một số tổng (hoặc chứng minh ñẳng thức) mà các số hạng

thường có dạng (k+1)xkak

 ðối với ña thức f (x) = a0+ a x a x1 + + n n ta dễ thấy

(k) k

2

− −

3 Ta có a0 = f(0) = 2, vậy a2 + a3+ + an = (a0+ + + a1 a ) an − 0− = − − − = a1 2 2 ( 1) 1.

2 Giả sử (1 x) + n = a0+ a x a x , n1 + + n n ∈ *. Biết rằng tồn tại số nguyên dương k (1≤ ≤ k n)sao cho ak 1 ak ak 1.

Phụ ñạo Toán 11

29

3 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn

 Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm của hàm số tại một ñiểm và các tính chất của ñạo hàm ta có thể

tính ñược một số gới hạn ở dạng vô ñịnh

hàm số tại một ñiểm, thu ñược

0

x x

f (x) lim f '(0).

1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ;

ln 1 + 4x tan5x 1 cosx 1 2x 1 sin(1 x)

x

→

4 Ứng dụng ủạo hàm ủể viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số

Dạng 1 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị (C) y = f(x) tại ủiểm có hoành ủộ xo

1)Tỡm tung ủộ yo = f(xo) của tiếp ủiểm

2)Tiếp tuyến của (C) tại ủiểm Mo(xo; yo) cú phương trỡnh y = f’(xo).(x – xo) + yo

Dạng 2 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị (C) y = f(x) tại ủiểm có tung ủộ yo

1)Từ phương trỡnh yo = f(xo) tìm ra hoành độ xo của tiếp ủiểm

2)Tiếp tuyến của (C) tại ủiểm Mo(xo; yo) cú phương trỡnh y = f’(xo).(x – xo) + yo

☺ Dạng này có thể viết được nhiều PT tiếp tuyến

Dạng 3 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị (C) y = f(x) biết hệ số góc k

1)Từ phương trỡnh k = f’(xo) tìm ra hoành độ xo của tiếp ủiểm

2)Tiếp tuyến của (C) tại ủiểm Mo(xo; yo) cú phương trỡnh y = k.(x – xo) + f(xo)

☺ Dạng này có thể viết được nhiều PT tiếp tuyến

☺ Cho hai ủường thẳng d : y1 =ax+b; d : y2 =a ' x+b ' Ta cú:

2) Tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) khi và chỉ khi y1 = f’(xo).( x1 – xo) + f(xo) Từ đây tìm ra xo,

thay lên phương trình trên ta được tiếp tuyến cần tìm

Cỏch 2:

1) ðường thẳng ủi qua A cú hệ số gúc k cú phương trỡnh y = k(x – x1) + y1 (d)

3) Thay k vừa tỡm ủược vào PT của d

☺ Dạng này có thể viết được nhiều PT tiếp tuyến

Dạng 5 Viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai ủồ thị (C) y = f(x), (C’) y = g(x)

Từ đây tìm ra xo hoặc x1 rồi thay vào (1) hoặc (2) để được phương trình của (d)

Cỏch 2: Giả sử tiếp tuyến chung cú phương trỡnh y = ax + b (d)

☺ Dạng này có thể viết được nhiều PT tiếp tuyến

VD4 Viết phương trỡnh tiếp tuyến của (C) 2x 1

y

+

=

a) Tiếp ủiểm là giao ủiểm của (C) với Oy

b) Tung ủộ tiếp ủiểm là nghiệm của phương trỡnh y(x) + 3 = 0

c) Biết tiếp tuyến ủú song song với ủường thẳng (d): 5x + y = 22

viết phương trỡnh tiếp tuyến của ủồ thị hàm số tại ủiểm cú hoành ủộ x0 = 2

y(x) y(2) y(x) y(2) (x x 8x 10) ( 2) (x ax 2a 6) ( 2)

có phương trình y = ax + − 2 2 (d) (tiếp tuyến của ñồ thị hàm số là ñường thẳng có hệ số góc)

ðường thẳng (d) là tiếp tuyến của ñồ thị (C) khi hệ phương trình

3

x 2x ax 2 2 (1)4x 4x a (2)

b) Viết PTTT của (C) tại các ñiểm có toạ ñộ nguyên của (C)

2

− −

17 Tìm m biết rằng tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của ñồ thị (C): y = x3 – 3mx2 + 4m3 là một

ñường thẳng tạo với hai trục toạ ñộ tam giác có diện tích bằng 25.

6

3

19.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = x3 – 3x2 + 3 (C) và tiếp tuyến của (C) tại M(–1;1)

2x 1

− +

=

− và k1, k2 lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A, B Tìm m ñể tổng k1 + k2 ñạt giá trị lớn nhất

Phụ ñạo Toán 11

33

2 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau

b) Tìm trên ñường thẳng y = 6 những ñiểm có thể kẻ ñược 3 tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số

y = 2x − 9x + 12x 1 + sao cho 2 trong số 3 tiếp tuyến ñó vuông góc với nhau

22.Tìm m ñể ñồ thị HS y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 tiếp xúc với trục Ox

ñồ thị hàm số tại ñiểm có hoành ñộ x0 = 1

4

−

=

2) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C) y=x3+4x2−1

a)Tại ñiểm có hoành ñộ x0 = −1

b)Tại ñiểm có hoành ñộ x0 <0 và tung ñộ y0 = −1 c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

2x −3

=

4) Viết PT tiếp tuyến của (C) y = x4−x2 tại giao ñiểm của (C) với trục Ox

5) Viết PT tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C) y = −x2 +3x−2

a)Tại ñiểm M(2; 0)

6) Có bao nhiêu tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C) y = x 1

x 1

+

7) Viết PT tiếp tuyến của (C) y = x3

8) Tìm a, b ñể tiếp tuyến của ñồ thị hàm số (C) y = x3+ax+b tại ñiểm M có hoành ñộ x0 = 1 có phương trình là y = 2x – 3

9) Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số y = x3 – 2x biết tiếp tuyến ñi qua A(1; –1)

Phụ ñạo Toán 11

34

10) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai ñồ thị (C1) y = x3 và (C2) y = 2x2

5 Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu của hàm số

 Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a; b] và ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b)

thì hàm số này ñồng biến (tương ứng nghịch biến) trên ñoạn [a; b]

 Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên khoảng K và phương trình f '(x) = 0 có hữu hạn nghiệm trên K thì: + f(x) ñồng biến trên K ⇔ f '(x) ≥ ∀ ∈ 0, x K.

a

a

S P

Phụ ñạo Toán 11

35

0 0 0 ( ) 0

( ) 0

0 0 ( ) 0

⇔ ≥ ∀ >

0 0 0 0 0 0

a

a

S P

Nhận xét: Khi nhìn vào bài toán nhiều người sẽ nghĩ ngay ñến việc sử dụng ñịnh lí ñảo về dấu

của tam thức bậc hai và các hệ quả của nó Nhưng với cách làm như trên ta ñã hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán một cách dễ dàng bằng cách ứng dụng ñạo hàm hoặc sử dụng ñịnh lý Viet, tránh sử dụng các kiến thức ñã ñược giảm tải trong sách giáo khoa

Tìm các giá trị của m ñể hàm số:

a) ðồng biến trên khoảng ( −∞ − ; 1)

b) ðồng biến trên khoảng (1; +∞ )

c) ðồng biến trên khoảng ( 1;1) −

0 ' 0

4

11 -1

biến trong khoảng ( −∞ − ; 1)

b)Hàm số ñồng biến trong khoảng

0 ' 0

biến trong khoảng (1; +∞ )

b)Hàm số ñồng biến trong khoảng (1; +∞ )

-4

Từ bảng biến thiên ta ñược : m≥ 0

Kết luận : m≥ 0 thì hàm số (1) ñồng biến trong khoảng (1; +∞ )

Phụ ñạo Toán 11

37

0 ' 0

0 ( 1) 0 2( 1) 0 (1) 0 2.1 0 ' 0

0 ( 1) 0

11 4 0

01

m

m m m

1

2 4

biến trong khoảng ( 1;1) −

Nhận xét: Với bài toán này nếu sử dụng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai thì ta ñã phải

sử dụng kiến thức ñã ñược giảm tải hơn nữa lời giải khá phức tạp, với cách giải quyết như trên

ta có ñược lời giải khá ngắn gọn và dễ hiểu sẽ tạo ñược nhiều hứng thú cho học sinh

*Bài toán 2: Cho hàm số : y = ax3 + bx2 + cx + d (1) (a≠0)

a)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (1) nghịch biến trên ( −∞ ; )α

b)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (1) nghịch biến trên ( ;α +∞ )

c)Tìm ñiều kiện ñể hàm số (1) nghịch biến trên ( ; )α β

Phụ ñạo Toán 11

38

0 0 0 0 ( ) 0

( ) 0

0 0 ( ) 0

( ) 0, 0

⇔ ≤ ∀ <

0 0 0 0 0 0

a

a

S P

a

a

S P

a) Nghịch biến trên khoảng ( −∞ ; 2)

b) Nghịch biến trên khoảng (2; +∞ )

Txñ : D = R

(m − 1)x − 2(m− 1)x− 2a)Hàm số (1) nghịch biến trong

Txñ : D = R

(m − 1)x − 2(m− 1)x− 2

ðặt t = x – 2 ta ñược :

0 ' 0

y’ = g(t) =

2 2 2 2

(m − 1)t + (4m + 2m− 6)x+ 4m + 4m− 10a)Hàm số (1) nghịch biến trong khoảng ( −∞ ; 2)

( ) 0, 0

⇔ ≤ ∀ <

0 0 0 0 0 0

a

a

S P

0 ' 0

a

a

S P