tài liệu ôn thi TN toán 12

Giải được một số phương trình, bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa về lũy thừa cùng cơ số, dùng ẩn phụ,sử dụng tính chất của hàm số.. ĐN và các tính chất của tích phân

Phần I : GIẢI TÍCH

CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I.Các kiến thức cơ bản cần nhớ:

1 Ứng dụng đạo hàm cấp mộ để xét tính đơn điệu của hàm số.Mối liên hệ giữa sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó

2 Cực trị của hàm số: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị, các qui tắc tìm cực trị, điểm cực đại ,ccj tiểu của hàm số

3 GTLN và GTNN của hàm số :Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.Quy tắc tìm GTLN,GTNN của hàm số lien tục trên một đoạn

4 Đường tiệm cận:Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

5 Khảo sát hàm số: Sự tương giao của hai đồ thị PTTT của đồ thị hàm số.Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

II Các dạng toán luyện tập:

A.Dạng : Xét dấu các biểu thức sau :

Bài tập- luyện tập:

1 A = 3x -2 ; B = 5 – x ; C = 7x

2 A = x2 + x + 6 ; B = -x2 + 2x -12 ; C = x2 4x – 12

D = -x2 +8x -16 ; E = 2x2 + 5x + 3 ; F = -x2 +9x + 10

1.Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số:

Luyện tập:Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến của các hàm số sau:

; h)

2

1 2

y , 6

1 2

6 3

y ,

7

3 2

4 y’.cosx – y.sinx - y’’ = 0, với hàm số y = esinx

Bài 2: Lập bảng xét dấu đạo hàm y’ và kết luận tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x3+3x2+1

b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3+3x2+1-m=0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox và 2 đường thẳng x=-2, x=0

Bài 5.

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=-x3+3x+1

b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3-3x+m-1=0

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1

Bài 6.

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= -x3+3x2-4x+2

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x0, biết rằng y”(x0)=0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox và Oy

Bài 7

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x3-3x+1

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=0, x=1

Bài 8

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x3 – 3x +5

b Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:x3 – 3x – k +4 = 0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3

Bài 9

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=-x3+3x2-2

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1

c Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bỡi hình phẳng giới hạn bỡi (C), Ox,x=1, x=2 quay quanh Ox

Bài 10

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x4-2x2+1

b Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x4-2x2=m-1

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành

b Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bỡi (C) quay quanh Ox

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox

Bài 12.

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) củahàm số y=x4+2x2-3

b Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x4+2x2-3-m=0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và đường thẳng y=3x-3

Bài 13.

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= 2x2- x4

b Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x4-2x2+m=0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và Ox

b CMR (C) luôn cắt (d): y=m-x với mọi giá trị của m

b Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y= mx - 1

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), Oy và Ox

Bài 18.

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=2x 12 x-+

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 0

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và trục hoành

b. Một đường thẳng (d) đi qua O và có hệ số góc k Với giá trị nào của k thì (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt O;A;B ?

m x m





 1 ) (

, m0

a Tìm m để hàm số luôn đồng biến

b Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 Gọi (C) là đồ thị

c Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = -4x + k

b Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0

c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành

Bài 25 Cho hàm số y = - x4 + 2x2 +3

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Dựa vào (C), hãy xác định các giá trị m để phương trình x4 - 2x2 + m =0 có

4 nghiệm phân biệt

I/Những kiến thức cần nhớ

Khái niệm và các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ

Khái niệm và các tính chất của lôgarit,qui tắc tính lôgarit, qui tắc đổi cơ số của lôgaritKhái niệm lôgarit thập phân,lôgarit tự nhiên

Khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit

II/ Các kĩ năng cần có:

Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức,so sánh những biểu thức có chứa lũy thừa

Vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản

Vận dụng các tính chất cuả lôgarit vào các bài tập biến đổi,tính toán các biểu thức chứa lôgarit

Vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số,hai biểu thức chứa mũ và lôgarit

Tính đạo hàm các hàm số y = ex , y = lnx

Giải được một số phương trình, bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa

về lũy thừa cùng cơ số, dùng ẩn phụ,sử dụng tính chất của hàm số

Giải được một số phương trình, bất phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp đưa về lôgarit cùng cơ số, dùng ẩn phụ,sử dụng tính chất của hàm số

VD7:Giải các phương trình:

a/ log4(x + 2) = log2x b/ log2

5x + log5x- 2= 0Giải:

5log 23d) 3

e) log log 83 2g) 2log log1000271

h) 9

 

 

  Bài 2: Rút gọn

1log 24 log 72

2e)

1log 18 log 72

8/ log2x + log2(x + 1) = 1 9/ log(x2 – 6x + 7) = log(x – 3) 10/ log2(3 – x) + log2(1 – x) = 3 Bài 4: Giải các phương trình:

log (x - 5 - 6) -3x 

5) log0,8(x2 + x + 1) < log0,8(2x + 5) 6) log2(x + 4)(x + 2)   6

CHƯƠNG III :

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

I) Những kiến thức cần nhớ :

1 Định nghĩa , tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của một só hàm số sơ cấp Phương pháp đổi biến số, P2 tính nguyên hàm từng phần.(các tính chất của luỹ thừa , căn thức và các phép biến đổi ngược lại)

2 ĐN và các tính chất của tích phân Tính tích phân của một hàm số bằng định nghĩa, bằng P2 đổi biến số, P2 tích phân từng phần

3 Diện tích các hình phẳngvà thể tích các vật thể tròn xoay đơn giản

x

dx dx

xdx dx

x

x x

Bài tập : Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau :

1 ( 3x 1 )dx 2 x  x )dx

3

1 4 ( 3

3 (x2 x  3x x)dx

x

x x x

) 5 3

x

) 3

1 2

x

x x

11 11

x dx

sin 

dx du

cos

 xsinx.dx x.c osxcosx.dx

= -x cosx + sinx + C

2

x v x dx du dx x dv x u

4 ln 2

2

1 ln 2

b

a

dx x f k dx x f

+      

b a

b a

b

a

dx x g dx x f dx x g x

2 3

5 4

1

2 2

3

5 4

2 4

5 2

4 5

1 0 1

0 2 1

0

3 1

0 4

1

0 1

0

1

0 2

1

0 3 1

0

2 3

x x

dx xdx

dx x dx x dx x x x

Bài tập : tính các tích phân sau

e

7 5 2

3 2

dx x

x x

e

e x

dx x

x

x

1 3



dx x

2

3

ln

e

e x x dx

5 Tính tích phân bằng P2 đổi biến số,P2 tích phân từng phân : chú ý qui tắc đổi biến và đổicận, công thức tích phân từng phần

u x

10

1 3 10 2

1 )

1 2 (

1

0

4 1

cos ) 1 (

1

ln Giải : Đặt :

x

dx du x

e

x

e xdx x

x J

1 2 2

1 1

2

4

1 2 2

1 ln

1 2

2 2

2 sin

 ( )

+Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a ;b] và hai đường thẳng x = a , x = b thì diện tích S = f x f x dx

b a

2

0

3 2

; 0 0

Bài tập :Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau :

1) y = sinx , trục hoành trên đoạn ;2

2

[    ]2) y = sin2x (0x ) và trục ox

8) y = x3 – 1 và tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x3 – 1 tại điểm m(-1 ;-2)

9).Cho hình phẳng giới hạn bới các đường y = 2x –x2 và y =0 Tính thể tích vật thểtròn xoay sinh ra bởi hình phẳng đó khi quay quanh : a Trục Ox , b Trục Oy

10).Cho hình phẳng giới hạn bới các đường y = x.ex , x = 2 và y = 0 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng đó khi quay quanh trục Ox

7 Thể tích khối tròn xoay : Công thức V = 

b a

dx x

2 0

CHƯƠNG IV : SỐ PHỨC

I) Những kiến thức cần nhớ :

-Dạng đại số của số phức

-Biểu diễn hình học của số phức, môđun của số phức, só phức liên hợp

-Căn bậc hai của số phức

-Công thức tính nghiệm của Pt bậc hai với hệ số thực

+ Phép cộng : (a + bi) + (c + di) = (a + c)+(b +d)i.

Ví dụ :Tính z1 + z2 , Biết z1 = 4 -5i, z2 = -3 -2i

Ta có : z = z1 + z2 = 1 -7i

+Phép trừ :(a + bi) - (c + di) = (a - c)+(b - d)i

Ví dụ :Tính z1 - z2 , Biết z1 = 1 + 3i, z2 = 3 - 5i

Ta có : z = z1 - z2 = -2 + 8i

+Phép nhân : (a + bi)(c + di) =(ac – bd) + (ad + bc)i

Ví dụ :Tính z1 z2 , Biết z1 = 4 -5i, z2 = -3 -2i

bc ad b a

bd ac bi a

di c

2 2 2 2

i z

z

2 2

2 2

2

1

) 5 ( 3

1 ).

5 ( 3 3 ) 5 ( 3

3 ).

5 ( 1 3 5 3

3 1

a) 2x + 1 + 91- 2y)i = 2 –x + (3y – 2)i

b)4x + 3 + (3y – 2)i = x + 1 + (y – 3)i

3 2

) 3 1 )(

2 3 (

i i

i i

+Căn bậc hai của -2 là i 2 vì (i 2) 2 = -2

+Căn bậc hai của -3 là i 3 vì (i 3) 2 = -3

+Căn bậc hai của -4 là  2i vì ( 2i) 2 = -4

+Pt bậc hai : ax2 + bx + c = 0 với a , b, c R, a 0 Xét b2 4ac





 , ta thấy :+Khi   0 , PT có 2 nghiệm thực phân biệt : .

2

2 , 1

2

2 , 1

3.Giải các PT sau :

a) x2 -3x + 9 = 0 , b) -2x2 + 4x - 19 = 0 , c) 4x2 -3x + 5 = 0

III) Bài tâp :

1) Tìm phần thực và phần ảo của só phức z biết :a) z = 1  i ; c) z 2  i

3) Tính z và tìm z biết :a) z =-2 + i 3 , c) z = - 2 i 5

b) z =

2

3

, d) z = i 2 4) Thựchiện các phép tính :

a)(3 – 5i) + (2+4i) ; b)(-2 – 3i)+ (- 1 -7i)c) (4 + 3i) – (5 – 7i); d) (2 – 3i) – (5 -4i)

5)Tính    và    với :a)   3 ,   2i , b)  1-2i ,   6ic)  5i ,   -7i , d)   15 ,   4 – 2i6) Thực hiện các phép tính :

a) ( 3- 2i) (2 – 3i) b) (-1 + i)(3 + 7i)c) 5(4 + 3i) d)(-2 – 5i).4i

e)

i

i

2 3

a (3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i

b (1 + 3i)z – (2 +5i) = (2 + i)z

c ( 2 3 ) 5 2 3

- Khối đa diện đều , 5 loại khối đa diện đều.

- Thể tích khối đa diện, khối hộp chử nhật.Công thức thể tích khối lăng trụ và khối chóp

R ; S=p.r; S= p p a p b p c(  )(  )(  ) (công thức Hê rông)

Trong đó: a, b, c là 3 cạnh tam giác

ha, hb, hc là 3 đường cao tương ứng với 3 cạnh a, b, c

A, B, C là 3 góc

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

p là nửa chu vi tam giác (p= 2

a b c 

)+ Hệ thức lượng: sin = đối/huyền; cos = kề/huyền, tan = đối/kề; cot = kề/đối

+ Diện tích tam giác vuông:

S=1

2AB.AC

* Hệ thức lượng: sin=đối/huyền; cos=kề/huyền, tan=đối/kề; cot=kề/đối

* Định lý Pitago: BC2=AB2+AC2

Bài 1 :Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác ABC vuông tại A, AC=b,

gócACB =600, đường chéo BC’ tạo với mp(AA’C’C) một góc 300

a)Tính độ dài AC’

b) Tính thể tích hình lăng trụ

Bài 2 :Lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ đáy là tam giác đều ABC cạnh a Đỉnh A’ cách đều A,B,C; cạnh bên AA’ tạo với đáy góc 600.Tính thể tích hình lăng trụ

Bài 3: Cho khối lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng

a 3 và hình chiếu vuông góc của A lên (ABC) trùng với trung điểm của BC

a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’

b) Tính thể tích khối chóp ABC.A’B’C’

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A và AC = a , góc ABC = 600 Đường chéo BC của mặt bên (BB’C’C) tạo với mặt phẳng (AA’C’C) một góc 300

a) Tính độ dài đoạn AC

b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC theo a

Bài 5 :Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, BC=2a, AA’=a.Lấy M thuộc

AD sao cho AM= 3MD

b)Tính góc của đt SC và đáy(ABCD).

Bài 10 : Hình chópS.ABCD đáy là hình thoi ABCD có SA=SB=SC=SD=a Gọi O là giao của

AC và BD

a)CMR: SO vuông góc mp(ABCD)

b) Biết SA tạo với đáy góc450, Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Bài11 : Hình chópS.ABCD đáy là hình bình hành ABCD có SA=SC và SB=SD Gọi O là giao điểm của AC và BD

a)CMR: SO vuông góc mp(ABCD)

b)Biết AB=a,BC=b và góc BAD =  , SO = c Tính thể tích khối chóp S.ABCD.Bài 12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a Gọi I

là trung điểm của cạnh BC

a) Chứng minh SA vuông góc với BC

b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a

Bài13: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = a , còn tất cẩ các cạnh khác có độ dài bằng b

a) Chứng minh SA vuông góc với SC

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và b

Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên đều bằng a 3

a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABCD)

b) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

CHƯƠNG II :

MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

I) Những kiến thức cần nhớ :

- Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu.Quan hệ của mặt cầu với điểm, đường thẳng, mặt phẳng

- Thiết diện tạo bởi mặt phẳng giao với mặt nón, mặt trụ, mặt cầu

- Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hoặc lăng trụ

II.Dạng toán thường gặp :

- Tính diện tích thiết diện

- Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón

3Bh3r h (h là chiều cao khối nón)

- Tính thể tích khối trụ:V=Bhr h2 (h là chiều cao khối trụ và h=l)

- Tính thể tích khối cầu: V=4 3

3r

III Bài tập:

Bài 1:Cho hình nón có chiều cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm Mặt phẳng (P) đi quađỉnh của hình nón và có khoảng cách đến tâm O của đáy là 12cm Tính diện tích thiết diện

đó (S = 500)

Bài 2.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Tính diện tích xung quanh và thểtích khối nón có đỉnh O là tâm hình vuông ABCD và đáy là hình tròn nội tiếp trong hìnhvuông A’B’C’D’

Bài 3 Cho khối nón có bán kính đáy r = 12cm và góc ở đỉnh là 1200 Tính diện tíc thiếtdiện đi qua 2 đường sinh vuông góc với nhau

Bài 4.Cho khối nón có chiều cao h và thiết diện qua trục là tam giác đều Một mp qua đỉnh

và tạo với đáy một góc 300 Tính:

a) Diện tích xung quanh và thể tich khối nón

b) Diện tích thiết diện

c) Khoảng cách từ tâm của đáy đến thiết diện

Bài 5 Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thiết diện qua trục là hình vuông

a Tính diện tích thiết diện qua trục

b Tính diện tích toàn phần và thể tích khối trụ

Bài 6 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a, chiều cao h.Tínhdiện tích xung quanh và thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ

Bài 7 Một hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm, khoảng cách giữa 2 đáy bằng 7cm

a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần khối trụ

b Tính thể tích khối trụ

Bài 8 Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h= r 3

a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b Tính thể tích khối trụ

Bài 9: Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O, bán kính đáy bằng 2 cm Trên đường tròn đáy tâm O lấy hai điểm A, B sao cho AB = 2 cm.Biết rằng thể tích tứ diện OO’AB = 8 cm3 Tính chiều cao của hình trụ, suy ra thể tích của khối trụ

Bài 10 Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình chữ nhật, cạnh qua tâm hình tròn đáybằng 2a, cạnh song song với trục bằng a

a Tính diện tích thiết diện

b Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

a Xác dịnh tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

b Tính diện tích của mặt cầu và thể tích của khối cầu

Bài 13 Cho ABC vuông tại B SA  (ABC)

a Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 4 điểm S, A, B, C

b Cho AB = 3a; BC = 4a; SA = 5a Tính bán kính mặt cầu đó

Bài 14 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có AB = SA = a Xác dịnh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Bài 15 Cho mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a

a Xác định tâm và bán kính mặt cầu

b Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu

Bài 16 Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên đường vuông góc với (ABCD) dựng từ tâm Ocủa hình vuông, lấy điểm S sao cho:

2

a

SO  Tìm tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếphình chóp S.ABCD

Bài 17 Cho hình chóp tứ giác dều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao SH = h

Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp