Tài liệu ôn tập toán 11 học kỳ 2 trung tâm phú thạnh

Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc | chung của các cặp đường thang: 1 SB và CD 3 AD và SC Bài 6: Cho hình chop S.ABCD co ABCD la hinh vuông canh.a... Chứng minh : 1< ủn S 5 Cấp số cộn

Đề chứng minh mệnh đê P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng

Vn>p với p là số tự nhiên ta thực hiện các bước sau:

Giả sử P(n) đúng với n= k (k = p) (giả thiết)

Feung lam DU THAR 239 Lé Cao Lang, Ý/ bu g— | Phi Thigulr, Quge Sau Dui

{ (Diéu Thos 08, KUESTLTR

TFeaig 2

1) tỉnh gĩc giữa SB và (ABGCP), SC và (ABCD) * |

2) Tỉnh gĩc gitva (SBD) va (ABCD), (SCD) va (SCB)

Đài 9: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O cạnh ˆ

2a, SO 1 (ABCD) va SO =aV2

1) Tính gĩc giữa SC va (ABCD), gitra (SBC) va (ABCD)

2) Tinh gĩc gitra (SCB) va (SCD)

Bài 10: Cho tứ diện SABC cĩ tam giác ABC vuơng cân tại B,

AB =a Cac mat (SAB) va (SAC) cting vuơng gĩc (ABC) và

SA=av3

1) lính gĩc giữa (SAB) và (SAD)

2) Tính gĩc giữa SC và (ABC)

3) Gọi AH và AK là đường cao của ASAB và ASAC Chứng minh

SC 1 (AHK) va tính gĩc giữa (SAC) và (SBC)

Bài 14: Cho hình chop S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a

ASAE đều và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng

(ABCD) Goi H la trung diém AB

1) Chứng minh SH L (ABCD) Tính gĩc giữa SB và (ABCD)

<) Tính gĩc giữa (ABCD) và (SCD)

Bài 12: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng tâm O cạnh

a,SẬ L (ABCD) va SA=a/3 Tim gĩc giữa:

1) SB va CD, SC va AB

2) SC va BD, SD va AC

3) (SAB) va (ABCD), (SBD) va (ABCD)

4) (SAC) va (SBD), (SBD) va (SCD)

Bai 13: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a Mặt

_ phẳng (SAD), (SAB) cùng vuơng gĩc với (ABCD), SA = a-/6 Tính

Serius aon i) HHA H1 22 2 ——= Sing, Phutiug “2ku < Thanh, ugar < Saat q hei

trên tập hop Z* goi la 1 day sé vé han hay goi tat la day so

a Tập gia tri clia day s6 u(n) gdm vé sé phan te: u(1)=u, ;

b u, goila sd hang dau tién

Cc ta gọi là số hạng thứ n hay là số hạng tống quát của dãy số

2 Cách cho 1 day SỐ :

Một dãy sô được cho bởi 1 trong các cách sau :

a._ Cho công thức của số hạng tổng quát U„

b Cho 1 mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó

c Cho bằng phương pháp truy hồi : cho số hạng đầu (hay vải

SỐ hạng đầu) và cho hệ thức liên hệ giữa số hạng thứ n với

số hạng (hay vải số › hạng) đứng trước nó

- Cho 0 day sé Up

i Néuu,.,>u, VneZ* thi ta ndi u, i | a

i, Néu uo, <u, VneZ thì ta nói u, lac

SS pee ere ee eee ee EE

a om

Bài 1: Cho hình chóp S ABCD có đây là hình vuông cạnh a,

SA L(ABCD) và SA = a3 Tính góc giữa các mặt phẳng:

1) (SAB) và (ABCD)

2) (SBD) và (ABCD)

3) (SBC) và (ABCD) 4) SBC) và (SCD) 5) (SAB) và (SCD) `

Bài 2: Cho tứ diện SABC co SA, SB, SC đôi một vuông góc và

SA = SB = SC Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và BC Tính góc của hai mặt phẳng (SA) và (SCI)

Bài 3: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, DBC vuông cân

tại D Cho AB =2a, AD= a/7 Tinh góc giữa hai mặt phẳng

(ABC) và (BCD)

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có BCD là tam giác đều cạnh a,

AB L(BCD), AB = 2a Tính góc giữa các mặt phẳng (ABC) và

(ACD)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và B, SA.L(ABCD), AB =BC=a, AD=2a, SA = axJ2 Tính

góc tạo bởi các mặt phẳng :

1) (SBC) va (ABCD) 2) (SCD) va (ABCD) 3) SN) va (SCD) Se

Bai 6: Cho hinh chóp S.ABC có đây ABC là tam giác vuông cân với

AB = BC =a, SA 1L (ABC) và SA = a E và F lần lượt là trung

di art của AB và AC Tính góc tạo bởi các mặt phẳng

1) (SAC) và (SBC)

2) (SEF) va (SBC) Bai 7: Cho tw dién SABC co tam giác ABC la tam

SA 1 1 (ABC) va SA=aV3.Tinh: |

2) Tính dj C,(SAB) | và góc tạo bởi (SBA) và (SBC) xạ |

ai 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là nình vuông tâm O cạnh

a,SA 1 (ABCD) và SA=a

Góc giữa đường ¡ thắng và mặt phẳng ° Bai 7: Cho tu dién déu ABCD Ti nh góc giữa:

1) AB va (BCD)

2 2) AH và (ACĐ) với H là hình chiếu của A lên (BCD)

Bài 2: Cho hình chop S ABC có đáy là tam giác vuông ở 8,

AB=a, AC =2a Biét rang SA, SB, SC déu tao với đáy góc bằng

nhau và đều bang 60°

1) Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC) Chứng minh H là trung điểm

a,SC 1 (ABCD) Goi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD

Cho biệt MN tạo với (ABCD) góc 60°

1) Tinh MN va SO

2) Tinh góc we VIN va (SBD)

Bai 4: Cho hinh chop S.ABC cd SA 1 (ABC), SA=2a, AABC

déu canh a Tinh góc tạo bởi:

1) SB va (ABC)

2) SC va (SAB)

3) SB va (SAC)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a,

SA 1(ABCD), SA = aJ6 Tính góc tạo bởi

1) SC va (ABCD)

2) SC va (SAB)

3) SB va (SAC)

4) AC va (SBC)

Bái 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B,

AB=a, SA 1 (ABC), SA =a Tính góc tạo bởi SB và (SAC)

Đại 7; Cho tứ diện ABCD có 3 mặt ABC, ACD, ABD vuéng tai A M

la diém rong ABCD Goi øz,đ,z lần lượt là góc của AM với các

mặt phẳng (ABC), (ACD), (ABD) Chứng minh :

Sin” z + sin? đ + sin? „ = †

a Nêu Ï >1Vne Z' thì dã ãy số tăng

4, Tinh bi chan cua day sé:

Dinh nghĩa :

Cho dãy số U,„

a Néu tén tại số thực m sao cho : „ >fm;Vfnie Z' thì ta nói

dãy số bị chặn dưới bởi m

b._ Nếu tồn tại số thực M sao cho : In SM;Vne Z" thì ta nói

dãy số bị hen trén boi M

Một dãy số vừa bị chặn trên , vừa bị chặn dưới thi dãy số được gọi

là bị chặn - Chủ ý: Các dâu “=” nêu trên không nhát thiết phải XảY ra

= w ky a ee U, 1 = Ì

Bài 3: Cho dãy sô (u,) xac dinh bot: Un =U, tine |

1) Xác định 4 số hạng đầu của dãy

4: Cho dãy số (uạ) xác định bởi:

) Xác định 4 số hạng đầu của dấy

+ Là góc nhọn te bởi đường † thang đó và hình chiêu của nó

+ Là góc tạo bởi hai đường thang la lần lượt nam trên hai mat

phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng đó

Je tước Laws De 1a) THAR 239 Lé Cav Lanuy, Dhatoug Pia Sheath, Qua Fan 2Á

8 oe ee SEES BT SG NP PIE Seer n An N N SG hố Anh KT SE Z2 VốC ue ee 115112595

Bai 5: Cho hinh chop S.ABCD, ABCD là hình vuong cann a Hai

mat phang (SAB) và (SAD) cùng vuông góc voi (ABCD), SA= a

1) Chứng minh rằng BC 1 SB Tim doan vuông góc chung của BC

va SB

2) Tinh d (SA, BD), d(SB AD), d(SC, AD), d(SC, AB)

Bai 6: Cho tam giác ABC đều cạnh a và điểm S ở ngoài mặt phẳng

(ABC) voi SA=SB=SC = 2a Tính d| S.(ABC)]?

Bài 7: Cho tam giác ABC đều cạnh 3a, điểm H thuộc cạnh AC với

HC = a Dựng đoạn SH 1 (ABC) va SH = 2a

1) Hãy nói cách dựng đoạn vuông góc HIK vẽ từ H lên (SAB)

2) Tính d[ H,(SAB) | và d[C,(SAB) |

pai 8: Cho hinh chop S.ABCD có đây là hình chữ nhat AB =a,

AD=2a, SAL (ABCD) va SA =a Goil la trung diém canh SC

1) Xác định đoạn vuông góc AH kẻ từ A đến mặt phẳng (SBD) Tinh

AH va d| /,(SBD) |]

2) Tinh d| O,(SCD)| va d[B,(SCD)]

Bài 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'CD' có cạnh bằng a

1) Tinh theo a d(A'B,B'D)

2) Gọi M,N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BB’, CD, A’D’ Tinh

góc giữa hai i dvong thang MAT PHANG va C’N

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,

SA L(ABCĐ),SA = a Xác định đoạn vuông góc chung của các

SFeasng SO

Bai 9: Cho day sé (u,) voi u, = 5.4" "43,

1) Chứng minh rằng: u„,= 4u —9;Vn >1

2) Hãy cho dãy số (u,) theo công thức truy hồi

Bái 10: Xét tính tăng giảm các dãy số sau :

1) Chứng minh : „ tăng và v„ạ giảm

2) Xác định biểu thức của v, theo n

Bài 14: Với giá trị nào của a thì day so U, = la day số tăng?

Seung law DUO THA 272 Le b Cao Lang, Y Phung Đá Shqule, ein J Jan Phd

1) Chứng minh rằng : S/ L (ABD)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a,

SA L (ABCD) và SÂ = a Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc |

chung của các cặp đường thang:

1) SB và CD 3) AD và SC

Bài 6: Cho hình chop S.ABCD co ABCD la hinh vuông canh.a

SA (ABCD) va (SB,(ABCD)) = 60° Tin

2) Cho AB = CD,AC = BD,AD = BC Chứng minh rằng IJ là đoạn

vuong góc chung của AB va CD

Bai 2: Cho hinh chop S.ABCD co “ay la hinh thoi tam O, canh a,

góc A bằng 60° và có đường cao SO = a Tính:

1) d[O,(SBC) | 2) d[ AD, SB]

Bài 3: Cho hình vuông ABCD và tam giác SAD đều cạnh a, nằm

trong ZÍ mat phang Vuông góc nhau Tính:

8 2) d|SA, D8]

Bai 4: Cho hi nh ae ABCD vuéng tai A va B với

AD =2AB = 2BC = 2a, SAL (ABCD), SA= 2a Tinh d(SA,BC) 3) d(SD,BC) đ{ ) 4) d(SD,AB)

( Ff Diée Thoqés OS

°_ Cách dựng 2: (áp dụng cho trudng hop a 1 b)

+ Dựng mặt phẳng (ø ) chứa b vuông góc với a tại a

+ Dựng AB L b tại B Suy ra đoạn AB là đoạn Vuông góc

chung của a và b

Bài 1: Cho tứ diện ABCD có ABCD đều cạnh a, AB L (BGD),

AB =a Tinh d| D,(ABC)] va d[B,(ACD)]?

Bài 2: Cho AABC vuông tại A, BC = a,S # (ABC) thoả:

SA=SB=SC = a8 5 Tính d| S,(ABC) |?

Bal 3: Cho hinh chop S.ABCD có ABCD là hình VUuÔng cạnh a,

SA Lf (ABCD), SDA = 60" Tinh:

1) d| BSAC) ] 2) d| B,(SAD) |

3) mata SBC) | 4) d| A(SBD)]

) a[B,(SCD)]

6) 3 d[o(scp] với O = AC ¬ 8D

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC =a, ASB = 90°

BSC =60°, ASC =120° Goil fa trung diém AC

Seang SA

; 0S.30792792 | Qua Fee Plui

Bài 146: Cho dãy số (tin) VOI U u,=(1 ~a) +(ira) trong đó

0<a<†1 vàn là số nguyên dương <

1) Viết công thức truy hồi của dãy số

2) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy só

Bài 17: Xet tính đơn điệu và bị chặn của các dãy số (uạ) sau:

u, =1 3 Bai 19: Cho day so U, F _ U„ạ+2 Chứng minh : 1< ủn S 5

Cấp số cộng là một dãy sỐ (hữu hạn hay võ hạn) trong đó, kế từ

số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng liên trước

nó với một số không đỗi gọi là công sai

Cho hai ¡ đường thẳng avab,c là đường vuông góc chung của

a và b c cắt a tại A, c cắt b tại B Khoảng cách giữa hai đường

thẳng chéo nhau : 2 và b là độ dài đoạn thẳng AB

Cách dựng đường vuông góc chung:

Je cue cà cute PHU TARE 2 3 9 Lé Cao Las

ai 3: Cho hình chóp'S.ABGD có ABCD là hình vudn ng tâm

a, mặt phẳng (SA) và (SAD) cùng vuông góc mặt phẳng

1) Chueng minh rang: (SAB) | (SBC) va (SAD) (SCD)

2) Chứng minh rang: (SAC) 1 (

3) Ha AH 1 (SBC) va OK 1 (SBC) Tinh AH va OK

Bai 4: Cho hinh chop S.ABCD cé ABCD là hình thoi tâm O cạnh a

va SA=SB=SC=a

1) Chteng minh rang : (ABC) | (SBD)

2) Chteng minh rang : ASBD là tam giác vuông

Bài Š: Cho tứ diện SABC có mặt phẳng (SAC) và (SAB) cùng

ác định sO harig đầu tiên và công sai của cáp số cộng, “

trong ‹ các trường hợp sau:

Sal 2: T rong cac day số sau, dãy số nào là cập số cộng Xác định

số hạng đầu tiên và Công sai

Bai 3: Métc cấp số cộng có 8 số hạng Số hạng đầu là 35, số hạng

cudi la 112 Tim các số hạng còn lại

¡ 4: Một cấp số cộng có công Sai bằng _4, số hang dau la 102

SỐ hạng cuỗi là —-14 Tim sé sé hạng của cấp số cộng

Les 416 ghia © O _IE1AI 1239 Lé Cuo Lang , Phutiny Phu 7,

Bài 12: Ba goc của 1 tam giác lập thành 1 cấp số cộng Hãy tìm sé

đo các góc của tam giác đó

Bai 13: Một cap sé cong co 11 sé hang Téng cac số hang la 176

Hiệu giữa số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số cộng đó

Bal 14: Nguoi ta trồng 3003 cây theo hinh 1 tam giac nhv sau:

hang thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cay, hang thứ ba có 3 cây

V.V Hỏi có bao nhiêu hàng cây?

: là lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt

đáy “Trong lăng trụ đứng, các mặt bên là các hình chữ nhật

vuông góc với đáy Cạnh bên cũng là đường cao Lăng trụ đều: là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Trong

lăng trụ đều, các mặt bên là các hình chữ nhật bằng nhau Hình hộp : là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành Trong

- — Chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm của đáy

- _ Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau

- _ Các mặt bên hợp với mặt đáy các góc bằng nhau

- — Chiêu cao của tam giác cân mặt bên hạ từ đỉnh là trung đoạn

Bai 2: Cho hinh chop S.ABCD co ABCD la hinh vuéng canh a;

ASAB déu va nam trong mat phang vuông góc voi (ABCD) Goi M

la trung diém AB

1) Chteng minh rang: SM 1 (ABCD

2) Chứng minh rằng: ASBC vuông

3) Chứng minh rằng : (SAD) L (SAB)

ghia: hai mat Sng ae: i la vuông góc với nhau nếu trong

mat sna g này chứa một đường thẳng vuông góc mặt phẳng kia

| Các tín h chất:

Định lý 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bat cứ

đườn Ig thang nao nam trong mặt phẳng nảy và vuông góc với giao

tuyên thì đều vuông góc với mặt phẳng kia

Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A

là điểm nằm trên (P) thì đường thẳng qua Ä và vuông góc (Q) sẽ

năm trong (P)

nh ly 3: Fial mặt phẳng cắt nhau và Củng vuông góc với mặt

phẳng thứ ba thì giao tuyến của hai mặt phẳng đó cũng vuông

b+ de” je+ va: Eu *

äÏ 17: Cho 4 số nguyên lập thành 1 cắp só cộng Biết tổng của

vol N= 2 thì:

+ ee, + = 1

Un + VN Ju, + Jun

Bai 19: Dinh m để phương trình : x “=2(m+1)x?+2m+1=0 có

4 nghiệm phân biệt lập thành 1 cấp số cộng

Bai 20: Cho day sé u, théa: U u, VaV, =-

Cấp SỐ nhân là một ¡ dãy số (hữu hạn hay vô han) trong do, ké từ

SỐ hạng thứ hai, mỗi số hạng đêu là tích của số hạng liên trước

nó với một số không đỗi gọi là công bội

Feary Law BHU Ue

a 1239 Li Cuo Lang, Phucug Pili Fhants, quản Fe Dlui_

(Dién Shogt: O8.39782192 } — =

a:b;c lập thành cấp số nhân <= ac = b*

6 Cấp số nhân lùi vô hạn:

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có giá trị tuyệt đối của

công bội nhỏ hơn 7

Bài 4: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC đều cạnh a, SA = a Và

vuông góc với (ABC) Gọi H là trung điểm AB Gọi M là điểm trên

đoạn AH có AM = x (0 < x < a/2) Gọi i (@) là mặt phẳng qua Mi và vuông góc với AB

1) (a) cat tte diện theo thiết diện hình gì?

2) Tính diện tích thiết diện theo a và x Tìm vị trí M để diện tích này

lớn nhất

Bài 1: Cho 3 tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và vuông góc với

nhau từng đôi một Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lầy các điểm A, B, C trong đó A, B cô định và khác O, còn C di động trên Oz Tim tập hợp

hình chiếu vuông góc H của A trên BC

Bài 2: Cho hình tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại C,

SA L(ABC), SA = AC ï là trung điểm cla SC, Mla moat điểm di động trên cạnh SB và H là hình chiêu vuông góc của A trên CM

1) Chứng minh AI L (SBC

2) Tìm tập hợp các điểm H khi M di động trên cạnh SB

Bài 3: Cho tam giác đều ABC và đường thẳng d vuông góc với

(ABC) tại A | là trung điểm của AC, M là một điểm di động trên d và

H là hình chiêu vuông góc của B trên CMI |

2) Mặt phẳng (a) chtra AD va vudng géc vai mat phang (SBC)

Xác định thiết diện của (z} với SABCD Tính diện tích thiết diện

THIẾT DIỆN

Bái 1: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a và

SA | (ABCD), SA= 2a Gọi M là điểm nằm trên cạnh AD có AM =

x (0 <x< a) Mặt phẳng (+) vuông góc với AD tại M, cắt SB, SC,

SD lần lượttạiN,P,@

1) Tứ giác MNP là hình gì?

2) Tính điện tích tứ giác MNPO theo a va x

3) Gọi I là giao điểm của M@Q và NP Tìm quĩ tích của điểm l khi MỊ di

gong tren doan AD

Bài 2: Cho tứ diện SABC có SA L (ABC), SA = a, tam giác ABC

vuông cân tại B với AB = a Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và

OB

1) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông

2) Chứng minh rằng Bí 1 (SAC) và SC L AJ

3) Gọi M là điểm trên đoạn AB sao cho AM = x (0 < x< a) Goi (a)

là mặt phẳng qua M và vuông góc AC cắt SB, SC, AC tại P,Q,N

Xác định hình tính của tứ giác MNP

4) Tính diện tích MNPGQ theo a va x Tim vị trí của M để diện tích

MNPQ lớn nhất và tính diện tích khi đó

Bải 3: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình vuông cạnh a va

SA 1(ABCP), SA = a Gọi (+) là mặt phẳng chứa DC, (ø) cắt

SA, SB tại M và N

1) Tứ giác COMN là hình gì:

2) Cho AM = x (0 < x < a) Tinh dién tich DCMN theo a va x

3) Goi | la giao diém MC va ND Chieng minh | luén nằm trên 1 đoạn

thang cé dinh khi M di động trên SA

| |u, +uU, = 325

8) U,+U, +U, =-21 (1, + „ = 10 Bài 2: Tìm các số hạng của 1 cấp số nhân biết cấp số đó:

Bai 5: Tim s6 do cac goc của một tứ giác biết chúng lập thành 1

Bài 9: Xác định các số dương a và b biết rằng:

6 a; a+2b; 2a+b lập thành †1 cấp sô cộng

& (b+1) ;ab+5: (a ef lập thành 1 cấp số nhân

Bat 10: Mét cap sé nhan cé 5 sé hang Biét céng bdi bang SỐ

hạng đầu; tống của 2 số hạng đầu bằng 24 Tìm cấp số nhân đó

Bài 1: Cho AABC có độ dài các cạnh lập thành 1 cấp số nhân

Chứng minh : AABC có 2 góc không quá 60”

Bài 13: Cho a; b; c; d lập thành 1 cấp số nhân Chứng minh rằng:

1) (a?2+b?](b? + c?]= (ab + be)

(a+b+c)(a—b+c)=a°+b*? +e

3) (be +ca+ab) =abc(a+b+c)

5) (a-dy =(a—c) +(b-c) +(b-ay

6) (a+b+c)(b+c+d)(a—b+c)(b-c+d)=(ab+bc+cd)

Fug fam DH "U UHAR 23 2 Le 4o ae Phuong “hú < hanh, ugar Sin c Die

+ ung fam Dt 5 222 62 ce Cue Lang, (Plucug Dai Shale Reecine an Dh |

_ trên OH sao cho AI = x và a < x < 2a Mặt phẳng (ø } đi qua I và

vuông góc với AH

1) Xác định thiết diện (ø) với tứ diện SABC

2) Tỉnh diện tích thiết diện theo a và x Tìm x để diện tích này lớn

nhất, tính diện tích lớn nhất này - Bải 16: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông cân tại B và AC

=2a, SA L (ABC) và SA = a

1) Chứng minh rằng (SAB) L (SBC)

2) Xác định chân đường vuông góc l kẻ từ A đến mặt phẳng (SBC) 3) Xác định chân đường vuông góc J kẻ từ M đến mặt phẳng (SBC) với M là trung điểm AC

Bai 17: Cho tứ diện SABC có (SBC) và (ABC) vuông góc với nhau, tam giác SBC đều cạnh a, tam giác ABC vuông tại A và ABC = a

1) Hãy xác định hình chiếu H của S lên mặt phẳng (ABC)

2) Tính SA

3) Goi I là trung điểm của AB Chứng minh rằng (SH) L (SAB)

4) Xác định hình chiêu K của điểm H trên (SAB) Tinh HK

Bai 18: Cho hinh chop SABCD voi day ABCD là hình chữ nhật, SA

vuông góc với mặt phẳng đáy, E, F lần lượt là hình chiếu của A trên

SB, SD Chứng minh rằng:

1) (SAB) 1 (SBC) (SAD) L (SCD)

Bái 79: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình thoi ABCD tam O,

AD =60°, SO L(ABCD), SO= = va F la diém trén

Phurorg | Plui Flagacbe, uốn Tam Plu

Bài f1: Cho đường tron (C) dwong kinh AB nani trong mat phang

(a), dla duong vudng géc voi (ar) tai A, trén d lay diém S # A,

trên (G) lấy M Chứng minh rang:

1) Gọi I là trung điểm SD Chứng minhh rằng: AI L (SCD)

2) Gai O la tam hinh vuông ABCD, M dị động trên đoạn SD Tìm tập

hợp các hình chiêu N của O trén CM?

Bài 13: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành với AB =

a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên AD với

tại K Chứng minh rằng

AM = x(0<x< 2a) Mặt phẳng (+) qua M song song với mặt phẳng

(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượi tại N, P, Q

1) Chứng minh rằng tứ giác MNPG là hình vuông

2) Gọi I là giao điểm của MQ và NP Tìm tập hợp các điểm | khi M

chạy từ A đến D

3) Tính diện tích MNPQ theo a va x

Bài 14: Cho hình chóp SABCD, đáy là hình thang vuông tại A va D,

voi AD = DC = a, AB = 2a, SA L(ABCD) va SA = 2a, | là trung

diém AB

1) Chteng minh rang C/ 1 (SAB

), BC L(SAC)

2) Từ điểm M nằm trên cạnh AD Mặt phẳng (a) vuéng géc voi AD

tai M, cat SB, SC, SD lần lượi tại N, P, Q Tứ giác MNPG là hình gì?

Tính điện tích MNPQ theo a và x = AM

Bài 15: Cho tam giác ABC đêu, đường cao AH = 2a © là trung

điểm AH, S là điểm sao cho SƠ L (ABC) và SO = 2a | la điểm

U THANK 2 39 Lé Cus Lany

+b+ aB + bc +ac |

minh: ee | 3 - ¥abe cling lap thanh 1 cap số

nhân

Bài 20: Tổng 3 số hạng liên tiếp của 1 cấp số cộng bằng 21 Nếu

số thứ hal bot di 1 va số thứ ba cộng thêm 1 thì 3 số đó lập thành 1

Bai 7: Cho tw dién SABC co tam giác ABC vuông tại B và

SA L(ABC), AB =a,AC =3a,SA = a3

1) Chứng minh rằng các mặt của tứ diện đều là các tam giác vuông

2) Gọi AD và AE là những đường cao của tam giác SAB và SAC

Chứng minh rằng tam giác ADE vuông

3) DE cắt BC tại l Chứng minh rằng tam giác ACI vuông

4) Gọi O là trung điểm AC Hạ OH L (SBC) Tính độ dài OH Bài 8: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O

cạnh a và SO L (ABCD) và SO = 2a Gọi l là trung điểm BC

BC 1 (S/O)

2) Gọi OH và OK là đường cao của tam giác SIO và SÓOC Chứng

minh rang SC L HK

3) Tính HK theo a

Bai 9: Cho hinh chop SABCD có ABCD là hình vuông tâm O và

Goi I va K là trung điểm của SB và SD

49 “những minh rang SC LIK

trực tâm của các tam giác ABC và SBC

1) Chứng minh rằng: AH, SK và BC đồng qui tại một điểm

Je west Cu _ Dữ RU l8 LẠ NI 229 Le Laaeg , Phucug Phi Shrasebe, Quase Fane Dui

Si Ne eee Lee See ee ee Ôn N ƯC ce EE

: O8.39782192 j

2) Chứng minh rằng SC 1 BD “

3) Ha AH 1 SB:AK 1 SD Chteng minh rang

AH L(SBC);AK 1 (SCD) Tinh dé dai AH va AK

4) Chứng minh rằng SC L(AHK), suy ra BD/!HK

Bài 2; Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B và

SA 1 (ABC)

) Chứng minh rằng tam giác SBC vuông

2) Gol AH, AH la cac duwong cao của tam giác SAB, SAC Chứng

minh rằng tam giác AHK vuông

3) Chứng minh rằng SC 1 (AHK)

Bái 3: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vuông tai A

và D, đáy AB = 2a; AD = DC =a, SA L(ABCD) Chứng minh rằng

tam giác SCD và SBC là các tam giác vuông

Bài 4: Cho tứ diện ABCD có hai mặt bên ABC và DBC là những

tam giác cân có chung đáy BC

3) Ha OH L (SBC) Tinh d6 dai OH

Bài 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi mội vuông góc với

Bài 25: Ba số khác nhau có tong là 6 lập thành một cấp số cộng Bình phương của các số đó là các số hạng liên ti tiếp của một cấp số nhân Tìm ba số đó

Bài 26: Ba số có tổng là 26 lập thành một cập số nhân Nếu theo thứ tự ta thêm 1; 6; 3 vào ba sô đó thì ta được một cấp số cộng Tìm cấp số nhân đã cho

ens

Bài 27 ; Cho mot day số gồm 4 SỐ nguyên Biết răng ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số cuỗi ¡ lập thành một cap số nhân Tổng của số hạng đầu và số hạng cuối là 37 Tổng hai số hạng giữa là 36G Tim 4 sô nguyên đó

Bài 28: Cho 4 số lập thanh một cấp số cộng Nếu theo thứ tự ta bới L2); 6: 7: 2 thì 4 số mới sẽ lập thành một cấp số nhân Tìm 4 số đó

2zttự (set BHU ue IARI 2 ae Lé Cuo Lang, Phường Pha Sheet, _ Sun San Dis

cực nếu |u„| có thể nhỏ hơn một số dương bé tủy ý, kế từ một số

inh lý 1: Néu mot day số có gio’ ới hạn thi nó bị chặn

¡nh y 2: Nêu một dãy có giới han thi giới hạn đó là duy nhất

Định lý 3: (Định ly Weierstrass)

Một day tang va 5 chan trén thi cd gidi han Mét day giam va

DỊ chặn dưới thi có giới han

Dinh ly 4 : (Định | ÿ kẹp)

Cho ba dãy số V„,u,, W„ thỏa v„<W„ Vn e Ñ và

+Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng nay thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia

+Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mội đường thẳng thì Song song với nhau

+Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì

song song với nhau

+Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường

thẳng đó) cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau

+Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là mặt phẳng đi qua

trung điểm của đoạn thẳng vả vuông góc với đoạn thẳng đó

+Định lý: Tập hợp những điểm cách đều hai đầu cuả một đoạn

| thang la mat phang trungf trực của đoạn thẳng đó

IV Phép đối xứng qua một mặt phẳng:

Phép đối xứng qua mặt onan (z) là phép cho tương ứng m

3) Tính x đề diện tích này bằng

a

4) Goi lla giao diém ctia MQ va NP Chteng minh rang | luén Iuén

nam trén 1 doan thang cé dinh khi M di ¡ động trên đoạn AB

EU nnnre Eee ree —— ore Soma =n

I Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

+Định nghĩa: một đường thẳng A được gọi là vuông góc với

mặt phẳng (a) nêu nó vuông góc với mọi đường thẳng của mặt

phẳng đé:

+Cách chứng minh một đường than

mặt phẳng:

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm

trong mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng

g vuông góc với một

+Định lý 1: Qua một điểm O cho trước, có một mặt phẳng duy

nhất vuông góc với một đường thắng A cho trước

Định lý 2: Qua một điểm O cho trước, có một và chỉ môi

4n -5n?

N"h+3n+3+6n

7n+9

(2nJn +1)(Jn +1) (3n +2)(n+1)

Tess lam OI aU THA 123 2 = Cas Ling, Dhutsny Phui

Bai 5: Cho hinh lao phuong ABCD.A’B’C’D’ canh a Goi M, N va P

lan lượt là trung điểm các cạnh BB', CD và A'D' Tính [MP, CÌNI

Bài 6: Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của AC va.BD Lay S

là điểm không nằm trong (ABCD) sao cho SA = SC, SB = SD

1) Chứng minh: SO L (ABGD)

2) Chứng minh: AC L S8

3) Ha O! | SA, |e SA, chteng minh SA 1L (IBD)

Bài 7: Cho hình vuông ABCD canh a, SA 1 (ABCD) và

SA =aA2 Gọi H lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SG, SD

4) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

2) Chứng minh rằng AH, AK cùng vuông góc với SC Suy ra AH|, AK

Al đồng phẳng

Bài 8: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a và AB LCD Lay diém

M trên cạnh AC với AM = x(0 <x< a) Gọi (œ} là mặt phẳng đi