tích phân kép tich_phan_kep

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

Trang 1

TÍCH PHÂN KÉP

TS Lê Xuân Đại

Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, bộ môn Toán ứng dụng

Email: ytkadai@hcmut.edu.vn

TP HCM — 2016.

Trang 2

N ỘI DUNG

1 Đ ỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN KÉP

2 T ÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ Đ Ề - CÁC

3 T ÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

4 Ứ NG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN KÉP

Trang 3

N ỘI DUNG

Trang 4

N ỘI DUNG

Trang 5

N ỘI DUNG

Trang 6

Cho z = f (x,y) là hàm xác định trên miền

đóng D = {(x,y) ∈ R 2 : a É x É b,c É y É d}.

Ω = {(x,y,z) ∈ R 3

: 0 É z É f (x,y),(x,y) ∈ D}

Trang 11

Định nghĩa tích phân kép Tính chất của tích phân kép

Trang 13

Định nghĩa tích phân kép Tính chất của tích phân kép

Trang 17

Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các Định lý Fubini

V =

Z b

a

h(x)dx,

cong z = f (x,y).

Khi chox cố định , thì h(x)là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong C : z = f (x,y), z = 0 vàc É y É d. Do đó

Trang 18

Ngoài ra, thể tích của vật thể Ω là

V =

Z b

a

h(x)dx,

cong z = f (x,y). Khi cho x cố định , thì h(x) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong C : z = f (x,y), z = 0 và c É y É d. Do đó

h(x) =

d

Z

f (x, y)dy.

Trang 19

Trang 26

Trang 28

T ÍCH PHÂN KÉP TRÊN MIỀN BẤT KỲ TỔNG QUÁT

H ÌNH : Miền D bất kỳ tổng quát và miền hình chữ nhật R

Trang 30

Đ ỊNH LÝ 2.2

Cho hàm số f (x, y) liên tục trên miền D Nếu

D : a É x É b, y 1 (x) É y É y 2 (x), y 1 (x), y 2 (x) liên tục trên [a, b] thì

Trang 32

Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các Tích phân kép trên miền bất kỳ tổng quát

Trang 35

H ÌNH : Một số hình dạng của miền D : a É x É b , y 1 (x) É y É y 2 (x)

Trang 36

Đ ỊNH LÝ 2.3

Cho hàm số f (x, y) liên tục trên miền D Nếu

D: c É y É d, x 1 (y) É x É x 2 (y), x 1 (y), x 2 (y) liên tục trên [c, d] thì

Trang 37

H ÌNH : Miền D : c É y É d, x 1 (y) É x É x 2 (y)

Trang 40

(

0 É x É 1

x É y É 1.

Khi đó,

Trang 41

Miền D được giới hạn bởi

Trang 44

(

0 É y É 1

0 É x É y 2

Khi đó,

Trang 45

Miền D được giới hạn bởi

(

0 É y É 1

0 É x É y 2 Khi đó,

Trang 46

Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các Đổi thứ tự lấy tích phân kép

Trang 48

Tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các Đổi thứ tự lấy tích phân kép

Trang 50

Giả sử chúng ta cần tính tích phân

Ï

D

trục tọa độ Đề-các khá phức tạp nhưng mô

tả trong hệ tọa độ cực thì dễ dàng hơn.

Trang 52

Miền D được xác định trong hệ tọa độ cực:

D = {(r,ϕ) : a É r É b,α É ϕ É β}

Trang 53

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực Tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Miền nhỏ bất kỳ trong hệ tọa độ cực:

Trang 54

Trang 55

Trang 56

Khi đó, tổng Riemann tương ứng là

Riemann ở trên có thể viết lại như sau:

Trang 57

Khi đó, tổng Riemann tương ứng là

Riemann ở trên có thể viết lại như sau:

Trang 59

Đây chính là tổng Riemann của tích phân

Trang 60

T ÍCH PHÂN KÉP TRONG HỆ TỌA ĐỘ CỰC

Trang 63

Trang 64

Trang 65

Chuyển miền D sang hệ tọa độ cực bằng

Trang 66

Trang 67

Trang 68

Trang 72

được giới hạn bởi

Trang 73

Chuyển miền D sang hệ tọa độ cực bằng

được giới hạn bởi

Trang 74

Trang 76

F(x, y) =

(

f (x, y), (x, y) ∈ D

0, (x, y) ∈ R\D.

Trang 77

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực Tích phân kép trên miền D tổng quát trong hệ tọa độ cực

Trang 81

É 6r cos ϕ ⇔ 2 cos ϕ É r É 6 cos ϕ.

r sin ϕ É r cosϕvới ϕ ∈ h − π

Trang 82

Trang 83

Trang 84

3

¸ r=6cosϕ r=2cosϕ

d ϕ =

Trang 85

3

¸ r=6cosϕ r=2cosϕ

d ϕ =

Trang 86

Vậy, miền D được giới hạn bởi

d ϕ =

Trang 87

−π/2

cos 4 ϕdϕ =

= 416 3

Trang 88

Trang 90

Tích phân kép trong hệ tọa độ cực Công thức đổi biến tổng quát khi tính tích phân kép

Trang 92

Trang 93

Trang 96

2 É ϕ É π

2 .

Trang 97

2 É ϕ É π

2 .

0

£2(1 + r cosϕ) + (2 + r sinϕ)¤ rdr  d ϕ

Trang 98

Đổi biến x − 1 = r cosϕ, y − 2 = r sinϕ. Thay

2 É ϕ É π

2 .

Trang 99

Trang 100

Trang 101

Trang 103

Trang 105

Trang 106

Trang 109

Trang 110

Trang 112

d ϕ =

Trang 115

Trang 116

Trang 118

2 ·

Trang 121

V Í DỤ 4.1

Tính diện tích miền D giới hạn bởi

y = (x + 1) 2 , x = y − y 3 , x = −1,y = −1.

Trang 122

V Í DỤ 4.1

Tính diện tích miền D giới hạn bởi

y = (x + 1) 2 , x = y − y 3 , x = −1,y = −1.

Trang 123

Ứng dụng hình học của tích phân kép Tính diện tích miền D

0



 Z

Trang 124

Trang 125

Trang 126

Ta cần chia miền D thành hai miềnD 1 vàD 2

Trang 127

Trang 128

Trang 129

Trang 133

Trang 134

Trang 136

V =

Ï

D

Trang 138

V Í DỤ 4.3

Tính thể tích của vật thể Ω giới hạn bởi

z = 0,x + 2y + z = 2 , x = 2y,x = 0.

Trang 139

V Í DỤ 4.3

z = 0,x + 2y + z = 2 , x = 2y,x = 0.

Trang 140

Ứng dụng hình học của tích phân kép Tính thể tích vật thể

giới hạn bởi những đường thẳng

Trang 141

Trang 142

Trang 143

Trang 144

Vật thể Ω được giới hạn bởi

Trang 148

V Í DỤ 4.4

Tính thể tích của vật thể giới hạn bởi

y = 1 + x 2 , z = 3x,y = 5,z = 0 (phần x > 0)

Trang 149

V Í DỤ 4.4

y = 1 + x 2 , z = 3x,y = 5,z = 0 (phần x > 0)

Trang 150

y = 1 + x 2 , y = 5,x = 0.

Trang 151

y = 1 + x 2 , y = 5,x = 0.

Trang 152

y = 1 + x 2 , y = 5,x = 0.

Trang 153

Vật thể Ω được giới hạn bởi

y = 1 + x 2 , y = 5,x = 0.

Trang 155

= Z

0

£3x.5 − 3x(1 + x 2

) ¤ dx = 12.

Trang 156

Như vậy, thể tích của vật thể Ωlà

Trang 157

V Í DỤ 4.5

z = 1 − x 2 − y 2 , vàz = 0.

Trang 158

V Í DỤ 4.5

z = 1 − x 2 − y 2 , vàz = 0.

Trang 163

Nếu thay z = 0 vào phương trình của

Trang 167

V Í DỤ 4.6

Tính thể tích của vật thể Ω giới hạn trên bởi

z = x 2 + y 2 , giới hạn dưới bởi z = 0, và nằm

trong hình trụ x 2 + y 2 = 2x.

Trang 168

V Í DỤ 4.6

Tính thể tích của vật thể Ω giới hạn trên bởi

z = x 2 + y 2 , giới hạn dưới bởi z = 0, và nằm

trong hình trụ x 2 + y 2 = 2x.

Trang 169

được r 2 = 2r cos ϕ ⇒ r = 2 cos ϕ.

D = n (r, ϕ) : − π

2 É ϕ É π

2 , 0 É r É 2cosϕ

o

Trang 170

Thay x = r cosϕ,y = r sinϕ vào x 2 + y 2 = 2x, ta

D = n (r, ϕ) : − π

2 É ϕ É π

2 , 0 É r É 2cosϕ

o

Trang 171

Thay x = r cosϕ,y = r sinϕ vào x 2 + y 2 = 2x, ta

D = n (r, ϕ) : − π

2 É ϕ É π

2 , 0 É r É 2cosϕ

o

Trang 175

Đ ỊNH LÝ 4.3

Thể tích của vật thể được giới hạn trên bởi

mặt cong z = f 2 (x, y), giới hạn dưới bởi miền

z = f 1 (x, y), giới hạn xung quanh bởi những đường thẳng song song trục Oz,tựa trên biên của miền D được tính theo công thức

Trang 177

V Í DỤ 4.7

y = x,y = 2x,x = 1, z = x 2 + y 2 , z = x 2 + 2y 2

Trang 178

V Í DỤ 4.7

y = x,y = 2x,x = 1, z = x 2 + y 2 , z = x 2 + 2y 2

Trang 183

⇒ D = {(x, y) : 0 É x É 1, x É y É 2x}.

Trang 184

⇒ D = {(x, y) : 0 É x É 1, x É y É 2x}.

Trang 185

 Z

Trang 188

2 − 2x Ê (x − 1) 2 + y 2 ⇔ x 2 + y 2 É 1.

chặn nên dấu bất đẳng thức trên là đúng.

Trang 189

2 − 2x Ê (x − 1) 2 + y 2 ⇔ x 2 + y 2 É 1.

chặn nên dấu bất đẳng thức trên là đúng.

Trang 190

Trang 191

Trang 192

Vật thể Ω giới hạn bởi

Trang 193

z = (x − 1) 2 + y 2 và chiếu giao tuyến này xuống

Trang 194

Trang 195

Trang 196

Để xác định hình chiếu của vật thể Ω ta tìm

Trang 198

d ϕ = 1

4 · £ ϕ¤ 2π 0 =

π

Trang 199

Đ ỊNH LÝ 4.4

Diện tích mặt cong z = f (x,y), có hình chiếu xuống mặt phẳng Oxy là D được tính theo công thức

Trang 201

V Í DỤ 4.9

Tính diện tích mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 9.

Trang 202

V Í DỤ 4.9

Tính diện tích mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 9.

Trang 203

Ứng dụng hình học của tích phân kép Tính diện tích mặt cong

Trang 204

Trang 205

Vì mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 9 có thể chia ra làm hai phần có diện tích bằng nhau nên diện

Trang 206

Trang 207

Trang 209

V Í DỤ 4.10

Tính diện tích phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4

nằm phía trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2y.

Trang 210

V Í DỤ 4.10

Tính diện tích phần mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 4

nằm phía trong mặt trụ x 2 + y 2 = 2y.

Trang 212

Trang 213

Trang 215

0



 Z

0

2 p

Trang 216

Trang 217

Trang 218

Trang 220

CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý THEO DÕI

Định dạng
Số trang	220
Dung lượng	13,83 MB