Bài tập tích phân kép, tích phân bội có lời giải

bỞ hình vẽ dưới chúng ta sẽ lấy ví dụ về 1 khu vực D thỏa mãn điều kiện: không phải loại I và loại II... Giá trị trung bình cảu hàm f của 2 biến xác định trên hình chữ nhât là quy ave y

TÍCH PHÂN KÉP, BỘI

Bài 02.02.1.040.A995: Vẽ ví dụ về 1 vùng có:

(a).Cả loại I và loại II

(b).Không phải loại I và loại II

Lời giải:

(a)Ở hình vẽ dưới chúng ta sẽ lấy ví dụ về 1 khu vực D thỏa mãn điều kiện:

có cả loại I và loại II

(b)Ở hình vẽ dưới chúng ta sẽ lấy ví dụ về 1 khu vực D thỏa mãn điều kiện: không phải loại I và loại II

Bài 02.02.1.041.A995: Lấy D là 1 miền khu vực có loại I và cũng có cả

loại II Tính giá trị tích phân kép

D xdA

 , D khép kín bởi đường y x y, 0,x 1

Lời giải:

Với vùng miền loại I, D nằm giữa ranh giới thấp hơn y  và cao hơn 0

ranh giới yx với 0 x 1 , bởi vậy D  x y, / 0 x 1,0 y x

Nếu chúng ta mô tả D như vùng miền loại II, D nằm giữa đường biên bên

trái x y và đường biên bên phảix 1 với 0  , bởi vậy y 1

Bài 02.02.1.042.A995: Lấy D là 1 miền khu vực có loại I và cũng có cả loại II Tính giá trị tích phân kép

D xydA

 , D khép kín bởi đường cong yx y2, 3x

Lời giải:

Đường cong 2

y vàx y 3x giao nhau tại điểm   0,0 , 3,9 .Với vùng miền loại I, D khép kiến bởi giới hạn dướiy và giới hạn trênx2 y3xvới

0 0

trên là đường cong y x nhưng giới hạn dưới bao gồm 2 phần y   x

     Nếu chúng ta mô tả D với miền loại

II, D được khép kín bởi đường biên trái 2

x y và đường biên phải2

x  với 1y    ,bởi vậy y 2    2 

2

2 2

   Trong cả 2 trường hợp, tích phân lặp không quá khó

để tính nhưng với miền loại II sẽ đơn giản hơn

1 1

0 0

1 1

1 1

x D

2 2

4

2 4

y x x

1 1

0 0

Bài 02.02.1.045.A996: Tìm thể tích của vật rắn

Nằm dưới mặt phẳng x2y  và nằm trên vùng xác định bởi z 1

1

x  và y 2

1

x   y Lời giải:

0 0

Bài 02.02.1.046.A996: Tìm thể tích của vật rắn

Nằm dười bề mặt z  1 x y2 2 và nằm trên vùng khép kín bởix y2 và

2 2

11

Bài 02.02.1.047.A996: Tìm thể tích của vật rắn

Nằm dười bề mặt z xy và nằm trên vùng tam giác với các đỉnh

Bài 02.02.1.048.A996: Tìm thể tích của vật rắn

Kèm theo parabol z x2 3y2 và các đường thẳngx0,y1,yx z,  0

Lời giải:

Bài 02.02.1.049.A996: Tìm thể tích của vật rắn

Được hình thành bởi việc phối hợp các đường thẳng và mặt phẳng

Bài 02.02.1.050.A996: Tìm thể tích của vật rắn

Được xác định bởi các đường thẳng z x y, x x,   và y 2 z 0

Lời giải:

2 20

y x x

Bài 02.02.1.054.A996: Tìm thể tích của vật rắn

Được xác định bằng các trụ 2 2 2

x  y  và r 2 2 2

y z  r Lời giải:

Bằng phép đối xứng, nên thể tích V sẽ gấp 8 lần thể tích V1 trong góc phần

Lời giải:

2 đường cong 2 2

y x yx  cắt nhau tại 1,0 với 1x2  x2  1trên 1,1 Trong vùng này, các mặt phẳng z 2x2y ở trên mặt 10phẳng z    , bởi vậy: 2 x y

2 2

y x x

2 đường thẳng giao nhau tại y1,z , bởi vậy vùng giao điểm là vùng 3khép kín bởi parabol y và đường thẳngx2 y  chúng ta có 21  y 3y

với 0  , bởi vậy vùng chưa chất rắn bị chặn trên bởi y 1 z   và 2 y

Bài 02.02.1.058.A996: Phác thảo chất rắn bằng việc sử dụng phép lặp không thể thiếu:

Bài 02.02.1.060.A996: Sử dụng đại số máy tính để tính chính xác thể tích của chất rắn:

x  y  yx  y  y  x  y  , bởi vậy vùng giao

Bài 02.02.1.063.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự của chúng

 2

Bài 02.02.1.067.A996: Phác thảo khu vực vừa hội nhập và thay đổi thứ tự của chúng

e dxdy

Lời giải:

2 2 2 2 2

3

3 0

y y

Bài 02.02.1.070.A996: Đánh giá tích phân bằng cách đảo ngược các hội nhập

4 2 3 0

11

e dydx

Lời giải:

     

1 2 0

8 2

0

x y

e dxdy

Lời giải:

Bài 02.02.1.073.A996: Biểu diễn D là sự kết hợp giữa miền loại I và miền loại II, đánh giá tích phân:

D ydA

Giá trị trung bình cảu hàm f của 2 biến xác định trên hình chữ nhât là quy

ave

y D

0 0

Đầu tiên chúng ta viết  2 2

x dA xdA dA

   Nhưng f x y ,  x

là 1 hàm với biến x và D là đối xứng với x.Vì vậy, thể tích trên D và dưới

đồ thị của f cũng giống thể tích dưới D và trên đồ thị, bởi vậy 0

D xdA 

Chương 15.4: Tích phân kép trong tọa độ cực Bài 02.02.1.079.A1002: Một khu vực R được hiển thị.Quyết định sử dụng tọa độ cực hoặc tọa độ hình chữ nhật để viết  ,

1 4

1 4

0 4

 

2 2

r y

12