tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn hình họa, hình học họa hình, vẽ kĩ thuật, chuẩn bị tốt cho quá trình học Autocad, Etabs, đại cương của mọi lĩnh vực kiến trúc xây dựng, cơ khí chế tạo,... tải trọn bộ bài giảng với từ khóa hình họa vẽ kĩ thuật
Trang 1Ch ng 5 ng cong và m t cong
1.1 Khái ni m
ng cong là qu tích c a m t đi m chuy n đ ng theo m t quy lu t nh t đ nh
ng cong ph ng: m i đi m c a đ ng cong đ u n m trong m t m t ph ng
ng cong gh nh: các đi m c a đ ng cong không cùng n m trong m t m t ph ng
B c c a đ ng cong: n u đ ng cong có th bi u di n đ c b ng ph ng trình đ i s
F(x, y, z) và G(x, y, z) có b c l n l t là m và n thì b c c a đ ng cong là m x n
Ti p tuy n c a đ ng cong: trên đ ng cong c l y hai đi m M và N Khi cho N ti n d n
đ n M, n u cát tuy n MN có v trí gi i h n là Mt thì Mt g i là ti p tuy n c a đ ng cong c t i
đi m M
M t ph ng ti p xúc: m i m t ph ng ch a Mt g i là m t ph ng ti p xúc c a đ ng cong
t i đi m M
Pháp tuy n c a đ ng cong: đ ng th ng qua M và vuông góc v i ti p tuy n Mt g i là
m t pháp tuy n c a đ ng cong c t i đi m M
M t ph ng pháp tuy n: m t ph ng ch a t t c các pháp tuy n c a đ ng cong t i đi m
M g i là m t ph ng pháp tuy n c a đ ng cong t i đi m M
ng cong ti p xúc: hai đ ng cong c và c’ g i là ti p xúc v i nhau t i đi m M n u
ti p tuy n t i M c a hai đ ng cong trùng nhau
1.2 Hình chi u c a đ ng cong
Tính ch t 1: Hình chi u c a đ ng cong nói chung là m t đ ng cong cùng lo i và cùng b c v i đ ng cong
Tính ch t 2: Hình chi u c a ti p tuy n c a m t đ ng cong t i m t đi m nói chung là
ti p tuy n c a hình chi u c a đ ng cong t i hình chi u c a đi m đó
Tính ch t 3: Hình chi u c a đ ng cong lên m t ph ng song song v i m t ph ng đ i
x ng c a đ ng cong s gi m b c m t n a
Hình chi u c a vòng tròn:
- Hình chi u c a vòng tròn lên m t ph ng không song song v i m t ph ng ch a vòng tròn là m t elíp
- Tâm c a elíp là hình chi u c a tâm vòng tròn
- ng kính c a vòng tròn song song v i m t ph ng hình chi u s có hình chi u là
tr c dài elíp
- Hai đ ng kính vuông góc c a đ ng tròn s có hình chi u là m t c p đ ng kính liên h p c a elíp
Trang 21.3 Bi u di n đ ng cong
ng cong th ng đ c bi u di n b ng hình chi u đ ng và hình chi u b ng c a nó Sau đây là ví d v hình bi u di n c a m t đ ng cong:
2 M t cong
2.1 Khái ni m
M t cong là qu tích c a m t đ ng chuy n đ ng theo
m t quy lu t xác đ nh ng chuy n đ ng g i là đ ng sinh
B c c a m t cong: n u m t cong có th bi u di n đ c
b ng ph ng trình đ i s F(x, y, z) có b c là m thì m c ng là
b c c a m t cong
Ti p tuy n c a m t cong: gi s trên m t cong Φ có m t
đi m M và m t đ ng cong c qua đi m M Ti p tuy n t t i M
c a đ ng cong c c ng là ti p tuy n t i M c a m t cong Φ
Trên Φ có vô s đ ng cong qua M do đó có th có vô s ti p
tuy n t i M c a m t cong Φ
M t ph ng ti p xúc: n u các ti p tuy n t i M c a m t
cong Φ cùng thu c m t m t ph ng τ thì m t ph ng τ g i là m t ph ng ti p xúc c a Φ t i M Pháp tuy n: đ ng th ng qua M và vuông góc v i τ đ c g i là pháp tuy n c a Φ t i
M
Hai m t cong ti p xúc: hai m t cong Φ và Φ’ g i là ti p xúc v i nhau t i M n u m t
ph ng ti p xúc t i M c a hai m t cong trùng nhau Hai m t cong g i là ti p xúc nhau theo m t
đ ng cong c n u t i m i đi m c a c hai m t đó ti p xúc nhau
2.2 Bi u di n m t cong
2.2.1 M t k kh tri n
2.2.1.1 M t nón
Cho m t đ ng cong c và m t đi m c đ nh S M t
đ ng th ng chuy n đ ng sao cho nó luôn đi qua S và t a
trên c s t o thành m t nón
- S: đ nh nón
- c: đ ng chu n
- Các đ ng th ng chuy n đ ng: đ ng sinh th ng
Trang 3Nón tròn xoay: các đ ng sinh th ng luôn nghiêng đ u m t góc so v i m t đ ng th ng
c đ nh ng c đ nh này là tr c c a nón tròn xoay
Bi u di n m t nón:
Bi u di n b ng các y u t xác đ nh m t nón là đ nh và đ ng chu n
hình bi u di n có tính tr c quan ta v thêm các đ ng biên trên
các hình chi u
Xác đ nh đi m thu c m t nón: G n đi m vào m t đ ng sinh th ng thu c nón
Ví d : Cho đi m M thu c m t nón S Bi t đi m M1 tìm M2
Gi i:
Chú ý: N u nón mà đ ng chu n có m t hình chi u là đ ng tròn, ta có th g n đi m vào m t đ ng cong v thu c m t ph ng song song v i m t ph ng ch a đ ng chu n
Trang 42.2.1.2 M t tr
Cho m t đ ng c và m t h ng đ ng th ng l M t đ ng th ng chuy n đ ng sao cho
nó luôn song song v i l và t a trên c s t o thành m t tr
- l: h ng đ ng sinh
- c: đ ng chu n
- Các đ ng th ng chuy n đ ng: đ ng sinh th ng
B c c a m t tr : là b c c a đ ng chu n c
Tr tròn xoay: các đ ng sinh th ng luôn cách đ u m t đ ng th ng c đ nh ng c
đ nh này là tr c c a tr tròn xoay
Bi u di n m t tr :
Bi u di n b ng các y u t xác đ nh m t tr là h ng đ ng sinh và đ ng chu n
hình bi u di n có tính tr c quan ta v thêm các đ ng biên trên các hình chi u
Xác đ nh đi m thu c m t tr : g n đi m vào m t đ ng sinh th ng thu c tr
Ví d : Cho đi m M thu c m t tr Bi t đi m M1 tìm M2
Gi i:
Chú ý: N u tr mà đ ng chu n có m t hình chi u là đ ng tròn, ta có th g n đi m
Trang 52.2.2 M t tròn xoay
2.2.2.1 M t c u
Các hình chi u c a m t c u là các vòng tròn có cùng bán kính v i c u
Xác đ nh đi m thu c m t c u: G n đi m vào m t đ ng tròn thu c m t c u và song
song v i các m t ph ng hình chi u
Ví d : Cho đi m M thu c m t c u tâm 0 Bi t đi m M1 tìm M2
Gi i:
2.2.2.2 M t xuy n
M t xuy n đ c t o thành khi quay m t đ ng tròn quanh m t tr c thu c m t ph ng
ch a đ ng tròn
M t xuy n m : tr c quay không c t vòng tròn sinh
M t xuy n đóng: tr c quay c t vòng tròn sinh
Vòng tròn v tuy n: qu đ o c a m t
đi m thu c vòng tròn sinh khi quay quanh
tr c
Vòng xích đ o: vòng tròn v tuy n có
bán kính l n nh t trong lân cân c a nó,
Vòng tròn h ng: vòng tròn v tuy n có
bán kính nh nh t trong lân c n c a nó
Xác đ nh đi m thu c m t xuy n: G n
đi m vào m t đ ng tròn v tuy n thu c
xuy n
Ví d : Cho đi m M thu c m t xuy n
Bi t đi m M1 tìm M2
Gi i:
Trang 6Ch ng 6 M t ph ng ti p xúc v i m t cong
1 M t ph ng ti p xúc v i m t k
Các tính ch t:
- M t ph ng ti p xúc v i m t k thì có chung v i m t đó t t c các đ ng sinh th ng
đi qua ti p đi m
- M t ph ng ti p xúc v i m t k kh tri n theo m t đ ng sinh th ng thu c m t
Ví d 1: Qua đi m M trên m t nón, v m t ph ng ti p xúc v i nón
Gi i:
Ví d 2: Qua đi m A ngoài m t nón, v m t ph ng ti p xúc v i m t nón
Gi i:
Ví d 3: V m t ph ng ti p xúc v i tr và song song v i đ ng th ng AB
Gi i:
Trang 72 M t ph ng ti p xúc m t tròn xoay
Các tính ch t:
- M t ph ng ti p xúc v i m t tròn xoay t i m t đi m thì
vuông góc v i m t ph ng ch a kinh tuy n đi qua đi m
ti p xúc
- M t ph ng ti p xúc v i m t tròn xoay mà c t tr c tròn
xoay t i đi m S s ti p xúc v i m t nón tròn xoay cùng
tr c và đ nh nón là S; m t nón này s ti p xúc v i m t
tròn xoay theo vòng tròn v tuy n
- Nh ng pháp tuy n có chân trên cùng m t đ ng v tuy n
giao nhau t i m t đi m trên tr c c a m t tròn xoay
Ví d : Qua đ ng th ng d v m t ph ng ti p xúc v i m t
c u
Gi i:
Trang 83 Các ví d áp d ng
Ví d 1: Qua đ ng th ng AB v m t ph ng h p v i m t ph ng hình chi u b ng m t góc α
Gi i:
Ví d 2: Cho m t tr (xác đ nh b i đ ng chu n c và h ng đ ng sinh l) và m t ph ng
A (uA, vA) Tìm trên giao tuy n c a m t ph ng và tr nh ng đi m cao và th p nh t
Gi i: