mô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINEmô hình hóa hình học đường cong BSPLINE
Trang 1Các bước giải
1 1
1 khien đieu
điem
so
1
n
k
m
n
bâc
k
Điểm nút
k n i n if 2
n i k if 1
k i 0 if
0
k
n
k
i
t i
Hàm cơ sở
) ( )
( )
( 4
) ( )
( )
( 3
) ( )
( )
( 2
) ( )
( )
(
1
t if 0
t if 1 ) (
1
3 , 1 2 4
4 3
, 3
4 ,
2 , 1 1 3
3 2
, 2
3 ,
1 , 1 1 2
2 1
, 1
2 ,
1 , 1 1 1
, 1
,
1 i
1 i
1
,
t N t t
t t t N t t
t t t N k
t N t t
t t t N t t
t t t N k
t N t t
t t t N t t
t t t N k
t N t t
t t t N t t
t t t N
k
t
t t t
N
k
i i i
i i
i i
i i
i i i
i i
i i
i i
i i i
i i
i i
i i
k i i k i
k i k
i i k i
i k
i
i
i i
Tài liệu này trình bày 5 bài toán về đường cong B – Spline Bài toán 1: 2 điểm điều khiển, hàm bậc 1
Bài toán 2: 3 điểm điều khiển, hàm bậc 2
Bài toán 3: 4 điểm điều khiển, hàm bậc 3
Bài toán 4: 4 điểm điều khiển, nối bằng 2 đường bậc 2
Bài toán 5: 5 điểm điều khiển, nối bằng 3 đường bậc 2
Bài toán 6: 5 điểm điều khiển, nối bằng 2 đường bậc 3
Trang 2Bài toán 1: 2 điểm điều khiển, hàm bậc 1
4 1 2
1
1
1
1
2
2
1
1
m
n
k
Điểm nút
1
0 3
i 1 if
1
2 i 0 if
0
3 2
1 0
t t
t t
t i
Hàm cơ sở
1 ) ( 1
t
0
t if 0
t if 1 ) ( 1
1 , 1 2
1 i
1
1 i
1 i
1 ,
t N t
t t
t
t
t t t
N
k
i
i
i i
t
t t N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t
t t
N t t
t t t N t t
t t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
i i
i i
i i
i i
1 0 1
0 )
( )
( )
(
1 1 0 1
1 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 2
1 , 2 2 3
3 1
, 1 1 2
1 2
,
1
1 , 1 1 2
2 1
, 0 0 1
0 2
,
0
1 , 1 1 2
2 1
, 1
2 ,
Phương trình tham số đường cong
1
0 1
0 2
, 1 1 2
,
0
1 1 1 )
1 ( ) ( )
(
)
(
V
V t
tV V t t
N V t N
V
t
P
Trang 36 1 2
3
1
2
1
3
3
1
2
m
n
k
Điểm nút
1 0
5 i 2 if
1
3 i 0 if
0
5 4
3
2 1
0
t t
t
t t
t
t i
Hàm cơ sở
1 1
t
0
t if 0
t if 1 ) ( 1
1 , 2 3
1 i
2
1 i
1 i
1
,
N t
t t
t
t
t t t
N
k
i
i
i i
t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t
t t
N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
i i
i i
i i
i i
1 0 1
0 )
( )
( )
(
1 1 0 1
1 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 2
1 , 3 3 4
4 1
, 2 2 3
2 2
,
2
1 , 2 2 3
3 1
, 1 1 2
1 2
,
1
1 , 1 1 2
2 1
, 1
2 ,
2 2
, 3 3 5
5 2
, 2 2 4
2 3
,
2
2 , 2 2 4
4 2
, 1 1 3
1 3
,
1
2 2
, 1 1 3
3 2
, 0 0 2
0 3
,
0
2 , 1 1 3
3 2
, 2
3 ,
0 1
0 )
( )
( )
(
) 1 ( 2 0 1
1 ) 1 ( 0 1
0 )
( )
( )
(
) 1 ( ) 1 ( 0 1
1 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 3
t t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t t
t t
t t N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t t
t t
N t t
t t t N t t
t t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
i i
i i
i i
i i
Phương trình tham số đường cong
2 1
0 2
2
2 1 0
2 3
, 2 2 3
, 1 1 3
,
0
0
0 0 1
0 2 2
1 2 1 1 )
1 ( 2 )
1 ( ) ( )
( )
(
)
(
V V
V t
t V t V t t V t t
N V t N V t N
V
t
P
Trang 4Bài toán 3: 4 điểm điều khiển, hàm bậc 3
8 1 3
4
1
3
1
4
4
1
3
m
n
k
Điểm nút
1 0
7 i 3 if
1
4 i 0 if
0
7 6 5
4
3 2 1
0
t t t
t
t t t
t
t i
Hàm cơ sở
1 ) ( 1
t
0
t if 0
t if 1 ) ( 1
1 , 3 4
1 i
3
1 i
1 i
1 ,
t N t
t t
t
t
t t t
N
k
i
i
i i
t
t t
N t t
t t t N t t
t t
t
N
t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
k
i i
i
i i i
i i
i i
i i
1 0 1
1 ) ( )
( )
(
0 1
0 )
( )
( )
(
) ( )
( )
( 2
1 , 3 3 4
4 1
, 2 1
2
,
2
1 , 4 4 5
5 1
, 3 3 4
3 2
,
3
1 , 1 1 2
2 1
, 1
2 ,
0 ) ( )
( )
(
0 1
0 )
( )
( )
(
) 1 ( 2 0 1
1 ) 1 ( 0 1
0 )
( )
( )
(
) 1 ( ) 1 ( 0 1
1 ) ( )
( )
(
0 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 3
2 , 5 5 7
7 2
, 4 4 6
4 3
,
4
2 2
, 4 4 6
6 2
, 3 3 5
3 3
,
3
2 , 3 3 5
5 2
, 2 2 4
2 3
,
2
2 2
, 2 2 4
4 2
, 1 1 3
1 3
,
1
2 , 1 1 3
3 2
, 0 0 2
0 3
,
0
2 , 1 1 3
3 2
, 2
3 ,
t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t t
t t
t t N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t t
t t
N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
i i
i i
i i i i
Trang 53 2 3
, 4 4 7
7 3
, 3 3 6
3 4
,
3
2 2 3
, 3 3 6
6 3
, 2 2 5
2 4
,
2
2 2
3 , 2 2 5
5 3
, 1 1 4
1 4
,
1
3 2
3 , 1 1 4
4 3
, 0 0 3
0 4
,
0
3 , 1 1 4 3
, 3
4 ,
0 1
0 )
( )
( )
(
) 1 ( 3 0 1
1 ) 1 ( 2 0 1
0 )
( )
( )
(
) 1 ( 3 ) 1 ( 2 0 1
1 ) 1 ( 0 1
0 )
( )
( )
(
) 1 ( ) 1 ( 0 1
1 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 4
t t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t t
t t
t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t t t
t t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t
t t
N t t
t t t N t t
t t
t
N
t N t t t N t t t N
i i
i i i i
Phương trình tham số đường cong
3 2 1
0 2
3 3
3 2
2 1
2 0
3
4 , 3 3 4
, 2 2 4
, 1 1 4
,
0
0
V 0 0 0 1
0 0 3 3
0 3 6 3
1 3 3 1 1 )
1 ( 3 )
1 ( 3 )
1
(
) ( )
( )
( )
(
)
(
V V
V t
t t V t V t t V t t V
t
t N V t N V t N V t N
V
t
P
Trang 6Bài toán 4: 4 điểm điều khiển, nối bằng 2 đường bậc 2
7 1 3
3
1
3
1
4
3
1
2
m
n
k
Điểm nút
2 1
0
6 i 3 if
2
3 3
if
2
3 i 0 if
0
6 5 4 3
2 1 0
t t t t
t t t i
i
t i
TH1: 0t 1
Hàm cơ sở
1 ) ( 1
t
0
t if 0
t if 1 ) ( 1
1 , 2 3
1 i
2
1 i
1 i
1 ,
t N t
t t t
t
t t t
N
k
i
i
i i
t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t
t t
N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
i i
i i
i i
i i
1 0 1
0 )
( )
( )
(
1 1 0 1
1 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 2
1 , 3 3 4
4 1
, 2 2 3
2 2
,
2
1 , 2 2 3
3 1
, 1 1 2
1 2
,
1
1 , 1 1 2
2 1
, 1
2 ,
2 2
, 3 3 5
5 2
, 2 2 4
2 3
,
2
2 , 2 2 4
4 2
, 1 1 3
1 3
,
1
2 2
, 1 1 3
3 2
, 0 0 2
0 3
,
0
2 , 1 1 3
3 2
, 2
3 ,
2
1 0 2
0 )
( )
( )
(
) 2 ( 2
1 ) 1 ( 0 2
2 ) 1 ( 0 1
0 )
( )
( )
(
) 1 ( ) 1 ( 0 1
1 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 3
t t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t t t t
t t
t t N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t t
t t
N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
i i
i i
i i
i i
Phương trình tham số đường cong
2
2 1 0
2 3
, 2 2 3
, 1 1 3
,
0
1 )
2 ( 2
1 ) 1 ( )
1 ( ) ( )
( )
(
)
Trang 7Hàm cơ sở
1 ) ( 2
t
1
t if 0
t if 1 ) ( 1
1 , 3 4
1 i
3
1 i
1 i
1 ,
t N t
t t
t
t
t t t
N
k
i
i
i i
t
t t N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t
t t
N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
i i
i i
i i
i i
1 1 2
1 )
( )
( )
(
2 1 1 2
2 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 2
1 , 4 4 5
5 1
, 3 3 4
3 2
,
3
1 , 3 3 4
4 1
, 2 2 3
2 2
,
2
1 , 1 1 2
2 1
, 1
2 ,
) 1 ( 1 2
1 )
( )
( )
(
) 2 ( 2
3 1 2
2 ) 2 ( 0 2
0 )
( )
( )
(
) 2 ( 2
1 ) 2 ( 0 2
2 ) ( )
( )
(
) ( )
( )
( 3
2 , 4 4 6
6 2
, 3 3 5
3 3
,
3
2 , 3 3 5
5 2
, 2 2 4
2 3
,
2
2 2
, 2 2 4
4 2
, 1 1 3
1 3
,
1
2 , 1 1 3
3 2
, 2
3 ,
t t t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t t
t t
t t N t t
t t t N t t
t t
t
N
t t
t t
N t t
t t t N t t
t
t
t
N
t N t t
t t t N t t
t t t N
i i
i i
i i
i i
Phương trình tham số đường cong
3 2
1
2 3
, 3 3 3
, 2 2 3
,
1
2
3 )
2 ( 2
1 ) ( )
( )
(
)
Trang 8Bài toán 5: 5 điểm điều khiển, nối bằng 3 đường bậc 2
Bài toán 6: 5 điểm điều khiển, nối bằng 2 đường bậc 3