Biểu diễn dao động của đại số su(2)

Việc nghiên cứu các dao động tử mà trong đó các toán tử sinh, hủy dao động tử tuân theo các hệ thức giao hoán nhằm giải quyết các bài toán phi tuyến tính trong quang học lượng tử, các bà

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý học là một trong những môn khoa học nghiên cứu các quy luật

từ đơn giản đến tổng quát của tự nhiên Trong những thập kỷ gần đây khoa học nói chung và vật lý học nói riêng đã thực hiện được những bước phát triển ngoạn mục, đánh dấu bởi vô số những phát minh kỳ diệu, từ những lĩnh vực lý thuyết trừu tượng nhất đến những lĩnh vực ứng dụng rộng rãi nhất trong thực tế sản xuất và đời sống Đặc biệt, vật lý các hạt cơ bản đã đạt được những thành tựu mang tính chất cách mạng, cả về mặt lý thuyết lẫn thực nghiệm, trong việc nghiên cứu cấu trúc cùng với các cơ chế tương tác giữa các hạt Đến nay số hạt cơ bản phát hiện được đã lên tới hàng trăm, tương tác với nhau theo các quy luật rất phong phú và đa dạng Tìm hiểu được cấu trúc của thế giới các hạt vi mô cùng với những quy luật tác động trong đó để tạo ra thế giới xung quanh ta ra sao là những vấn đề cốt lõi của vật lý học hiện đại

Sau sự phát triển của mẫu quark và lý thuyết Gauge không abelian của tương tác mạnh và tương tác yếu, sự hiểu biết những nhóm Lie đã trở thành cần thiết cho việc nghiên cứu lý thuyết hạt cơ bản Nhóm Lie ngày càng trở thành công cụ chủ yếu của vật lý lý thuyết hiện đại như giải tích phức, phương trình vi phân riêng, lý thuyết nhóm vô hạn… Việc nghiên cứu các dao động tử mà trong đó các toán tử sinh, hủy dao động tử tuân theo các hệ thức giao hoán nhằm giải quyết các bài toán phi tuyến tính trong quang học lượng tử, các bài toán phi tuyến của dao động mạng trong vật lý chất rắn, làm chính xác và phong phú thêm những hiểu biết về thế giới hạt vi mô Gần đây việc mở rộng nghiên cứu về biểu diễn dao động đã thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà vật lý lý thuyết và vật lý toán bởi vì những quan điểm ứng

dụng của chúng trong các mẫu vật lý và trong mối liên quan với lời giải các phương trình vi phân phi tuyến

Đề tài: “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)” cũng nằm trong hướng

nghiên cứu này, với hy vọng góp phần hiểu biết đầy đủ hơn về thế giới quanh

ta, đặc biệt là thế giới các hạt vi mô và từ đây “bức tranh” tổng quan về vật lý học sẽ phần nào được hiện rõ

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu hình thức luận của dao động tử điều hòa, đại số SU(2) và biểu diễn dao động của đại số SU(2)

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu đề ra cần thực hiện các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu và viết tổng quan về dao động tử

- Xây dựng đại số SU(2)

- Biểu diễn dao động của đại số SU(2)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu các dao động tử lượng tử

- Nghiên cứu đại số SU(2) và biểu diễn dao động của chúng

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp lý thuyết nhóm đối xứng

- Phương pháp lý thuyết trường lượng tử

- Các phương pháp giải tích

CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

1.1 Dao động điều hòa

Xét chuyển động một chiều theo trục Ox của một hạt có khối lượng m

chịu tác dụng của lực đàn hồi F  kx ( k là hệ số đàn hồi )

Trong Cơ học cổ điển:

Chuyển động của hạt được diễn tả bằng phương trình định luật II Newton

2 2

Với A là biên độ dao động

 là pha ban đầu của dao động

Thế năng :V

2

2 2 2

121

Ta có vận tốc của hạt như một hàm của tọa độ

2 2

Hệ đang xét được gọi là dao động tử điều hòa Thế năng của hạt là:

2 2

2 2

Dùng biến không thứ nguyên:  x

Thay vào phương trình (1.1) ta được:

2 2 2



d v v

Thay (1.5), (1.5'), (1.5'') vào (1.4) ta được:

2 0

2 0

E  ћ được gọi là năng lượng không

Sự tồn tại của năng lượng thấp nhất E chỉ có thể giải thích được trên 0

cơ sở lý thuyết lượng tử

Thật vậy, nếu gọi độ bất định của năng lượng, xung lượng và tọa độ là

ћ

p x

  Vì:

2

21

Quy ước chọn gốc tính năng lượng trùng với năng lượng không E 0

Khi đó năng lượng của dao động tử điều hòa chỉ có thể có năng lượng là bội

của năng lượng ћ

Enћ

Đó chính là giả thuyết Planck: năng lượng của một dao động tử điều

hòa bằng một bội nguyên của lượng tử năng lượng ћ

Để xác định dạng tường minh của hàm sóng ( )x ta lưu ý rằng với

( )

n

n n

d

d d

n n

Có

2 2

2

2 1

Như vậy năng lượng E của dao động tử điều hòa với (n 0,1,2 ) bị

lượng tử hóa, năng lượng nhỏ nhất min

2

lt

  khác với lý thuyết cổ điển

Vậy ta có

2 2 2

1( )

1.3 Biểu diễn số hạt của dao động điều hòa

Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa cũng có thể tìm được bằng phương pháp đại số, sử dụng các hệ thức giao hoán chính tắc và biểu thức của Hamiltonian ta có:

2 2

2 2

2 2 2

1ˆ

Ta thấy: ˆ ˆ[ ,a a ] 1 (1.10)Vì: ˆ ˆ[ ,a a]=aaˆ ˆ a aˆ ˆ

1

ˆ ˆ ˆ ˆ

21

Để làm điều đó ta định nghĩa một toán tử mới ˆN a aˆ ˆ (1.13)

Sử dụng hệ thức giao hoán (1.10) kết hợp với định nghĩa (1.13) ta có

Vậy: ˆ ˆ[ ,N a]=aˆhay ˆN aˆ=aˆ(Nˆ 1) (1.14)

[ , ]=N a  hay ˆa N a a N ˆ=ˆ ( ˆ 1) (1.15)+ Nếu ta kí hiệu n là véctơ riêng của toán tử ˆ N ứng với trị riêng n

Vậy ta có các giá trị riêng của toán tử ˆN là các số không âm

Xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử ˆa tác động lên n

được ˆa n Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử ˆ N và sử dụng công thức

(1.15) ta được:

ˆ,ˆ ˆ ˆ ˆ= (ˆ ˆ 1)

ˆ ˆ = (ˆ ˆ 1)

ˆ( 1)ˆ

Hệ thức vừa thu được có nghĩa là ˆa n cũng là một véctơ riêng của

toán tử ˆN nhưng ứng với trị riêng (n 1) Tương tự như vậy ta dễ dàng chứng minh được a nˆ2 , a nˆ3 ;… cũng là các véctơ riêng của toán tử ˆNứng với trị riêng (n2), (n3),…

Tiếp theo xét véctơ trạng thái thu được bằng cách cho toán tử aˆ tác

động lên n Đó là véctơ trạng thái ˆ a n Tác dụng lên véctơ trạng thái này toán tử ˆN và sử dụng công thức (1.14) ta được:

Hệ thức trên cũng có nghĩa là ˆa n cũng là một véctơ riêng của toán

tử ˆN nhưng ứng với trị riêng (n 1) Tương tự như vậy ta cũng dễ dàng chứng minh được aˆ2 n , aˆ3 n ;… cũng là các véctơ riêng của toán tử ˆN

ứng với trị riêng (n2), (n3),…

Vậy ta có nếu n là một véctơ riêng của toán tử Nˆ nhưng ứng với trị riêng n thì với p 1,2,3, ta có ˆa n cũng là một véctơ riêng của toán tử ˆ p N

ứng với trị riêng (n p) và ˆap n cũng là một véctơ riêng của toán tử ˆN

ứng với trị riêng (n p)nếu chúng khác 0

Kết hợp hai điều trên ta thấy rằng nếu n là một trị riêng của toán tử Nˆ

thì chuỗi các số không âm (n1), (n2), … cũng là trị riêng của toán tử ˆN

.Vì chuỗi này giảm dần nên phải tồn tại một số không âm nhỏ nhất nmin

Xét véctơ trạng thái nmin ứng với trị riêng nhỏ nhất nmin Ta có:

Trị riêng nhỏ nhất của toán tử ˆN là nmin  Véctơ trạng thái ứng với 0trị riêng của toán tử ˆN được kí hiệu là 0 Véctơ trạng thái này thỏa mãn điều

năng lượng thấp nhất là E Trạng thái tiếp theo 1 với năng lượng 0 E0  

có thể xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng 

thái 0 Trạng thái tiếp theo 2 với năng lượng E1E02 có thể 

được xem là kết quả của việc thêm một lượng tử năng lượng  vào trạng thái 

1 , cũng có nghĩa là thêm hai lượng tử năng lượng  vào trạng thái 0 … 

Nếu ta lấy gốc tính năng lượng là E thì có thể coi 0 là trạng thái 0

không chứa một lượng tử nào; 1 là trạng thái chứa một lượng tử; 2 là trạng thái chứa hai lượng tử; … ; n là trạng thái chứa n lượng tử Toán tử ˆN có

giá trị riêng không âm cách nhau một đơn vị được đoán nhận là toán tử số lượng tử năng lượng Toán tử ˆa khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ

với n 1 và do đó được đoán nhận là toán tử hủy lượng tử năng lượng Toán

tử aˆ khi tác dụng lên n cho một trạng thái tỉ lệ với n 1 và do đó được đoán nhận là toán tử sinh lượng tử năng lượng

Nếu tưởng tượng rằng lượng tử năng lượng là một hạt thì ˆN sẽ là toán

tử số hạt, ˆa sẽ là toán tử hủy hạt, aˆ sẽ là toán tử sinh hạt Khi đó, trạng thái

n với năng lượng E n  sẽ là trạng thái chứa n  n hạt Đó là biểu diễn số hạt của dao động tử điều hòa

Trong Cơ học lượng tử, trạng thái dừng của một dao động tử điều hòa

có thể coi là tập hợp của nhiều hạt, mỗi hạt có năng lượng  Khái niệm 

“hạt” đưa vào đây chỉ để cho tiện Thực chất, đó là các “giả hạt”, một khái niệm quan trọng và hữu hiệu khi nghiên cứu các trạng thái kích thích trong Vật lý các môi trường đông đặc

CHƯƠNG 2: ĐẠI SỐ SU(2)

2.1 Đại số SU(2)

2.1.1 Định nghĩa

Tập hợp tất cả các ma trận 2 2 , Unita, có định thức bằng 1, thỏa mãn các tính chất của nhóm tạo thành nhóm đối xứng SU(2)

Mọi phần tử g của nhóm đối xứng SU(2) đều biểu diễn dưới dạng:

2.1.2 Nhóm biến đổi SU(2)

Nhóm đối xứng SU(2) phụ thuộc vào 3 tham số thực

Sp I : là tổng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận

Khi đó gđược gọi là nhóm biến đổi SU(2)

2 2

Các ma trận I a thỏa mãn điều kiện giao hoán:

Trong đó abc: Hằng số cấu trúc của nhóm SU(2) ( , ,a b c 1.3)

Chứng minh: 3 ma trận I a được chọn như trên thỏa mãn các tính chất

của nhóm biến đổi SU(2)

01

02

0 0 0

i i I i

02

Như vậy ta cũng tìm được các hằng số cấu trúc của nhóm SU(2) như sau: 123  132  213 321312 2311 Các hằng số cấu trúc còn lại bằng 0

2.1.3 Đa tuyến SU(2)

Xét r hạt mà hàm trường tương ứng i (i1, )r biến đổi như sau dưới tác dụng của nhóm biến đổi SU(2):

 là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2)

Thì r hạt lập thành một đa tuyến r chiều củaSU(2)

Khi a vô cùng bé, khai triển Furiê và lấy đến số hạng gần đúng bậc một ta được:

Vì a là các vô cùng bé nên ta bỏ qua a so với a

một hạt Hạt được gọi là hạt trơ hay hạt vô hướng

 Nếu số chiều của ma trận T bằng chỉ số của nhóm ( a r 2) thì 2 hạt lập

thành một biểu diễn cơ sở của nhóm SU(2)

Ta chọn:

2

a a

Hai hạt proton và notron (p, n) lập thành một biểu diễn cơ sở của

2.2 Biểu diễn dao động của đại số SU(2)

Giả sử ta có các toán tử boson a i  i  1, 2 thoả mãn các hệ thức giao hoán:

với mọi mode i

Trạng thái có n1 dao động tử mode 1, n2 dao động tử mode 2,… được

mô tả bởi véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử

1

n i i



 có dạng:

Biểu diễn dao động tử của đại số SU(2) được thực hiện bởi hệ dao động

tử hai mode a i  i  1, 2 như sau Các vi tử của đại số SU(2) J J1, 2, J được 3

xây dựng theo công thức:

.2

a

a a

1

2

a i

21

.2

trong đó ijk hoàn toàn phải đối xứng với các chỉ số và 123 1

Đây chính là đại số Lie SU(2) Vậy có thể biểu diễn đại số SU(2) qua các toán tử boson Biểu thức (2.11) chính là các véctơ trong không gian Hilbert của biểu diễn Ta hãy thử không gian biểu diễn (2.11) tìm ra các không gian con bất khả quy

Để thuận tiện đôi khi người ta còn dùng các vi tử là tổ hợp của các vi tử trên như sau:

các véctơ trạng thái riêng của toán tử số dao động tử N:

2.212

diễn SU(2) bởi các giá trị riêng của toán tử J

Theo định nghĩa của toán tử số dao động tử N , từ công thức i 2.21 chúng ta có:

21

.2

Trong đó n n là các số nguyên, suy ra j là một số nguyên hoặc bán 1, 2nguyên, không âm

Để xác định các véctơ riêng của không gian con của không gian Hilbert

2.14 , tức biểu diễn bất khả quy của đại số SU(2) ta nhận xét rằng biểu diễn này phải được xác định bởi hai giá trị riêng (do không gian chung được xác định bởi hai số n1 và n2) Ta nhận xét rằng toán tử J3 giao hoán với J tức là

nó có giá trị riêng xác định Ta kí hiệu trị riêng này là m và từ định nghĩa của 3

Vậy biểu diễn bất khả quy của SU(2) trong không gian các véctơ cơ sở

2.14 có thể đặc trưng bởi j và  m liên hệ với n1 và n2 như sau:

1 2

Từ 2.24 và  2.25 ta thấy rằng với một giá trị j xác định thì  m có

2j 1 giá trị như sau:

Chúng ta suy ra các vi tử J3, J, J của đại số SU(2) tác dụng lên véctơ trạng thái j m trong không gian con của biểu diễn bất khả quy theo ,các phương trình sau:

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG LÝ THUYẾT NHÓM ĐỐI XỨNG SU(2)

ĐỂ TÍNH SỐ LƯỢNG TỬ CỦA CÁC HẠT

3.1 Các số lượng tử của proton và notron

Như ta đã biết 2 hạt proton và notron lập thành một biểu diễn cơ sở của

i i

 Hạt proton:

 Tìm hình chiếu spin đồng vị (I ): 3

1 3

1

3 2( ) 0

 Hạt proton là hạt baryon nên số baryon của hạt proton là 1: B  p 1

 Hạt proton không là hạt lepton nên số lepton của hạt proton là 0:

 Siêu tích của hạt proton (Y ) được tính theo công thức: p

1 0 0 1

   Vậy siêu tích của hạt proton là 1: Y =1 p

 Điện tích của hạt proton (Q ) p

Vậy điện tích của hạt proton là +e

 Hạt notron

 Tìm hình chiếu spin đồng vị (I3):

2 3

2

3 2( )  1 Nên:

 Hạt notron là hạt baryon nên số baryon của hạt notron là 1: B  n 1

 Hạt notron không là hạt lepton nên số lepton của hạt notron là 0:L  n 0

 Hạt notron không là hạt lạ nên số lạ của hạt notron là 0: S  n 0

 Siêu tích của hạt notron (Y ) được tính theo công thức: n

1 0 0 1

Y B S L

   Vậy siêu tích của hạt notron là 1: Y =1 n

 Điện tích của hạt notron (Q n)

   Vậy hạt notron không mang điện

3.2 Các số lượng tử của  -meson

Như ta đã biết 3 hạt  -meson lập thành một biểu diễn chính quy của

.

a a

i T i

abc

 là hằng số cấu trúc của nhóm SU(2)

aij aij aj

Vậy điện tích của hạt 

là +e

 Hạt 0 không là hạt baryon nên số baryon của hạt 0 là 0: B0  0

 Hạt 0 không là hạt lepton nên số lepton của hạt 0 là 0:L0  0

 Hạt 0 không là hạt lạ nên số lạ của hạt 0 là 0: S 0 0

Vậy hạt 0 không mang điện

21

)2

= 1

i i

Vậy siêu tích của hạt  là 0: Y=0

KẾT LUẬN

Khóa luận “Biểu diễn dao động của đại số SU(2)” đã được thực hiện

và đạt được các kết quả sau:

- Đã trình bày một cách lôgic, đầy đủ về hình thức luận dao động tử điều hòa

- Đã đưa ra một cách khái quát về đại số SU(2) cũng như đưa ra biểu diễn dao động của đại số lượng tử SU(2) Dựa vào các hệ thức giao hoán đã chứng minh được đại số SU(2) là một hệ đóng kín, cụ thể:

Qua đề tài này em đã bước đầu tìm hiểu thêm về biểu diễn đại số lượng

tử trong nghiên cứu hạt cơ bản Đó là cơ sở và nền tảng cho em tìm hiểu sâu

về hạt cơ bản nói riêng và vật lý lý thuyết nói chung

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Tạ Quang Bửu (1987) , Hạt cơ bản - Nxb Giáo dục

2 Đào Vọng Đức (2011) , Bài giảng lý thuyết hạt cơ bản - Nxb Khoa

học kĩ thuật

3 Đặng Xuân Hải (1987) , Bài giảng vật lý hạt nhân và hạt cơ bản

4 Lê Chấn Hùng – Vũ Thanh Khiết (1989) , Vật lý nguyên tử và hạt

nhân - Nxb Giáo dục

5 Hoàng Ngọc Long, Nhập môn lý thuyết trường và mô hình thống

nhất tương tác điện yếu

6 PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, Bài giảng chuyên đề “Hạt cơ bản”

7 Phạm Thúc Tuyền, Hạt cơ bản - Nxb ĐHQG Hà Nội