Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, huỷ Boson biến dạng

Ví dụ như: nănglượng, động lượng, tọa độ, mô men góc, …đều sẽ có một toán tử tương ứng.Mặt khác, cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng mộtloạt các công cụ toán, tro

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng sau đại học, Ban chủnhiệm và thầy cô giáo khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạođiều kiện và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn Đặc biệttôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tớiPGS.TS.Lưu Thị Kim Thanh đã tận tình hướng dẫn, động viên, giúp đỡ tôitrong quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn

Cuối cùng tôi xin tỏ long biết ơn tới gia đình, bạn bè,những người đãđộng viên, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập và làm luận văn Mặc dù đãrất cố gắng song bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và thiếusót Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn

Hà nội, tháng 11 năm 2011

Tác giả

Đoàn Thị Thu Hường

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn nàytrung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằngmọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và thong tintrích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc

Tác giả

Đoàn Thị Thu Hường

MỞ ĐẦU

Vật lý lý thuyết là một chuyên ngành của vật lý học, được phát triển mạnh

mẽ cả về bề rộng và bề sâu Vật lý lý thuyết có nội dung vật lý và phương pháptoán học Vật lý lý thuyết nghiên cứu những quy luật tổng quát nhất, phản ánhđược bản chất vật lý của các hiện tượng tự nhiên [1, 2, 3, 4, 5]

Vật lý lý thuyết có hai nhiệm vụ:

a) Diễn tả các quy luật vật lý dưới dạng các hệ thức định lượng và thànhlập mối liên hệ nội tại giữa các sự kiện quan sát được trong thực nghiệm Xâydựng những thuyết bao gồm và giải thích được một số phạm vi rộng rãi nhiềuhiện tượng vật lý

b) Dùng phương pháp toán học để tìm ra những quy luật mới những quyluật tổng quát hơn các quy luật đó biết, đoán trước được những mối liên hệgiữa các hiện tượng vật lý mà thực nghiệm chưa quan sát được

Thuyết lượng tử, là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý lýthuyết học, trong đó cơ học lượng tử đó làm thay đổi cơ bản quan niệm về thếgiới vi mô, là phần mở rộng và bổ sung của cơ học Newton (cũn gọi là cơ học

cổ điển) Nó còn là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý vàhoá học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt Trong cơ học lượng tử,mỗi đại lượng vật lý đều được đặc trưng bởi một toán tử Ví dụ như: nănglượng, động lượng, tọa độ, mô men góc, …đều sẽ có một toán tử tương ứng.Mặt khác, cơ học lượng tử được xây dựng bằng một hệ các tiên đề, bằng mộtloạt các công cụ toán, trong số đó toán tử giữ một vị trí quan trọng [6,7,8,9].Việc hiểu rõ toán tử và tính chất của chúng là rất cần thiết đối với ngườinghiên cứu vật lý hiện đại

Ngày nay, lí thuyết trường lượng tử là cơ sở để giải thích bản chất củacác hạt vi mô về cấu trúc và các tính chất của nó Lí thuyết trường lượng tử đó

mở ra con đường để nhận biết các quá trình vật lý xảy ra trong thế giới hạt vi

mô, lí thuyết trường lượng tử đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực củavật lý Đặc biệt trong việc nghiên cứu hệ nhiều hạt và xây dựng các định luậtphân bố thống kê lượng tử Các phương pháp này bổ sung cho nhau để làm rõđược bản chất vật lý của các quá trình vật lý trong hệ nhiều hạt.

Các tính toán lí thuyết được xây dựng đối với mô hình lý tưởng, do đóvẫn có những sai khác giữa kết quả lí thuyết và thực nghiệm thu được Khi đóngười ta thường dùng các phương pháp gần đúng để giải quyết Nhóm lượng tử

mà cấu trúc nó là đại số biến dạng phù hợp với nhiều mô hình của vật lý, làmột phương pháp gần đúng của lí thuyết trường lượng tử

Nhóm lượng tử và đại số biến dạng được khảo sát thuận lợi trong hìnhthức luận dao động tử điều hoà biến dạng Trong những năm gần đây việcnghiên cứu nhóm lượng tử và đại số biến dạng được kích thích thêm bởi sựquan tâm ngày càng nhiều đến các hạt tuân theo các thống kê khác với thống

kê Bose Einstein và thống kê Fermi Dirac như thống kê para Bose, para Fermi, thống kê vô hạn, các thống kê biến dạng , với tư cách là các thống kê

-mở rộng [10, 11, 12, 13, 14] Cho đến nay cách -mở rộng đáng chú ý nhất làtrong khuôn khổ của đại số biến dạng Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài

“Biểu diễn ma trận của các toán tử sinh, hủy boson biến dạng”.

Mục đích của đề tài là tìm hiểu các toán tử trong vật lý, một công cụ hữuhiệu dựng trong nghiên cứu các hệ hạt vi mô Xây dựng biểu diễn ma trận củacác toán tử boson biến dạng q, thỏa mãn các hệ thức giao hoán tương ứng vàxây dựng các thống kê lượng tử biến dạng bằng phương pháp lí thuyết trườnglượng tử

NỘI DUNG Chương 1:

CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA CÁC PHÉP TÍNH TOÁN TỬ

Trong chương này, chúng ta sẽ giới thiệu vắn tắt sự mô tả các trạng tháicủa cơ học lượng tử bởi Dirac và lí thuyết biểu diễn

Trước hết, trạng thái của hệ lượng tử là gì? Chúng ta thừa nhận rằng nếubiết trạng thái của hệ chúng ta sẽ biết các thông tin về hệ Một hệ lượng tử ởmột trạng thái xác định nào đó khi mọi điều ta muốn biết về nó đều có thểđược biết, ngoại trừ sự vi phạm các qui luật của cơ học lượng tử

Các trạng thái của hệ lượng tử có thể mô tả bởi các hàm sóng ψ Sự mô

tả trạng thái lượng tử khác nhiều các trạng thái trong cơ học cổ điển Ví dụ, đốivới các trạng thái lượng tử ta không thể đồng thời xác định chính xác cả tọa độ

và xung lượng của hệ do nguyên lí bất định Heisenberg Hơn nữa, ta chỉ có thểtiên đoán xác suất của các sư kiện tương lai mà thôi Sự khác biệt thứ hai củacác trạng thái lượng tử là ở chỗ các hàm sóng mô tả chúng tuân theo nguyên líchồng chất trạng thái

Các trạng thái lượng tử có thể mô tả bởi các vectơ trạng thái |ψ> (tương



làkhông gian Hilbert với các vectơ cơ sở kí hiệu bởi |uj> gọi là các trạng thái cở

sở hay các ket cơ sở {|uj>}

1.1 Không gian vectơ E - không gian vectơ Euclide

1.1.1 Không gian vectơ E

Định nghĩa: Không gian vectơ E là một tập hợp các phần tử (x, y, z…)

với phép cộng hai phần tử x, y bất kì và phép nhân một phần tử x bất kì vớimột số thực λ thỏa mãn các tính chất sau đây:

Phép cộng: ∀x, y ∈ E đã định nghĩa z = x + y ∈ E thỏa mãn các điều kiện:

4 Với mỗi phần tử x, tồn tại phần tử đối xứng (-x) sao cho

x + (-x) = (-x) + x = 0

Phép nhân: ∀x ∈ E, ∀λ ∈ R (R - tập hợp các số thực) đã định nghĩa z

= λx ∈ E thỏa mãn các điều kiện sau:

5 Kết hợp: λ1(λ2x) = λ1λ2x

6 Phân bố đối với phép cộng vecto: λ(x + y) = λx + λy

7 Phân bố đối với phép cộng số λ: (λ1 + λ2)x = λ1x + λ2x

8 Tồn tại λ = 1 thỏa mãn λx = 1.x = x

Mỗi phần tử x, y, z, … của tập hợp E gọi là một vectơ Không gian Eđịnh nghĩa với λ ∈ R gọi là không gian thực, với λ là số phức (λ ∈ C, C làtập hợp số phức) E gọi là không gian phức

thực λ1, λ2, …, λn không bằng không tất cả sao cho:

hệ số ai là thực (nếu E là không gian vectơ) hoặc phức (nếu E là không gianphức).

Thông thường người ta kí hiệu các vectơ cơ sở là{ei}

E) là xác định Có thể biểu diễn vectơ z bằng một ma trận cột có n phần tử là ntọa độ zi:

Ma trận cột kí hiệu là z phụ thuộc vào việc chọn cơ sở Cùng một vectơ

z trong hai cơ sở khác nhau sẽ có tọa độ khác nhau và biểu diễn bởi hai ma trậncột khác nhau

1.1.2 Không gian vectơ Euclide

Trong không gian vectơ thực E đã cho, tích vô hướng của hai vectơ x, y

∈ E, kí hiệu là (x, y) là một số thực sao cho:

phối) khi đó E gọi là không gian vectơ với tích vô hướng

Nếu thỏa mãn thêm điều kiện xác định dương:

4 (x, x) ≥ 0, ∀x ∈ E và (x, x) = 0 khi và chỉ khi x = 0 thì E gọi là không gian Euclide thực

z

Từ định nghĩa của cơ sở {ei} suy ra trong không gian Euclide các vectơ

cơ sở e1, e2, …, en trực giao nhau

và có độ dài bằng đơn vị (chuẩn hóa): (ei, ej) = 1

Tính chất trực chuẩn của hệ cơ sở như vậy có thể viết lại như sau:

Đối với không gian phức Z, tích vô hướng của hai vectơ bất kì x, y ∈

Z kí hiệu là (x, y) và thỏa mãn những điều kiện sau:

0 thì không gian Z gọi là không gian Euclide phức hay không gian Unita

Trong không gian Unita các tọa độ xi của vecto x; x (x1, x2 , ,

xn )

nóichung là các số phức Tích vô hướng của hai vectơ x, y có dạng:

Các khái niệm độ dài của một vectơ, tính trực giao của hai vectơ trongkhông gian Unita vẫn giữ như trong không gian Euclide thực.

Trong không gian phức n chiều Z, sau khi đã chọn cơ sở thì các tọa độcủa mỗi vectơ được xác định Biểu diễn mỗi vectơ bằng một ma trận cột

X y 







Không gian Hilbert H là một không gian Unita đầy đủ, có nghĩa là mọi

tổ hợp tuyến tính của các vecto trong không gian cũng là vectơ của không gian

đó Tính chất này suy ra từ định nghĩa của không gian vectơ Nếu không gian

có số chiều vô hạn thì tính chất đầy đủ có nghĩa là mọi chuỗi của các vectơ hội

tụ về một vectơ của không gian đó

Không gian Hilbert là tách được nếu nó chứa một tập hợp trù mật đếmđược của các vectơ Tập hợp trù mật là tập hợp mà trong đó mỗi vectơ có thể

là giới hạn của một chuỗi vectơ của tập hợp (ví dụ các số hữu tỷ hợp thành mộttập hợp trù mật trong tập hợp trù mật trong tập hợp các số thực)

y

Không gian Hilbert là tách được, nếu người ta tìm được ít nhất một cơ

sở đếm được của không gian đó

Thí dụ: Tập hợp các đơn thức 1, x, x2 , , xk , (với k là số nguyên) là một

cơ sở đếm được của không gian các đa thức có bậc bất kì Tập hợp các sóngphẳng eikx (với k là số sóng, có thể có các giá trị liên tục) không phải là một cơ

1.2.2 Một số tính chất của không gian Hilbert vô hạn chiều

Không gian Hilbert vô hạn chiều có một số tính chất khác lạ so vớikhông gian hữu hạn chiều

a Không gian Hilbert tách được có ít nhất một cơ sở đếm được, ngoài ra

có thể có cơ sở không đếm được Như vậy, một vecto của không gian vừa cóthể khai triển trong một cơ sở không đếm được

b Một vectơ của không gian Hilbert có thể khai triển trong một cơ sởgồm các vectơ nằm ngoài không gian đó

c Thành phần thứ i (φi) của vectơ φ trong không gian có N (hữu hạn)chiều bằng hình chiếu của vectơ φ lên vectơ cơ sở thứ i (ei)

Muốn xác định được vectơ φ ta cần biết tất N hình chiếu của nó lên cácvectơ cơ sở

1.3 Vecto ket, bra

toán tử ecmite A

Giữa không gian vectơ và không gian trạng thái Hilbert có sự tương tựsâu sắc, do đó ta có thể dự đoán các toán tử trong không Hilbert từ các toán tửtương ứng tác dụng trong không gian vectơ tuyến tính Tổng của hai vectơtrạng thái lại là một vectơ trạng thái và vectơ trạng thái mới này là tích của mộtvectơ trạng thái với một số phức bất kì

định hệ số khai triển ci trong công thức (1.13)

Kí hiệu 

gọi là bracket, <ui| gọi là một bra còn |ψ> - ket

Với kí hiệu mới này, phương trình (1.13) được viết như sau:

Hệ thức này gọi là hệ thức khép kín Hệ thức khép kín diễn tả tính chất

1 , u2 , , un .Tương tự, từ điều kiện trực chuẩn của các hàm riêng ui(x)

i

cột:

)Thỏa mãn điều kiện:

thỏa mãn điều kiện tổng tất cả các xác suất phải bằng 1

hàm sóng có dạng:

tác dụng trong không gian



Auj(x) a ju j(x)Phương trình này trở thành phương trình vectơ



Với |uj> gọi là vecto riêng của toán tử ecmite A ứng với trị riêng aj

Trong không gian Hilbert, các trạng thái có thể dùng các cơ sở khácnhau để nghiên cứu Cơ sở là các hàm riêng (hay vectơ riêng) trực chuẩn củacác toán tử động lực ecmite Tập hợp các hệ số Fourier của hàm sóng sẽ xácđịnh hàm sóng đó trong cơ sở đó, cũng như ma trận của toán tử khác nhau sẽxác định hoàn toàn các toán tử đó trong cơ sở đang xét Tương ứng ta nói cóhàm sóng và toán tử trong biểu diễn tọa độ hay xung lượng khi cơ sở đượcchọn là các hàm riêng của toán tử tọa tử tọa độ hay xung lượng Tất nhiên, tất

cả các biểu diễn đều tương đương nhau Việc chọn biểu diễn này hay biểu diễnkhác chỉ do tính thuận lợi của những bài toán vật lý cụ thể

2

1.4 Toán tử

1.4.1 Ma trận của toán tử liên hợp

đếntrạng thái mới mô tả bởi vectơ trạng thái  Định nghĩa này được viết dưới dạng phương trình:

Xét các vectơ bra (tương ứng với ket ) và

chuyển vị và lấy liên hợp phức

thì bằng ma trận A (biểu diễn toán tử A□

, trong

của toán tử ecmite

1.5 Vectơ riêng và trị riêng của toán tử

0 gọi là vectơ riêng của A□

ứng với vectơ riêng x

Nếu x là một vectơ riêng của

A□

thì mọi vectơ a x cũng nghiệm đúng

nghĩa là a x đều là vectơ riêng của

ứng

nhân

a) thì trị riêng gọi là không suy biến

thỏa mãn các phương trình trị riêng

x1

; A

x2



x2

thì trị riêng này được gọi là suy biến bậc g

Dễ thấy rằng tổ hợp tuyến tính bất kì của các vectơ riêng x1 ,

Cũng là một vectơ riêng của

Xét trị riêng của hàm toán

tử với trị riêng của thì ta có:

là trị riêng của toán tử A□

ứngn

x

Đối với hàm toán tử f

A□



khai triển thành chuỗi Taylor, ta có thể áp

dụng cách tính trên để xác định trị riêng của

hàm toán tử

f A□  Thí dụ, nếu ta định nghĩa

cũng

là vectơ riêng của hàm toán tử f

x

(1.42)

1.5.2 Tính chất của trị riêng và vectơ riêng của toán tử ecmite

1 Các trị riêng của một toán tử ecmite là thực

Thực vậy, lấy liên hợp hai vế phương trình trị riêng của A□

x A□ x

x xlưu ý rằng

A□ bằng

nhau:

là ecmite nên A□

 A□

, do đó hai vế sau của hai phương trình trên

x x

2 Vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của một toán tử Ecmite thì trực

giao với nhau

, vectơ

x

có thể khai triển một cách duy

là các tọa độ của vectơ x trong cơ sở đang

xét Vectơ x có thể biểu diễn dưới dạng một ma trận cột

A11  A1

2

A1n

A21

Chú ý rằng nếu chuyển sang cơ sở khác thì A

tức là các trị riêng của

A□

không thay đổi

1.6 Phép biến đổi cơ sở Unita và các bất biến

1.6.1 Phép biến đổi Unita

Khi thay đổi cơ sở là các vectơ ket trong không gian Hilbert, ta biếtrằng phép biến đổi cơ sở trực chuẩn đó được thực hiện bởi các toán tử Unita vàcác vectơ trạng thái của hệ lượng tử đang xét cũng như các toán tử biểu diễncác đại lượng vật lí đo được cũng sẽ thay đổi dạng Tuy nhiên khi thay cơ sở,

có những tính chất của hệ phản ánh bản chất nội tại nào đó của hệ không thayđổi Các lượng không biến đổi khi thay đổi cơ sở gọi là các bất biến Ta sẽ lầnlượt xét các vấn đề trên

Trước hết, phép biến đổi cơ sở trực chuẩn được thực hiện bởi các toán

tử Unita Thật vậy, cho một cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert em 

em en 

(1.54)

So sánh hai vế của biểu thức ta tìm được mối liên hệ giữa các hàm sóng

mô tả cùng một trạng thái trong các biểu diễn khác nhau:

ck Sknc 'nn

(1.61)Xét yếu tố ma trận của một toán tử

A□ gian Hilbert:

nên kết quả này chứng tỏ ma trận của

toán tử S trong cơ sở 

Xét sự biến đổi cơ sở, từ cơ sở en

là trị riêng và vectơ riêng của toán tử

Trị riêng của toán tử

gọi là phương trình thế kỉ: A□ , kí hiệu là a’ sẽ là nghiệm của phương trình sau

det A'a 'I 0

Sử dụng (1.67) được viết như sau:

a 'IS1

det Sdet A a 'Idet S1

(1.67)

detSS1 det A a 'I det A a 'IKết quả này chứng tỏ các trị riêng của toán tử

A□

là không đổi: a=a’

1.7 Giao hoán tử của các toán tử - Hệ thức bất định

trong đó là trị riêng của B□

Xét tác dụng của toán tử A□

được thỏa mãn đối với trạng thái bất kì

Vì trạng thái bất kì có thể được khai triển theo hệ vectơ riêng của các toán tửA□ và

diễn chúng giao hoán với nhau.

Ta định nghĩa toán tử A□':

A□' A□ A□ Khi đó ta có:

Đồng nhất f với

2

f

*gd

Các biểu thức (1.71) và (1.72) gọi là hệ thức bất định tổng quát Nếu

KẾT LUẬN CHƯƠNG 1

Trong Chương 1 em trình bày một cách có hệ thống có kiến thức vềkhông gian vectơ, một số tính chất của không gian Hilbert và các kiến thứctổng quát về ma trận của các toán tử,… Đây là những cơ sở toán học cần thiết

để em nghiên cứu nội dung của các chương tiếp theo