Điều khiển tối ưu bất đẳng thức biến phân elliptic_2

Sü tçn t¤i nghi»m... Ph÷ìng ph¡p n y ph¦n lîn l do cæng lao âng gâp cõa nh to¡nhåc Li¶n Xæ Pontryagin v nh to¡n håc Mÿ Richard Bellman... N¸u X l khæng gian Hilbert, trøu tr÷íng hñp ch¿

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

PHAN QUÈC V‹N

I—U KHIšN TÈI ×U B‡T NG THÙC

BI˜N PH…N KIšU ELLIPTIC

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch

Líi c£m ìn

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi TS Tr¦n V«n B¬ng, ng÷íi ¢

ành h÷îng chån · t i v  tªn t¼nh h÷îng d¨n º tæi câ thº ho n th nhluªn v«n n y

Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi c¡c th¦y cæ pháng Sau ¤ihåc, còng c¡c th¦y cæ gi¡o d¤y lîp th¤c sÿ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch,tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håctªp

Nh¥n dàp n y tæi công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi gia ¼nh,b¤n b± ¢ luæn ëng vi¶n, cê vô, t¤o måi i·u ki»n thuªn lñi cho tæi trongqu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n th nh luªn v«n

H  Nëi, th¡ng 7 n«m 2018

T¡c gi£

Phan Quèc V«n

Líi cam oan

Tæi xin cam oan luªn v«n Th¤c s¾ chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch vîi ·

t i i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic l  k¸t qu£cõa qu¡ tr¼nh t¼m hiºu, nghi¶n cùu cõa t¡c gi£ d÷îi sü h÷îng d¨n cõa TS.Tr¦n V«n B¬ng

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸ thøanhúng th nh tüu cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

H  Nëi, th¡ng 7 n«m 2018

T¡c gi£

Phan Quèc V«n

Möc löc

1.1 To¡n tû ìn i»u cüc ¤i 6

1.2 To¡n tû phi tuy¸n t«ng tr÷ðng 9

1.3 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic trøu t÷ñng 10

2 i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic 14 2.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic Sü tçn t¤i nghi»m 14

2.1.1 B i to¡n vªt c£n 14

2.1.2 B i to¡n  n hçi - d´o 25

2.1.3 B i to¡n elliptic vîi i·u ki»n bi¶n mët ph½a 27

2.2 i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic 30

2.2.1 B i to¡n i·u khiºn tèi ÷u têng qu¡t 31

2.2.2 C¡ch ti¸p cªn chung èi vîi nguy¶n lþ cüc ¤i 34

2.2.3 i·u khiºn tèi ÷u ph÷ìng tr¼nh elliptic nûa tuy¸n t½nh 46 2.2.4 i·u khiºn tèi ÷u b i to¡n vªt c£n 58

Mð ¦u

1 L½ do chån · t i

Lþ thuy¸t i·u khiºn tèi ÷u l  mët ph¦n mð rëng cõa ph²p t½nh bi¸nph¥n, l  mët ph÷ìng ph¡p tèi ÷u ho¡ cho c¡c lþ thuy¸t i·u khiºn ph¡tsinh Ph÷ìng ph¡p n y ph¦n lîn l  do cæng lao âng gâp cõa nh  to¡nhåc Li¶n Xæ Pontryagin v  nh  to¡n håc Mÿ Richard Bellman ¸n nay,

lþ thuy¸t n y nhªn ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa r§t nhi·u nh  khoahåc trong v  ngo i n÷îc i·u khiºn tèi ÷u c¡c h» vi ph¥n trong khænggian húu h¤n chi·u ¢ ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ quan trång, tuy nhi¶n èivîi h» trong khæng gian væ h¤n chi·u th¼ v¨n cán kh¡ h¤n ch¸ Vîi mongmuèn t¼m hiºu s¥u hìn v· v§n · n y, nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n cõa TSTr¦n V«n B¬ng, tæi ¢ chån · t i: " i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n elliptic " l m luªn v«n cao håc cõa m¼nh

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

T¼m hiºu v· b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u x¡c ành bði b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n elliptic °c bi»t l  vi»c mæ t£ i·u ki»n c¦n tèi ÷u v  kh£ n«ng ùngdöng cõa chóng

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

T¼m hiºu v·:

+ To¡n tû ìn i»u cüc ¤i, to¡n tû t«ng tr÷ðng, b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n elliptic;

+ B i to¡n i·u khiºn tèi ÷u èi vîi b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

+èi t÷ñng: B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic v  b i to¡n i·u khiºntèi ÷u

+Ph¤m vi: Nghi¶n cùu i·u ki»n c¦n v  kh£ n«ng ùng döng cõa chóng

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p cõa Gi£i t½ch bi¸n ph¥n, Tèi ÷u khæng lçi v Tèi ÷u khæng trìn

6 C§u tróc cõa luªn v«n

C§u tróc cõa luªn v«n gçm hai ch÷ìng:

Ch÷ìng 1: Ki¸n thùc chu©n bàCh÷ìng 2: i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Nëi dung cõa ch÷ìng n y chõ y¸u ÷ñc tham kh£o tø [4], ch÷ìng 1 v ch÷ìng 2, t¡c gi£ tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì sð li¶n quan tîi c¡c t½nhch§t cõa b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic, to¡n

tû ìn i»u cüc ¤i, to¡n tû t«ng tr÷ðng, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptictrøu t÷ñng

1.1 To¡n tû ìn i»u cüc ¤i

N¸u X v  Y l  hai khæng gian tuy¸n t½nh, X × Y l  t½ch · c¡c cõachóng C¡c ph¦n tû cõa X × Y vi¸t l  [x, y] ð ¥y x ∈ X v  y ∈ Y

N¸u A l  mët to¡n tû a trà tø X v o Y, chóng ta câ thº çng nh§t

nâ vîi ç thà cõa nâ trong X × Y:

N¸u A, B ⊂ X × Y v  λ l  mët sè thüc, ta °t:

λA = {[x, λy] ; [x, y] ∈ A} ;

A + B = {[x, y + z] ; [x, y] ∈ A, [x, z] ∈ B} ;

AB = [x, z] ; [x, y] ∈ B, [y, z] ∈ A, vîi mëty ∈ Y Trong möc n y, X l  mët khæng gian Banach thüc vîi khæng gian èing¨u X∗ N¸u X l  khæng gian Hilbert, trøu tr÷íng hñp ch¿ rã, ta çngnh§t X vîi khæng gian èi ng¨u cõa nâ

ành ngh¾a 1.1 Tªp A ⊂ X × X∗ (t÷ìng ÷ìng, to¡n tû A : X → X∗)

÷ñc gåi l  ìn i»u n¸u:

(x1 − x2, y1 − y2) ≥ 0, ∀ [xi, yi] ∈ A, i = 1, 2Tªp ìn i»u A ⊂ X × X∗ ÷ñc gåi l  ìn i»u cüc ¤i n¸u nâ khængthüc sü chùa trong b§t k¼ tªp ìn i»u n o cõa X × X∗

Chó þ r¬ng n¸u A l  to¡n tû ìn trà tø X v o X∗, th¼ A l  ìn i»un¸u

(x1 − x2, Ax1 − Ax2) ≥ 0, ∀ (x1, x2) ∈ D (A) Mët v½ dö ìn gi£n v· tªp ìn i»u cõa X × X∗ l  ¡nh x¤ èi ng¨u Jcõa X

ành ngh¾a 1.2 Cho A l  to¡n tû ìn trà tø X v o X∗ vîi D (A) = X.To¡n tû A ÷ñc gåi l  nûa li¶n töc n¸u vîi ∀x, y ∈ X

A ÷ñc gåi l  c÷ïng bùc n¸u

lim

n→∞ xn − x0, yn
kxnk−1 = ∞ (1.1)vîi mët x0 ∈ A v  måi [xn, yn] ∈ A sao cho limn→∞kxnk = ∞

A ÷ñc gåi l  bà ch°n n¸u nâ bà ch°n tr¶n méi tªp con bà ch°n

ành lþ 1.1 Cho X l  khæng gian Banach thüc v  ϕ : X → R l  h m lçinûa li¶n töc d÷îi Khi â ∂ϕ l  mët tªp con ìn i»u cüc ¤i cõa X × X∗.Nhí k¸t qu£ n y m  chóng ta câ thº ùng döng nghi¶n cùu sü tçn t¤inghi»m cõa b i to¡n bi¶n elliptic vîi i·u ki»n bi¶n th½ch hñp

Vîi Ω l  tªp con mð bà ch°n cõa RN, v  g : R → R l  h m ch½nhth÷íng, lçi, nûa li¶n töc d÷îi sao cho 0 ∈ D(∂g) Ta ành ngh¾a h m

ϕ : L2(Ω) → R bði

ϕ(y) =

(R

L2(Ω) × L2(Ω) ÷ñc cho bði

∂ϕ = {[y, w] ; w ∈ L2(Ω); y ∈ H01(Ω) ∩ H2(Ω),w(x) + 4y(x) ∈ ∂g(y(x)), h.k.n , x ∈ Ω} (1.3)

Do â, vîi méi f ∈ L2(Ω), b i to¡n Dirichlet

1.2 To¡n tû phi tuy¸n t«ng tr÷ðng

Trong Möc n y X l  khæng gian Banach vîi chu©n k · k, X∗ l  khænggian èi ng¨u cõa nâ, v  (·, ·) l  c°p èi ng¨u giúa X v  X∗ Ta kþ hi»unh÷ thæng th÷íng J : X → X∗ l  ¡nh x¤ èi ng¨u cõa khæng gian X

ành ngh¾a 1.3 Tªp con A cõa X × X (ho°c, to¡n tû a trà tø X tîi

X) ÷ñc gåi l  t«ng tr÷ðng n¸u vîi méi c°p [x1, y1], [x2, y2] ∈ A, tçn t¤i

a trà) A : D(A) ⊂ X → X vîi ç th¼ cõa nâ {[x, y]; y ∈ Ax} v  do âcoi A l  tªp con cõa X × X

Mët tªp conA÷ñc gåi l  ti¶u t¡n (t÷ìng ùng, ti¶u t¡n cüc ¤i, m-ti¶ut¡n) n¸u −A l  t«ng tr÷ðng, (t÷ìng ùng, cüc ¤i, m-t«ng tr÷ðng)

Cuèi còng, A ÷ñc gåi l  ω-t«ng tr÷ðng (ω-m-t«ng tr÷ðng), trong â

ω ∈ R n¸u A + ωI t«ng tr÷ðng (t÷ìng ùng, m-t«ng tr÷ðng) Tªp con

A ⊂ X × X l  ω-t«ng tr÷ðng ho°c ω-m-t«ng tr÷ðng vîi ω ∈ R ÷ñc gåi

l  tüa-t«ng tr÷ðng, t÷ìng ùng, tüa-m-t«ng tr÷ðng

Ð d÷îi ¥y, chóng tæi ch¿ ra t½nh t«ng tr÷ðng cõa A thªt ra l  t½nhch§t h¼nh håc metric m  câ thº ÷ñc biºu di¹n mët c¡ch t÷ìng ÷ìng nh÷sau

kx1 − x2k ≤ kx1 − x2 + λ(y1 − y2)k, ∀λ > 0, [xi, yi] ∈ A, i = 1, 2, (1.7)b¬ng c¡ch sû döng bê · sau:

Bê · 1.1 Cho x, y ∈ X Khi â tçn t¤i w ∈ J (x) sao cho (y, w) ≥ 0khi v  ch¿ khi

kxk ≤ kx + λyk, ∀λ > 0 (1.8)

1.3 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic trøu t÷ñng

Cho X l  khæng gian Banach ph£n x¤ vîi khæng gian èi ng¨u X∗ v gi£ sû A : X → X∗ l  to¡n tû ìn i»u (tuy¸n t½nh ho°c phi tuy¸n) Cho

ϕ : X → R l  h m nûa li¶n töc d÷îi, lçi tr¶n X, ϕ 6≡ +∞ N¸u f l  ph¦n

tû ¢ cho cõa X, ta x²t b i to¡n sau: T¼m y ∈ X sao cho

(Ay, y − z) + ϕ (y) − ϕ (z) ≤ (y − z, f ) ; ∀z ∈ X (1.9)

¥y l  mët b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic trøu t÷ñng g­n vîi to¡n

tû A v  h m lçi ϕ, v  câ thº biºu di¹n t÷ìng ÷ìng nh÷ sau:

trong â ∂ϕ ⊂ X × X∗ l  d÷îi vi ph¥n cõa ϕ Trong tr÷íng hñp °c bi»t

ϕ = IK cõa h m ch¿ cõa tªp hñp lçi âng K trong X, tùc l 

IK(x) =



0, n¸u x ∈ K+∞, n¸u tr¡i l¤i,th¼ b i to¡n (1.9) trð th nh:

T¼m y ∈ K sao cho

(Ay, y − z) 6 (y − z, f ); ∀z ∈ K (1.11)Chó þ r¬ng n¸u to¡n tû A công l  mët d÷îi vi ph¥n ∂ψ cõa h m lçi li¶ntöc ψ : X → R, th¼ b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.9) t÷ìng ÷ìng vîi b ito¡n cüc tiºu ho¡ (nguy¶n lþ Dirichlet)

min {ψ (z) + ϕ (z) − (z, f ) ; z ∈ X} (1.12)ho°c, trong tr÷íng hñp b i to¡n (1.11)

min {ψ (z) − (z, f ) ; z ∈ K} (1.13)

º t¼m hiºu sü tçn t¤i cõa b i to¡n (1.9), ¦u ti¶n chóng ta c¦n ¸nk¸t qu£ sau

ành lþ 1.2 Gi£ sû A : X → X∗ l  to¡n tû ìn i»u, b¡n li¶n töc v 

ϕ : X → R l  h m lçi, nûa li¶n töc d÷îi, ch½nh th÷íng

Gi£ sû tçn t¤i y0 ∈ D (ϕ) sao cho

H» qu£ 1.1 Gi£ sû A : X → X∗ l  to¡n tû ìn i»u b¡n li¶n töc v  K

l  tªp hñp con lçi âng cõa X Gi£ thi¸t y0 ∈ K sao cho

lim

kyk→∞((Ay, y − y0)) / kyk = +∞, (1.15)ho°c K bà ch°n khi â b i to¡n (1.11) câ ½t nh§t mët nghi»m Tªp hñp t§tc£ c¡c nghi»m l  bà ch°n, lçi, âng N¸u A l  ìn i»u ch°t, th¼ nghi»m(1.11) l  duy nh§t

Cö thº hìn chóng ta gi£ thi¸t th¶m r¬ngX = V l  khæng gian Hilbert,

X∗ = V0, v 

theo ngh¾a ¤i sè v  tæ pæ, trong â H l  khæng gian Hilbert thüc ÷ñc

çng nh§t vîi èi ng¨u cõa nâ C¡c chu©n cõa V v  H ÷ñc k½ hi»u t÷ìngùng l  k.k v  |.| Vîi v ∈ Vv  v0 ∈ V0 ta kþ hi»u (v, v0) gi¡ trà cõa v0 trong

v; n¸uv, v0 ∈ H, th¼ â l  t½ch væ h÷îng cõa v v  v0 trong H Chu©n trong

(av, v) ≥ ω kvk2, ∀v ∈ V (1.18)Khi â, b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.9) tr¶n V trð th nh

(y, y − z) + ϕ (y) − ϕ (z) ≤ (y − z, f ) , ∀z ∈ V (1.19)

v 

y ∈ K, a (y, y − z) ≤ (y − z, f ) , ∀z ∈ K (1.20)Sau ¥y ta s³ th§y, trong c¡c ¡p döng,V th÷íng l  khæng gian Sobolevtr¶n tªp mð Ω cõa RN, H = L2(Ω) v  A l  to¡n tû vi ph¥n elliptic tr¶n

Ω vîi i·u ki»n bi¶n thu¦n nh§t th½ch hñp (Chi ti¸t v· c¡c khæng gian

Lp(Ω), khæng gian Sobolev câ thº tham kh£o trong [3] ho°c [1] ) Tªp hñp

K th÷íng x¡c ành bði c¡c i·u ki»n bi¶n cõa mi·n Ω

H» qu£ 1.2 Cho a : V × V → R l  phi¸m h m song tuy¸n t½nh li¶n töctho£ m¢n i·u ki»n (1.18) v  cho ϕ : V → R, l  mët h m nûa li¶n töcd÷îi, lçi ch½nh th÷íng Khi â, vîi méi f ∈ V0, b i to¡n (1.19) câ nghi»mduy nh§t y ∈ V nh x¤ f → y l  Lipschitz tø V0 v o V.

T÷ìng tü vîi b i to¡n (1.20)H» qu£ 1.3 Cho a : V × V → R l  h m phi¸m h m song tuy¸n t½nh li¶ntöc thäa m¢n i·u ki»n (1.18) v  K l  tªp hñp con lçi âng cõa V Khi

â, vîi méi f ∈ V0, b i to¡n (1.20) câ nghi»m duy nh§t y nh x¤ f → y

l  Lipschitz tø V0 v o V

Mët v§n · °t ra khi x²t ph÷ìng tr¼nh (1.19) l  li»u Ay ∈ H haykhæng ? º tr£ líi v§n · n y, chóng ta x²t to¡n tû AH : H → H,

AHy = Ay vîi y ∈ D (AH.) = {u ∈ V ; Au ∈ H} (1.21)To¡n tû AH, x¡c ành d÷ìng tr¶n H v  R (I + AH) = H(I l  to¡n tû

çng nh§t trong H) Do â, AH l  ìn i»u cüc ¤i trong H × H

ành lþ 1.3 D÷îi c¡c gi£ thi¸t cõa H» qu£ 1.2, gi£ sû th¶m r¬ng tçn t¤i

h ∈ H v  C ∈ R sao cho

ϕ(I + λAH)−1(y + λh) ≤ ϕ (y) + Cλ, ∀λ > 0, y ∈ V (1.22)Khi â, n¸u f ∈ H, nghi»m y cõa (1.19) thuëc D (AH) v 

|Ay| ≤ C (I + |f |) (1.23)H» qu£ 1.4 Trong H» qu£ (1.11), gi£ thi¸t th¶m f ∈ H v 

(1 + λAH)−1(y + λh) ∈ K vîi måi h ∈ H v  vîi måi λ > 0 (1.24)Khi â nghi»m y cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (1.11) thuëc D (AH) v  ta

câ ¡nh gi¡ sau:

|Ay| ≤ C (I + |f |) , ∀f ∈ H (1.25)

Do â b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u x¡c ành bði c¡c ph÷ìng tr¼nh ellipticphi tuy¸n, v  °c bi»t l  c¡c b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, l  khæng lçi v khæng trìn n¶n c¡c ph÷ìng ph¡p chu©n º suy ra i·u ki»n c¦n c§p mëtcho t½nh tèi ÷u th÷íng khæng thº ¡p döng ÷ñc Ph÷ìng ph¡p chóng ta

sû dòng ð ¥y l  º x§p x¿ b i to¡n ¢ cho b¬ng mët hå c¡c b i to¡n tèi

÷u trìn chùa sè h¤ng ph¤t th½ch hñp v  chuyºn qua giîi h¤n c¡c i·u ki»ntèi ÷u t÷ìng ùng

Chóng ta s³ t¼m hiºu chi ti¸t vi»c ¡p döng lþ thuy¸t v o mët sè b ito¡n i·u khiºn vîi bi¶n tü do, nh÷ b i to¡n vªt c£n v  b i to¡n Signorini

2.1 B§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic Sü tçn t¤i

nghi»m

2.1.1 B i to¡n vªt c£n

Trong möc con n y, Ω l  tªp hñp mð, bà ch°n cõa khæng gian Euclide

RNvîi bi¶n ∂Ω, trìn Thüc t¸ ta gi£ sû ∂Ω l  C2 Tuy nhi¶n, n¸u Ω lçi th¼khæng c¦n i·u ki»n tr¶n °t V = H1(Ω) , H = L2(Ω) , v  A : V → V0x¡c ành bði

T÷ìng tü, to¡n tû A x¡c ành bði (2.2) l  to¡n tû vi ph¥n (2.4) vîi i·uki»n thu¦n nh§t Dirichlet: y = 0 tr¶n ∂Ω.

Cho ψ ∈ H2(Ω) l  h m ¢ cho v  cho K l  tªp con lçi âng cõa

V = H1(Ω) x¡c ành bði

K = y ∈ V ; y (x) ≥ ψ (x) h¦u h¸t x ∈ Ω (2.7)Chó þ r¬ng K 6= ∅ v¼ ψ∗ = max (ψ, 0) ∈ K N¸u V = H01(Ω) , ta gi£ sûr¬ng ψ (x ≤ 0) h¦u h¸t x ∈ ∂Ω i·u n y k²o theo K 6= ∅ nh÷ tr÷îc

â

Cho f ∈ V0 Khi â, theo H» qu£ (1.11), b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

a (y, y − z) ≤ (y − z, f ) ; ∀z ∈ K (2.8)

câ nghi»m duy nh§t y ∈ K

Thüc t¸, y l  nghi»m cõa b i to¡n bi¶n th÷íng gåi l  b i to¡n vªt c£n,

B¥y gií, n¸u ta l§y z = y + α, trong â α ∈ H1(Ω) v  α ≥ 0 trong Ω,

A0y = f trong Ω+ ,

y = ψ trong Ω\Ω+, ∂y∂ν = ∂ψ∂ν trong S ,

α1y + α2∂y∂ν = 0 trong ∂Ω Trong cæng thùc bi¸n ph¥n (2.8), bi¶n tü do S khæng xu§t hi»n rã r ngnh÷ng ©n h m y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n Khi ¢ bi¸t y th¼ bi¶n

Khi â vîi méi f ∈ L2(Ω), nghi»m y cõa b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (2.8)thuëc H2(Ω) v  thäa m¢n h» bò

(A0y (x) − f (x)) (y (x) − ψ (x)) = 0, h¦u h¸t x ∈ Ω, y (x) ≥ ψ (x) ,

A0y (x) ≥ f (x) , h¦u h¸t x ∈ Ω,

(2.12)còng vîi i·u ki»n bi¶n

α1y + α2∂y

∂ν = 0 h¦u h¸t trong ∂Ω (2.13)Hìn núa, tçn t¤i h¬ng sè d÷ìng C ëc lªp vîi f sao cho

kykH2 (Ω) ≤ Ckf kL2 (Ω) + 1 (2.14)Chùng minh Ta s³ ¡p döng H» qu£ 1.4 trong â H = L2(Ω) , V = H1(Ω)(t÷ìng ùng, V = H01(Ω) n¸u α2 = 0), A ÷ñc x¡c ành bði (2.1) (t÷ìng

Ta s³ kiºm tra i·u ki»n (1.24) vîi h = A0ψ º l m i·u â, x²t b ito¡n bi¶n vîi λ > 0,

W + λA0W = y + λA0ψ trong Ω,

H−1(Ω) , v  l§y t½ch ph¥n tr¶n Ω, ¡p döng cæng thùc Green's ta câ

Z

Ω

(ω − ψ)−

= −Z

v  do ∂Ω õ trìn (ho°c Ω lçi) n¶n tø ¥y ta câ (2.14),

B¥y gií, n¸u y ∈ D (AH) ta câ

K0 = u ∈ L2(Ω) ; u (x) ≥ ψ (x) h¦u h¸t x ∈ Ω (2.16)N¸u trong (2.15) ta l§yz = ψ + α,vîi α l  h m d÷ìng b§t ký trongL2(Ω),

Ta chó þ r¬ng theo gi£ thi¸t ành lþ (1.3) b i to¡n vªt c£n câ thº vi¸td÷îi d¤ng t÷ìng ÷ìng vîi

AHy + ∂IK0(y) 3 f, (2.17)trong â

∂IK0(y) = v ∈ L2(Ω) ; v (x) ∈ β (y (x) − ψ (x)) h¦u h¸t x ∈ Ω trong â β : R → 2R l  ¡nh x¤ ìn i»u cüc ¤i

1

j (r) =

0; n¸u r ≥ 0

Nh÷ ¢ th§y, ph÷ìng tr¼nh (2.19) câ thº ÷ñc x§p x¿ b i to¡n bi¶n trìn

A0y + βε(y − ψ) = f ; h¦u h¸t trong Ω,

α1y + α2

∂y

∂ν = 0 h¦u h¸t trong ∂Ω, (2.22)

trong â, βε(r) = − 1ε
r− ( β0 l  x§p x¿ Yosida cõa β )

Trong t¼nh huèng n y, ta câ k¸t qu£ têng qu¡t hìn nhi·u Cho β l  ¡nhx¤ ìn i»u cüc ¤i trong R×R, ψ ∈ H2(Ω) Gåiβε = ε−1

yεf → yf m¤nh trong H1(Ω) , y¸u trong H2(Ω) , (2.25)trong â, yεf l  nghi»m cõa b i to¡n bi¶n (2.23) Hìn núa, n¸u fε → f y¸utrong L2(Ω), th¼

yfε

ε → yf m¤nh trong H1(Ω) , y¸u trong H2(Ω) (2.26)Chùng minh °t yε = yfε

ε Nh¥n ph÷ìng tr¼nh (2.23) vîi βε(yε − ψ) v t½ch ph¥n tr¶n Ω, b¬ng cæng thùc Green ta ÷ñc

Ω

(f − A0ψ) βε(yε− ψ) dx

βε(−ψ) ≤ 0trong∂Ω, n¶n {βε(yε− ψ)} bà ch°n trong L2(Ω), v  {A0yε} bà ch°n trong

L2(Ω) Do â {yε} bà ch°n trong H2(Ω) v  câ mët d¢y con v¨n kþ hi»u

Bε(y) = βε(y − ψ) h¦u h¸t trong Ω

Khi â, theo (2.28), ta suy ra ξ ∈ By, ngh¾a l , ξ (x) ∈ β (y (x) − ψ (x))

Do â, y = yf v  ta câ chùng minh ÷ñc M»nh · 2.2

Mæ h¼nh vªt lþ ìn gi£n cho b i to¡n vªt c£n l : X²t m ng  n hçichi¸m mët mi·n ph¯ng Ω v  bà giîi h¤n d÷îi bði vªt c£n ψ d÷îi ¡p lüc

t¡c ëng th¯ng ùng vîi mªt ë f Gi£ sû m ng ÷ñc kµp dåc theo bi¶n

∂Ω Ta ¢ bi¸t tø sü  n hçi tuy¸n t½nh v  khi khæng câ vªt c£n th¼ ël»ch theo ph÷ìng ùng y = y (x) , x∈Ω, cõa m ng thäa m¢n ph÷ìng tr¼nhLaplace - Poisson Vîi sü câ m°t cõa vªt c£n y = ψ (x) , ë l»ch y = y (x)cõa m ng thäa m¢n biºu thùc (2.9) Cö thº hìn, ta câ

−4y = f

−4y ≥ f, y ≥ ψ

y = 0

trong {x ∈ Ω; y (x) > ψ (x)} ,trong Ω,

Ð ¥y, µ1, µ2 l  c¡c h¬ng sè d÷ìng, l l  kho£ng c¡ch giúa c¡c và tr½ ban

¦u cõa c¡c m ng khi ch÷a chàu t£i v  y1(x1, x2) ≥ 0; y2(x1, x2) ≤ 0 l 

ë l»ch cõa m ng 1 v  m ng 2 theo x = (x1, x2)

B i to¡n n y câ d¤ng (2.8), trong â H = L2(Ω) × L2(Ω) ,

V = H01(Ω) × H01(Ω) , K ÷ñc x¡c ành bði (2.32), f = (f1, f2) , v 

µ1Z

Mët c¡ch h¼nh thùc, nghi»m y = (y1, y2) cõa b i to¡n (2.31) l  nghi»mcõa b i to¡n bi¶n tü do

trong Ω,trong ∂Ω

Bi¶n tü do cõa b i to¡n n y l  bi¶n cõa tªp ti¸p xóc{x; y1(x) − y2(x) = l} Mët k¸t qu£ quan trång cõa lþ thuy¸t b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic

¢ ÷ñc t¼m ra bðiC Baiocchi [2] v  mæ h¼nh to¡n håc cõa n÷îc ch£y qua

bº n÷îc h¼nh chú nhªt thu¦n nh§t êi h÷îng câ thº ÷ìc biºu di¹n bði

b i to¡n vªt c£n tr¶n ¥y B¥y gií ta i tr¼nh b y ng­n gån b i to¡n n y.K½ hi»u bº n÷îc bði D = (0, a) × (0, b) v  Do l  vòng chùa n÷îc Bi¶n

S t¡ch vòng chùa n÷îc Do vîi vòng khæng chùa n÷îc D1 = D\Do l  ch÷abi¸t v  l  bi¶n tü do

Choz l  ¦u o ¡p su§t v  chop (x1, x2)l  ¡p lüc t¤i iºm(x1, x2) ∈ D

Ta câ z = p + x2, trong D v , theo ành luªt D'Arcy (ta chu©n ho¡ c¡ch» sè),

L÷u þ r¬ng rã r ng z tho£ m¢n c¡c i·u ki»n bi¶n sau

z = h1 trong AF, z = x2 trong S ∪ GC, z = h2 trong BC,

∂z

∂x2 = 0 trong AB, ∂z

∂ν = 0 trong S,

(2.34)trong â ∂

∂ν l  ¤o h m theo v²c tì ph¡p tuy¸n ngo i ìn và cõa S

Bê · 2.1 Cho h m y thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

∆y = χD0 trong D0(D) (2.35)

v  c¡c i·u ki»n

y > 0 trong Do, y = 0 trong D\Do, y = g trong ∂D, (2.36)

Theo H» qu£ (1.3), ta k¸t luªn b i to¡n (2.38) (v  do â b i to¡n ªpn÷îc (2.37)) câ nghi»m duy nh§t y ∈ K Bi¶n tü do S t¼m ÷ñc b¬ng c¡chgi£i ph÷ìng tr¼nh y (x1, x2) = 0.

2.1.2 B i to¡n  n hçi - d´o

Cho Ω l  mët mi·n mð cõa RN v  a : H01(Ω) × H01(Ω) → R x¡c ànhbði

y ∈ K, a (y, y − z) ≤ (y − z, f ) ; ∀z ∈ K, (2.41)

Nh÷ ¢ nâi ð tr¶n, (2.41) t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n cüc tiºu

min

1

0 (Ω) l  nghi»m cõa b i to¡n bi¶n

−∆y − div∂hε(∇y) = f trong Ω

y = 0 trong ∂Ω,khi â hε : RN → RN ÷ñc x¡c ành bði

hε(u) =

(

0 n¸u kukN < 1,

(kukN−1)22ε n¸u kukN ≥ 1, .

v  ∂hε : RN →RN l  d÷îi vi ph¥n cõa hε, ngh¾a l ,

∂hε =

(0; n¸u kukN < 1,

(ukukN−1) εkukN n¸u kukN ≥ 1

B­t ¦u t½nh tø (2.43) ta i t½nh nghi»m cõa b i to¡n (2.41) trongtr÷íng hñp Ω = (0; 1) N¸u thay

W (x) =

Z x 0

z (x) dx; x ∈ (0, 1) ,th¼ b i to¡n (2.43) trð th nh

inf

12

Z 1 0

W2(x) dx −

Z 1 0

W (x)

Z 1 x

f (s) dsdx; W ∈ U

, (2.44)

trong â U = u ∈ L2(0, 1) ; |u (x)| ≤ 1; t¤i h¦u h¸t x ∈ (0; 1) Do vªy,nghi»m W cõa (2.44) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh

W =

Z 1 x

f (s) ds + NU (W ) 3 0,vîi NU l  m°t nân ph¡p tuy¸n cõa U Do â

x f (s) ds > 1,

x f (s) ds < −1

2.1.3 B i to¡n elliptic vîi i·u ki»n bi¶n mët ph½a

X²t b i to¡n bi¶n trong Ω ⊂ RN

câ nghi»m duy nh§t y ∈ V.

B i to¡n (2.47) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng t÷ìng ÷ìng

min

1

trong â h·, ·i l  c°p èi ng¨u giúa H12 (Γ1) v  H−12 (Γ1) (n¸u y ∈ H1(Ω)

kykH2 (Ω) ≤ CI + kf kL2 (Ω)



; ∀f ∈ L2(Ω) , (2.49)trong â C ëc lªp vîi f

M»nh · 2.3 Gi£ sû fε → f y¸u trong L2(Ω) khi â nghi»m yε ∈

H2(Ω) cõa b i to¡n (2.51) l  hëi tö y¸u trong H2(Ω) v  hëi tö m¤nhtrong H1(Ω) tîi nghi»m yf cõa b i to¡n (2.45)

Chùng minh Theo [4]-M»nh · 2.11, ta câ ¡nh gi¡ (2.49) vîi yε, ngh¾a l 

kyεkH2 (Ω) ≤ C1 + kfεkL2 (Ω)



; ∀ε > 0,trong â C ëc lªp vîi ε Do â tr¶n mët d¢y con v¨n kþ hi»u l  ε, ta câ

yε → y y¸u trong H2(Ω) , m¤nh trong H1(Ω) ,

2.2 i·u khiºn tèi ÷u b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

el-liptic

Trong ph¦n n y, ta s³ t¼m hiºu v· mët sè b i to¡n i·u khiºn tèi ÷ux¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh elliptic nûa tuy¸n t½nh v  °c bi»t l  bði b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n elliptic v  b i to¡n vîi bi¶n tü do

Möc ti¶u quan trång nh§t l  suy ra tªp hñp c¡c i·u ki»n tèi ÷u c§pmët (nguy¶n lþ cüc ¤i) câ thº cho ta thæng tin ¦y õ v· i·u khiºn tèi

÷u Do c¡c b i to¡n i·u khiºn tèi ÷u x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n

l  khæng trìn v  khæng lçi, n¶n c¡c ph÷ìng ph¡p chu©n º suy ra i·uki»n c¦n tèi ÷u l  khæng ¡p döng ÷ñc Ta mæ t£ v­n t­t ph÷ìng ph¡pnh÷ sau: Ta x§p x¿ b i to¡n ¢ cho bði mët hå b i to¡n tèi ÷u trìn sau âchuyºn qua giîi h¤n trong c¡c i·u ki»n tèi ÷u t÷ìng ùng

°c iºm h§p d¨n cõa ph÷ìng ph¡p n y l  ta câ thº ¡p döng tr¶n mëtlîp b  to¡n i·u khiºn tèi ÷u x¡c ành bði mët lîp rëng c¡c ph÷ìng tr¼nhphi tuy¸n, thªm ch½ kiºu khæng vîi h m chi ph½ têng qu¡t.

2.2.1 B i to¡n i·u khiºn tèi ÷u têng qu¡t

Cho V v  H l  hai khæng gian Hilbert thüc sao cho V l  tªp hñp contrò mªt cõa H v 

V ⊂ H ⊂ V0theo ngh¾a ¤i sè v  tæ pæ Vîi V0 l  èi ng¨u cõa V Do â (·, ·)l  c°p èing¨u giúa V v  V0 (công l  t½ch væ h÷îng cõa H) v  k.k , |.| l  c¡c chu©ntrong V v  H, t÷ìng ùng

X²t ph÷ìng tr¼nh

trong â A : V → V0 l  to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n töc thäa m¢n i·u ki»nc÷ïng bùc

(Av, v) ≥ ω kvk2; ∀v ∈ V vîi måi ω > 0, (2.54)

ϕ : V → R l  h m lçi, nûa li¶n töc d÷îi, ∂ϕ : V → V0 l  d÷îi vi ph¥ncõa ϕ, B ∈ L (U, V0) , f l  ph¦n tû ¢ cho cõa V0 Ð ¥y U l  mët khænggian Hilbert thüc vîi t½ch væ h÷îng k½ hi»u h·, ·i v  chu©n |.|U (khæng gian

i·u khiºn)

Nh÷ ¢ th§y trong Möc 2.1 lîp rëng c¡c b i to¡n elliptic phi tuy¸n,bao gçm c¡c b i to¡n vîi bi¶n tü do v  i·u ki»n mët ph½a t¤i bi¶n, câ thº

÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng n y

Tham sè u÷ñc gåi l  i·u khiºn nghi»m t÷ìng ùng y l  tr¤ng th¡i cõah» Ph÷ìng tr¼nh (2.53) ÷ñc gåi l  h» tr¤ng th¡i hay l  h» i·u khiºn

B i to¡n i·u khiºn tèi ÷u m  ta nghi¶n cùu trong Ch÷ìng n y ÷ñc

°t d÷îi d¤ng têng qu¡t sau:

A0y + (y ) = f ; hƯu hát ,

1y + 2

y

= 0 hƯu hát ∂Ω, (2.22)