Hệ thống hóa kiến thức toán 6

Cung cấp những kiến thức cơ bản về chương trình toán 6 từ đó giúp cho việc ôn tập cuối kỳ và cuối năm thuận lợi hơn, đặc biệt tiện lợi cho việc tư học của học sinh. Tài liệu được biên soạn chủ yếu dựa vào SGK hiện hành kiến thức được trình bày tóm lược, khái quát, mềm dẻo.

HỆ THỐNG HÓA KIẾN THỨC

TOÁN 6

Mục lục

1.1 Mở đầu về tập hợp 8

1.1.1 Khái niệm tập hợp 8

1.1.2 Số phần tử của tập hợp 9

1.1.3 Tập hợp con 9

1.1.4 Hai tập hợp bằng nhau 9

1.1.5 Tập hợp giao hay giao của hai tập hợp 9

1.2 Tập hợp các số tự nhiên Ghi số tự nhên 10

1.2.1 Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N 10

1.2.2 Biểu diễn số tự nhiên trên tia số 10

1.2.3 Thứ tự trong tập hơp các số tự nhiên 10

1.2.4 Ghi số tự nhiên trong hệ thập phân 11

1.2.5 Số La Mã 11

1.3 Phép cộng và phép nhân 11

1.3.1 Tổng và tích 11

1.3.2 Tính chất của phép cộng và phép nhân 12

1.4 Phép trừ và phép chia 13

1.4.1 Phép trừ hai số tự nhiên 13

1.4.2 Phép chia và phép chia có dư 13

1.5 Lũy thừa với số mũ tự nhiên 14

1.5.1 Phép nâng lên lũy thừa 14

1.5.2 Nhân hai lũy thừa cùng cơ số 14

1.5.3 Chia hai lũy thừa cùng cơ số 14

1.6 Thứ tự thực hiện phép tính 14

1.6.1 Biểu thức không có dấu ngoặc 15

1.6.2 Biểu thức có dấu ngoặc 15

1.7 Tính chất của phép chia hết 15

1.7.1 Kí hiệu phép chia hết 15

1.7.2 Tính chất của phép chia hết 15

1.8 Dấu hiệu chia hết 16

1.8.1 Dấu hiệu chia hết cho 2 16

1.8.2 Dấu hiệu chia hết cho 5 16

1.8.3 Dấu hiệu chia hết cho 9 16

1.8.4 Dấu hiệu chia hết cho 3 16

1.9 Số nguyên tố Hợp số 16

1.9.1 Ước và bội 16

1.9.2 Số nguyên tố Hợp số 17

1.9.3 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố 17

1.10 Ước chung và bội chung 17

1.10.1 Ước chung 17

1.10.2 Ước chung lớn nhất 18

1.10.3 Cách tìm ước chung lớn nhất của a và b 18

1.10.4 Cách tìm ước chung của nhiều số bằng tập hợp các ước của ước chung lớn nhất của chúng 18

1.10.5 Bội chung 18

1.10.6 Bội chung nhỏ nhất 19

1.10.7 Cách tìm bội chung nhỏ nhất 19

1.10.8 Tìm tập hợp bội chung của hai hay nhiều số qua bội chung nhỏ nhất của chúng 19

2 SỐ NGUYÊN 20 2.1 Tập hợp số nguyên 20

2.1.1 Số nguyên 20

2.1.2 Trục số 20

2.1.3 Thứ tự trong tập hợp số nguyên 21

2.1.4 Giá trị tuyệt đối của một số nguyên 21

2.2 Phép cộng các số nguyên 21

2.2.1 Quy tắc cộng số nguyên 21

2.2.2 Tính chất của phép cộng các số nguyên 22

2.3 Phép trừ hai số nguyên 22

2.4 Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế 23

2.4.1 Quy tắc dấu ngoặc 23

2.4.2 Tổng đại số 23

2.4.3 Quy tắc chuyển vế 23

2.5 Phép nhân các số nguyên 23

2.5.1 Tích hai số nguyên 23

2.5.2 Quy tắc nhân hai số nguyên 23

2.5.3 Tính chất của phép nhân 24

2.6 Bội và ước các số nguyên 24

2.6.1 Bội và ước của một số nguyên 24

2.6.2 Tính chất của phép chia hết 24

3 PHÂN SỐ 26 3.1 Mở rộng khái niệm phân số 27

3.1.1 Phân số 27

3.1.2 Chú ý 27

3.2 Phân số bằng nhau 27

3.3 Tính chất cơ bản của phân số 27

3.4 Rút gọn phân số 28

3.4.1 Cách rút gọn phân số 28

3.4.2 Phân số tối giản 28

3.5 Quy đồng mẫu nhiều phân số 28

3.5.1 Các bước thực hiện 28

3.5.2 Chú ý 28

3.6 So sánh hai phân số 29

3.6.1 So sánh hai phân số cùng mẫu 29

3.6.2 So sánh hai phân số không cùng mẫu 29

3.6.3 Một số cách so sánh khác 29

3.7 Phép cộng phân số 30

3.7.1 Cộng hai phân số cùng mẫu 30

3.7.2 Cộng hai phân số không cùng mẫu 30

3.7.3 Tính chất cơ bản của phép cộng phân số 30

3.8 Phép trừ phân số 31

3.8.1 Số đối 31

3.8.2 Phép trừ phân số 31

3.8.3 Quy tắc thực hành 31

3.9 Phép nhân phân số 31

3.9.1 Quy tắc 31

3.9.2 Tính chất cơ bản của phép nhân phân số 32

3.10 Phép chia phân số 32

3.10.1 Số nghịch đảo 32

3.10.2 Quy tắc chia phân số 32

3.11 Hỗn số 33

3.11.1 Hỗn số 33

3.11.2 Cách đổi phân số ra hỗn số và ngược lại 33

3.11.3 Thực hiện các phép tính có hỗn số 33

3.12 Phân số thập phân - Số thập phân - Phần trăm 34

3.12.1 Phân số thập phân 34

3.12.2 Số thập phân 34

3.12.3 Phân trăm 34

3.13 Tìm giá trị phân số của một số cho trước 34

3.14 Tìm một số biết giá trị một phân số của nó 34

3.15 Tìm tỉ số phân trăm của hai số 35

3.15.1 Tỉ số của hai số 35

3.15.2 Tỉ số phân trăm của hai số 35

3.16 Các loại biểu đồ phần trăm 35

II HÌNH HỌC 36 4 ĐOẠN THẲNG 37 4.1 Điểm, đường thẳng, ba điểm thẳng hàng 37

4.1.1 Mặt phẳng, điểm, đường thẳng 37

4.1.2 Quan hệ liên thuộc của điểm và đường thẳng 37

4.1.3 Ba điểm thẳng hàng 38

4.1.4 Đường thẳng đi qua hai điểm 38

4.1.5 Quan hệ giữa hai đường thẳng 39

4.2 Tia 39

4.2.1 Tia 39

4.2.2 Hai tia đối nhau 40

4.3 Đoạn thẳng Độ dài đoạn thẳng Trung điểm 40

4.3.1 Đoạn thẳng 40

4.3.2 Độ dài đoạn thẳng 41

4.3.3 So sánh hai đoạn thẳng 41

4.3.4 Tính chất cộng của độ dài đoạn thẳng 42

4.3.5 Vẽ đoạn thẳng trên một tia khi biết độ dài 42

4.3.6 Trung điểm của đoạn thẳng 42

5 GÓC 44 5.1 Nửa mặt phẳng 44

5.1.1 Mặt phẳng 44

5.1.2 Nửa mặt phẳng 44

5.2 Góc 45

5.2.1 Góc 45

5.2.2 Số đo góc 46

5.3 Tia, tia nằm giữa hai tia 46

5.4 Tia phân giác của góc 46

5.4.1 Tia phân giác của góc 46

5.4.2 Cách vẽ tia phân giác của một góc 47

5.5 Đường tròn 47

5.5.1 Đường tròn và hình tròn 47

5.5.2 Cung va dây 48

5.6 Tam giác 48

5.6.1 Tam giác 48

5.6.2 Điều kiện để vẽ được tam giác 49

Phần I

SỐ HỌC

Chương 1

ÔN TẬP VÀ BỔ TÚC VỀ SỐ

TỰ NHIÊN

C ♦ ♦ ♦ B

1.1 Mở đầu về tập hợp 8

1.2 Tập hợp các số tự nhiên Ghi số tự nhên 10

1.3 Phép cộng và phép nhân 11

1.4 Phép trừ và phép chia 13

1.5 Lũy thừa với số mũ tự nhiên 14

1.6 Thứ tự thực hiện phép tính 14

1.7 Tính chất của phép chia hết 15

1.8 Dấu hiệu chia hết 16

1.9 Số nguyên tố Hợp số 16

1.10 Ước chung và bội chung 17

1.1.1 Khái niệm tập hợp

• Tập hợp là khái niệm gốc của Toán học, nó được hình dung qua các ví

dụ Người ta nói tập hợp các chữ số, tập hợp các đội viên của liên đội thiếu niên trường Sao Mai Người ta thường dùng các chữ cái in hoa

A, B, C X, Y, Z để đặt tên cho các tập hợp

• Phần tử của tập hợp là cá thể tham gia tạo nên tập hợp đó

• Kí hiệu a ∈ A để nói a là một phần tử của A hay a thuộc A Khi viết

a /∈ A để nói a không phải là phần tử của A hay a không thuộc A

vô số phân tử

Tập hợp không có phân tử nào gọi là tập hợp rỗng, kí hiệu là ∅

Ghi chú: Tập hợp {0} có một phần tử là số không và nó không phải là tậphợp rỗng

1.1.3 Tập hợp con

Mỗi phần tử của A là một phần tử của B Ta bảo A là tập con của B, kíhiệu là A ⊂ B hoặc B ⊃ A Ta còn bảo B chứa A hoặc A được chứa trongB

Ghi chú: Cho A là một tập hợp tùy ý thì: ∅ ⊂ A và A ⊂ A tập hợp ∅ là mộttập hợp con của một tập hợp bất kì, một tập hợp A là tập hợp con của chínhnó

1.1.4 Hai tập hợp bằng nhau

Tập hợp A bằng B kí hiệu là A = B nếu mỗi phân tử của A là mỗi phần tửcủa B và đảo lại mỗi phân tử của B là một phần tử của A, tức là A ⊂ B và

B ⊂ A

1.1.5 Tập hợp giao hay giao của hai tập hợp

Ta thấy C gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B Ta bảo C là tập hợpgiao của A và B nói gọi là giao của A và B, kí hiệu là C = A ∩ B

1.2 Tập hợp các số tự nhiên Ghi số tự nhên 1.2.1 Tập hợp các số tự nhiên kí hiệu là N

Muốn biểu diễn số tự nhiên a ta lấy trên tia số điểm cách 0 khoảng cách ađơn vị đã chọn Điểm biểu diễn số tự nhiên a gọi là điểm a

1.2.3 Thứ tự trong tập hơp các số tự nhiên

• Cho hai số tự nhiên khác không thì có một số nhỏ hơn số kia Trên tia

số điểm biểu diễn số nhỏ ở bên trái điểm biểu diễn số lớn Số a nhỏhơn số b kí hiệu là a < b, khi đó ta cũng nói rằng b lớn hơn a và kí hiệu

• Tập hợp N có số nhỏ nhất là 0 và không có số lớn nhất Tập hợp N∗ có

số nhỏ nhất là 1 và không có số lớn nhất

• Nếu giữa hai số tự nhiên a và b không có số tự nhiên nào khác và a < bthì a là số liên trước b và b là số liến sau a

1.2.4 Ghi số tự nhiên trong hệ thập phân

Để ghi số trong hệ thập phân người ta dùng mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

và giá trị của mỗi chữ số trong một số thay đổi theo vị trí của nó theo quytắc mười đơn vị ở một hàng làm thành một đơn vị ở hàng liền trước

Ghi chú: Để ghi một số tự nhiên nào đó không cụ thể chẳng hạng một số cóbốn chữ số ghi trong hệ thập phân ta viết abcd ta phải hiểu a, b, c, d là thaycho các chữ số nào đó trong mười chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và điều kiệnchữ số đầu tiên a 6= 0 Nếu viết abcd không cần dấu gạch ngang − bên trênthì đây có nghĩa là a × b × c × d mà a, b, c, d là các số nào đó

1.2.5 Số La Mã

Ngày nay trong một số trường hợp người ta cũng sử dụng cách ghi số tựnhiên của người cổ La Mã Người ta dùng bảy chữ số mà giá trị và kí hiệutương ứng của chúng trong hệ thấp phân như sau:

Giá trị tương ứng trong hệ thập phân 1 5 10 50 100 500 1000Trong cách ghi của người La Mã các chữ số không thay đổi theo vị trí cácchữ số có giá trị lớn ghi trước các chữ số có giá trị nhỏ hơn

Trong một số các chữ số V, L, D không ghi quá một lần, các chữ số M, C, X, Ikhông ghi quá ba lần Giá trị của một số bằng tổng các thành phần của nó.Riêng có sáu số đặc biệt là IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD =

400, CM = 900 có chữ số giá trị nhỏ đứng trước làm giảm giá trị của chữ sốgiá trị lớn đứng liền sau

1.3 Phép cộng và phép nhân

1.3.1 Tổng và tích

• Số tự nhiên a cộng với số tự nhiên b được số tự nhiên c được kí hiệulà: a + b = c Các số a và b gọi là các số hạng còn c gọi là tổng

• Số tự nhiên a nhân với số tự nhiên b được số tự nhiên d kí hiệu là

a × b = d hoặc a.b = d Các số a và b gọi là các thừa số còn d gọi làtích

Ghi chú: Trong một số mà các chữ số đều bằng các chữ hoặc chỉ có một thừa

số bằng số thì ta có thể không dùng dấu phép tính nhân

1.3.2 Tính chất của phép cộng và phép nhân

• Tính chất giao hoán

– Khi đổi chổ các số hạng trong một tổng thì tổng không đổi

a + b = b + a– Khi đổi chổ các thừa số trong một tích thì tích không đổi

a.b = b.a

• Tính chất kết hợp

– Muốn cộng một tổng của hai số với một số thứ ba ta có thể cộng

số thứ nhất với tổng của số thứ hai và số thứ ba

1.a = a.1 = a

• Tính chất phân phôi của phép nhân đối với phép cộng: Muốn nhânmột số với một tổng ta có thể nhân số đó với từng số hạng của tổngrồi cộng các kết quả lại

a.(b + c) = a.b + a.c

Ghi chú: Các tính chất nêu trên đây của tổng tích hai số có thể mở rộng chotổng tích của nhiều số

1.4.2 Phép chia và phép chia có dư

• Phép chia hết Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b 6= 0 nếu có số tựnhiên x sao cho b.x = a thì ta nói a chia hết cho b và kí hiệu

a : b = x

a là số bị chia, b là số chia, x là thương

• Phép chia dư Cho hai số tự nhiên a và b trong đó b 6= 0 ta luôn tìmđược hai số tự q vá r duy nhất sao cho

a = b.q + r, trong đó 0 ≤ r < bNếu r = 0 ta có phép chia hết

Nếu r = 0 ta có phép chia có dư Số a là số bị chia, b là số chia, q làthương, r là số dư

• Ứng dụng: Ta có thể biểu diễn một số tự nhiên a dưới dạng một phépchia có dư như:

a = 3k + r, k ∈ N, r ∈ {0, 1, 2}

a = 5t + r, t ∈ N, r ∈ {0, 1, 2, 3, 4}

1.5 Lũy thừa với số mũ tự nhiên

1.5.1 Phép nâng lên lũy thừa

Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau mỗi thừa sốbằng a kí hiệu

an = a.a a

| {z }

n thừa số

n 6= 0

a gọi là cơ số, n gọi là số mũ Phép nhân nhiều thừa số bằng nhau gọi

là phép nâng lên lũy thừa

Ghi chú : Quy ước a1 = a

a2 còn gọi là a bình phương hay bình phương của a

a3 còn gọi là a lập phương hay lập phương của a

1.5.2 Nhân hai lũy thừa cùng cơ số

am.an= am+n

1.5.3 Chia hai lũy thừa cùng cơ số

Với m ≥ n và a 6= 0 ta có am: an= am−n

Ghi chú: Quy ước a0 = 1

Ứng dụng: Mỗi số tự nhiên ghi trong hệ thập phân đều là tổng các lũythừa của 10

vuông [], ngoặc nhọn {}) gọi là biểu thức Các phép tính trong mộtbiểu thức cần được thực hiện theo một thứ tự nghiêm ngặt

1.6.1 Biểu thức không có dấu ngoặc

– Nếu biểu thức chỉ có các phép cộng trừ hoặc nhân chia ta thựchiện theo thứ tự từ trái sang phải

– Nếu biểu thức có các phép tính cộng trừ nhân chia và phép nânglên lũy thừa cần thực hiện nâng lên lũy thừa trước rồi nhân vàchia cuối cùng đến cộng và trừ

1.6.2 Biểu thức có dấu ngoặc

Nếu biểu thức có cả ngoặc tròn (), ngoặc vuông [], ngoặc nhọn {} tathực hiện các phép tính trong ngoặc tròn trước rồi đến ngoặc vuôngcuối cùng đến ngoặc nhọn

• Nếu số bị trừ chia hết cho một số, số trừ không chia hết cho số đó hoặc

số bị trừ không chia hết cho một số còn số trừ chia hết cho số đó thìhiệu không chia hết cho số đó

1.8 Dấu hiệu chia hết

1.8.1 Dấu hiệu chia hết cho 2

Các số có chữ số tận cùng thuộc {0, 2, 4, 6, 8} thì chia hết cho 2 và chỉ những

số đó mới chia hết cho 2

1.8.2 Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đómới chia hết cho 5

1.8.3 Dấu hiệu chia hết cho 9

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 9

1.8.4 Dấu hiệu chia hết cho 3

Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số

đó mới chia hết cho 3

1.9 Số nguyên tố Hợp số

1.9.1 Ước và bội

• Cho a, b ∈ N nếu a chia hết cho b ta nói b là ước của a hay a là bội của

b Tập hợp tất cả các ước của số a kí hiệu là U (a), tập hợp các bộicủa a kí hiệu là B(a) Tổng quát tập hợp B(a) = {a.k, k ∈ N}

• Cách tìm Ư (a) và B(b)

– Để tìm các ước của a ta thử chia a lần lược cho 1, 2, 3, , a để xem

a chia hết cho số nào thì số đó là ước của a

– Để tìm các bội của a ta nhân a lân lược với 0, 1, 2, 2,

Ghi chú:

• Số 1 là ước của số tự nhiên a bất kì

• Số tự nhiên a 6= 0 là ước của chính số a

• Số không là bội của mọi số tự nhiên

• Không có số nào là ước của số 0

1.9.3 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

• Viết một số dưới dạng tích các thừa số nguyên tố gọi là phân tích số

đó ra thừa số nguyên tố

• Cách phân tích một số ra thừa số nguyên tố: Để phân tích số tự nhiên

a > 1 ra thừa số nguyên tố ta dùng bảng các số nguyên tố Chia a lầnlược cho các số nguyên tố trong bảng từ số nhỏ đến số lớn

Ghi chú: Mọi số tự nhiên là hợp số điều phân tích ra được thừa số nguyên

tố Dù phân tích ra bằng cách nào thì cũng được một kết quả (có thể khácnhau về thứ tự các thừa số)

1.10 Ước chung và bội chung

1.10.1 Ước chung

Số tự nhiên x là ước của số tự nhiên a đồng thời là ước của số tự nhiên b gọi

là ước chung của a và b Tổng quát: Ước chung của hai hay nhiều số là ướccủa tất cả các số đó Kí hiệu ƯC(a, b) là tất cả các ước chung của a và b thì

ƯC(a, b) = {x ∈ N∗|a x, b x}

Ta có ƯC(a, b) = ƯC(a) ∩ ƯC(b)

Tương tự ta có ƯC(a, b, c) = {x ∈ N∗|a x, b x, c x}

Kí hiệu ƯCLN (a, b, c) chỉ ước chung lớn nhất của ba số a, b, c Nếu ƯCLN (a, b) =

1 thì ta bảo a, b nguyên tố cùng nhau

1.10.3 Cách tìm ước chung lớn nhất của a và b

1 Phân tích a và b ra thừa số nguyên tố

2 Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

3 Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất Tích

đó là ƯCLN phải tìm

Tương tự như vậy để tìm ước chung lớn nhất của a, b, c ta cũng phân tích

a, b, c ra thừa số nguyên tố rồi lập tích các thừa số nguyên tố chung lấy với

số mũ nhỏ nhất

Ghi chú: Nếu a chia hết cho b thì ước chung lớn nhất của a, b là b

1.10.4 Cách tìm ước chung của nhiều số bằng tập hợp

các ước của ước chung lớn nhất của chúng

ƯC(a, b) = Ư(ƯCLN (a, b))1.10.5 Bội chung

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó Kí hiệu BC(a, b)

là tập hợp tất cả các bội chung của a, b BC(a, b, c) là tập hợp tất cả các bộichung của a, b, c

Ta có:

BC(a, b) = {x ∈ N|x a và x b}

BC(a, b) = B(a) ∩ B(b)BC(a, b, c) = {x ∈ N|x a, x b và x c}

BC(a, b, c) = B(a) ∩ B(b) ∩ B(c)

1.10.6 Bội chung nhỏ nhất

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số khác 0 nhỏ nhất trong tậphợp các bội chung của các số đó

Kí hiệu:

Bội chung nhỏ nhất a, b là BCN N (a, b)

Bội chung nhỏ nhất a, b, c là BCN N (a, b, c)

BCN N (a, b) là số nhỏ nhất khác 0 của tập BC(a, b)

BCN N (a, b, c) là số nhỏ nhất khác 0 của tập BC(a, b, c)

1.10.7 Cách tìm bội chung nhỏ nhất

Muốn tìm bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số lớn hơn một ta thực hiện

1 Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

2 Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

3 Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất

1.10.8 Tìm tập hợp bội chung của hai hay nhiều số qua

bội chung nhỏ nhất của chúng

Ta có mỗi bội chung của nhiều số là một bội của bội chung nhỏ nhất củachúng

BC(a, b) = B(BCN N (a, b))BC(a, b, c) = B(BCN N (a, b, c))

Chương 2

SỐ NGUYÊN

C ♦ ♦ ♦ B

2.1 Tập hợp số nguyên 20

2.2 Phép cộng các số nguyên 21

2.3 Phép trừ hai số nguyên 22

2.4 Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế 23

2.5 Phép nhân các số nguyên 23

2.6 Bội và ước các số nguyên 24

2.1 Tập hợp số nguyên 2.1.1 Số nguyên Các số:−1, −2, −3, là các số nguyên âm Các số +1, +2, +3, là các số nguyên dương Thường người ta bỏ các dấu + trước các số nguyên dương Số 0 hợp với các số nguyên âm nguyên dương tạo thành tấp hợp số nguyên, kí hiệu là Z ., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3,

2.1.2 Trục số

Lấy một đường thẳng chọn một điểm làm gốc ghi số 0 và một đoạn thẳng làm đơn vị dài của trục Phân chia đường thẳng kể từ gốc 0 thành những

đoạn thẳng bằng nhau bằng đoạn thẳng đơn vị và chọn chiều từ trái sangphải làm chiều dương ta có một trục số

0

Điểm trên trục số cách 0 ba đơn vị biểu diễn số nguyên −3, điểm cách 0 nămđơn vị về bên phải biểu diễn số nguyên +5 Làm tương tự ta có thể biểu diễncác số nguyên trên trục số

Điểm trên trục số biểu diễn số nguyên a gọi là điểm a

2.1.3 Thứ tự trong tập hợp số nguyên

• Trong hai số nguyên khác nhau có một số nhỏ hơn số kia Trên trục sốđiểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b, kíhiệu a < b, khi đó ta cũng nói b lớn hơn a và viết b > a

• Nếu a < b và giữa a và b không có số nguyên nào ta bảo a là số liềntrước b, còn b là số liền sau a

• Ta thấy thứ tự trong tập hợp Z có tính chất bắc cầu, nghĩa là các sốnguyên a, b, c mà

a > b và b > c a > c

a < b và b < c a < c

Từ đó suy ra:

– Một số nguyên dương bất kì lớn hơn mọi số nguyên âm

– Mỗi số nguyên âm thì nhỏ hơn mọi số nguyên dương

2.1.4 Giá trị tuyệt đối của một số nguyên

Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyết đối của sốnguyên a, kí hiệu là |a|

2.2 Phép cộng các số nguyên

2.2.1 Quy tắc cộng số nguyên

• Để cộng hai số nguyên cùng dấu ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúngrồi đặt trước kết quả dấu chung của chúng

• Để cộng hai số nguyên trái dấu ta lấy giá trị tuyệt đối lớn trừ cho giátrị tuyệt đối nhỏ rồi đặt trước hiệu của số nguyên có giá trị tuyệt đốilớn

Ghi chú: Tương tự như đối với các số tự nhiên, với a, b, c là các số nguyên

a + (−a) = 0Đảo lại nếu tổng hai số nguyên bằng 0 thì chúng là hai số đối nhau

số trừ Trong tập hợp N để có hiệu a − b phải có điều kiện a ≥ b, còn trong

Z thì với mọi a, b ∈ Z ta đều có hiệu (a − b) ∈ Z

2.4 Quy tắc dấu ngoặc và quy tắc chuyển vế 2.4.1 Quy tắc dấu ngoặc

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu − đằng trước ta phải đổi dấu tất cả các sốhạng trong ngoặc

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu + đằng trước ta giữ nguyên dấu tất cả các

số hạng trong ngoặc

2.4.2 Tổng đại số

Một dãy các phép toán cộng trừ các số nguyên là một tổng đại số

• Trong một tổng đại số ta có thể đổi chổ một cách tùy ý các số hạngkèm theo dấu của chúng

• Trong một tổng đại số ta có thể đặt thêm dấu ngoặc để nhóm một cáchtùy ý các số hạng với điều kiện nếu trước dấu ngoặc là dấu − thì phảiđổi dấu các số hạng trong dấu ngoặc

2.5.2 Quy tắc nhân hai số nguyên

• a.0 = 0.a = 0

• Nếu a, b là hai số nguyên cùng dấu thì:

a.b = |a|.|b|

• Nếu a, b là hai số nguyên khác dấu thì:

a.b = −(|a|.|b|)

Từ quy tắc nhân suy ra:

• Nếu a.b = 0 thì a = 0 hoặc b = 0

• Khi đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu Khi đổi dấu hai thừa số thìtích không thay đổi

2.5.3 Tính chất của phép nhân

Cho a, b, c ∈ Z thì:

a.b = b.a(a.b).c = a.(b.c)a.1 = 1.a = aa.(b + c) = a.b + a.c

Ghi chú : Các tính chất của phép cộng các số nguyên cũng giống như các tínhchất của phép cộng, phép nhân các số tự nhiên

2.6 Bội và ước các số nguyên

2.6.1 Bội và ước của một số nguyên

Cho a, b ∈ Z trong đó b 6= 0 Nếu có số nguyên q sao cho a = b.q thì ta nói achia hết cho b

2.6.2 Tính chất của phép chia hết

• Tính chất bắc cầu: Với a, b, c ∈ Z nếu a chia hết cho b và b chia hết cho

c thì a chia hết cho c

a b và b c ⇒ a c