Hệ thống kiến thức Toán 6

Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 6 sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó. Series Tự học Toán 6 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo khoa Toán 6 hiện hành

HỆ THỐNG KIẾN THỨC

TOÁN 6 Kiến thức cơ bản

JHSMATH.COM

Lời nói đầu

Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơbản Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 6

Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức vàrèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn

Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao chongắn gọn và rõ ràng

Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướngsuy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bàitoán

Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu k để chỉ song song và kí hiệu ∼ đểchỉ đồng dạng Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiệnhành

Mục lục

1 Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên 5

1.1 Tập hợp Phần tử của tập hợp 5

1.2 Tập hợp các số tự nhiên 6

1.3 Ghi số tự nhiên 6

1.4 Số phần tử của một tập hợp Tập hợp con 6

1.5 Phép cộng và phép nhân 6

1.6 Phép trừ và phép chia 6

1.7 Lũy thừa với số mũ tự nhiên Nhân hai lũy thừa cùng cơ số 7

1.8 Chia hai lũy thừa cùng cơ số 7

1.9 Thứ tự thực hiện các phép tính 7

1.10 Tính chất chia hết của một tổng 8

1.11 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 8

1.11.1 Dấu hiệu chia hết cho 2 8

1.11.2 Dấu hiệu chia hết cho 5 9

1.12 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 9

1.12.1 Dấu hiệu chia hết cho 9 9

1.12.2 Dấu hiệu chia hết cho 3 9

1.13 Ước và bội 9

1.14 Số nguyên tố Hợp số Bảng số nguyên tố 9

1.15 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố 10

1.16 Ước chung và bội chung 10

1.17 Ước chung lớn nhất 10

1.18 Bội chung nhỏ nhất 10

2 Số nguyên 12 2.1 Làm quen với số nguyên âm Tập hợp các số nguyên âm 12

2.2 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên 12

2.3 Cộng hai số nguyên cùng dấu Cộng hai sống nguyên khác dấu 13

2.4 Tính chất của phép cộng các số nguyên 13

2.5 Phép trừ hai số nguyên 13

2.6 Quy tắc dấu ngoặc 13

2.7 Quy tắc chuyển vế 14

2.8 Nhân hai số nguyên khác dấu Nhân hai số nguyên cùng dấu 14

2.9 Tính chất của phép nhân 14

2.10 Bội và ước của một số nguyên 15

3 Phân số 16 3.1 Mở rộng khái niệm phân số 16

3.2 Phân số bằng nhau 16

3.3 Tính chất cơ bản của phân số 16

3.4 Rút gọn phân số 17

3.5 Quy đồng mẫu nhiều phân số 17

3.6 So sánh phân số 17

3.7 Phép cộng phân số Tính chất cơ bản của phép cộng phân số 17

3.8 Phép trừ phân số 18

3.9 Phép nhân phân số Tính chất cơ bản của phép nhân phân số 18

3.10 Phép chia phân số 18

3.11 Hỗn số Số thập phân Phần trăm 18

3.12 Tìm giá trị phân số của một số cho trước 19

3.13 Tìm một số biết giá trị một phân số của nó 19

3.14 Tìm tỉ số của hai số Biểu đồ 19

4 Đoạn thẳng 20 4.1 Điểm Đường thẳng 20

4.2 Ba điểm thẳng hàng 20

4.3 Đường thẳng đi qua hai điểm 21

4.4 Tia 21

4.5 Đoạn thẳng 22

4.6 Độ dài đoạn thẳng Khi nào AM + M B = AB 22

4.7 Vẽ đoạn thẳng cho biết độ dài 22

4.8 Trung điểm của đoạn thẳng 23

5 Góc 24 5.1 Nửa mặt phẳng 24

5.2 Góc 25

5.3 Số đo góc 25

5.4 Khi nào thì dxOy + dyOz = dxOz 26

5.5 Vẽ góc cho biết số đo 27

5.6 Tia phân giác của góc 27

5.7 Đường tròn 28

5.8 Tam giác 28

Chương 1

Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên

1.1 Tập hợp Phần tử của tập hợp 5

1.2 Tập hợp các số tự nhiên 6

1.3 Ghi số tự nhiên 6

1.4 Số phần tử của một tập hợp Tập hợp con 6

1.5 Phép cộng và phép nhân 6

1.6 Phép trừ và phép chia 6

1.7 Lũy thừa với số mũ tự nhiên Nhân hai lũy thừa cùng cơ số 7 1.8 Chia hai lũy thừa cùng cơ số 7

1.9 Thứ tự thực hiện các phép tính 7

1.10 Tính chất chia hết của một tổng 8

1.11 Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5 8

1.12 Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9 9

1.13 Ước và bội 9

1.14 Số nguyên tố Hợp số Bảng số nguyên tố 9

1.15 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố 10

1.16 Ước chung và bội chung 10

1.17 Ước chung lớn nhất 10

1.18 Bội chung nhỏ nhất 10

Trong Toán học để viết một tập hợp thường có hai cách

• Cách 1 liệt kê các phần tử của tập hợp đó

• Cách 2 chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của tập hợp đó

• Cần phân biệt số và chữ số Chẳng hạn số 2010 có bốn chữ số là 2, 0, 1, 0 Khi viếttập hợp các chữ số của số 2010, ta viết {2, 0, 1}

• Cần biết đọc và viết các số La Mã không quá 30, trong đó cần chú ý các số IV = 4,XIV = 14, XXIV = 24, IX = 9, XIX = 19, XXIX = 29

• Một tập hợp có thể có một phần tử, có nhiều phần tử, có vô số phần tử, cũng cóthể không có phần tử nào Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập rỗng và được

– Nếu a.b = 0 thì có ít nhất một trong hai thừa a và b bằng 0

• Giữa phép nhân và phép cộng có tính chất phân phối a.(b + c) = a.b + a.c

• Điều kiện để thực hiện được phép trừ là số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ Điềukiện để có hiệu a − b là a ≥ b

• Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên q sao cho a = b.q.Chẳng hạn 12 chia hết cho 4 vì 12 = 4.3

• Trong phép chia hết ta có Số bị chia = Số chia × Thương

• Trong phép chia có dư Số bị chia = Số chia × Thương + Số dư

a = b.q + r với 0 < r < b

Số chia bao giờ cũng khác không

a gọi là cơ số, n gọi là số mũ

• Định nghĩa trên được áp dụng để

– Tính giá trị của một lũy thừa, chẳng hạn 23 = 2.2.2 = 8

– Viết gọn một tích bằng cách dùng lũy thừa, chẳng hạn a.a.a.a.b.b.b = a4.b3

• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng các số mũ

am.an= am+n

• Chi chia hai lũy thừa cùng cơ số (cơ số khác 0), ta giữ nguyên cơ số và trừ các sốmũ

• Trường hợp biểu thức không có dấu ngoặc

– Nếu chỉ có phép cộng, trừ hoặc phép nhân, chia ta thực hiện phép tính theothứ tự từ trái sang phải

– Chẳng hạn 37 − 21 + 9 = 16 + 9 = 25, 60 : 4.5 = 15.5 = 75

– Nếu có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên lũy thừa, ta thực hiệnphép tính nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân chia, cuối cùng đến cộng vàtrừ

– Chẳng hạn 2.32− 4.3 = 2.9 − 4.3 = 18 − 12 = 6

• Trường hợp biểu thức có dấu ngoặc

– Ta thực hiện phép tính trong dấu ngoặc tròn () trước, rồi thực hiện phép tínhtrong dấu ngoặc vuông [], cuối cùng thực hiện phép tính trong dấu ngoặc nhọn{}

– Chẳng hạn 400 : {2.[50 − (31 − 6)]} = 400 : {2.[50 − 25]} = 400 : {2.25} =

400 : 50 = 8

Nhớ lại định nghĩa về chia hết học ở Phép trừ và phép chia Số tự nhiên a chia hết cho

số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên k sao cho a = bk

a 6 m, b m ⇒ (a − b) 6 m

a m, b 6 m ⇒ (a − b) 6 m

Các số có chữ số tận cùng là chữ số chẵn (tức là các chữ số 0, 2, 4, 6, 8) thì chia hết cho 2

và chỉ những số đó mới chia hết cho 2

1.11.2 Dấu hiệu chia hết cho 5

Các số có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 và chỉ những số đó mới chia hếtcho 5

• Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và chỉ những số đó mớichia hết cho 9

• Chẳng hạn 378 9 vì 3 + 7 + 8 = 18 9 hoặc 253 6 9 vì 2 + 5 + 3 = 10 6 9

• Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3 và chỉ những số đó mớichia hết cho 3

• Số nào chia hết cho 9 thì cũng chia hết cho 3

Nhưng một số chia hết cho 3 có thể không chia hết cho 9, chẳng hạn 15 3 nhưng 15 6 9

1.15 Phân tích một số ra thừa số nguyên tố

• Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạngmột tích các thừa số nguyên tố

• Khi phân tích một số tự nhiên a (lớn hơn 1) ra thừa số nguyên tố Trước hết tathường xét xem a có chia hết cho 2, 3, 5 hay không?

• Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó Chẳng hạn U C(4, 6) ={1, 2}

• Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó Chẳng hạn BC(4, 6) ={0, 12, 24, 36 }

• Giao của hai tập hợp là một tập hợp gồm tất cả các phần tử chung của hai tập hợp

đó Kí hiệu giao của hai tập hợp A và B là A ∩ B

• Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong các ước chung củacác số đó Chẳng hạn U C(4, 6) = {1, 2} suy ra U CLN (4, 6) = 2

• Muốn tìm UCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau

– Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

– Chọn ra các thừa số nguyên tố chung

– Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó Tích

• Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

– Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố

– Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng

– Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó Tích

Chương 2

Số nguyên

2.1 Làm quen với số nguyên âm Tập hợp các số nguyên âm 12

2.2 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên 12

2.3 Cộng hai số nguyên cùng dấu Cộng hai sống nguyên khác dấu 13

2.4 Tính chất của phép cộng các số nguyên 13

2.5 Phép trừ hai số nguyên 13

2.6 Quy tắc dấu ngoặc 13

2.7 Quy tắc chuyển vế 14

2.8 Nhân hai số nguyên khác dấu Nhân hai số nguyên cùng dấu 14 2.9 Tính chất của phép nhân 14

2.10 Bội và ước của một số nguyên 15

2.1 Làm quen với số nguyên âm Tập hợp các số nguyên âm • Bên cạnh các số tự nhiên người ta còn dùng các số nguyên âm Chẳng hạn dùng số nguyên âm để biểu thị nhiệt độ dưới 0oC, độ cao dưới mực nước biển, số tiền nợ Khi đó các số tự nhiên khác 0 được gọi là số nguyên dương • Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương gọi là tập hợp các số nguyên Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là Z Z = { , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, }

2.2 Thứ tự trong tập hợp các số nguyên • Thứ tự trong tập hợp các số nguyên được xác định như sau: khi biểu diễn trên trục số (nằm ngang), nếu điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b Do đó − 4 < −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4

• Để diễn đạt quy tắc so sánh hai số nguyên, quy tắc các phép tính số nguyên, người

ta đưa ra khái niệm giá trị tuyệt đối của một số

• Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của số nguyên

a Kí hiệu là |a|

GTTĐ của số 0 là số 0 Nếu a = 0 thì |a| = 0

GTTĐ của một số nguyên dương là chính nó Nếu a > 0 thì |a| = a

GTTĐ của một số nguyên âm là số đối của nó Nếu a < 0 thì |a| = −a

• Với khái niệm giá trị tuyệt đối, ta có quy tắc so sánh hai số nguyên âm Trong hai

số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn Chẳng hạn

| − 4| < | − 6| nên −4 > −6

nguyên khác dấu

Quy tắc cộng hai số nguyên được xác định như sau

• Nếu một trong hai số bằng 0 thì tổng bằng số kia

• Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác 0

• Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai GTTĐ của chúng rồi đặt dấu − trướckết quả

• Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0

• Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta lấy GTTĐ lớn trừ GTTĐnhỏ, rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có GTTĐ lớn hơn

Có thể diễn đạt gôp hai quy tắc thứ hai và thứ ba như sau: Muốn cộng hai số nguyêncùng dấu, ta cộng hai GTTĐ với nhau còn dấu là dấu chung

Phép cộng các số nguyên có các tính chất sau:

Giao hoán a + b = b + aKết hợp (a + b) + c = a + (b + c)Cộng với số 0 a + 0 = 0 + a = aCộng với số đối a + (−a) = 0

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b ta cộng a cho số đối của b

• Quy tắc dấu ngoặc

– Khi bỏ dấu ngoặc có dấu + đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫngiữ nguyên

a + (b − c + d) = a + b − c + d

– Khi bỏ dấu ngoặc có dấu − đằng trước thì phải đổi dấu tất cả các số hạngtrong dấu ngoặc

a − (b − c + d) = a − b + c − d

• Một dãy các phép tính cộng, trừ các số nguyên được gọi là một tổng đạisố

• Trong một tổng đại số ta có thể

– Thay đổi tùy ý vị trí các số hạng kém theo dấu của chúng

– Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý theo quy tắc dấu ngoặcnêu ở trên

Quy tắc nhân hai số nguyên được xác định như sau

• Nếu một trong hai thừa số bằng 0 thì tích bằng 0

• Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0

• Muốn nhân hai số nguyên âm ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng

• Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng, rồi đặtdấu − trước kết quả

Có thể diễn đạt gộp quy tắc thứ hai và thứ ba như sau: Muốn nhân hai số nguyêncùng dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng, rồi đặt dấu + trước kếtquả

• Phép nhân các số nguyên có các tính chất

Giao hoán a.b = b.aKết hợp (a.b).c = a.(b.c)Nhân với số 1 a.1 = 1.a = aPhân phối của phép nhân đối với phép cộng a.(b + c) = a.b + a.c

• Khi nhân nhiều thừa số khác 0, cần nhớ quy tắc về dấu

– Nếu số thừa số âm là 0, 2, 4, (tức là số thừa số âm chẵn) thì tích là số dương– Nếu số thừa số âm là 1, 3, 5, (tức là số thừa số âm lẻ) thì tích là số âm

2.10 Bội và ước của một số nguyên

• Cho hai số nguyên a và b trong đó b 6= 0 Nếu có số nguyên k sao cho a = bk thì tanói a chia hết cho b Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a

• Trong bài bội và ước của một số nguyên các em cần nhớ các tính chất chia hết sau

* a b và b c ⇒ a c

* a b ⇒ am b (m ∈ Z)

* a c và b c ⇒ (a + b) c

* a b và b 6 c ⇒ (a + b) 6 c

Chương 3

Phân số

3.1 Mở rộng khái niệm phân số 16

3.2 Phân số bằng nhau 16

3.3 Tính chất cơ bản của phân số 16

3.4 Rút gọn phân số 17

3.5 Quy đồng mẫu nhiều phân số 17

3.6 So sánh phân số 17

3.7 Phép cộng phân số Tính chất cơ bản của phép cộng phân số 17 3.8 Phép trừ phân số 18

3.9 Phép nhân phân số Tính chất cơ bản của phép nhân phân số 18 3.10 Phép chia phân số 18

3.11 Hỗn số Số thập phân Phần trăm 18

3.12 Tìm giá trị phân số của một số cho trước 19

3.13 Tìm một số biết giá trị một phân số của nó 19

3.14 Tìm tỉ số của hai số Biểu đồ 19

• Số có dạng a

b với a, b là những số nguyên, b 6= 0 gọi là phân số

• Số nguyên a có thể viết dưới dạng a

1

Hai phân số a

b và

c

d gọi là bằng nhau nếu a.d = b.c

• Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho

a

b = a.m b.m với m ∈ Z và m 6= 0

• Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì

ta được một phân số bằng phân số đã cho

a

b =

a : n

b : n với n ∈ U C(a, b)

• Bất kì phân số nào cũng viết được dưới dạng phân số có mẫu dương

• Mỗi phân số có vô số phân số bằng nó Các phân số bằng nhau là các cách viết khácnhau của cùng một số mà người ta gọi là số hữu tỉ

số tối giản nếu U CLN (|a|, |b|) = 1

Muốn quy đồng mẫu số nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau

• Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN để làm mẫu chung)

• Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)

• Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

• Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

• Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số

có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thìlớn hơn

• Phân số lớn hơn 0 là phân số dương Phân số nhỏ hơn 0 là phân số âm

cộng phân số

• Muốn cộng hai phân số cùng mẫu ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu

• Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu ta viết chúng dưới dạng hai phân số cócùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung

• Phép cộng phân số có các tính chất cơ bản

– Tính chất giao hoán

– Tính chất kết hợp

– Cộng với số 0