Hệ thống hóa kiến thức hình học giải tích

Tài liệu hình học giải tích nhằm giúp cho các bạn học sinh khá giỏi toán, các bạn sinh viên năm nhất chuyên ngành sư phạm toán học một tài liệu tham khảo.Tài liệu này chủ yếu tóm tắt những kiến thức cơ bản về hình học giải tích, gồm sáu chương: vecto các phép toán vecto, hệ tọa độ afin, hệ tọa độ trực chuẩn, phương trình đường thẳng và mặt phẳng trong hệ tọa độ afin...

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP KHOA SƯ PHẠM TOÁN TIN

NGUYỄN MINH NHỰT

HÌNH HỌC GIẢI TÍCH

ĐỒNG THÁP - 06/2017

Mục lục

1.1 Khái niệm vectơ Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 4

1.1.1 Vectơ 4

1.1.2 Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với một số thực 5

1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính 7

1.2 Tích vô hướng của hai vectơ 8

1.2.1 Góc giữa hai vectơ 8

1.2.2 Định nghĩa tích vô hướng 8

1.2.3 Các tính chất của tích vô hướng 9

CHƯƠNG 2 HỆ TỌA ĐỘ AFIN 10 2.1 Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng 10

2.1.1 Mục tiêu afin trong mặt phẳng 10

2.1.2 Đổi tọa độ afin* 11

2.1.3 Tâm tỉ cự 11

2.2 Hệ tọa độ afin trong không gian 12

2.2.1 Định nghĩa 12

2.2.2 Tọa độ afin của vectơ và của điểm trong không gian 12

2.2.3 Đổi tọa độ afin trong không gian* 13

CHƯƠNG 3 HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN 14 3.1 Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng 14

3.1.1 Định nghĩa 14

3.1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực chuẩn 14

3.1.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn* 15

3.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian 15

3.2.1 Định nghĩa 15

3.2.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian 15

3.2.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian* 15

3.2.4 Tích có hướng 15

3.2.5 Tích hỗn hợp của ba vectơ 16

CHƯƠNG 4 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ AFIN 18 4.1 Đường thẳng trong mặt phẳng 18

4.1.1 Phương trình tham số đường thẳng 18

4.1.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng 19

4.1.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng 19

4.1.4 Chùm đường thẳng 19

4.1.5 Nửa mặt phẳng 20

4.2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 20

4.2.1 Phương trình tham số của đường thẳng trong không gian 20

4.2.2 Phương trình tổng quát của đường thẳng trong không gian 21

4.2.3 Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian 21

4.2.4 Mặt phẳng trong không gian 21

4.2.5 Phương trình tham số của mặt phẳng 22

4.2.6 Phương trình tổng quát của mặt phẳng 22

4.2.7 Vị trí tương đối của hai mặt phẳng 23

4.2.8 Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng 23

4.2.9 Chùm mặt phẳng 23

4.2.10 Nửa không gian 24

CHƯƠNG 5 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN 25 5.1 Đường thẳng trong mặt phẳng 25

5.1.1 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng 25

5.1.2 Hình chiếu vuông góc của một điểm trên một đường thẳng 25

5.1.3 Điểm đối xứng của điểm qua đường thẳng 26

5.1.4 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 26

5.1.5 Góc giữa hai đường thẳng 26

5.2 Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian 26

5.2.1 Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 26

5.2.2 Hình chiếu trực giao của một điểm lên một mặt phẳng 26

5.2.3 Điểm đối xứng của điểm qua mặt phẳng 27

5.2.4 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 27

5.2.5 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 27

5.2.6 Góc giữa hai mặt phẳng 27

5.2.7 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian 27

5.2.8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian 28 5.2.9 Khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau 28

CHƯƠNG 6 PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG BẬC HAI, MẶT BẬC HAI TRONG HỆ TỌA ĐỘ AFIN 30 6.1 Đường bậc hai trong mặt phẳng 30

6.1.1 Đường bậc hai 30

6.1.2 Phương trình chính tắc của đường bậc hai 30

6.1.3 Giao của đường bậc hai và đường thẳng 31

6.1.4 Tâm của đường bậc hai 31

6.1.5 Tiếp tuyến của đường bậc hai 32

6.1.6 Phương tiệm cận và đường tiệm cận 32

6.1.7 Đường kính liên hợp 32

6.2 Mặt bậc hai trong không gian 33

6.2.1 Phương trình bậc hai và mặt bậc hai 33

6.2.2 Phương trình chính tắc của mặt bậc hai 33

6.2.3 Giao của mặt bậc hai và đường thẳng 34

6.2.4 Tâm của mặt bậc hai 34

6.2.5 Phương tiệm cận của mặt bậc hai (S) 35

6.2.6 Giao của mặt bậc hai và mặt phẳng 35

6.2.7 Mặt kính liên hợp 35

Chương 1

VECTƠ VÀ CÁC PHÉP TOÁN

VECTƠ

3 ♦ 3 

1.1 Khái niệm vectơ Hệ vectơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính 4

1.1.1 Vectơ 4

1.1.2 Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với một số thực 5

1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính 7

1.2 Tích vô hướng của hai vectơ 8

1.2.1 Góc giữa hai vectơ 8

1.2.2 Định nghĩa tích vô hướng 8

1.2.3 Các tính chất của tích vô hướng 9

phụ thuộc tuyến tính

1.1.1 Vectơ

• Đoạn thẳng AB được sắp thứ tự hai điểm mút được gọi là một vectơ, ký hiệu: −→AB

• Độ dài đoạn thẳng AB được gọi là độ dài hay môđun của vectơ −→AB , ký hiệu: |−→

AB|

• Hai vectơ −→AB và −−→

CD được gọi là hai vectơ cùng phương hay hai vectơ cộng tuyến nếu các đường thẳng AB và CD song song hoặc trùng nhau

• Hai vectơ cùng phương −→AB và −−→

CD gọi là cùng hướng nếu xẩy ra một trong hai trường hợp sau:

– AB song song CD và hai điểm B và D nằm cùng phía đối với đường thẳng AC

• Hai vectơ cùng phương không cùng hướng gọi là hai vectơ ngược hướng

• ~a = ~b nếu cùng hướng và cùng môđun, dễ thấy bằng nhau là một quan hệ tươngđương

(i) ~a = ~a

(ii) ~a = ~b thì ~b = ~a

(iii) ~a = ~b và ~b = ~c thì ~a = ~c

• Đặc biệt vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau gọi là vectơ không, ký hiệu ~0

1.1.2 Phép cộng vectơ - phép nhân vectơ với một số thực

Phép cộng vectơ

Cho ~a,~b là hai vectơ bất kì, khi đó tồn tại một vectơ ~c gọi là tổng của hai vectơ đã cho và

ký hiệu là ~c = ~a +~b được xác định như sau: lấy các điểm A, B, C sao cho−→

Phép nhân vectơ với một số thực

• Phương: Vectơ k~a cùng phương với vectơ ~a

• Hướng:

– Vectơ k~a cùng hướng với vectơ ~a nếu k ≥ 0

– Vectơ k~a ngược hướng với vectơ ~a nếu k < 0

Đặt vectơ trên mặt phẳng (hoặc trong không gian)

Cho ~a và một điểm O bất kì, khi đó tồn tại duy nhất một điểm M sao cho: −−→

1.1.3 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính

Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa

Hệ n vectơ ~a1, ~a2, , ~anđược gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu tìm được các số k1, k2, , knkhông đồng thời bằng 0 sao cho:

k1~1+ k2~2+ · · · + kn~n = ~0(k1~1+ k2~2+ · · · + kn~n được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ ~a1, ~a2, , ~an)

Hệ quả

Hệ hai vectơ ~a,~b ĐLTT khi và chỉ khi chúng không cùng phương (không cộng tuyến)Điều kiện để ba vectơ PTTT hay ĐLTT

Định lí

Ba vectơ PTTT khi và chỉ khi chúng đồng phẳng

Sự PTTT của bốn vectơ trong không gian

Định lí

Bốn vectơ bất kì trong không gian điều phụ thuộc tuyến tính

Phân tích một vectơ theo hai hoặc ba vectơ ĐLTT

d = k~a + l~b + m~c và nói rằng ~d được phân tích một cách duy nhất theo ba vectơ ~a,~b, ~c

1.2.1 Góc giữa hai vectơ

Cho hai vectơ ~a và ~b đều khác ~0 Từ O ta vẽ −→

OA = ~a và −→

OB = ~b Khi đó [AOB được gọi

là góc hợp bởi hai vectơ ~a và ~b, ký hiệu: (~a;~b)

1.2.2 Định nghĩa tích vô hướng

Cho hai vectơ ~a,~b Số thực |~a|.|~b| cos(~a;~b) được gọi là tích vô hướng của hai vectơChú ý:

Tích vô hướng của hai vectơ là một số

• Hai vectơ ~a,~b đều khác vectơ ~0 và cos(~a;~b) = 0

• ~a hoặc ~b hoặc cả hai ~a,~b là ~0

⇒ Hai vectơ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0

1.2.3 Các tính chất của tích vô hướng

Chương 2

HỆ TỌA ĐỘ AFIN

3 ♦ 3 

2.1 Hệ tọa độ afin trong mặt phẳng 10

2.1.1 Mục tiêu afin trong mặt phẳng 10

2.1.2 Đổi tọa độ afin* 11

2.1.3 Tâm tỉ cự 11

2.2 Hệ tọa độ afin trong không gian 12

2.2.1 Định nghĩa 12

2.2.2 Tọa độ afin của vectơ và của điểm trong không gian 12

2.2.3 Đổi tọa độ afin trong không gian* 13

2.1.1 Mục tiêu afin trong mặt phẳng

Định nghĩa

Trong mặt phẳng, chọn một điểm O và hai vectơ không cộng tuyến ~i,~j Khi đó bộ ba (O;~i,~j) được gọi là một mục tiêu afin hay hệ tọa độ afin

• Cặp có thứ tự (~i,~j) gọi là cơ sở vectơ của hệ tọa độ

• Ta cũng kí hiệu mục tiêu đó là Oxy với Ox, Oy là các đường thẳng đi qua O và có vectơ chỉ phương lần lượt là ~i,~j

• Điểm O gọi là gốc tọa độ, các đường thẳng Ox và Oy gọi là các trục tọa độ Ox là trục hoành, Oy là trục tung

~j

~i

Tọa độ vectơ

~u(x; y) ⇔ ~u = (x; y) ⇔ ~u = x~i + y~j

• Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi tọa độ của chúng bằng nhau

~

u = (x; y), ~v = (x0; y0) nếu ~u = ~v ⇔ x = x0

y = y0

• ~u(x; y), ~v(x0; y0) và k ∈ R thì ~u + ~v = (x + x0; y + y0) và k~u = (kx; ky)

• Nếu ~u(x; y) và ~v(x0; y0) là các vectơ khác ~0 và cộng tuyến thì các tọa độ của chúng

tỉ lệ x : x0 = y : y0 hay một cách tương đương

x0 y0

– M (x; y) là trung điểm của A(x1; y1), B(x2; y2)

x = x1+ x2

y1+ y22– M (x; y; z) là trung điểm của A(x1; y1; z1), B(x2; y2; z2)

• Trọng tâm của hệ ba điểm không thẳng hàng A, B, C là trọng tâm của tam giác

k1+ k2+ + kn 6= 0Chia đoạn thẳng theo tỉ số k

k 6= 1Nếu k > 0 ta gọi C là điểm chia ngoài đoạn thẳng AB theo tỉ số k, còn nếu k < 0 ta gọi

C là điểm chia trong của đoạn AB theo tỉ số k

2.2 Hệ tọa độ afin trong không gian

2.2.1 Định nghĩa

Trong không gian cho một điểm O và ~i,~j, ~k không đồng phẳng Khi đó (O;~i,~j, ~k) đượcgọi là một mục tiêu afin hay một hệ tọa độ afin trong không gian

• Điểm O gọi là gốc tọa độ;

• Các bộ ba vectơ (~i;~j; ~k) gọi là một cơ sở vectơ của hệ tọa độ;

• Các đường thẳng Ox, Oy, Oz với các vectơ chỉ phương tương ứng là ~i,~j, ~k gọi là cáctrục tọa độ Ta có kí hiệu hệ tọa độ afin đó là Oxyz

2.2.2 Tọa độ afin của vectơ và của điểm trong không gian

~u = (x; y; z) ⇔ ~u(x; y; z) ⇔ ~u = x~i + y~j + z~k

Chương 3

HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN

3 ♦ 3 

3.1 Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng 14

3.1.1 Định nghĩa 14

3.1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực chuẩn 14 3.1.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn* 15

3.2 Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian 15

3.2.1 Định nghĩa 15

3.2.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian 15

3.2.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian* 15

3.2.4 Tích có hướng 15

3.2.5 Tích hỗn hợp của ba vectơ 16

3.1.1 Định nghĩa

Hệ tọa độ afin (O;~i,~j) có cơ sở vectơ (~i;~j) gồm hai vectơ đơn vị vuông góc với nhau được gọi là hệ tọa độ trực chuẩn

• Hệ tọa độ trực chuẩn còn gọi là hệ Đềcác vuông

~i2 = ~j2 = 1 và ~i.~j = 0

3.1.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng trong hệ tọa độ trực

chuẩn

• ~u(x; y) thì ~u2 = x2+ y2

• M (x; y), N (x0; y0) thì M N =p(x0− x)2+ (y0− y)2

• ~u(x; y), ~v(x0; y0) thì ~u.~v = xx0+ yy0

• ~u(x; y), ~v(x0; y0) là hai vectơ khác ~0 thì góc α tạo bởi hai vectơ đó được tính:

0+ yy0

px2 + y2.px02+ y02

3.1.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn*

3.2.1 Định nghĩa

Hệ tọa độ afin (O;~i,~j, ~k) có cơ sở vectơ (~i;~j; ~k) gồm những vectơ đơn vị và đôi một vuônggóc, tức là ~i2 = ~j2 = ~k2 = 1 và ~i.~j = ~j.~k = ~k.~i = 0 thì mục tiêu đó được gọi là mục tiêutrực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn (còn gọi là hệ Đềcác vuông)

Những tính chất đúng đối với hệ tọa độ afin trong không gian cũng đúng đối với hệ tọa độtrực chuẩn trong không gian Ngược lại hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian có nhữngtính chất riêng không còn đúng trong một hệ tọa độ afin trong không gian bất kì

3.2.2 Biểu thức tọa độ của tích vô hướng đối với hệ tọa độ trực

chuẩn trong không gian

~u(x; y; z), ~v(x0; y0; z0)

• Tích vô hướng: ~u.~v = xx0 + yy0+ zz0

• Độ dài vectơ ~u(x; y; z) : |~u| =px2 + y2+ z2

• Gọi α là góc giữa hai vectơ ~u(x; y; z) và ~v(x0; y0; z0) đều khác vectơ ~0 thì ta có:

• Nếu ~a = ~0 hoặc ~b = ~0 thì [~a;~b] = ~0

• Nếu ~a,~b khác vectơ ~0 thì:

(i) Vectơ [~a;~b] vuông góc với ~a và ~b tức là [~a;~b].~a = [~a;~b].~b = 0

(ii) Bộ ba (~a;~b; ~u) cùng hướng với bộ ba cơ sở vectơ (~i;~j; ~k) của hệ mục tiệu trựcchuẩn (O;~i,~j, ~k)

(iii) |[~a;~b]| = |~a||~b| sin(~a;~b)

• [~a;~b + ~c] = [~a;~b] + [~a; ~c]

Biểu thức tọa độ của tích có hướng

~

u(x; y; z), ~v(x0; y0; z0)

[~u; ~v] =



x0 y0



Các hệ quả suy ra từ định nghĩa

• (~a;~b; ~c) = (~b; ~c; ~a) = (~c; ~a;~b)

x0 y0 z0

x00 y00 z00

s

y2− y1 z2− z1

y3− y1 z3− z1

... 3

HỆ TỌA ĐỘ TRỰC CHUẨN

♦ 

3.1 Hệ tọa độ trực chuẩn mặt phẳng 14

3.1.1 Định nghĩa 14

3.1.2 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng hệ tọa độ... chuẩn 14 3.1.3 Đổi hệ tọa độ trực chuẩn* 15

3.2 Hệ tọa độ trực chuẩn không gian 15

3.2.1 Định nghĩa 15

3.2.2 Biểu thức tọa độ tích vơ hướng hệ tọa độ trực chuẩn... tiêu gọi mục tiêutrực chuẩn hay hệ tọa độ trực chuẩn (cịn gọi hệ Đềcác vng)

Những tính chất hệ tọa độ afin không gian hệ tọa độtrực chuẩn không gian Ngược lại hệ tọa độ trực chuẩn khơng gian