Hệ thống kiến thức Toán 9

Mong muốn nắm vững kiến thức về Toán để học khá và học giỏi môn Toán là nguyện vọng của nhiều học sinh. Series Tự học Toán 9 này sẽ giúp các em thực hiện mong muốn đó. Series Tự học Toán 9 được viết theo từng bài tương ứng với chương trình và Sách giáo khoa Toán 9 hiện hành

HỆ THỐNG KIẾN THỨC TOÁN 9

KIẾN THỨC CƠ BẢN

JHSMATH.COM

Lời nói đầu

Tuy nhiên do thời gian có hạn nên trong tài liệu này chỉ trình bày phần Kiến thức cơbản Ba phần còn lại các em có thể xem trực tuyến tại Series Tự học Toán 9

Ngoài ra còn có các ví dụ minh họa ở mức nâng cao giúp các em đào sâu kiến thức vàrèn luyện kĩ năng ở mức độ cao hơn

Trong series này các ví dụ giải mẫu giúp các em biết cách trình bày bài toán sao chongắn gọn và rõ ràng

Ở một số ví dụ có những lưu ý về phương pháp giải toán giúp các em định hướngsuy luận, trau dồi phương pháp và kinh nghiệm giải Toán, mở rộng thêm hiểu biết về bàitoán

Trong phạm vi của series này sẽ sử dụng kí hiệu k để chỉ song song và kí hiệu ∼ đểchỉ đồng dạng Các kí hiệu khác sử dụng giống như trong sách giáo khoa Toán THCS hiệnhành

Mục lục

Chương 1

Căn bậc hai Căn bậc ba

1.1 Căn bậc hai 6

1.2 Căn bậc hai và hằng đẳng thức √ A2= |A| 6

1.3 Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương 7

1.4 Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương 7

1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai 7

1.6 Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai 8

1.7 Căn bậc ba 8

• Số x gọi là căn bậc hai của số a nếu x2 = a

• Số 9 có hai căn bậc hai là 3 và −3 Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0

bình phương của nó bằng a

x2 = a

• Với a và b không âm để so sánh √a và √

b ta so sánh a và b

a < b ⇔√

a√ b

• Ta có √a2 = |a| tức là

√

a2 = a nếu a ≥ 0

−a nếu a < 0

• Cần phân biệt√a2 với (√

a)2 Khi viết √

a2 thì a có thể là số âm còn khi viết (√

a)2thì a phải là số không âm

• Điều kiện xác định hay có nghĩa của √a là a ≥ 0

• Cách giải các bất phương trình dạng |x| ≤ a và |x| ≥ a với a > 0 như sau

Với a ≥ 0 và b > 0 ta cór a

√a

√b

|b|

Ta thường nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu Chú ý ba dạng sau

a

√b

√b1

1.6 Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

Để rút gọn được biểu thức chứa căn thức bậc hai ta cần chú ý đến

• Rút gọn biểu thức bằng cách phân tích tử và mẫu thành nhân tử

• Sử dụng các phép biến đổi đơn giản căn thức bậc hai để làm xuất hiện những cănthức đồng dạng

ab = √3

a.√3b– r a3

3

√a

3

√

b với b 6= 0

Chương 2

Hàm số bậc nhất

2.1 Nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số 9

2.2 Hàm số bậc nhất Đồ thị của hàm số y = ax + b với a 6= 0 9

2.3 Đường thẳng và đường thẳng cắt nhau 10

2.4 Hệ số góc của đường thẳng y = ax + b với a 6= 0 10

Cho hàm số y = f (x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R

• Nếu x1 < x2 mà f (x1) < f (x2) thì hàm số y = f (x) đồng biến trên R

• Nếu x1 < x2 mà f (x1) > f (x2) thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên R

Cho hai đường thẳng

(d) y = ax + b với a 6= 0(d0) y = a0x + b0 với a0 6= 0

Chương 3

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

3.1 Phương trình bậc nhất hai ẩn 11

3.2 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 11

3.3 Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 12

3.4 Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 12

• Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng ax + by = c Trong đó a, b, c

là những số đã biết và a 6= 0 hoặc b 6= 0 tức là a và b không đồng thời bằng 0

• Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn là cặp giá trị (x, y) của hai ẩn thỏa mãn phương trình

• Tập nghiệm của phương trình ax + by = c biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là một đường thẳng

– Nếu a 6= 0, b 6= 0 thì đường thẳng đó là đồ thị của hàm số bậc nhất y = −a

bx+

c b – Nếu a = 0, b 6= 0 thì đường thẳng đó là đồ thị của hàm số bậc nhất y = c

b đó

là đường thẳng vuông góc với trục tung

– Nếu a 6= 0, b 6= 0 thì đường thẳng đó là đồ thị của hàm số bậc nhất y = c

a đó

a không phải là hàm số

• Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn

 ax + by = c

a0x + b0y = c0 (I) Nghiệm của hệ phương trình là cặp số (x0, y0) nghiệm đúng cả hai phương trình của hệ

• Số nghiệm của hệ (I) là số điểm chung của hai đường thẳng

• Hệ hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm

• Biểu thị một ẩn chẳng hạn x theo ẩn kia từ một phương trình

• Thế biểu thức của x vào phương trình kia rồi tìm giá trị của y

• Thay giá trị tìm được của y vào biểu thức của x để tìm giá trị của x Nghiệm của

hệ phương trình là cặp số (x, y) vừa tìm được

• Biến đổi để các hệ số của một ẩn chẳng hạn x có giá trị tuyệt đối bằng nhau

• Cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để khử ẩn x

• Giải phương trình để tìm giá trị của y

• Thay giá trị đó của y vào một phương trình để tìm giá trị của x Nghiệm của hệphương trình là cặp số (x, y) vừa tìm được

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bước 1 Lập hệ phương trình

• Chọn hai đại lượng chưa biết làm ẩn Ghi rõ đơn vị và điều kiện của ẩn

• Biểu thị các đại lượng chưa biết khác theo các ẩn

• Lập hệ hai phương trình diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượngBước 2 Giải hệ phương trình

Bước 3 Nhận định kết quả tức là đối chiếu với điều kiện và trả lời

Chương 4

Hàm số y = ax 2 với a 6= 0 Phương

trình bậc hai một ẩn

4.1 Hàm số y = ax2 với a 6= 0 và đồ thị của nó 14

4.2 Phương trình bậc hai một ẩn Công thức nghiệm của phương trình bậc hai 15

4.3 Hệ thức Vi-ét và ứng dụng 15

4.4 Phương trình quy về phương trình bậc hai 16

4.5 Giải bài toán bằng cách lập phương trình 17

• Hàm số y = ax2

với a 6= 0 xác định với mọi giá trị của x thuộc R Hàm số đó có các tính chất sau

– Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0 Với mọi

x 6= 0 thì y > 0 với x = 0 thì y = 0 Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 0 – Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0 Với mọi

x 6= 0 thì y < 0 với x = 0 thì y = 0 Giá trị lớn nhất của hàm số là y = 0

• Đồ thị của hàm số y = ax2 với a 6= 0 là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O – Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành O là điểm thấp nhất của đồ thị

– Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành O là điểm cao nhất của đồ thị

• Lưu ý ba nội dung của đồ thị hàm số y = ax2 với a 6= 0

– Vị trí của đồ thị với góc tọa độ

– Vị trí của đồ thị với trục tung

– Vị trí của đồ thị với trục hoành

của phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2+ bx + c = 0 trong đó x là ẩn

a, b, c4 là các số cho trước với a 6= 0

Đưa về phương trình dạng ax2 = m hoặc phương trình tích

Cách 2 Đưa về phương trình tích a(x + m)(x + n) = 0

Cách 3 Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai

4.3.2 Áp dụng hệ thức Vi-ét để tính nhẩm nghiệm của phương

• Nếu có hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phươngtrình x2− Sx + P = 0

• Điều kiện để có hai số đó là S2− 4P > 0

• Ở bài hệ thức Vi-ét và ứng dụng ta đã biết cho phương trình ax2 + bx + c = 0 nếu

a + b + c = 0 thì 1 là một nghiệm của phương trình còn nếu a + c = b thì −1 là mộtnghiêm của phương trình

• Tổng quát cho phương trình f (x) = 0 trong đó f (x) là một đa thức với biến x

– Nếu tổng các hệ số của f (x) bằng 0 thì 1 là một nghiệm của phương trình

f (x) = 0

– Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn của f (x) bằng tổng các hệ số củacác hạng tử bậc lẻ của f (x) thì −1 là một nghiệm của phương trình f (x) = 0

Khử mẫu với điều kiện mẫu khác 0

• Dùng ẩn phụ đặt căn thức chứa ẩn bằng y

• Bình phương hai vế của phương trình có điều kiện kèm theo

Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình bậc hai một ẩn

Bước 1 Lập phương trình

• Chọn một đại lượng chưa biết làm ẩn Ghi rõ đơn vị và điều kiện của ẩn

• Biểu thị các đại lượng chưa biết khác theo ẩn

• Lập phương trình bậc hai diễn đạt sự tương quan giữa các đại lượng

Bước 2 Giải phương trình

Bước 3 Nhận định kết quả và trả lời

Chương 5

Hệ thức lượng trong tam giác vuông

5.1 Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông 18

5.2 Tỉ số lượng giác của góc nhọn 18

5.3 Bảng lượng giác và máy tính bỏ túi 19

5.4 Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông 19

5.5 Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc nhọn 20

giác vuông

Cho tam giác ABC vuông tại A đường cao AH Ngoài định lí Py-ta-go và hệ thức bc = ah

đã biết Cần nhớ thêm các hệ thức sau

h2 = 1

b2 + 1

c2

• Với mọi tam giác vuông có cùng góc nhọn α mỗi tỉ số bên dưới đều không đổi

Ta gọi các tỉ số trên theo thứ tự là sin α, cos α, tan α, cot α

• Quan hệ giữa các tỉ số lượng giác

tan α = sin α

cos αsin α

• Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

Nếu bB + bC = 90o thì sin B = cos C, tan B = cot C

• Tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt

• Khi α tăng thì sin α và tan α tăng, cos α và cot α giảm

• Biết dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi giải hai bài toán

– Cho số đo α Tìm sin α, cos α, tan α, cot α

– Cho sin α hoặc cos α hoặc tan α hoặc cot α Tìm số đo α

vuông

Trong một tam giác vuông

• Cạnh góc vuông = Cạnh huyền × sin góc đối = Cạnh huyền × cos góc kề

• Cạnh góc vuông = Cạnh góc vuông kia × tan góc đối = Cạnh góc vuông kia × cotgóc kề

5.5 Ứng dụng thực tế các tỉ số lượng giác của góc

nhọn

Trong thực tế của cuộc sống tỉ số lượng giác của góc nhọn có rất nhiều ứng dụng có thể

kể ra một vài ứng dụng thường gặp nhất như tính chiều cao, tính khoảng cách,

Chương 6

Đường tròn

6.1 Sự xác định đường tròn Tính chất đối xứng của đường tròn 21

6.2 Đường kính và dây của đường tròn 22

6.3 Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây 22

6.4 Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Dấu hiệu

nhận biết tiếp tuyến của đường tròn 22

6.5 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau 23

6.6 Vị trí tương đối của hai đường tròn 23

• Qua ba điểm không thẳng hàng ta vẽ được một và chỉ một đường tròn

• Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác là giao điểm ba đường trung trực củatam giác đó

– Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác vuông là trung điểm của cạnhhuyền

– Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp nó thìtam giác đó là tam giác vuông

• Đường tròn là hình có tâm đối xứng và có trục đối xứng Tâm của đường tròn làtâm đối xứng của đường tròn đó Bất kì đường kính nào cũng là trục đối xứng củađường tròn

6.2 Đường kính và dây của đường tròn

Trong các dây của một đường tròn dây lớn nhất là đường kính

• Trong một đường tròn đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểmcủa dây ấy

• Trong một đường tròn đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi quatâm thì vuông góc với dây ấy

• Trong một đường tròn

– Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm

– Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau

• Trong hai dây của một đường tròn

– Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn

– Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính

đi qua tiếp điểm

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi quađiểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn

6.5 Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

• Cho hai tiếp tuyến AB và AC của đường tròn (O) Ta có AB = AC

– AO là tia phân giác của góc BAC

– OA là tia phân giác của góc BOC

• Đường tròn nội tiếp một tam giác là đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác

đó khi đó tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn

• Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác cácgóc trong của tam giác

• Nếu hai đường tròn cắt nhau thì hai giao điểm đối xứng với nhau qua đường nốitâm tức đường nối tâm là đường trung trực của dây chung

• Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm

Chương 7

Góc với đường tròn

7.1 Góc ở tâm Số đo cung 24

7.2 Liên hệ giữa cung và dây 25

7.3 Góc nội tiếp 25

7.4 Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây 25

7.5 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn 26

7.6 Cung chứa góc 26

7.7 Tứ giác nội tiếp 26

7.8 Đường tròn ngoại tiếp Đường tròn nội tiếp 27

7.9 Độ dài đường tròn, cung tròn 27

7.10 Diện tích hình tròn Hình quạt tròn 27

• Góc ở tâm là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn

_

AmB= α, sd

_

• Số đo của nửa đường tròn bằng 180o

• Nếu C là một điểm nằm trên cung AB thì sd AB= sd_ AC +sd_ CB_

7.2 Liên hệ giữa cung và dây

• Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau– Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau và ngược lại

– Cung lớn hơn căng dây lớn hơn và ngược lại

• Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau

• Trong một đường tròn

– Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm củadây căng cung ấy Đường kính đi qua trung điếm của một dây không phải làđường kính thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy

– Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căngcung ấy và ngược lại

• Các góc nội tiếp bằng nhau thì các cung bị chắn bằng nhau

• Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

• Góc nội tiếp nhỏ hơn hoặc bằng 90o có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùngchắn một cung

• Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

7.5 Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn Góc có đỉnh

ở bên ngoài đường tròn

• Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

• Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

Cung chứa góc α (0o < α < 180o) dựng trên đoạn thẳng AB là cung với mọi điểm Mthuộc cung đó ta đều có \AM B = α

Nếu một tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc

α thì bốn đỉnh của tứ giác đó nằm trên cùng một đường tròn

Quỹ tích các điểm nhìn một đoạn thẳng cho trước dưới một góc α không đổi là hai cungchứa góc α dựng trên đoạn thẳng đó (0o < α < 180o)

Đặc biệt quỹ tích các điểm nhìn đoạn thẳng AB cho trước dưới một góc vuông là đườngtròn đường kính AB

Tứ giác nội tiếp đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn

Trong một tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối bằng 180o

• Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm

• Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc bằngnhau

• Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o

• Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện

• Đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của một đa giác gọi là đường tròn ngoại tiếp đagiác còn đa giác gọi là đa giác nội tiếp đường tròn

• Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh của một đa giác gọi là đường tròn nội tiếp

đa giác còn đa giác gọi là đa giác ngoại tiếp đường tròn

• Bất kì đa giác đều nào cũng có một và chỉ một đường tròn ngoại tiếp, có một vàchỉ một đường tròn nội tiếp Tâm của hai đường tròn đó trùng nhau và gọi là tâmcủa đa giác đều

• Công thức tính độ dài đường tròn (chu vi hình tròn) bán kính R đường kính d

• Với hình trụ có bán kính đáy r và chiều cao h ta có

– Diện tích xung quanh bằng Sxq = 2πrh

– Diện tích xung quanh bằng Sxq = πrl