Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính dưới dạng tích phân xác định

Nghi¾mcnaphươngtrìnhviphântuyentínhquacácphépbienđoitích phân...19 2.2.1... Lídochonđetài Phươngtrìnhviphânlàm®tchuyênngànhcnaGiáitíchtoánhoc,đóngvaitròquantrongtrongkhoahockythu¾t,v¾tlí

Sinhviên

PhamT h % Trang

Sinhviên

PhamT h % Trang

Mnclnc

Máđau 2

Chương1.KIENTHÚCCHUANB± 5

1.1 Kháini¾mtongquanvephươngtrìnhviphân 5

1.1.1 Cáckháini¾mc ơ bán 5

1.1.2 BàitoánCauchy 6

1.1.3 Nghi¾mtongquát 6

1.2 Đ%nhlýtontaiduynhatnghi¾mcnaphươngtrìnhviphân 8 1.3 Lýthuyettongquátvephươngtrìnhviphântuyentính 8

1.3.1 M®ts o kháini¾mc ơ bán 8

1.3.2 Snphuthu®ctuyentínhvàđ®cl¾ptuyentínhcnacáchàm 10

1.3.3 Cautrúcnghi¾mcna phươngtrìnhviphântuyentính 11

Chương2.NGHIfiMCÚAPHƯƠNGT R Ì N H VIPHÂNTU YENTÍNHDƯéIDANGTÍCH PHÂN 17

2.1 M®tsonguyênlýtongquan 17

2.2 Nghi¾mcnaphươngtrìnhviphântuyentínhquacácphépbienđoitích phân 19

2.2.1 BienđoiLaplace 19

2.2.2 NhânK(x,t)cnabienđoitíchphân 26

2.2.3 BienđoiMellin 33

2.2.4 Nghi¾mxácđ % n h b ói tíchphânkép 37

Ketlu¾n 43

Tàili¾uthamkháo 44

1 Lídochonđetài

Phươngtrìnhviphânlàm®tchuyênngànhcnaGiáitíchtoánhoc,đóngvaitròquantrongtrongkhoahockythu¾t,v¾tlí,kinhtevànhieulĩnhvnckhác.Phươngtrìnhviphânđơngián

dy

y r (x)=

dx

thehi¾nmoiquanh¾giuam®tđailưongbienthiênliêntucđưocbieudienbanghàmvóiđ®bienthiêncnađailưongđóđưocbieudienbangđaohàmb¾cnhatcnanó(ho¾cđaohàmcapcaohơn).Đoivóicácphươngtrìnhthôngthưòng,nghi¾mlàm®tgiátr

%sothncho¾csophúc.Tuynhiên,đoivóicácphươngtrìnhviphânnghi¾mlàm®thocáchàm,sail¾chbangm®thangsonàođó,đưocxácđ

%nhtưòngminhkhicóthêmđieuki¾nđauho¾cđieuki¾nbiên

Nghi¾mtongquátc n a phươngtrìnhviphântuyentínhlàtongc n a nghi¾mtongquátcnaphươngtrìnhviphântuyentínhthuannhattươngúngvóim®tnghi

¾mriêngcnaphươngtrìnhđó.Chođennay,ngưòitađãđưarađưocphươngphápxâydnngh¾nghi¾mtongquátcnaphươngtrìnhviphântuyentínhvóih¾sohangso.Tuynhiênđoivóiphươngtrìnhviphântuyentínhmàh¾sokhôngpháilàhangsothìvi¾ctìmnghi¾mcnanócòng¾ppháinhungkhókhănnhatđ

%nh.Changhannhư

%nhhưóngcnaTS.NguyenVănHàonênemđãchonđetài“Nghi¾mcíaph ươngtrìnhviphântuyentínhdưáidangtíchphânxácđ

%nh”nhamnghiêncúum®túngdungcnaphéptínhtíchphântrongvi¾ctìm

nghi¾mcnaphươngtrìnhviphântuyentính,gópthêmm®tcôngcuhuuíchtìmnghi¾mđoivóiphươngtrìnhviphânthưòng

Khóalu¾nđưocbocucthànhhaichương

Chương1.Trìnhbàym®tsokháini¾mtongquanvephươngtrìnhviphân;đ

%nhlýtontaivàduynhatnghi¾mcnaphươngtrìnhviphân;lýthuyettongquátvephươngtrìnhviphântuyentính

Chương2.C h ư ơ n g nàylàn®idungchínhcnakhóalu¾n.éđâyem trìnhbày

m®tsophươngpháptìmnghi¾mcnaphươngtrìnhviphândưóidangtíchphânxácđ

%nhthôngquacácphépbienđoinhưbienđoiLaplace,bienđoiEuler,bienđoiMellin.

2 Mncđíchvànhi¾mvnnghiêncNu

Trìnhbàym®tsophươngpháptìmnghi¾mcnaphươngtrìnhviphântuyentínhdưóidangtíchphânxácđ%nh

3 ĐoitưangvàphamvinghiêncNu

Bóivìnghi¾mcnaphươngtrìnhđưocchodưóidangtíchphânxácđ

%nh,nênđieuki¾ncanthietliênquanđenvanđenàypháikeđencácphépbienđoitíchphân

Nghiêncúum®tphươngpháptìmnghi¾mcnaphươngtrìnhviphântuyentính.Tuynhiên,dokhuônkhoyêucauđoivóim®tkhóalu¾ntotnghi¾p,nênemchítrìnhbàyvanđetrongphamvitìmnghi¾mdưóidangtíchphânxácđ%nh

4 PhươngphápnghiêncNu

Tìmkiemtàili¾u,phântích,tonghopvàxinýkienđ

%nhhưóngcnangưòihưóngdan

Chương1 KIENTHÚCCHUANB±

1.1 Kháini¾mtongquanvephươngtrìnhviphân

1.1.1 Cáckháini¾mcơbán

Phươngtrìnhviphânlàm®tphươngtrìnhchúahàmcantìmvàcácđaohàmcnanó.Neuhàmcantìmchíphuthu®cm®tbienđ®cl¾p,thìphươngtrìnhđóđưocgoilàphươngtrìnhviphânthưònggoitatlàphươngtrìnhviphân.Neuhàmcantìmphuthu®chaiho¾cnhieubienđ®cl¾pthìphươngtrìnhđưocgoilàphươngtrìnhviphânđaohàmriênggoitatlàphươngtrìnhđaohàmriêng

0 0

−

1.2 Đ

%nhlýtontaiduynhatnghi¾mcúaphươngtrìnhviphân

Đoivóiphươngtrìnhviphân,vi¾cnghiêncúuvevanđetontaivàduynhatnghi¾mlàkháphúctap.Dưóiđây,chúngtôichíphátbieuketquáchotrưònghoptongquát

Đ%nhlý1.1.(Tontaiduynhatnghi¾m)Chophươngtrìnhviphâncap

ndangchínhtac

y (n)=

f.x,y,y r , ,y (n−1). Neuvepháicúaphươngtrìnhtrênlàm®thàmliêntnccúan+1bien

%nhthúcWronskicnacáchàmy1,y2, ,y m trênkhoáng(a,b).

Bođe1.1.Neucáchàmy1,y2, ,y m phnthu®ctuyentínhthìW(x)=0

vóimoix∈(a,b).

Bođe1.2.C h o c á c hàmy1,y2, ,y m xácđ

∈ (a,b).

x x

λx2e λxx , ,y (n)=

λx n e λxx

Thayvàophươngtrình(1.8)tađưoc

n a phươngtrình(1.8).ĐathúcP n (λx)goilàđathúcđ¾ctrưngcnaphươngtrình

(1.8).Đexâydnngđưoch¾nghi¾mcơbáncnaphươngtrìnhviphântuyentínhvóih¾sohangso,tacanm®tsobođesau

Bođe1.3.Neuλx1,λx2, ,λx m làcácnghi¾m khácnhaucúaphươngtrình

e αx sin

βx, ,x m−1 e αx sin

βx là2mnghi¾mriêngđ®cl¾ptuyentínhcúaphươngtrình(1.8).

* Nghi¾mtongquátcíaphươngtrìnhviphântuyentínhkhôngth uannhat

Phươngtrìnhviphântuyentínhkhôngthuannhatcóh¾so hanglàphươngtrìnhcódang

¾mtongquátcnaphươngtrìnhthuannhattươngúng.Vanđenàyđãđưoctachúngminhtrongphanđ%nhlýcautrúcnghi¾mtongquát

*P h ư ơ n g trìnhviphântuyentínhkhôngthuannhath¾sohangso vepháicódangđ¾cbi¾t

thúcb¾cncnax.

*Neuαkhônglànghi¾mcnaphươngtrìnhđ¾ctrưng,thìtacóthetìm

nghi¾mriêngdưóidang

n

x

trongđómoihàmf k (x)códangtrongdang1vàdang2.Trưóchettatìmnghi¾ mriêngy˜ kcn aphươngtrình

Chương2 NGHIfi CÚAPHƯƠNGT R Ì N H VIPHÂNT

L x (K)= M t (K), (2.3)

{ }

vM t (u)

[t(t+1)uv].

dt

1

[P{K,v}] t=β =0.

Tathayrangtùdangson g tuyentính(bieuthúcP (u,v)làtuyentính

đongnhattrongu,u r , ,u (n−1) ,cũngnhưtrongv,v r , ,v (n−1) ,đưocgoilàsongtuy

entính)cóthexácđ%nhcáchangsoC1,C2, ,C m ,αvàβđev (t),v r (t), ,v (m−1)

(t) tri¾ttiêukhit =αvàt=β.Trưònghopnàykhôngxáyratrùkhiαvàβlànhungđie

%nhcóthelànghi¾mtongquátcònnhungtrưònghopkhácchílànghi¾mriêng

c) Bieud i e n d ư á i d a n g tíchp h â n xácđ % n h c í a h à m Bessel

d.

+G

H dz

thìvetráicnaphươngtrìnhlàbieuthúcliênhopcnavepháicnaphươngtrình(2.9),neuc á c gióihanc n a tíchphânđưocchonthíchhop,thìphươngtrìnhđãchocóm®tnghi¾mcóthebieudiendưóidangtíchphânxácđ%nh

a) BienđoiEuler

M®tvíduthưòngg¾pcnaloainhânđưocnóiđentrongphantrưóclà

K (x−t)=(x−t) −v−1

¸

=C M t, (x−t) p+µ−1,v (t)dt.

α

2

d t

Vìv¾ytrongtrưònghopnàyp =1,vàphươngtrìnhM t (u)=0tróthành

n ∂ v .

∂x

x n

∞ a ( a + 1) ( a + r 1) Γ( b + r ) .

%nhvóimoix,nhưngbosungchosn

xácđ%nhnàytacancóđieuki¾nhancheđoivóibvàc.

Tacóthethayđoiđưòngtíchphânđetíchphântaothànhm®tnghi¾mđ®cl¾pcnaphươngtrìnhviphân

2.2.4 Nghi¾mxácđ%nhbáitíchphânkép

a) Kháini¾m

Trongnhieutrưònghop,vi¾ctìmm®ttíchphânxácđ%nhthóamãn

phươngtrìnhviphântuyentínhđãchocódang(2.1)khôngthnchi¾nđưoc.K h iđóchúngtac ó thegiáibàitoánbangcáchs ú dungm®ttíchphânb®i.Changhan,m®tphươngphápnhưv¾ydnatrênbienđoiLaplacekhôngthnchi¾nđưoctrùkhiphươngtrìnhđưocbienđoilàcap1vàphươngtrìnhđưocgiáicóđieuki¾nhanchethíchhop.Trongphannàychúngtasetrìnhbàym®tphươngphápbieudiennghi¾mcnam®tphươngtrìnhviphânbóim®ttíchphânkép,vàtrìnhbàym®tvíducuthe.

%nh.Giásúphéplayviphân dưóidautíchphânxác đ%nhđoivóix,khiđó

K

ưocthaythebangm®tc¾pphươngtrìnhviphânthưòngcap1là

α +β=0,γds dt +δ=0, óđóα,βlàhàmsocnas,γvàδlàhàmsocnat.

Trongtrưònghopthúhai,giásúω(s,t)đãxácđ

%nh,vi¾ccònlailàchonmienlaytíchphânsaochotíchphântrong(2.14)tontaivàbieuthúc[P{K,ω}]tri¾ttiêu

Vídn2.3.Xétphươngtrình

d2y

L(y

)1)

dx2

− −

12

d s

d t

ncnanólàe xst ,đưocgoiýtùnhâncnaLaplacee xt.Trongtrưònghopnàytacó

.1.1a b

1b+1.Γ2

1.b

2 x4+···

4!

1a+2.Γ2

Trênđâylàtoànb®n®idungcnakhóalu¾ntotnghi¾p“Nghi¾mcíaphư ơngtrìnhv i p h â n tuyentínhd ư á i d a n g tíchp h â n xácđ

%nh”.Nhungn®idungchínhtronglu¾nvănlà

1 Trưóchetchúngtôih¾thonghóam®tsokienthúccơbánvelýthuyetphươngtrìnhviphân;Đ

%nhlýtontaivàduynhatnghi¾mcnaphươngtrìnhviphân;Tongquanvephươngtrìnhviphântuyentínhvàvi¾ctìmnghi¾mcnaphươngtrìnhviphântuyentínhvóih¾sohangso.Đólànhungvanđecanthietchovi¾ctrìnhbàyn®idungchínhcnakhóalu¾n

2 Ketquánghiêncúucơbáncnakhoálu¾nlàvi¾ctrìnhbàyphươngpháptìmnghi¾mcnaphươngtrìnhviphântuyentínhdưóidangtíchphânxácđ

%nh.Vanđequantrongnhattrongkhoálu¾nlàcácbienđoitíchphânnhư:bienđoiLaplace;bienđoiEuler;bienđoiMellin

Dolanđaulàmquenvóiphươngphápnghiêncúukhoahocnênlu¾nvăncnaemkhôngtránhkhóinhungthieusót,ratmongnh¾nđưocýkienđónggópcnacácthaycôgiáovàcácbansinhviênđeemcóthehoànthi¾nlu¾nvănnàyvàcóthenghiêncúuómúcđ®sâuhơn

Emxinchânthànhcámơn!

[1]E.A.Coddington, tions,DoverPublications,Inc,NewYork(1989).

AnIntroductiontoOrdinaryDifferentialEqua-[2]W.Hundsdorfer,

OrdinaryDifferentialEquations,RadboudUniver-s i t e i t Nijmegen(2009)