Áp dụng thặng dư cauchy tính một số dạng tích phân

Trongquátrìnhlàmkhóalu n,tôiận đãkếthừanhữngthànht uự c aủa cácnhàkhoahọcvớisựtrântr ngọ vàbi tế ơnn.. Khaitri nển chuỗilũythừac aủa hàmch nhỉnh hình...22 1.6.. Khaitri nển chuỗilũythừac

CAOT H Ị LIÊN

ÁPDỤNGCỦATHẶNGDƯCAUCHYTÍ

NHMỘTSỐDẠNGTÍCHPHÂN

KHÓALUẬNT Ố T NGHIỆPChuyênngành:Toángiảitích

HàNội- 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

CAO THỊ LIÊN

ÁP DỤNG CỦA THẶNG DƯ CAUCHY TÍNH MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

Chuyên ngành: Toán giải tích

Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HÀO

Hà Nội - 2013

Em xinchânthànhc mảm ơn sựgiúpđ c an ỡcủa ủa cácthầygiáo,côgiáotổ

Gi iảm tíchkhoaToánvàcácb nạn sinhviên.Đ cặc bi t,ệt, emxinbàytỏlòngbiế

t nơn s â u s cắc c aủa m ì n h t iớ T S NguyễnVănHàođãt nận t ì n h g i ú p đỡcủae

m trongquátrìnhhoànthànhkhóalu nận t tnghi pốtnghiệp ệt,

L nầ đ uầ được thựch i nc ệt, c ô n g t á c n g h i ê n cứuk h o a họcnênk h o á l u ận

n khôngt r á n h k h iỏ nhữngh nạn chếvàt h i uế s ó t Tácg i ảm x i n chânt h à

n h c mảm ơn nhữngý k i nn ế đóngg ó p c aủa c á c th yầ g i á o , c ô g i á o vàc á c bn

ạn sinhviên

Hà Nội,tháng05 năm2013

Tácgiả

CaoThịLiên

Tôix i n c a m đ o a n , dướ ự ướ d nis h ng ẫ c aủa T S NguyễnVănHào,k h

ó a

l u nận t tốtnghiệp n g h i pệt, "Ápdụngcủathặngd ư Cauchytínhmộtsốd ạ n g tí

chp h â n " đ ược h o à n thành,khôngt r ùn g v i c ớ b tất k ỳ k hó a lu nận nàokhác

Trongquátrìnhlàmkhóalu n,tôiận đãkếthừanhữngthànht uự c aủa cácnhàkhoahọcvớisựtrântr ngọ vàbi tế ơnn

Hà Nội,tháng05 năm2013

Tácgiả

CaoThịLiên

Mởđầu 3

Chương1.Mộtsốkiếnthứcchuẩnbị 6

1.1 Sốtnghiệpphứcvàm tặc ph ngphẳngph ức 6

1.1.1 Kháiniệmvềsốphức 6

1.1.2 Cácphéptoántrêntậphợpsốphức 6

1.2 Hàmch nhỉnh hình 7

1.3 Chuỗilũythừa 11

1.4 Tíchphânc aủa hàmbi nế phức 16

1.5 Khaitri nển chuỗilũythừac aủa hàmch nhỉnh hình 22

1.6 Khaitri nển chuỗilũythừac aủa m tột sốtnghiệphàm sơnc pất 24

Chương2.L ý thuyếtchuỗi,lýthuyếtthặngd ư 25

2.1 Chu iỗ Taylor 25

2.2 ChuỗiLaurentz 27

2.3 Lýthuyếtth ngặc dư 31

2.3.1 Khôngđiểmvàcựcđiểm 31

2.3.2 Cáchtínhthặngdư 34

Chương3.Ápd ụ n g củ athặngd ư Cauchytínhmộtsốdạngtíchphân38 3.1 Tíchphânc aủa cáchàm lượcnggiác 38

3.2 Tíchphânsuyr ngột c aủa hàm hữutỷ 41

3.3 Cáctíchphâncócựcn mằm trêntr cục thực 49

3.4 Tíchphânc aủa hàmrẽ nhánh 51Kếtluận 55Tàiliệuthamkhảo 56

1 Lýd o chọnđ ề tài.G i ả i tíchph cứ l à m t t r o n gột nh ngữ n g à n h c ổ đin

ển c aủa toánh cọ ,lýthuyếtnàyđược b tc ắc ngu nồn từkho ngảm thểnkỷ19vàthm

ận chícóth làs mển ớ h nơn trướ đó.M tc ột s nhàốtnghiệp toánh cọ n iti ngổ ế nghiêncứulĩnhv cự nàyph iảm kểnđ nnhế ưEuler,Gauss,Riemann,Cauchy,Weierstrass, Tớithếkỷ20-

21,đâylàmộtttrongnh nữ glĩnhvựcđangpháttri nển r tất m nhạn t iớ vi cệt, nghiênc uứ trongcáckhônggianvôh nạn chi uều Ngoàixuhướ mởr ngng ột trênđây,ngườ tacũngr ti ất quatâmt iớ k h í a c nhạn ứngd ngc anóục ủa trongtoán

h cọ cũngnhưcácngànhkhoah cọ khácvà ngd ngứ ục trongth cự t ế M tột trongnh ng ngd ngữ ứ ục cótínhn iổ b tận tronggiaiđo nạn đươn đ ing ạn ph iảm kểnđ nế là:Lýthuyếtc aủa ánhxạnb oảm giáctrongcơnkhí; ngd ngỨngdụng ục trongđ ngột l cự ph cứ fractalvàlýthuyếtdây,

Nhữngkếtquảmmang

tínhđ tột phác aủa lýthuyếttíchphânhàmbi nế phứcđược dựatrênm tc ột nguyênlýquantr ngọ cótínhc tốtnghiệp yếu.ĐólàlýthuyếttíchphânCauchy.Cũngt ừ l ý thuyếtnàym à c á c nhàt o á n họcxâydựngnênm tlýột thuyếtđẹpđẽtronggii

ảm

tíchphức-lýthuyếtth ngặc dư.Trênc ơn sởđóm à chúngt a c ó được cáchnhìnm i n h b chc ạnvềudángđ i uệt, c aủa m tột hàmt iạn cáccựcđi mển c aủa nó

Lýthuyếtt h n gặc dưl à m tột c ô n g c q u a nục t r n gọ đểnn g h i ê n cứub nảm chất

tc aủa c á c đ i mển k ỳ d ị Nhữngứngd ngục b a n đ uầ c aủa l ý thuyếtt h n gặc dưdùngđểnt í n h m tột l pớ khár n g c á cột tíchphânm à đ ô i khit a khôngt h ển g ii

ảm quyếtđược khisửd ngc ục c á c phươnngphápt h ô n g t hư ờn g ,đ cặc b i tệt, khimàhàmdướid uất tíchphâncód ngạn b tthất ường

B iở t mầ quantr ngọ c ađ nhủa ị lýth ngặc dưCauchyvàđược s hc ự ướ d nng ẫ c aủa T

S NguyễnVănHào,e m đãch nọ đềut à i "Ápdụngcủathặngd ư Cauchytín

hm ộ t sốd ạ n g tíchp h â n "đểnhoànthànhkhóalu nận t tốtnghiệp nghi pệt, hệt,đà

ot o cạn ửnhânchuyênngànhToánh cọ

C uất trúcc ađủa ềutà i được bốtnghiệpc cc ục thành bachươnng

Chương1.Tácg i ảm t r ì n h bàym tột sốtnghiệpk i nế thứcc ă n b nảm vềusốtnghiệpphứcvàm ặc

t ph ngphẳngph ức,h à m ch nhỉnh hình,tíchphânc aủa h à m b i nế phức,k h a i t r i nểnchuỗil ũ y thừac aủa h à m ch nhỉnh hìnhvàk h a i t r i nển chuỗil ũ y thừac aủa m tộtsốtnghiệphàmsơnc p.ất

Chương2.Chươnngnàygiành chovi cệt, trìnhbàym tột sốtnghiệpki nế thứcquant r

n g

ọ vềulýthuyếtth ngặc dưCauchy.Ph nầ đ uầ chươnng,chúngtôiđưaram ột

t sốtnghiệpk h á i n i mệt, vàc á c kếtquảmc ă n b nảm vềuc á c chuỗiTaylorvàchuỗiLaurentzliênquanđếnvi cệt, nghiên cứuth ngặc dư.Quađây,chúngtasẽth yất đượccsự n hảm hưởngc aủa c á c chuỗit i đ c t í n hớ ặc c aủa m tột h à m Ti pế t h e o , chúngtôitrìnhbàykháini mệt, th ngặc dưvàm tột s cáchốtnghiệp tínhth ngặc dưc aủa mộtthàm.Côngthứcth ngặc dưđược đưaraởcu ic ốtnghiệp chươnngnh mằm ph cục v ục chov ic

ệt, t r ì n h bàyc á c ứngd ngc ađ nhục ủa ị l ý t h n gặc dưCauchyt r o n g chươnng3

Chương3.Chúngt ô i t r ì n h bàym tột sốtnghiệpứngd ngc ađ nhục ủa ị l ý t h n gặc dưCauchyđểnt í n h : Tíchphânc aủa c á c h à m lư ợcn gg i á c ; tíchphânsuyr n gột c aủa hàmhữut ;ỷ cáctíchphâncócựcn mằm trêntr cục thực;tíchphânc aủa h à m rẽnhánh

2 Mụcđíchvànhiệmvụnghiêncứu

- Nghiêncứusự n hảm hưởngc aủa c á c l o iạn đi mển k ỳ dị.c ô l pận t iớ đ cặc t í n h ca

ủa m t h à m ,ột vấtnđềut h n gặc dưCauchy

- Nghiêncứuứngd ngc ađ nhục ủa ị l ý t h n gặc dưCauchyt r o n g c á c vấtnđềusau:

T í n h tíchphânlư ợcn gg i á c ; t í n h tíchphânvôh nạn c aủa h à m hữutỷ,h à mđacựctrêntr cục thựcvàm tột sốtnghiệphàmphứct pạn h nơn nữa

3 Đốitượngvàphạmvinghiêncứu

- Nghiêncứuvềuđ cặc tr ngư c aủa đi mển kỳd c aị ủa hàm ch nhỉnh hình

- Nghiêncứul ý thuyếtt h n gặc dư

- Nghiêncứum tột sốtnghiệpứngd ngc ađ nhục ủa ị l ý thuyếtt h n gặc dưCauchy

4 Phươngphápnghiêncứu

Đọct à i l i u ,ệt, phântích,sosánh,t n gổ hợcp

Chương1 Mộts ố ki ế n thứcchuẩnbị

M tột cáchtự nhiên,n gư ờ t a g ii ọ Oxlàt r c ục thực,Oylàt r c o ục ảm

Phépc n gột vàphépnhânc á c sốtnghiệpphứcđược thựch i nc ệt, m tột cácht h ô n g thườngnhưcácphéptoántrênt ph pận ợc sốtnghiệpthựcvớil uư ýr ngằm i2=−1.Tac ó

z1+z2= (x1+x2)+i(y1+y2)và

z1.z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=x1x2+ix1y2+iy1x2+i2y1y2

=(x1x2−y1y2)+(x1y2+y1x2)

1.1.2 Cácphéptoántrêntậphợpsốphức

+Tínhchấttgiaohoán

z1+z2= z2+z1;z1.z2= z2.z1

Cho hàmph cứ f(z)xácđ nhị trênt p mận ởΩ.Hàmf(z)đượcg iọ là

hàmch nhỉnh hìnht i đi mạn ển z0∈Ωnếut n t iồn ạn gi i h nớ ạn c aủa bi uển th cứ

f(z0+h)−f(z0)

h

r

ởđóz+hv i ớ z0+h∈Ω.Gi i ới h ntrênạn được kýhi uc ệt, b iở f(z0)vàg iọ

làđ oạn hàmc aủa hàmf(z)tạiđi m ển z0.Nhưvậny,tacó

Hàmf(z)gọilàch nhỉnh hìnhtrênΩnếunóch nhỉnh hìnht iạn m iọ đi mển c aủa Ω N uế

Mlàt pận đóngc aủa C,tanóiflàch nh ỉnh hìnhtrênMnếufchỉnhhìnhtrênm tột tpm

ận ởnàođóch aứ M.HàmfchỉnhhìnhtrênCđượcg iọ làhàmnguyên

Từđ ó , t a suyr a đathứcP (z)=a0+a1z +

+a n z n−1.Điềuuđóđược suyrat m nhc ừ ệt, đều1.1đướiđây.

g

r

f

g f gr − f g r

g2

vậny,dướ ạnid ngc aủa cácbi nế th cự hàmf(z)= z¯tươnngứngvớiánhx ạn

F : (x,y)›→(x,

−y)khảv i t h e o n g h ĩ a c aủa h à m h a i b i nế thực.Đạnoh à m c anủa ót iạn m tột đ

i mlàánhển xạntuyếntínhđược chob ic ở đ nhthị

ứcJaco-bianc aủa n ó , m a t r nận 2×2cácđ oạn h à m r i ê n g c aủa c á c h à m t aọ đ ột Nhớ

l iạn r ngẳngph hàmF(x,y)=(u(x,y),v(x,y))đượcg iọ làkhảmvit iạn m tột đi mển P(x

0,y0)nếut nồn t iạn phépb i nế đ iổ tuyếntính J:R2→R2s a ocho

+Trướ hếtkhihlàsốtnghiệpth cc ự ,t cứ làh=h1+ih2m à h2= 0,(h i ∈ R).

Thếthì,n uế tavi tế z=x+iy,z0= x0+iy0vàf(z)=f(x,y)thìta

àsốtnghiệpphứcthu nầ t ú

y o ,ảm t cứ l à h =i

h2.B n gằm l pận l un

=

i

∂ y

(z0)

.

(1.5)

d ngục bt

ất đẳngphngthứ

ốtnghiệp quan hệt,khôngtm

∂ y

Mệnhđề1

2.Nếufchỉn

hhìnhtạiz0, thì

∂ z

∂u

∂z(

z0).

Cũngvậy, nếuviếtF(

x,y)=f(z), thìFk h ả vi theonghĩa củahàmh aibiếnth ựcvà

r det()..

0

ợc xéttronggi iảm tíchthực.Chuỗinàyh iột tụctuyệt,tđ iốtnghiệp vớim iọ z∈C.Đ thển ất

yđược đi uc ều đó,tal uư ýr ngằm

z n.

| z | n

.n1.≤n !

ủa ócóthểnnh nận được b ngc ằm cáchl yất đ oạn hàmtừngsốtnghiệph ngạn c aủa chuỗi.Dođó

Trướchếtt a nh nận x é t r n gằm nếuchuỗi( 1 8)hộit ục t iạn đ i mển z0nàođ ó , t

h ì nócũngh itột ụctuyệt,tđ iốtnghiệp t iạn m iọ ztrongđĩa|z|<|

z0|.Bâygi ,ờ tasẽchứngminhluônt nồn t iạn m tột đĩamởmàtrênđóchuỗi(1.8

Theonguyênlýtrùm tận c aủa t pận sốtnghiệpth cự ch nọ được ε>0đủnhỏsaochoc

|z|L<|z|L+ε|z|<1.

Địnhlý1.3.Chuỗilũythừaf(z)= a

n z n xác địnhmộthàmchỉnh

n=0

hìnhtrongđĩahộitụcủanó.Đạohàmcủafcũnglàmộtchuỗilũythừa

n =N+1 |

a n |.nr

−

Ởđót a đãsửd ngục |z0|<rvà| z0+h|

<r.B i uển thứcở vếph iảm l à ph nầ dưc aủa m tột chuỗih iột t ,ục b iở vìghộitụctuyệt,

tđ iốtnghiệp trên|z|<R.Dođ ó , vớim i .E ọ ε >0tồnt i ạn N1saochovớim iọ n≥N1tac ó

c aủa nó,nênv iớ m iỗ N≥ max{N1,N2}cốđ nhị thìtacóthểntìmđược δ>c

M tột hàmfxácđ nhị m tt pột ận conmởΩđượcg iọ làgi iảm tích(ho cặc cókhai

∞

tri nển lũyth a)ừ t iđi mạn ển z0∈Ωnếut nồn t iạn chuỗilũythừa

tâmt iạn z0vớibánkínhh iột tụcdươnngsaocho

1.4 Tíchphâncủahàmbiến phức

M tột trongnhữngcôngcụcquantr ngọ đểnnghiêncứuc aủa cáchàmch nhỉnh hìnhl à tíchphânc aủa h à m dọct h e o đườngc o n g Trướct i ê n , chúngt a t r ì n

h bàym tột sốtnghiệpkháini mệt, đườngcongvàmi n.ều

Đườngc o n g t h a m sốtnghiệpl à m tột h à m z(t)ánhx ạn đ o n ạn [a,b]R vàom tặc

ột đườngcongγ⊂Cđượcg iọ là nhảm c aủa đo nạn [a,b]quazvớihướngchob i ở zkh

itchạy từađếnb.Chúngtacóthểnxácđ nhđị ườngc o n g γ−thuđược từđườngc

congγbằngvi cệt, đ iổ ngược hướng.Nhưm tc ột d ngạn thamsốtnghiệphóađ cbi tđ iặc ệt, ốtnghiệp

vớiγ−,chúngtacóthểnl yất z:[a,b]→R2x ácđ nhị b iở

z(t)=z(b +a−t).

Cácđ i mển z(a)vàz(b)đượcg iọ l à c á c đ i mển đ uầ mútc ađủa ườngc o n g Bi

ở vìγđượcđ nhhị ướngb iở phươnngtrìnhthamsốtnghiệpz:

[a,b]→Cvớitchạytừađếnb,nênm tột cáchtựnhiêng iọ z(a)làđi mđ uển ầ

vàz(b)là

đi mển cu iốtnghiệp c ađủa ườngcong

M tột đườngcongtr nơn ho cặc tr nơn từngkhúcđược g ic ọ làđóngnếuz(a)=

z(b)vớithamsốtnghiệphóab tất kỳc aủa nó

M tột đườngcongtr nho cơn ặc tr nơn từngkhúcđược g ic ọ làđ nơn nếunókhông

cóđi mển tực t,ắc nghĩalàz(s)ƒ=z(t)trừkhis=t.Đườ congđ nng ơn ,đóngg iọ làchutuy nế

T pận D⊂Cđượcg iọ làm tột mi nều nếuth aỏ mãnhaiđi uều ki nệt, sauđây

(i) Dlàt pận m ở

(ii) Vớim iọ a,b∈Dt n ồn t iạn đườngcongliênt cục L⊂Dn i ối avàb.

Mi nều gi iớ h nạn b iở chutuy nế γđượckýhi ulàệt, D γ.Mi nều Dđượcg iọ l à m

i nều đ nơn liênn uvế ớ m ii ọ chutuy nế γ⊂Dthìtađ u ều cóD γ⊂ D.M nều thuđưc

ợc từmi nều đ nơn liênDsaukhibỏđinmiềnD γ 1, D γ 2, ,D γnkhônggiaonhaun mằm tro

ngDđượcg iọ làmi nều

(n+1)-liên(khikhôngc nầ phânbi tệt, rõ,chúngtag iọ chunglàmi nều đaliên)

Quyư ớ c G ọ i chiềuudươnngc aủa b i ê n c aủa m i nều D l à chiềuuđidọct h e o b i

ê n t h ì m i nều được x é t n mc ắc vềuphíataytr ái , chiềuuc ó hướngngược l ic ạn l à chiềuuâm.Đ iốtnghiệp vớimi nều Dđượcxétngườ tathườngkýhi ui ệt, ∂Dcũngl à biên

c anủa ól yất theochiềuudươnng,∂D−l àbiênl yất theohướngâm

Địnhnghĩa1.1.C h o đườngcongtr nơn γtrongCđượcthamsốtnghiệphóab iở phư

Từc ô n g thứct r ê n đâychot a th ytíchất phânc aủa h à m b i nế phứct r ê n đư

ờngcongγđượchi uển nhưt ngổ c aủa haitíchphânđường.Từtínhch tất c aủa tíchphânđường,chúngtadễdàngnh nận được cáctínhch tc ất sauc aủa tíchphânhàm

f (ζ)

ζ−z dζ.

Chứngminh.Giảsửγlàchutuy nế tùyývâyquanhđi mển z0s a o choD γ ⊂D

.Ch nọ ρđủbésaochođĩađóngS(z0,ρ) tâmz0bánkính ρ ch a ứa trongD γ K ý h

i uệt, C ρ làbi ê n c a ủa đĩa S(z0,ρ) vàD γ,ρ =D γ \ S(z0,ρ)

Trườngh pợc fliênt c ục trênDvàfchỉnhhìnhtrênDthìtacóthểnthay

∂Dch oγtrongchứngminhtrênvành nận được kếtquảmmongmuốtnghiệpn.c

Địnhlý1.6

(CôngthứctíchphânCauchyđốivớiđạohàm)N ế u f làhàmchỉnhhìnhtron

gmộtmiềnDthìfkhảvivôhạnlầntrongD.Hơnnữa,nếuγlàchutuyếnnằmtro ngD,thì

f (n)

(z0)= n!¸ f(z)

dz; z D.

2πi γ (z−z0)n+1

Chứngminh.Tachứngminhcôngthứcb ngphằm épquyn pạn theon.Trườ

ngh pợc n=0,theocôngthứctíchphânCauchychúngtanh nận được đ i uc ều phi

Bâygiờvớihđủnhỏsaochoz0+h∈D γ,thươnngviphânđ iốtnghiệp vớihàm

f (n−1),được chob ic ở côngth cứ

.ξ

−z0

=Dođó

z−z0

, ξ−z0

chuỗih iột tụcđềuuvớim iọ ξ∈C ρ.Đi uều đóchophéptal ytíchất phântừng

z n +

n

Chương2 Lýthuyếtchuỗi,l ý thuyếtthặngdư

làchu iTỗ aylorc aủa hàmf(z)theolũyth ac a ừ ủa z−z0.Khiz0=0thìchu iỗ (2.5

)đượcg iọ làchu iỗ Maclaurin

Địnhlý2.1.Nếuhàmfchỉnhhìnhtronghìnhtròn|z−z0|<Rthì

vớimọiz

∈S(z0, R).

∞

f (z)=.

n=1

f (n) (z0)

n! (z−z0)n;

B iở chuỗi(2.8)hộitụcđềuut iớ hàmch nhỉnh hìnhf(z)nêncách sệt, ốtnghiệpc anủa óđược tíc

|c −n|1

2πic k=

γr0 (z−z0

)k+1dz.

f (η)

dη η−z

1 ¸

=

2πi

+ r r

(z−z0)

f (η)

.1− η− z 0

f (η)

f (η) (z−z0)n+1dη.(z−z0)n

Đi mển kỳd c aị ủa m tột hàmph cứ flàm tột s ph cốtnghiệp ứ z0saochofchỉnhhìnhtr on g l

ânc nận c aủa đi mển z0t r ừz0.Chúngtacũngg iọ nh ngữ đi mển đólàđ i mển kỳdị.côl p.ận Vídục,hàmfchỉxácđ nhị trênm tặc ph ngtẳngph h ngủa b iở f (z)=zthìg cốtnghiệp là

đi mkỳd ển ị Tuynhiên,b ngằm cáchđ tặc f(0)=0thìtháctri nển nh nận được làhàcmliênt cục vàdođónh ngữ đi mển nhưvậnyđượcc

g iọ làcácđi mển kỳdị.bỏđược Trườngh pc ợc c aủa hàmg(z)=1,

m h(z)tiếnt i ớ vôcựckhiz d ầ n đến0 trênt r cục thực

dươnng,t r o n g khih(z)tiếnt i ớ 0 khiz d ầ n đến0 trênt r c ục thựcâ m vàh(z)d

aođộtngr tất nhanh,nhưngvẫnbị.ch n,ặc khizdầnđến0trêntr cục ảmo

Đi mển kỳd thị ườngx u tất h i nệt, b iở m uẫ sốtnghiệpc aphânủa sốtnghiệptri tệt, t i ê u nênchúngt

a b tắc đ uầ vớim tột n g h i ê n cứuđ aị phươnngc á c khôngđ i mển c aủa h à m chnh

ỉnh hình

S ph cốtnghiệp ứ z0làkhôngđi mển đ iốtnghiệp v iớ hàmch nhỉnh hìnhfnếuf(z0)=0.Đ cặc

bi t,ệt, tháctri nển ch nhỉnh hìnhchothấtyr ngằm khôngđi mển c aủa h à m ch nhỉnh hìnhkhôngt mầ thườ làcôl p.ng ận Nóicáchkhác,n uế flàch nhỉnh hìnht r o n g

Dv àf(z0)=0v iớ z0∈Dnàođó,thìt nồn t iạn m tột lânc nận mởU

Chúngt a b tắc đ uầ b ngằm v i cệt, m ô t ảm t í n h đ aị phươnngc aủa c á c h à m ch nhỉnhhìnhg nm tầ ột khôngđi mển c aủa nó

Địnhlý2.4.Giảs ử f l à m ộ t h à m c h ỉ n h h ì n h trongm ộ t m i ề n D,cóm ộ t

khôngđiểmtạiđiểmz0∈Dvàkhôngđồngnhấtbằngkhôngtrong

D.Thếthì,tồntạimộtlâncậnUc ủ a z0trongD,mộthàmchỉnhhìnhgkhô ngđồngnhấttriệttiêutrênUvàmộtsốnguyêndươngduynhấtksaocho

f(z)=(z−z0)k g(z); ∀z∈U.

Chứngminh.V ì D l i ê n t h ô n g vàf khôngđồnngnh t ất 0 trongD nênf kh

ôngđồnngnh tất 0 trongm tột l â n c nận đ nhủa ỏc aủa z0.Trongđĩađ nhủa ỏt â m t iạn

ởđógđượcxácđ nhị b iở chuỗilũythừatrongngo cặc vàdođóch nhỉnh hìnhvàkhôn

gđâutri tệt, tiêuvớit tcất ảmzgầnz0(vìa kƒ=0).Bâygiờchúngt a

sẽchứngtỏtínhduynh tc aất ủa s nguyốtnghiệp ênk.Giảmsửr ngằm chúngtacòncót h ển v

Trongtrườngh pợc c ađ nhủa ị lýtrênta nó i fcókhôngđi mển b cận k(hoặc

b iột k)t iạn đi mển z0.N uế khôngđ i mển l à b cận m t ,ột chúngta n ó i r n gằm z0làkhôngđ i mển đơnn.Chúngt a nh nận x é t r n gằm vềum tặc đ nhị lư ợcn g ,b cận c aủa khôngđi mển môt m cảm ứ độtm à t iạn đóhàmtri tệt, tiêu

Bâygiờchúngtacóthểnmôtảmchínhxáccáclo i đi mạn ển kỳdị.quahàm1

f (z)= h(z)

.

(z−z0)k

S nguyốtnghiệp êndươnngktrongđ nh ị lý2.5.đượcg ilàọ b cận (ho cặc b iột )c acủa ựcđ i ển

m vànóm ô t ảm tốtnghiệpcđộtt ă n g c aủa h à m khiz t i ế n g nầ t iớ z0.N uế cựcđ i mển l

àb cm tận ột chúngtag iọ nólàcựcđi mển đơnn

Ti pế theo chúngta sẽn ó i vềuk h a i tri nển chuỗilũy thừac aủa m tột hàmt iạn cựcđi m.ển