Phương pháp tính gần đúng tích phân

SinhviênNgu yễnThịNgân LờicảmơnLờ icamđoanMụ clục Mụclục Lờinóiđầu...1 Chương1:Cáckiến thứcchuẩnbị...2 A... Đặcbiệttacóðsn =nðsv iới nnguyêndương 1.2.4 Saisốcủathươngu=x y ,y≠0... Ngườit

Lờicảmơn

TrongsuốtthờigianhọctậptạiKhoaToán–

TrườngĐạihọcSưPhạmHàNội2,đượcsựdạydỗvàchỉbảotậntìnhcủacácthầygiáo,côgiáo,emđãtiếpthuđượcnhiềut r i t h ứ c khoah ọ c , kinhnghiệmv à phươngpháphọctậpmới,bướcđầulàmquenvớiviệcnghiêncứukhoahọc

Quađây,emxinchânthànhcảmơntoànthểcácthầygiáo,côgiáotrongK h

oa Toán–

nhữngngườiđãgiúpđỡ,c h ă m lovàdìudắtchúngemtrưởngthànhnhưhômnay.Đặcbiệt,emx i n g ử i lờic ả m ơ n c h â n thànhvàsâusắcnhấtt ớ i thầy:Ti

ếnsỹNguyễnVănHùng,ngườiđãtrựctiếphướngdẫn,chỉbảovàđónggópnhiề

uýkiếnquýbáutrongsuốtthờigianemthựchiệnkhóalu ận này

SinhviênNguyễnThịNgân

Khóaluậncủaemđượch o à n thànhdướisựhướngdẫncủat h ầ y g i á o Ng uyễnVănHùngcùngvớisựcốgắngcủabảnthânemtrongquátrìnhnghiêncứuv àthựchiệnkhóaluận,e m cót h a m khảot à i liệucủamộtsốtácgiả(đãnêutrong mụctàiliệuthamkhảo)

Emxincamđoannhữngkếtquảtrongkhóaluậnlàkếtquảnghiênc ứ u của bảnthân,khôngtrùngvớikếtquảcủatácgiảkhác

Nếusaiemxinhoàntoànchịutráchnhiệm

SinhviênNgu yễnThịNgân

LờicảmơnLờ

icamđoanMụ

clục

Mụclục

Lờinóiđầu 1

Chương1:Cáckiến thứcchuẩnbị 2

A SAISỐ 2

1.1 Sốgần đúngvàsaisố 2

1.2 Cácquytắctínhsaisố 3

1.3 Saisốtínhtoánvàsaisốphươngpháp 5

B ĐATHỨCNỘISUY 5

1.4 ĐathứcnộisuyLagrange 7

C TÍCHPHÂN 14

1.5 Tích phân 14

Chương2:Giảigầnđúngtíchphân 16

2.1 Mởđầu 16

2.2 Côngthức hìnhthang 16

2.3 CôngthứcSimpson 21

2.4 CôngthứcNewton–Cotes 27

2.5 CôngthứcChebysev 31

2.6 CôngthứcGauss 34

2.7 GiảigầnđúngtíchphânbộibằngphươngphápMonte–Carlo 38

Chương3:Ứngdụng 41

Kếtluận 49

Tàiliệuthamkhảo 50

Toánhọcbắtđầutừnhucầugiảiquyếtcácbàitoáncónguồngốct ừ thực tiễn.Cùngvớithờigian, toán họcngàycàngp h á t triểnv à chiathànhh a i lĩnhvực:T o á n họcl ý thuyếtv à toánhọcứngdụng.Khin ó i đ ế n toánhọcứngdụngkhôngthểkhôngnhắcđếnGiảitíchsố

h,ngườitađãđềxuấtnhữngphươngpháph ữ u hiệuxửlíhệlớn,thưanhưkĩthuậtnémmatrận,kĩthuậttiềnxửlímatrận…

Trongthựctế,nhiềukhitaphảitínhtíchphânxácđịnhcủahàmsốkhikhôngbiếtnguyênhàmcủanó,nếudùngđịnhnghĩathìđộchínhxácđ ạ t đượckhôngcaomàvẫnphảithựchiệnmộtkhốilượngtínhtoánlớn.Ngoàira,trongnhiềutrườnghợp,hàmsốchỉđượcchodướidạngbảngn ê n kháiniệmnguyênhàmtrởnênvô

nghĩa.Tuynhiên,Giảitíchsốđãc u n g cấpchochúngtanhữngphươngphápđ

ơngiảnnhấtđểtínhđượcg ầ n đúngtíchphânxácđịnhmàđộchínhxáckhôngkémbaonhiêu

1.1.3 Cáchviếtsốgầnđúnga,

Chữsốcónghĩa

Chữsốcónghĩalàtấtcảcácchữsốkháckhông,kểcảsốkhôngnếunókẹpgiữahaichữsốkháckhônghoặcnóđạidiệnchohàngđượcgiữlại

Chẳnghạn0,000014060cónămchữsốcónghĩalà1;4;0;6;0.b,Chữs ốđángtin

Mọichữsốthậpphânxđềucóthểbiểudiễndướidạng

px=±) αs.10ss=p–qtrongđóαslànhữngsốnguyêntừ0đến9

Gọixlàchữsốgầnđúngcủax∗v iớisaisốtuyệtđối∆s.Thếthìαs

Takíhiệu∆1,∆2,∆3làcácsốgiacủax;y;u.

dx,dy,dulàcácviphâncủax;y;u.

∆s,∆y,∆ulàcácsaisốtuyệtđốicủax;y;u.

∆2≤∆y.Taphảitìm∆uđểcó|∆3|≤∆u

1.2.2 Saisốcủatổngu=x+y

Tacó∆3=∆1+∆2s uy ra∆3≤|∆1|+|∆2|n ê n ∆3≤∆s+∆y

Tachọn∆s+y=∆s+∆yđểcó|∆3|≤∆u

Dođótacóquytắc:Saisốtuyệtđốicủamộttổngbằngtổngcács a i sốtuyệtđốicủacácsốhạng

1.2.3 Saisốcủatíchu= xy

Tacó∆u≈du=ydx+xdy≈y∆1+x∆2

Suyra|∆3|≤|y||∆1|+|x||∆2|≤|y|∆s+|x|∆y

Suyra∆u=|y|∆s+|x|∆y

∆u |y|∆s+|x|∆y ∆

s ∆yDođóðu=

|u|= |x||y|

=

|x|+|y|=ðs+ðyTứclàðsy= ðu= ðs+ðy

Vậysaisốtươngđốicủamộttíchbằngtổngcácsaisốtươngđốic ủ a cácthừasốcủatích

Đặcbiệttacóð(sn )=nðsv iới nnguyêndương

1.2.4 Saisốcủathươngu=x

y ,y≠0

Tươngtựnhưtrườnghợptíchtacóquytắc:Saisốtươngđốicủamộtthươngbằngtổngcácsaisốtươngđốicủacácsốhạng:ðs⁄y=ðs+ðy

sii=1 &xi si

1.3 Saisốtínhtoánvàsaisốphươngpháp

Khigiảigầnđúngmộtbàitoánphứctạptaphảithaybàitoánđãchobằngmộtbàitoánđơngiảnhơncóthểgiảiđượcthôngquaviệcthựch i ệ n cácphéptínhthôngthườngbằngt a y hayb ằ n g m á y t í n h đ i ệ n tử.Phươngphápn à y thaybàit o á n phứctạpbằngbà i toánđơngiảngọilàphươngphápgầnđúng

Saisốcủaphươngphápgầnđúngtạoragọilàsaisốphươngpháp.Đểgiảibàitoánđơng i ả n t a phảithựchiệncácphépt í n h thôngthường,taluônphảiquytrò

ncáckếtquảkhônggian.Saisốtạobởitấtcảcáclầnquytrònnhưvậygọilàsaisốtínhtoán

Saisốcuốicùnglàtổnghợpcủahailoạisaisốphươngphápvàsaisốtínhtoán

Chúý

Saisốtổnghợpcuốicùngcóphầncủasaisốphươngphápvàsaisốtínhtoán.Vìvậy,phảichúýđiềuchỉnhsaochosaisốcuốicùngnhỏhơnsaisốchophép

B ĐATHỨCNỘISUY

Trongthựctế,nhiềukhitaphảitìmhàmy=f(x),chỉbiếtgiátrịyitạic á c điể

mxi∈[a,b](i=0,1,….,n).Cũngcót rườngh ợpb i ểuthứcgiảitích f(x)đãchoquácồngkềnh.Khiđódùngphép nội suytacó thể

dễdàngtínhđượcftạibấtkìx∈ [a,b]màđộchínhxáckhôngkémbaonhiêu.Ngoàiýnghĩalịchsửra,đa thứcđạisốthườngđượcdùngtrongphépnộ

is u y vìl í d o đ ơ n giảnsau:c á c phéptoáncộng,trừ,nhân,đạohàm,tíchphândễdàngđượcthựchiệntrênđathức.HơnnữanếuP(x)làđathức,cònclàhằngsốthìP(cx)vàP(x+c)cũnglàđathức

Bàitoánđặtranhưsau:Chocácmốcnộisuy

a≤xO<x1<⋯ <xn≤b

mHãytìmđ athứcbậcm: Pm(x)=)aixisaocho

i=O

Pm(xi)=yi≔ f(xi)(i=0¯¯¯,¯n¯)Ýnghĩahìnhhọccủabàitoánnộisuylà:hãyxâydựngđườngc o n gđạisốy=Pm(x)điquacácđiểmchotrước(xi,yi)(i=0¯¯¯,¯n¯)

Nhưvậytacầnxácđịnh(m+1)hệsốai(i=0¯¯¯,¯n¯)từhệphươngtrìnhtuyếntínhsau:

m

j)ajxi=yi(i=0¯¯¯,¯n¯)(1.1)j=O

Dễthấynếum<n(m>n)hệnóichungvônghiệm(vôđịnh).Khim=n,hệ(1.1)cóđịnhthứcVandermonde

i=O n

P(xj)=)yiPi(xj)=yj(j=0¯¯¯,¯n¯)

i=ONhưvậy,P(x)làđathứcnộisuy(duynhất)cầntìm

Nếucácmốcnộisuy cáchđều,tứclà

xi+1−xi=ℎ(i=0¯¯,¯n¯¯ −¯¯¯1¯)x−xO

i=O

(−1)n–iC

nt−i yi

R (x)=ƒ(x)

−P(x).Dĩnhiênchỉc ầ n xétx≠xi(i=0¯¯ ,¯n¯)vìR ( xi)=0( i=0¯¯¯,¯n¯)

m(x)P˜(x)=)y˜s

(x−x)mr(x),Tacó

i=O

n

m(x)P(x)=)yi

Nếucácmốcnộisuycáchđềuvà∆yi≤q(i=0¯¯¯,¯n¯)thì

i n

|t−i|

Tn(x)≔ cos[narccosx](|x|≤1)Đặt 8=arccosx và ta có cos(n±1)8=cos8 cosn 8 ∓

∓sin8sinn8,ta đượccos(n+1)8+cos(n−1)8=28cosn8

hay:

Tn–1(x)=2xTn(x)−Tn–1(x)NghiệmcủaTn(x)là:

xi=cos 2i+1

n n(i=0¯¯,¯n¯¯ −¯¯ 1¯)

ràcực trịcủanómax

|s|Š1

|Tn(x)|=1,đạttại xi=cos ni

(i=0¯¯ ,¯n¯)nTrongt ấ t c ả cácđat h ứ c b ậ c n vớih ệ sốđầub ằ n g 1 , đathứcChebysevTn(x)⁄2n–1cóđộlệch(sovới0)nhỏnhấttrênđoạn[-1,1].Nghĩalà,nếu

|P(x)−ƒ(x)|≤

(n+1)!|m(x)|≤2n(n+1)! T

n+1(x)trongđó m(x)=(x−xO)…(x−xn)=

2nTrongtrườnghợpa<bbấtkì,tadùngphépthếbiếnt=2s–a–b

b–ađưađoạn[a,b]vềđoạn[-

∆ƒ(x)=ƒ(x+ℎ)−ƒ(x)

∆ƒ(x)Tỷsaiphânc ấpmộtc ủaf(x)là

ℎ

i=O n

i6)∆nƒ(x)=)(−1)iC

nƒ(x+(n−i)ℎ)i=O

∆yi= yi+1−yin

y =)Cj∆jy

j=O n

j

∆nyi= )(−1)jCnyi+n–j

j=O

t ( t − 1 )

∆22! yO+⋯

t ( t − 1 ) … ( t − n + 1 ) n+

ƒ(n+1)(£)+ ℎn+1(n+1)! t(t−1)…(t−n)

t ( t + 1 )

∆22! yn–1+⋯+

t ( t + 1 ) … ( t + n − 1 ) n+

ƒ(n+1)(£)+ (n+1)!ℎn+1 t(t+1)…(t+n)Giảsửcácmốcnộisuyđược sắpxếpnhưsau:

xi=xO+iℎ(i=0,±1,±2,…, ±n)

+

3! ∆3y–1+ (t+1)t(t−1)(t−2)4!

∆4y–2+(t+2)(t+1)t(t−1)(t−2)

t ( t + 1 ) 22! ∆ y–1+( t + 1 ) t ( t − 1 ) 3 ( t + 2 )( t + 1 ) t ( t − 1 ) 4

+

t∆y–1+∆yO 2P(x)=P(xO+tℎ)= yO+1!

2 +(t−2)∆yO+

t(t−1)∆2y–1+∆2yO (t−1⁄2)t(t−1)

NgườitacòndùngkíhiệuF(x)|ađ ểchỉhiệusốF(b)

−F(a).Nhưvậy,nếuFlàmộtnguyênhàm củaftrênKthì

bƒƒ(x)dx=F(x)|ba

V샃(x)dxlàmộtnguyênℎàmbấtkìcủaƒnêntacó:

b

bƒƒ(x)dx=(ƒƒ(x)dx)|

aTrongthựctế,nhiềukhitaphảitínhtíchphânxácđịnhcủahàmsốmàkhôngbiếtnguyênhàmc ủ a nó.Nếudùngđịnhnghĩatíchphân

I=limn→œ∑ n–1f

(xi)∆xithìtổngDarbourhộitụrấtchậm,dođóđểđạtđượcđộchínhxáckhôngcaotavẫnphảithựchiệnmộtkhốilượngtínht o á n lớn.Ngoàira,trongnhiềutrườnghợp,hàmf(x)chỉđượcchodướid ạ n g bảng,vìvậ

y kháiniệmnguyênhàmtrởnênvônghĩa

Phươngphápđơngiảnnhấtđểtínhgầnđúngtíchphânxácđịnhlàthayf(x)bằngđathứcnộisuyP(x),sauđóđặt:

aTachiađoạn[a,b]thànhnphầnbằngnhauvớicácđiểmchia

xi=a+ih(i=0¯¯ ,¯n¯);h=(b−a)/n

ℎ

Thaydiệntíchhìnhthangcongbằngdiệnt í c h hìnhthangvuông( x e m hìnhdưới)

=

x0

yO+y1

h 2

b n–1xi+1

n–1 yi+yi+1ƒf(x)dx= )ƒf(x)dx⋍ )h

2a

h2

x0làxấpxỉhàmf(x)trênđoạn[xO,x1]bằngđathứcnộisuybậcnhất:

yO(x−x1`) y

1(x−xO)

xO−x1

x1−xO

x 1

M

yO+y12

x1h| ≤ƒ |R1(x)|≤

x0

Mh3

≤2ƒ(x−xO)(x1−x)dx=

2.2.3CácbàitoánB à i t

oán1

Bằngphươngpháph ì n h thang,vớiviệcc h i a đ o ạ n [1,5]thành4 phầnbằngnhau,tính:

5dxI=ƒ

x1

Giải

Chiađoạn[1;5]thànhn=4đoạnconbằngnhau,h=1,0tatínhrab ả n g sau:

Vìf’’(x)=2x–3nênf’’(x)≤2 (∀x∈[1,5])vànhưvậy:

2× 4r=

12

2

×12=

3 ⋍0.66Nhưvậy,s o vớigiátrịc ủ a tíchphânthìviệcgiảig ầ n đúngtíchphânnàynhờcôngthứchìnhthangsẽchosaisốtươngđốilà0.66

Bàitoán2

Bằngphươngpháphìnhthang,vớiviệcchiađoạn[0;1]thành10phầnbằngnhau,tính:

2

4 2

I2=ƒcos

3xdx1

Giải

Chiađoạn[1;2]thànhn=10đoạnconbằngnhau,h=0,1tatínhrab ả n g sau:

2 3

I3=ƒtan

3xd xO

Giải

Chiađoạn[0;1]thànhn=10đoạnconbằngnhau,h=0,1tatínhđượcbảng

sau:

x3dx= 0,1 [(yO+y1O)+2(y1+y2+⋯+y9)]

aChiađoạn[a,b]thành2nphầnbằngnhauvớibướch=(b-a)/

2n.T r ê n mỗiđ oạn[x2i–2,x2i],

(i=1¯¯¯,¯n¯)t a thayf(x)bằngđ a thứcnộisuybậchai(parabol)vớicácmốcnộisuyx2i–2,x2i–1,x2i

3 (y2i–2+4y2i–1+y2i)

a i=1x2i—2 i=1

2.3.2 SaisốphươngphápS

aisốđịaphương

t5Xéth à m F(t)≔ Φ(t)−() Φ(h)(0≤t≤h), trongđó

x i +tΦ(t)=ƒf(x)dx−

xi–t

ht

F(3)(t)=−2t

3 [f

(4)(ξ)+90

h5 Φ(h)], (2.3)Trongđóξ ∈(xi−t,xi+t)

ÁpdụngđịnhlýRollet a có:doF(0)= F ( h ) = 0 n ê n t ì m được

t1∈(0,h)đểF’’(t1)=0.TiếptheoF’(0)= F’(t1)=0,tat ì m được

t2∈(0,t1)đểF’’(t2)=0.Cuốicùng,d o F’’(0)= F’’(t2)=0,tồntại

t3∈(0,t2),saochoF(3)(t3)=0

Từ(2.3)tasuyra:

h5Φ(h)=−

90Nhưvậy:

xi+h

f(4)(ξ),trongđóxi−t3<£<xi+t3

hƒf(x)dx=

3

xi–h

h5[f(xi−h)+4f(xi)+f(xi+h)]−

1dx

I4=ƒ1+x2 O

1Tac ó ℎ=

4=0,25

Giải

Chiađoạn[0;1]thànhn=4đoạnconbằngnhau,h=0,25tatínhr a bảngsa

u:

GọiR l à saisốphươngphápcủaSimpson,theo( 2 5 ) R códạngR⋍Ch4,trongđóC=const> 0.TínhtíchphânIhailầntheocôngthức( 2 2 ) vớibướchvàh/2,tađược

I=)+Ch4 =)+C(h⁄2)4h

2

3 2

I5=ƒcos

7xdx1

I6=ƒ3sinO

5x2dx2

1Tac ó ℎ=

12

=0,083333333

Chiađoạn[0;1]thànhn = 1 2 đoạnc o n bằngnhau,t a tínhđượcbảngsau:

3sin2

2

=

3[yO+y12+2(y2+y4+⋯+y1O)+4(y1+y3+⋯+y11)]

=1,58328122

2.4 CôngthứcNewton–Cotes

bGiảs ửphả itínhtíchphânI=ƒf(x)dx.Đổibiếnξ=

a

x−a,b−a

tađược

ƒf(x)dx= (b

−a)ƒΦ( ξ )dξ,

=b–

a n

tađượcxi 1

=a+ihvàξi 1

=i(0

¯

¯,

¯n

¯).h

n

n

Tan h ậnt hấyc á c h ệ sốPn(i=0¯¯ ,¯n¯)khôngphụt h uộcvàohàmf(x)vàđoạnlấytíchphân[a,b],dođóchúngcóthểđượctínhsẵn,lậpbảngvàsửdụnglâudài

TaxétcáctrườnghợpđặcbiệtcủacôngthứcNewton-Cotes:

1

O 1 ∫O(ξ−1)dξ 1a) khin=1,P1 =P1=

b

yO+y1ƒf(x)dx≃ (b−a)

2a

Tađượccôngthứchìnhthang(địaphương)

b−a6(yO+4y1+y2)

Đâylàcôngthứcparabol(địaphương)

iKhinlớn,c áchệsốNewton–CotesPn kháphứctạp.Vìvậy,tanênchiađoạn[0,1]thànhmộtsốphầnbằngnhau.Sauđóápdụngcôngt h ứ c Newton-Cotesvớin’nhỏhơntrêntừngđoạncon

ÁpdụngcôngthứcNewton–Cotestađược:

2I≈

Nóiriêng,khii=0,f≡1 , tacóđẳngthức

n2=)B=nB,i=1

2suyra B=

n

Nhưvậycôngthức(2.6)códạng

1ƒf(t)dt≃

–1

n2n)i=1f(ti)

(2.7)Thayf(t)=tk(k=1¯¯¯,¯n¯)vào(2.7)tanhậnđượchệphươngtrìnhphituyến(nẩn,nphươngtrình)đểxácđịnhti(1¯¯¯,¯n¯)

NhàtoánhọcNgaBersteinđãchứngminhrằngvớin=8vàmọin ≥10,hệ(2.8)khôngcón g h i ệ m thực.Đ â y c ũ n g l à nhượcđ i ể m củaphươngphápChebysev.

SauđâytasẽxâydựngcôngthứcChebysevchotrườnghợpn=3

Khiđóhệ(2.8)códạng:

t1+t2+t3= 0{t12+t22+t32= 1t13+

2

I9=ƒ1+x2 O

k

Suyra)=3,936453444ÁpdụngcôngthứcChebysevtađược:

Đểýrằngmộtđathứcbậck,P(t)=cO+c1t+⋯+cktkhoàntoànxácđịnhbởi(k+1)thamsốcO,c1,

…,ck.M tặc khác,trong(2.10)tacó2nthamsốBi,ti(i=1¯¯¯,¯n¯).Nhưvậy(2.10

)cóthểtrởthànhđẳngthứcchotấtcảcácđathứccóbậckhôngquá2n–1.Điềunàytươngđươngvớiviệc(2.10)trởthànhđẳngthứcchomọiđơnthứct

k(k= 0¯¯,¯2¯¯n¯¯−¯¯¯1¯).Thaytkvào(2.10)tađượchệ2nphươngtrìnhphituyến

đốivới2nẩnBi,ti(i=1¯¯¯,¯n¯)

1

− ( − 1 ) k+1)Biti=

i=1

(k= 0¯¯,¯2¯¯n¯¯−¯¯ 1¯), (2.11)

k+ 1Gaussđềxuấtmộtcáchgiảirấtđộcđáohệ(2.11):X é t cácđ

ƒP(t)dt= ƒ

tk Pn(t)dt =0

–1 i=1

i=1

TừlíluậntrênsuyraBi,ti(i=1¯¯¯,¯n¯)thỏamãnhệphươngtrình

n)BitiP n(ti)=0(k=0¯¯,¯n¯¯ −¯¯ 1¯). (2.12)

B1+B2+B3= 2

⎧

−J5

⎩5B1+0.B2+5B3=3

5 8TừđâysuyraB1=B3=

9;B2=9

1ƒf(t)dt⋍ 1[5f(−J 3

Nếu u[a,b]bấtkì,đặtx =

2 ti+

2Khiđócôngthức(2.10)códạng:

b

b−aƒf(x)dx≃

2a

n)Bif(xi),i=

Bâygiờtanóivềsaisốtínhtoántrongcáccôngthứccầuphương.Giảsửtacócôngthứccầuphươngsau:

ƒf(x)dx= )Aif(xi)+R(f), (2.14)

trongđóxi∈[a,b]

(i=1¯¯¯,¯n¯)làcácđiểmchia,Ai(i=1¯¯¯,¯n¯)làcáchằngsốdươngvàR(f)làsaisốphươngpháp

n

|R¯(f)|≤ε)Ai+|R(f)|

i=1Vìcôngt h ứ c (2.14)đúngchomọiđ a thứcbậckhông,nênvới

2.5.2CácbàitoánB à i t

oán10

BằngcôngthứcGauss,vớin=4,giảigầnđúngtíchphânsau:

1dxI1

O=ƒ 1+x2 –1

m+1 F ( ξ )

Đặtv=

Bvàv={(£,v)∈RDễthấy

nI=ƒdξdy= Bƒdξdν=BP(Mi∈V)≃B

b) Xéttrườnghợphàmfđổidấu–

b≤F(£)≤B.ĐặtF(ξ)=−b+(B+ b)F˜(ξ)

n

IO=P(Mi∈V)≃

NÁpdụngbấtđẳngthứcChebysev,tađược:

nP(|N −IO|<s)≥1− IO(1−IO)

Carlohộitụrấtchậm.Đểtăngđộchínhxáclên10lần,khốilượngphépthửphảitănglên100lần

1Nếuucho trướcε,δthìsốphépt h ửN =

Vídụ,đểtínhtíchphân10lớpb ằ n g c á c côngthứccầuphươngtrênkhốihộpđơnvịvớibướch=0.1,taphảitínhtổngcóchứatới101Osốihạng.Trongk h i đóphươngp h á p Monte– C a r l o dễdàngchot a l ờ i giảithôcủabàitoánnày.

A.TÍNHGẦNĐÚNGMỘTSỐTÍCHPHÂN

Bài1:

Bằngphươngpháphìnhthang,vớiviệcchiađoạn[3;5]thành10phầnbằngnhau,tính:

5

2I=ƒcos2x2dx

5O

NếutínhItheocôngthứchìnhthangthìcầnchiađoạn[0;1]baonhiêuđiểm chia(n=?)đểsaisốnhỏhơn10–4?

Bài4:

1dxCℎoI=ƒ

2x+3O

GiảigầnđúngtíchphânsaubằngphươngphápGaussvớin=4

1

Bài7:

1+x4I=ƒ

1+x6dxO

Giảigầnđúngtích phânsaubằngphươngphápChebysevvớin=5

u 2

sinx

Bài8:

Bài9:

I=ƒ1+xdxO

GiảigầnđúngtíchphânsaubằngphươngphápMonte-Carlo

I=fl(x2+y2)dxdy,G

V iới G={(x,y)|x2+y2≤1;x≥0;y≥0}

GiảigầnđúngtíchphânsaubằngphươngphápMonte-Carlo

I=flG

=1,206647723

Bài2:

TínhtíchphânbằngcôngthứcSimpson:

1

5xO

2dx

Chiađoạn[0;1]thành10phầnbằngnhau

1−0Suyraℎ=

x+2

ℎ2≤4,8.10–3Suyraℎ≤ƒ4,8.10–3≈0,069282032

b−aℎ=

n ⇒ n= b−aℎ

Bài4:

Dođón≥14,43375679Vậyvớin=15,16,….thìthỏamãnyêucầubàitoán

Tínhtíchphânbằngcáccôngthứcđãbiết:

1dxCℎoI=ƒ

2x+3Oℎ=0,1⟹ n= b−a

ℎ

1−0

=0,1 =10

2 [yO+y1O+2(y1+y2+y3+⋯+y9)]

=0,152588383ÁpdụngcôngthứcSimpson:

0,1I= [yO+y1O+2(y2+y4+y6+y8)3

1+x41+x6dx

⟹I=

10.)=−1,396750805

Trênđâyemđãtrìnhbày

xongtoànbộkhóaluậncủamìnhđólà“phươngphápgiảigầntíchphân”

Khóaluậnn à y đãc u n g cấpmộts ố phươngpháptínhtíchphânmộtcáchnhanhchóngvàdễdànghơn.Cùngvớicácvídụminhhọacụthểvàđượcchọnlọckĩlưỡng,khóaluậnsẽgiúpbạnđọctiếpcậnhơnvớib ộ môn“ Giảit í c h s ố ” v à cóthểcoiđâynhưl à mộtt à i liệut h a m khảo

Tuynhiên,dothờigiannghiêncứucònhạnchế,phạmvinghiênc ứ u tươngđốirộngnênkhóaluậnkhôngthểtránhkhỏinhữngthiếuxót.R ấ t mongnhậnđượcýkiếnđónggópcủaquýthầycôvàbạnđọc

Mộtlầnnữachophépemđượcgửilờicảmơntớitấtcảcácthầycôlàgi

ảngviêntrongtrường,cáccánbộthưviệnnhàtrườngvàđặcbiệtl à thầygiáoNgu yễnVănHùngđãtậntìnhgiúpđỡemhoànthànhxongđềtàinày.

Emxinchânthànhcảmơn