Giải gần đúng phương trình tích phân tuyến tính fredholm loại 2

Sinhviên PhạmThịKimAnh... 3.3.1 Phươngphápánhxạco3.3.2 Phươngphápcầuphương Kếtluận...45 Tàiliệuthamkhảo...46... HàNội,ngày14tháng5năm2012 Sinhviên PhạmThịKimAnh... Ánhxạ Địnhnghĩa1.1.Cho

Quađ â y em xingửilờic ả m ơnsâusắct ớ i t o à n thểc á c thầy,cáccôtrongk h o

a Toán–

nhữngngườiđ ã luônc h ă m lo,dìudắtchúnge m trưởngthànhnhưngàyhômnay

Đặcbiệt,emx i n chânthànhc ả m ơnthầyg i á o PGS.TSKhuấtV ă n Ninh,n

gườiđ ã tậntìnhhướngdẫn,chỉbảovàđónggópnhiềuý kiếnq u ý báutrongthờigianemthựchiệnkhóaluậnnày

Em xinchânthànhcảmơn!

Sinhviên

PhạmThịKimAnh

Khóaluậnc ủ a emđượchoànthànhdướisự hư ớn g dẫncủat hầ ygiáoPGS.T

SKhuấtVănNinhcùngvớis ự c ố gắngc ủ a b ả n thân.Trongq u á trìnhnghiêncứue

mcóthamkhảomộtsốtàiliệucủamộtsốtácgiả(đãnêutrongmụctàiliệuthamkhảo)

Emxincamđoannhữngkếtquảtrongkhóaluậnlàkếtquảnghiêncứuc ủ a bảnthânkhôngtrùngvớikếtquảcủatácgiảkhác.Nếusaiemxinchịuhoàntoàntráchnhiệm

Sinhviên

PhạmThịKimAnh

3.3.1 Phươngphápánhxạco

3.3.2 Phươngphápcầuphương

Kếtluận 45 Tàiliệuthamkhảo 46

LỜINÓI ĐẦU

Toánhọclàmộtmônkhoahọcgắnliềnvớithựctiễn,bởitoánhọcbắtnguồntừnhucầugiảiquyếtcácbàitoáncónguồngốctừthựctiễn.Cùngvớit h ờ i gian,toánhọcngàycàngpháttriểnđượcchialàmhailĩnhvực:Toánhọcl ý thuyếtvàtoánhọcứngdụng.Sựpháttriểncủatoánhọcđượcđánhdấubởin h ữ n g ứngdụngtoánhọcvàogiảicácbàitoánthựctiễn

Tronglĩnhv ự c toánhọcứngdụng,thườngg ặ p rấtnhiềubàitoánc ó liênquanđếnviệcgiảiphươngtrìnhtíchphân.Nóđượcxemnhưlàmộtcôngc ụ toánhọcc ó ứngdụngrộngr ã i khôngchỉtrongtoánhọcmàcòntrongnhiềungànhk h o a h ọ c khác,v í d ụ

n h ư n g h i ê n cứuphươngtrìnhtíchphânn h ằ m giảiphươngtrìnhviphânvớicácđiềukiệnbiênxácđịnhhoặcđểgiảiquyếtmộtsốv ấ n đ ề vậtlýmàphươngtrìnhvip h â nkhôngthểmôt ả đượcnhưhiệntượngkhuếchtán,hiệntượngtruyền,

….Vìvậyviệcnghiêncứugiảiphươngtrìnhtíchphânđóngvaitròquantrọngtronglýthuyếttoánhọc

ĐượcsựhướngdẫntậntìnhcủathầygiáoPGS.TSKhuấtVănNinhc ù n g v

ớilòngsaymênghiêncứukhoahọc,làmộtsinhviênsưphạmchuyênngànhtoán,emmạnhdạnchọnđềtàikhóaluậntốtnghiệplà:

“GiảigầnđúngphươngtrìnhtíchphântuyếntínhFredholmloại2”.

Córấtnhiềuphươngphápgiảigầnđúngphươngtrìnhtíchphântuyếnt í n h Fredholmloại2nhưngdobướcđầulàmquenvớiviệcnghiêncứukhoahọcvàthờigiannghiêncứucònítnêntrongkhuônkhổkhóaluậnnàyemxinbàytỏmộtsốvấnđềsau:

ChươngI:Mộtsốkiếnthứccơsở

Chươngnàygồmmộtsốkiếnthứccơbảnvềánhxạ,vềcáckhônggian( Metric,Banach,khônggianđịnhchuẩn,

….),điềukiệnLipschits,tổngquanvềphươngtrìnhtíchphântuyếntínhFredholmloại2

ChươngII:Mộtsốphươngphápgiảigầnđúngphươngtrìnhtíchp h â n tu yếntínhFredholmloại2.

Trongchươngn à y e m t ậ p trungvàohaiphươngphápchínhđ ó là:Phươngphápánhxạcov à phươngp h á p c ầ u phươngvàogiảiphươngtrìnhtíchphântuyếntínhFredholmloại2

Em xinchânthànhcảmơn!

HàNội,ngày14tháng5năm2012

Sinhviên

PhạmThịKimAnh

ChươngI Mộtsốkiếnthứccơsở

1.1 Mộtsốkiếnthứcliênquan

1.1.1 Ánhxạ

Địnhnghĩa1.1.Chohaitậphợpkhácrỗng vàY.Gọilàmộtánhxạ đitừtập đếntậpYmộtquy tắcnào

ÁnhxạdgọilàMetrictrên,sốdx,y gọilàkhoảngcáchgiữah a i ph

Địnhnghĩa1.10.Khônggianđịnhchuẩn trêntrườngđượ cgọilàkhônggianBanachnếumọidãycơbảntrongkhônggiannàyđềuhộitụ.

Khiđó,nếuchỉthỏamãn1)thìđượcgọilàtoántửcộngtính,nếu

chỉthỏamãn2)thìđượcgọilàtoántửthuầnnhất.KhiY

thìtoántửtuyếntínhđượcgọilàphiếmhàmtuyếntính

Địnhnghĩa1.12.Chokhônggianđịnhchuẩn vàY.Toántửtuyến tính từkhônggian vàokhônggianYgọilàbịchặnnếut ồ n tạih ằngsốc0saocho:

x, x

1.1.4. KhônggianHilbert

Địnhnghĩa1.14.Chokhônggiantuyếntính trêntrường (

 □hoặc □).Tagọitíchv ô hướngtrênkhônggian

mọiánhxạt ừ tíchDescartes vàotrường ,kíh iệu.,.thỏamãncáctiênđềsau:

1)

y,x

x,y

vớ i

1.1.5. ĐiềukiệnLipschits

Tanóirằngtrêna;bánhxạthỏamãnđiềukiệnLipschitstheobiến

ynếutồntại£0saochovớiy,ya;btacóbấtđẳngthức:

p p

p p

dt (1.4).

xt t,s xsds

Trongđóhàmhaibiến t,sgọilànhâncủatoántửtíchphân.

ii) PhươngtrìnhtíchphântuyếntínhFredholmloại2 làphươngtrìnhdạng:

xxf (2.3)

Trongđ ó :

x,f-khônggianđịnhchuẩn,thườngxétl à không gia

ChươngII Mộtsốphương phápgiảiphươngtrìnhtích phân

tuyếntínhFredholmloại 22.1 Phươngphápánhxạco

ánhxạtừkhônggian

1vàokhônggian2.Ánhxạ đư ợcgọilàánhxạ

j0



dx0,x0  

,x n d

x n1 ,x ,x n d

TaápdụngnguyênlýBanachvềánhxạ c o đểgiảiphươngtrìnhtíchphântuyếntínhFredholmloại2.

maxt,s maxxs ys d s

Vớixt 

t,s xsds

a

lấyxấpxỉbanđầu x0 f.

t,s bình

aa

phươngk h ả tíchLesbesguetrênhìnhvuônga;ba;b)

+Tìmđiềukiệnđể làánhxạcotừ£2a;bvàochínhnó.ÁpdụngbấtđẳngthứcCauchy-Bunhiacopski-Schwarzvới x£

xi làkíhiệugiátrị xt i nghĩalàgiátrịnghiệmđúng xt của

phươngtrình(2.3)tạic ác nútt i.Côngthức(2.2.3)làhệphươngtrìnhđạisố

tuyếntínhcón phươngt r ì n h vàn ẩn

x1, ,x n chưabiết.Saukhigiảihệphươngtrình(2.2.3)c h ú n g tas ẽ t ì m đ ượ c cácgiát r ị x, ,

x vàt a cót h ểviếtnghiệmxấpxỉcủaphươngtrình(2.3)dướidạnggiảitích:

1

làphầnbùđạisốcủaphầntửởvịtríi,j trongđịnhthức.Khiđó,tacó:

Điềucănbảnở đâyl à ướclượngsaisốc ủ a côngt h ứ c cầuphương

môđunc ủ a n g h i ệ

m

xs

xs cònk h ô n g đòihỏiphảibiếtđạoh à m b ậ c caoc ủ a

ChươngIII Các vídụứngdụng3.1 Phươngphápánhxạco

e ts

etse ts

2e ts

 n e ts

costsinssindsin 

0

2costsins

 

n

1 1

Tacó:

Đặt:

xt 

3) xt   ts xsdst

0

tong1:0 tong2:100

sint 

85

 sint 2

64 512

n) f i:

sols:evalf(solve(eqn1,eqn2,eqn3,eqn4,eqn5

,eqn6,eqn7,eqn8,eqn9,eqn10,eqn11,eqn1,eqn

12,eqn13,eqn14,eqn15,eqn16,eqn17,eqn18,eqn1

9,eqn20,eqn21,eqn22,eqn23,eqn24,eqn25,eqn2

6,eqn27,eqn28,eqn29,eqn30,eqn31,eqn32,eqn

33,eqn34,eqn35,eqn36,eqn37,eqn38,eqn39,eqn

4,eqn40,eqn41,eqn42,eqn43,eqn44,eqn45,eqn

46,eqn47,eqn48,eqn49,eqn50 )):

fori from1tondolprint(xisubs(so

x262555,8 81057

x272697,6 66296

x282842,6 72433

x292990,8 99467

x303142,3 47400

x313297,0 16230

x323454,9 05958

x333616,0 16584

x343780,3 48108

x353947,9 00530

x364118,6 73850

x374292,6 68067

x384469,8 83182

Chúngta đangsốngtrongthờiđạik h o a họcvàcôngnghệ,cácngànhk h o a họcpháttriểnvôcùngmạnhmẽvàđápứngđượcnhucầusửdụngrộngr ã i trongthựctiễn.Chínhvìlẽ đó,màviệcgiảigầnđúngphươngtrìnhtíchphântuyếntínhcũngnhưcácdạngphươngtrìnhtuyếntínhkháctừđógiảiquyếtcácb à i toánthựctiễnlạicàngtrởnêncầnthiếthơn.K h ó a luậntốtn g h i ệ p nàyđãtómtắtđượcmộtsốkiếnthứccóliênquan,đãtrìnhbàyđượcmộtsốphươngphápgiảigầnđúngphươngtrìnhtíchphântuyếntínhF r

e d h o l m loại2,đãgiớithiệuđượcmộtsốvídụgiảigầnđúngphươngtrìnhtíchphântuyếntínhF r e d h o l m loại2 bằngphươngphápánhx ạ c o v à bằngphươngphápcầuphương

Vấnđềnghiêncứucònrấtnhiềuđiềulýthúvàbổích.Tuynhiêndolầnđ ầ u tiếnhànhnghiêncứukhoahọc,dothờigianvàkinhnghiệmcònhạnchếnêntrongkhóaluậnnàycònrấtnhiềuđiềuthiếusótcầnbổsung,gópý.Emr ấ t mongnhậnđượcsựchỉbảotậntình,đónggópýkiếncủacácthầycôvàcácbạnsinhviênđểkhóaluậnnàyđượchoànthiệnhơn

Mộtlầnnữa emxinbàytỏlòngbiếtơnsâusắc tớicácthầy,côtrongk h o a toán,

cácthầy,côtrongtổgiảitích,đặcbiệtlàthầygiáoPGS.TSKhuấtV ă n

Ninh-ngườiđãtậntìnhgiúpđỡemhoànthànhkhóaluậnnày

Em xinchânthànhcảmơn!

[ 5 ] PhạmHuyĐiển(2002),Tínhtoán,lậptrìnhvàgiảngdạytoánhọc trênMaple,NxbKhoaHọcvàKỹThuậtHàNội.

[6]NguyễnPhụHy(2002),Giảitíchhàm,NxbKhoaHọcvàKỹThuậtHàNội.