Một số ứng dụng của phương trình vi phân

Sinhviên CaoThịThanh Huệ... LỜI CAM ĐOANKhóaluậncủaemđượchoànthànhdướisựhướngdẫncủathầyTrầnVănBằ ngcùngvớisựcốgắngcủabảnthânem.Trongquátrìnhnghiêncứuvà thựchiệnkhóal uậnemcóthamkhảotàili

LỜI CẢM ƠN

Đểhoànthànhtốtđềtàinày,trướctiênemxinbàytỏlòngcảmơnsâusắctớicácthầycôtrongkhoaToán–

trườngĐạiHọcSưPhạmHàNội2đãđộngviêngiúpđỡemtrongsuốtquátrìnhthựchiệ

nđềtài.Đặcbiệt,emxinchânthànhcảmơnthầyTrầnVănBằngđãtạođiềukiệntốtnh

ấtvàchỉbảot ậ n tìnhđểemcó thểhoànthànhđềtàiluậnvănnày

Dothờigianvàkiếnthứccóhạnnênnhữngvấnđềtrìnhbàytrongđềt à i khôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Vìvậy,emrấtmongnhậnđượcnhữngýkiếnđónggópcủacácthầycô và cácbạntrongkhoa

Em xinchânthànhcảmơn!

Sinhviên

CaoThịThanh Huệ

LỜI CAM ĐOAN

KhóaluậncủaemđượchoànthànhdướisựhướngdẫncủathầyTrầnVănBằ

ngcùngvớisựcốgắngcủabảnthânem.Trongquátrìnhnghiêncứuvà thựchiệnkhóal

uậnemcóthamkhảotàiliệucủamộtsốtácgiả(đãnêutrongmụctàiliệuthamkhảo)

Emxincamđoannhữngkếtquảtrongkhóaluậnlàkếtquảnghiêncứucủabảnthânemkhôngtrùngvớikếtquảcủacáctácgiảkhác.Nếuemsaiemxinhoàntoànchịutráchnhiệm

Sinhviên

CaoThịThanhHuệ

991111131516

Sựpháttriểncủatoánhọctuycónhữngbướcthăngtrầmởtừngthờiđ iểmlịchsử,songnhữngkếtquảmànóđạtđượcrựrỡnhấtlàvàothếkỷXX,d o sựpháttriểncủangànhGiảitíchtoánhọc

VớisựrađờicủangànhGiảitíchtoánhọc,đặcbiệtlàgiảitíchhàmthìnhữngbàitoántrongthựctếcuộcsống,vậtlý,khoahọc,kĩthuật,…

đượcgiảiquyếtnhanhgọnvàchínhxác

NgànhGiảitíchtoánhọcnghiêncứunhiềukĩnhvựcnhư:cáclớphàmliêntục,khảvi,khảtích,phươngtrìnhviphân,

….Mỗilĩnhvựcđềucótầmquantrọngriêngtrongviệcnghiêncứuvàứngdụng.Trongđóphươngtrìnhv i phânlàmộtphầnc ơb ảncủaGiảitích.Cóthểnghiêncứutừngphầ

nđ ể t h ấyđượccáihaycủamônhọcnàyvàtrongthựctếcũngnhưtrongcácmônkhoahọckhácphươngtrìnhviphâncónhiềuứngdụngnhư:giảibàitoándaođộnglòxo,

Từmộttronghaiphươngtrình

trêntatìmF r ồ i choF thoảmãnphươngtrìnhcònlạitatìmđượcnghiệmtổngquátcủa

(4.1)là

Fx,yC.

Nhiềubàitoántrongthựctếcuộcsống,

vậtlý,hóahoc, saukhiđượctoánhọchóađãdẫnđếnphươngtrìnhviphân.Sauđâychúngtasẽxétmộtsốbà i toánnhư vậy

A Mộtsốứngdụngtrongvậtlý

1 Vậntốcthoátkhỏitráiđất

Nhiềubàitoánvậtlýdẫnđếnphươngtrìnhviphâncấpmột.Xétbàitoánx ác địnhvậntốccủahạtchuyểnđộngtheohướngxuyêntâmđiraxatráiđấtv à bịtácđộngchỉbởilựchấpdẫncủatráiđất.Giảsửvậntốcbanđầutheohướngxuyêntâmsaochochuyểnđộngcủahạtdiễnratrêntoànbộđườngđiquatâmcủatráiđất

Theođịnhluậth ấp dẫncủaNewtonthìgiatốccủahạttỷ lệnghịchvớibìnhphươngkhoảngcáchtừhạttớitâmtráiđất.Giảsửr l à b i ế n khoảngcáchvàR là bánkínhtráiđất.Nếutbiểudiễnthờigian,v là

vậntốccủahạt,a l à g i a tốcvàk l à hằngsốtỷlệtrongđịnhluậtNewtonthìtacó

adv

k

dt r2Giatốcl à â m v ì vậntốcgiảm.Vìt h ế hằngs ốk làdương.Khir R

vàvdr,

dođó

dt

vdv dt dtd r dr

Mộthạtchuyểnđộngtừtráiđấtvớivậntốcbanđầuv0 màv0

sẽthoátkhỏitráiđất.Dođómứctốithiểucủavậntốcchiếulà

ve

Nhưvậy,bằngviệctìmtậphợpnghiệmcủaphươngtrìnhviphân(1.3)taxácđịnhđượcphươngtrìnhvậntốccủahạtchuyểnđộngtheohướngxuyênt â m điraxatráiđất,từđóxácđịnhđượcvậntốcthoátcủahạt

3 Daođộnglòxo

Xétmộtlòxobằngthépgắnvớimộtvậtđỡvàđượctreoxuống.Tronggiớihạnđànhồilòx osẽ tuântheođịnhluậtHooke.Nếulòx ob ị kéodãnhoặcbịnénthìđộbiếndạngcủalòxosẽtỷlệvớilựctácdụnglênnóvàkhi

4 Daođộngkhôngtắtdần

x''t 2x't 2x

t Ft



trongđó

2kg.

wGiảsửđiềukiệnbanđầu: x0

x0và

x pvàophươngtrình(5.1)

0

A t

2Pcost2QsintAsint

m22m20

1 2 3

2  2cóhainghiệmlà  .

quángưỡngt

ắtdần.BÀITẬP

thìphươngtrình(6.4)đúngvàchuyểnđộngđượcgọilà

d 2 x dx

dt 2 2

v8ft/

s.Tìmgiátrịcủađểdẫnđến

daođộngtắtdầntớihạn,hãyxácđịnhxtrongđiềukiệncủatvàvẽđồthịvới0

t0,2

banđầutrởlênlà 4ft/s.Tìmvịtrícủavật sauđó.

7 Conlắcđơn

Mộtsợidâydài C f

t đượctreomộtđầuđểnócóthểchuyểnđộngtrongmộtmặtphẳngthẳngđứng.Chomộtconl ắ c B nặng w

lb

 đượcgắnvào

cuốisợidâyvàkhốilượngcủasợidâykhôngđángkểsovớikhốilượngcủaconlắc.Cho radian

dt 2 sin0.

C

(7.2)

Nếunhỏthìsinvàgầnbằngnhau.Khiđó(7.2)xấpxỉbằngphươngtrìnhđơngiảnhơn

lệthuậnvớitíchkhốilượngcủacácvậtvàtỷlệvớibìnhphươngkhoảngcáchgiữatâmcủacácvật.DođónếucácvậtcókhốilượnglàM và m thìchúngtacó

FMm

r2

(8.2)

t

Chúngta xétbàitoánv ềchuyểnđộngcủamặtt r ờ i v à mộthànhtinhđơn,chún

glầnlượtcókhốilượnglàM v à m GiảsửM l ớ n hơnnhiềusovớim v à cũngcónhững

chuyểnđộngcủamặttrờigâyrabởilựchấpdẫngâyratrênmặttrờivìkhốilượngcủahànhtinhkhôngđángkể

Giảsửtâmcủamặttrờilàcựccủahệtoạđộcựcvàxácđịnhvịtrítâmcủa chuyểnđộnghànhtinhởđiểmr,.Chúngtasẽsửdụngcácvectotrựcgiaothôngthường

dv drde d 2 r

 dde a

10 Định luậtIKepler

XétlựcF đượcxácđịnhtrongphươngtrình(8.3)vàgiảsửlựckhôngchỉl à lựcxuyêntâmmàđộlớncủalựcthoảmãnđịnhluậthấpdẫnNewtonxácđịnhtrongphươngtrình(8.2).Nghĩalà

dt2 r4d

2

r5 dThay(10.2)vào(10.1)tađược

M ub1cos b2sin

d

d 2 u

0

d2

khi0.Vì

bcosd1 2và

d 2 u

d2 b1cosb2sinnênkhi

d

b2và

d 2 u d

2

b1.

Dođób2 0vàb10.

a2 y2

b2

c



Đổikíhiệu X,Ybằng x,ytacóquytắctìm quỹ đạođẳnggiáccủahọđường

cong(12.1)nhưsau



nếu



2(tứclàtrườnghợptìmquỹ

 Xéttrườnghợp.

2Lậpphươngtrìnhviphâncủahọđườngthẳng

yx0



y'0

dykx  y

dx xky

1Nhânhaivếcủaphươngtrìnhtrênvới

1y

dy x dx

xrcos



ếptuyến MT1củaLtạiMvàb á n kínhvectoOM),

TMR(gócg i ữatiếptuyến MT củaltại M v à OM).Theohìnhvẽtacó



tan1tan1tant

an1

k

1ktan

1





1tan

 r

rsin

B Mộtsốứngdụngtronghoáhọcvàkinhtế.

1 Định luậtlàmlạnhNewton  1cosa dưới

Nhữngthínghiệmđượctiếnhànhdướinhữngđiềukiệnchínhxácđãc h ỉ ranhiệtđộxấpxỉcủavậtcóthểtìmđượcnhờđịnhluậtlàmlạnhNewton

Nhiệtđộcủavậtthayđổivớimộttốcđộmànótỷlệv ớ i độchênhnhiệtđộgiữamôitrườngbênngoàivànhiệtđộcủachínhvật.Giảsửhằngsốtỷlệlànhưnhaudùnhiệtđộtănghaygiảm.

Vídụ.Mộtnhiệtkếchỉ700Fởtrongnhà,đượcđặtởbênngoàinơicó

nhiệtđ ộ khôngkhílà100F.B a phútsaunhiệtk ế chỉ2 50F.Chúngt a sẽ dựđoánnhiệtđộởnhữngthờiđiểmkhácnhau

Giảs ử u (F)l à nhiệtđộcủanhiệtk ế ở thờiđ i ể m t (phút).Thờigian

đượcđ o ngayt ừ lúcnhiệtk ế đượcđặtở bênngoài.Tacókhi

u70vàkhit3thìu25

t0thìTheođịnhluậtNewtonthìsựbiếnthiêncủanhiệtđộtheothờigian,

k1ln

4

3

2 Sựchuyểnđốicáchoáchấtđơngiản

Kếtquảc ủ a cáccuộcthínghiệmchỉr a , trongc á c phảnứnghoáhọctrongđóc

hấtAchuyểnthànhmộtchấtkhácthìtốcđộchuyểnhoátỷlệvớilượngchấtkhôngbịchu yểnhoáx

Giảs ử lượngchấtkhôngb ị biếnđổiở thờiđiểm t

xácđịnhlượngchấtkhôngbịbiếnđổicònlạiở t60s.

3.Khiđóvớitđượcđobằnggiâythìlượngchấtkhông30

bax0ax0e abx0e

Phươngtrìnhlogictic(3.1)chobiếtsựtăngtrưởnghaysuygiảmcủadânsố

ầuD củahànghoálànhữnghàmthờigianvàsựbiếnthiêncủagiácảtỷlệvớiđộchênhgiữanhucầuvànguồncung.Nghĩalà

2 Việccungcấpthựcphẩmchomộtdânsốnhấtđịnhsẽtuỳthuộcvàosựthayđổitheomùaảnhhưởngđếntốcđộtăngtrưởngdânsố.Phươngtrìnhvi

phândx=Cx(t)costdxCxt cost,trongđóCl à hằngsốdưong,quyđịnh

d Tìmgiátrịgiớihạncủa kếtquảphầnc khin tiếnravôcùng.

4 NếuhàmcầuvàcungchomộtthịtrườnghànghoálàDcdPvà Sa

sint thìhãyxácđịnh P t vàphântíchdángđiệucủanókhittăng.

bệnhthìhãychỉrarằngsốsinhviênmắcbệnhởthờiđiểmt đượcchobởiphươngtrình

100e 100kt

I

99e 100kt

Trênđ â y emđ ã trìnhbàyxongtoànbọkhóaluậncủamìnhđ ó là:“

MỘTSỐỨNGDỤNGCỦAPHƯƠNGTRÌNHVIPHÂN”.

Trongkhóaluậnnàyemđãtrìnhbàymộtsốbàitoáncơhọc,vậtlý,hóahọc,…dẫnđếnviệcnghiêncứuphươngtrìnhviphân

Tuynhiên,trongquátrìnhnghiêncứu,dothờigianvà kiếnthứccònhạnchếnê

ne m khôngthểtránhkhỏinhữngthiếusót.E m r ấ t mongnhậnđượcsựđónggópýkiếncủaquýthầycôvàcácbạntrongkhoađểkhóaluậncủa emđược hoànthiệnhơn

Quađ â y emx i n chânthànhc ả m t h ầ y TrầnVănBằng–

giảngviêntrườngĐạihọcSưPhạmHàNội2đãtậntìnhgiúpđỡvàhướngdẫnđểemhoànthànhtốtkhóaluậnnày

Emxinchânthànhcảmơn!