Một số phương pháp giải bài toán biên đối với phương trình vi phân thường cấp 2 - phương pháp đưa về bài toán cauchy, phương pháp khử lặp

b 10 a.Hiểnnhiênrằngphépđoachínhxáchơnhẳnphépđobmặcd ùab.Nhưvậyđộchínhxáccủamộtphépđophảnánhquasaisốtương đối... 1.2.4 Saisốcủacácphéplũythừa, khaicăn,nghịchđảoChoy  x,khi...

đềudẫnđếnviệcgiảic á c phươngtrìnhviphân.Tuynhiênlớpc á c phươngtrìnhv i phâncóthểt ì m đượcn g h i ệ m chínhxácr ấ t hẹp.Dođó,đ ể giảiđượccácphươngtrìnhviphânthôngthườngngườitathườngphảisửdụngcácphươngphápxấpxỉđểtìmnghiệmgầnđúngcủachúng.

Donhucầuthựctiễn,c á c nhàkhoahọcđ ã t ì m r a r ấ t nhiềuphươngphápđểtìmnghiệmgầnđúngcủaphươngtrìnhviphân

Trongkhóaluậnn à y e m x i n trìnhb à y mộtsốphươngphápgiảig ầ n đúngbàitoánbiênđốivớiphươngtrìnhviphânthườngcấp2

Chương1 CÁCKIẾNTHỨCMỞĐẦU

1.1Sốgầnđúngvàsaisố

1.1.1Saisốtuyệtđối,saisốtươngđối

Trongtínhtoán,tathườngphảilàmviệcvớicácgiátrịgầnđúngcủacác đạilượng.Tanóialàsốgầnđúngcủaa*,nếuakhôngsaikháca*nhiều.Đạilượng:=| a–

a*|gọilàsaisố

thựcsựcủaa.Dokhôngbiếta*n ê nt a cũngkhôngbiết.Tuynhiên,tacóthểtìmđượca0,gọilàsais ố tuyệtđốicủaa,thỏamãnđiềukiện:

b 10 a.Hiểnnhiênrằngphépđoachínhxáchơnhẳnphépđobmặcd ù

ab.Nhưvậyđộchínhxáccủamộtphépđophảnánhquasaisốtương

đối

p1

Vídụ:a = 0,0030140.Ba chữsố“0“đầukhôngcónghĩa.

1.2 Saisốtínhtoán

Trongtínhtoántathườnggặpbốnloạisaisốsau:

a) Saisốgiảthiết:Domôhìnhhóa,lýtưởnghóabàitoánthựctế.Saisốnàykhôn

gloạitrừđược

x i

 y     xi

i1

Saisốtuyệtđốicủamộttổngbằngtổngcácsaisốtuyệtđốicủacácsốhạngthành phần.

Trongtínhtoánnếucótổnglàmộtsốnhỏthìsaisốtươngđốisẽlàmộtsốlớn.Vậykhitínhtoántaphảitránhviệctínhcáchiệusốcủahaisốrấtgầnnhaunếukhôngtránhđượcthìcầnphảilấycácsốvớinhiềuchữsốchắc

1.2.4 Saisốcủacácphéplũythừa, khaicăn,nghịchđảo

Choy  x,khi

khôngđổi



1

Nên 



0,13,12

0,003v à

trongđóx0,y0,…,y (n1) làcác

giátrịtùyý chotrướcmàtagọilàcácgiátrịbanđầu

Trongtrườnghợpn=2thìbàitoánCauchyđượcphátbiểunhưsau:

Chophươngtrìnhviphâncấphai

0 0

y"

Trongtrườnghợpnàybà i toánCauchyđượcphátbiểunhưsau:Tìmnghiệmy(x)củaphươngtrình(1.5.3)thỏamãncácđiềukiệnbanđầu:

mãnđiềukiệnLipsittheoc á c biếnu1,u2,… , unnếutồntạihằngsốL > 0

(hằngsốLipsit)saochođốivớihaiđiểmbấtkì (x,u1,u2, ,un)G

1 1 1 1



(  )(  ) (  ) (  )

(0) (n1)

(0) (n1)

 

(0) (n1)

(0) (n1)

(1.6.2)

 m m m m Cóhạnglàm,ta lậptổhợptuyếntínhsau:

thuầnnhấtnếu g0,

 nhưng f(x)0.Địnhnghĩatổngquátvềbàitoánbiêntrênđâybaogồmcả bàitoánCauchythôngthườngkhi

(( )

0,,).Tathâýrằng (x)

 

V m (1) V m (n )

 n hoặcbàitoánbiênthuầnnhấtcóduynhấtmộtnghiệmhoặcbài

toánbiênthuầnnhấttươngứngcóítnhấtmộtnghiệmkhôngtầmthường

Chương2 MỘTSỐPHƯƠNGPHÁPGIẢIBÀITOÁNBIÊNĐỐIVỚIPHƯƠNGTRÌN

PHƯƠNGPHÁPĐƯAVỀBÀITOÁNCAUCHY,PHƯƠNGPHÁPKHỬL

b

trongđóc1,c2l ànhữnghằngsốtùyý;Z(x),Z1(x),Z2(x)lànhữngnghiệmcủab à i toánCauchysau:

2 2 2



Z "(x)p(x)Z '(x)q(x) Z

2.1.2.3 Phươngphápdồnviphân.

Khácvớiphươngphápkhửlặp,phươngphápbiếnthiênhằngs ố v à phươngphápbắn,phươngphápdồnviphângiảibàitoánCauchykhôngphảiđ ể chophươngtrìnhbanđầumàl à đ ể chonhữngphươngtrìnhtrunggiankhác(trongnhiềutrườnghợpbậccủanóthấphơnbậccủaphươngtrìnhbanđầu)

Nhưvậyvớiđiềukiệno0lượcđồcủaphươngphápdồnviphânđốivớiphươngtrình(2.1.1)–(2.1.3)gồmnhữngbướcnhưsau:

yi22yi1 yi

y n

i

y ny n1

 B h

0thìsửdụngđiềukiệnbiênđượcchoởđầumúttráic ủ a đoạn,sauđósangbướcthứnhấtcủachiềungượccósửdụngcácgiátrịcn-2,dn-

2vớiđiềukiệnbiênchomútbênphảicủađoạnlấytíchphânsauđóthìthuđượccácgiátrịliêntiếpcầntìmcủahàmyit h e ochỉsốigiảmdầntừi=nđếni = 1

yi2(20,2xi)yi1(0,980,2xi)yi (

0,01).4xi



1,1y0 y10 ;i  0, 8

8 0,8 -2,16 1,14 -3,2 -0,8352 -0,1254 2,7928 2,6964

Quátrìnhtínhđãđượccụthểhóabằngthuậttoán,tuynhiênnếutasửdụngcáchtínhtayhoặcmáytínhbỏtúithìkhốilượngphéptínhnhiềunhưvậy,saisốvàthờigianb

ỏralàđángkể.Lợidụngtínhtườngminhcủacáccôngthứctínhmi,ki,ci, d i,yiv àtínhchấtlặpcủaquátrìnhtínhtoán,tacó

y9=3,2137 y10=3,7180

Sosánhkếtquảnàyvớibảngtínhtayởtrên,tathấykếtquảchênhlệchkhôngđángkể.Nhưvậy,nếubiếtápdụngtinhọcvàocácphươngpháptínhnàymộtcáchhợplýthìchắcchắnhiệuquảsẽ rấtcao

Chương3 ỨNGDỤNGVÀONHỮNGBÀITOÁNCỤTHỂ

fi=xi A=1 B =0

yi2 2yi1 yi

i



vàlấyh=0,1thìxi=0,1i(i=0,1,

…,10)thayvàophươngtrìnhtrênvàđiềukiệnbiêntađượchệphươngtrìnhsaiphânl à:

vàlấyh=0,1thìxi=0,1i(i=0,1,

…,10)thayvàophươngtrìnhtrênvàđiềukiệnbiêntađượchệphươngtrìnhsaiphânl à:

' yi1 i

h

 2

y

i

 1

i2 i1

i

vàlấyh=0,1thìxi=0,1i(i=0,1,

…,10)thayvàophươngtrìnhtrênvàđiềukiệnbiêntađượchệphươngtrìnhsaiphânl à:

yi22yi1

 2

y

i

 1

0

trongđ ó c1,c2l ànhữnghằngsốt ù y ý;Z(x),Z1(x),Z2(x)lànhữngnghiệmcủa bàitoánCauchysau:

BxC.Thaybiểuthứcnàyvào

phươngtrìnhtađiđếnhệthứcsau:

6Ax2

(6B10A)x6C5B2A6x2

10x2Đồngnhấtcáchệsốcủalũythừacùngbậccủa xtađược:

 2e3x

;c21

15A5;6A10B2;5C2B0

a) y''4y'4y2e2x ,0x1vớiđiềukiệnbiên:

Nhưchúngtađãbiết,cácbàitoánphátsinhtrongthựctếkhôngphảil ú c nàocũngtìm đượcnghiệm chínhxáchoặcnếutìmđượccũngphảimấtrấtnhiềuthờigianvànhiềukhiđólàkhôngcầnthiết.Việcxuấthiệncácphươngphápgầnđúngđốivớicácbàitoánl à m tăngt h ê m khảnăngứngdụngcủatoánhọcvàothựctiễn

Trongkhóaluậnnày,ngoàikiếnthứccơbảnvềsaisố,phươngtrìnhviphânthườngvàbàitoánbiênđốivớiphươngtrìnhviphânthườngemđãnêul ê n haiphươngpháp

đ ể giảibàitoánbiênđốivớiphươngtrìnhv i phânthườngvàđãứngdụngcôngnghệthôngtinđólàngônngữPascaltrongquátrìnhtínhtoán

Cácphươngphápgiảigầnđúngbàitoánbiênđốivớiphươngtrìnhviphânthườngrấtphongphúnhưngdokhuônkhổcủakhóaluậnvàdonănglựcc ủ a bảnthâncóhạnnêntrongkhóaluậnnàyemchỉnêuđượchaitrongcácphươngpháp

Thôngquakhóaluậnnàyemrútrađượcnhiềuđiềubổíchtrongviệcnghiêncứukhoahọcvàemthấyviệcpháttriểncácphươngphápgầnđúnglàr ấ t cầnthiếtvànhữn

g ứngdụngtolớncủachúng

Đểhoànthànhkhóaluậnnày,emđãnhậnđượcsựquantâmgiúpđỡvàtạođiềukiệncủacácthầy,côgiáotrongkhoaToán,đặcbiệtlàcácthầy,côtrongtổGiảitíchtrườngĐHSP HàNội2

PGS.TS.KhuấtVănNinhđãđộngviên,hướngdẫnvàtậntìnhgiúpđỡđể

Emxinbàytỏlòngbiếtơnsâusắctớicácthầy,côgiáo,đặcbiệtlàthầygiáo-emhoànthànhkhóaluậncủamình

Emxinchânthànhcảmơn !

HàNội,tháng5năm2012

SinhviênNgô ThịTâm

Emxincamđoankhóaluậnnàylàcôngtrìnhnghiêncứucủariêngem

Trongkhinghiêncứu,emđãkếthừanhữngthànhquảnghiêncứucủacácnhàkhoahọc,cácnhànghiêncứuvớisựtôntrọngvàbiếtơn

Nhữngkếtquảnêutrongkhóaluậnnàychưađượccôngbốtrênbấtkìcôngtrìnhnàokhác

HàNội,tháng5năm2012

SinhviênNgô ThịTâm

Lờinóiđầu 1

Chương1Cáckiếnthứcmởđầu 2

1.1 Sốgầnđúng 2

1.2 Saisốtínhtoán 4

1.3 Bàitoánngượccủalýthuyếtsaisố 8

1.4 Saiphân 9

1.5 Mộtsốkiếnthứcvềphươngtrìnhviphânthường 11

1.6 Bàitoánbiênđốivớiphươngtrìnhviphânthường 12

Chương2Mộtsốphươngphápgiảibàitoánbiênđốivớiphươngtrìnhv i phânt hườngcấp2-phươngphápđưavềbàitoánCauchy,phương phápkhửlặp 17

2.1 PhươngphápđưavềbàitoánCauchy 17

2.2 Phươngphápkhửlặpgiảibàitoánbiênđốivớiphươngtrìnhviphântuyếntínhcấp2 20 Chương3Ứngdụngvàogiảibàitoáncụthể 30

Kếtluận 51

Tàiliệuthamkhảo 52