Luận văn sư phạm Một số ứng dụng của phương trình vi phân

Khi đó os2p... Elementary Differential Equation, Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458.

ầ I C M N

hoàn thành t t đ tài này, tr c tiên em xin bày t lòng c m n sâu

s c t i các th y cô trong khoa Toán – tr ng i H c S Ph m Hà N i 2 đã

đ ng viên giúp đ em trong su t quá trình th c hi n đ tài c bi t, em xin chân thành c m n th y Tr n V n B ng đã t o đi u ki n t t nh t và ch b o

t n tình đ em có th hoàn thành đ tài lu n v n này

Do th i gian và ki n th c có h n nên nh ng v n đ trình bày trong đ tài không tránh kh i nh ng thi u sót Vì v y, em r t mong nh n đ c nh ng ý

ki n đóng góp c a các th y cô và các b n trong khoa

ầ I CAM OAN

Khóa lu n c a em đ c hoàn thành d i s h ng d n c a th y Tr n

V n B ng cùng v i s c g ng c a b n thân em Trong quá trình nghiên c u

và th c hi n khóa lu n em có tham kh o tài li u c a m t s tác gi ( đã nêu trong m c tài li u tham kh o )

Em xin cam đoan nh ng k t qu trong khóa lu n là k t qu nghiên

c u c a b n thân em không trùng v i k t qu c a các tác gi khác.N u em sai

em xin hoàn toàn ch u trách nhi m

7 Con l c đ n

8 nh lu t Newton và chuy n đ ng c a hành tinh

9 L c xuyên tâm và đ nh lu t II Kepler

L I NÓI U

S phát tri n c a toán h c tuy có nh ng b c th ng tr m t ng th i

đi m l ch s , song nh ng k t qu mà nó đ t đ c r r nh t là vào th k XX,

vi phân là m t ph n c b n c a Gi i tích Có th nghiên c u t ng ph n đ

th y đ c cái hay c a môn h c này và trong th c t c ng nh trong các môn khoa h c khác ph ng trình vi phân có nhi u ng d ng nh : gi i bài toán dao

đ ng lò xo, con l c đ n, đ nh lu t Newton…

Xu t phát t nh n th c trên và long ham mê môn h c, em m nh d n

ch n đ tài: “ M T S NẢ D NẢ C A Pả NG TRÌNH VI PHÂN” đ

th c hi n khoá lu n t t nghi p c a mình Khoá lu n bao g m các n i dung:

Ch ng 1: Ki n th c chu n b

Ch ng 2: ng d ng

CH NG 1: KI N TH C CHU N B

A M T S KHÁI NI M

1 C p c a ph ng trình vi phơn

C p c a ph ng trình vi phân là c p cao nh t c a đ o hàm xu t hi n trong ph ng trình

Ví d

3 2

- Tích phân hai v ph ng trình (2.2) ta đ c tích phân t ng quát c a (2.2)

nh t t ng ng Khi đó y yp  yc là nghi m t ng quát c a ph ng trình (7.1)

Q x d x d x   d xác đ nh các h s d d0, , 1 d ta thay (7.4) m vào (7.3) và sau khi gi n c

vì F  0không cho phép ta xác đ nh các h s d d0, , ,1 dm Ta tìm nghi m riêng * x d i d ng

*  k   x

m

y x x Q x e (7.6) xác đ nh các h s d d0, , ,1 d m ta làm nh ph n tr c

P x P x là các đa th c c a xb c không quá m và ít nh t

m t trong hai đa th c trên có b c b ng m Có th m t trong hai là h ng s

*  k   1   os   2  sin x

y x  x Q x c x Q x x e  (7.8) xác đ nh các h s c a  1     2  

,

Q x Q x ta thay * x vào ph ng trình (7.1) nh tr ng h p 1

CH NG 2 : NG D NG

Nhi u bài toán trong th c t cu c s ng, v t lý, hóa hoc, sau khi đ c toán h c hóa đã d n đ n ph ng trình vi phân Sau đây chúng ta s xét m t s bài toán nh v y

A M t s ng d ng trong v t lý

1 V n t c thoát kh i trái đ t

Nhi u bài toán v t lý d n đ n ph ng trình vi phân c p m t Xét bài toán xác đ nh v n t c c a h t chuy n đ ng theo h ng xuyên tâm đi ra xa trái đ t

và b tác đ ng ch b i l c h p d n c a trái đ t Gi s v n t c ban đ u theo

h ng xuyên tâm sao cho chuy n đ ng c a h t di n ra trên toàn b đ ng đi qua tâm c a trái đ t

Theo đ nh lu t h p d n c a Newton thì gia t c c a h t t l ngh ch v i bình ph ng kho ng cách t h t t i tâm trái đ t Gi s r là bi n kho ng cách

và R là bán kính trái đ t N u t bi u di n th i gian, v là v n t c c a h t, a là gia t c và k là h ng s t l trong đ nh lu t Newton thì ta có

R

  

t đó

2 2

gRa

r

  (1.1) Chúng ta s bi u di n gia t c qua v n t c và kho ng cách Ta có

M t h t chuy n đ ng t trái đ t v i v n t c ban đ u v0 mà v0  2gR

s thoát kh i trái đ t Do đó m c t i thi u c a v n t c chi u là

2

ve  gR

M t v t th r i t m t đ cao th i đi m t N u 0 h t  là đ cao

c a v t th i đi m t , gia t c a t  và v n t c v t thì   ta có m i liên h gi a , ,

l c thôi tác d ng thì lò xo s tr v v trí ban đ u N u l c có đ l n Q lb ,  

đ giãn c a lò xo là C ft thì ta có

QkC, k = const (3.1)

Gi s m t v t B n ng w lb  đ c g n vào cu i c a lò xo và đ c đ a

đ n đi m cân b ng (hình 1a)

Khi v t n ng B di chuy n t v trí cân b ng E thì chuy n đ ng c a B s

đ c xác đ nh b i m t ph ng trình vi phân v i các đi u ki n ban đ u

Gi s t là th i gian đo b ng giây đ c tính ngay khi chuy n đ ng

b t đ u Gi s x đo b ng feet là kho ng cách đo theo h ng d ng t đi m cân b ng (hình 1) Gi s chuy n đ ng c a B di n ra hoàn toàn trên đ ng

Tr ng l ng c a lò xo không đáng k so v i tr ng l ng c a B, vì th

ta l y kh i l ng c a B chia cho g , h ng s gia t c tr ng tr ng N u ngoài các l c trên không có l c nào tác d ng lên v t thì đ d ch chuy n x ph i tho mãn ph ng trình

T i th i đi m t , gi s v t r i đ c m t kho ng 0 x0t v trí cân b ng

và v n t c ban đ u v0 Bài toán xác đ nh v trí c a v t B th i đi m t b t k

tr thành vi c gi i ph ng trình vi phân v i các giá tr ban đ u

Do đó nghi m t ng quát c a (4.3) là

ta đ c

2P c ost2QsintAsint

đ ng nh t hai v ta đ c P và 0

2

AQ



  Khi đó

os2p

 N u   và 2 2

0

   thì đ t 2 2 2 Khi đó nghi m t ng quát c a (6.1) là

  1   2   3 

x t c e   c e    t (6.4) trong đó 3 t là nghi m riêng c a (6.1)

Gi s m t th i đi m ta có F t 0 khi đó n u   thì ph ng

trình (6.2) đúng và chuy n đ ng đ c g i là dao đ ng t t d n N u   thì

ph ng trình (6.3) có đúng và chuy n đ ng đ c g i là chuy n đ ng t t d n

t i h n N u   thì ph ng trình (6.4) đúng và chuy n đ ng đ c g i là quá ng ng t t d n

Bài 2 M t lò xo b giãn 0,64 ft b i m t v t n ng 4 lb   V t n ng b đ y lên

4 v Hãy tìm ph ng trình mô t v trí c a v t th i đi m t

Bài 3 M t lò xo b m t v t n ng 4 lb  kéo giãn 0,32 ft  V t n ng đ c g n vào lò xo và di chuy n trong môi tr ng n i cung c p m t l c t t d n có đ

M t s i dây dài C ft  đ c treo m t đ u đ nó có th chuy n đ ng trong

m t m t ph ng th ng đ ng Cho m t con l c B n ng w lb  đ c g n vào

cu i s i dây và kh i l ng c a s i dây không đáng k so v i kh i l ng c a con l c

Cho radians là góc l ch so v i ph ng th ng đ ng c a s i dây th i

đi m t s (hình 4) Thành ph n ti p tuy n c a l c là wsinvà nó có xu

h ng gi m t i  Do kh i l ng không đáng k c a s i dây và s d ng

S C  làm th c đo đ dài cung t v trí th ng đ ng nên ta có

2 2

w

w sin

d S

g dt    (7.1) hay

Ta có th s d ng nghi m c a (7.3) v i nh ng đi u ki n ban đ u thích

h p b t c khi nào v i nh ng đi u ki n đó  v n còn nh ,  0,3 radians 

trong đó  là h ng s h p d n Newton và r là kho ng cách gi a các tâm c a các v t

Chúng ta xét bài toán v chuy n đ ng c a m t tr i và m t hành tinh

đ n, chúng l n l t có kh i l ng là M và m Gi s M l n h n nhi u so

v i m và c ng có nh ng chuy n đ ng c a m t tr i gây ra b i l c h p d n gây

ra trên m t tr i vì kh i l ng c a hành tinh không đáng k

1

Rre

Ta th y

1 2

dee

9 L c xuyên tơm vƠ đ nh lu t II Kepler

Gi s l c đ a ra trong ph ng trình (8.3) là l c xuyên tâm thì thành ph n

Tích phân hai v (9.2) đ i v i kho ng th i gian t1  ta đ c t t2

 (9.3)

Ta th y tích phân ph ng trình (9.3) là di n tích c a m t mi n đ c gi h n

b i qu đ o c a hành tinh và hai thành ph n vecto th i gian t1và t2 Do đó

di n tích này ch ph thu c vào đ dài c a kho ng th i gian

K t qu trên đ c bi t là đ nh lu t II Kepler

Thành ph n vecto t m t tr i t i hành tinh quét đ c nh ng di n tích

b ng nhau trong nh ng kho ng th i gian b ng nhau

d u

b

d  

Do đó b2  và 0 b1  0

CMr

2 1

b CeM



 và 1

1Bb

 Khi đó

1 cos

Ber



 (10.7 )trong đó B và elà các h ng s d ng

Ph ng trình (10.7 )là ph ng trình trong to đ c c c a qu đ o hành tinh trong đó m t tr i là c c ó c ng là ph ng trình chu n trong to đ c c

c a m t hình nón v i tiêu đi m là c c và đ ng chu n vuông góc v i tr c

2 2

1

BeA

b CeM



 và 1

1Bb

ây chính là ph ng trình vi phân c a h đ ng cong (12.1 )

Vì t i giao đi m c a l và L to đ x y,  và X Y,  là nh nhau nên t

(12.2 và ) (12.3 )ta suy ra qu đ o đ ng giác L nghi m đúng ph ng trình

, ,

1

dYkdX

X Y

dYkdX

Khi đó hai đ ng cong l và L vuông góc v i nhau nên

1dy

dYdx

dX

 

Do đó qu đ o đ ng giác nghi m đúng ph ng trình

1, ,

X Y

dYdX

Kh  ta đ c

' yyx

r Ce 

o xy

 

Hay

0xdx ydy  Tích phân ta đ c

Nh ng

1 1 1

1 1

1

rk

F r  r

hay

., , r 0

1

, ,

rkrr

rkr

F r

rkr

r rrr

 và ph ng trình

vi phân c a qu đ o tr c giao là

2 1



  

hay

Nhi t đ c a v t thay đ i v i m t t c đ mà nó t l v i đ chênh nhi t đ

gi a môi tr ng bên ngoài và nhi t đ c a chính v t Gi s h ng s t l là

nh nhau dù nhi t đ t ng hay gi m

Gi s u(F) là nhi t đ c a nhi t k th i đi m t (phút) Th i gian

đ c đo ngay t lúc nhi t k đ c đ t bên ngoài Ta có khi t thì 070

k

F Tìm nhi t đ sau b y phút khi nhi t k đ c mang

ra ngoài

2 S chuy n đ i các hoá ch t đ n gi n

K t qu c a các cu c thí nghi m ch ra, trong các ph n ng hoá h c trong đó ch t A chuy n thành m t ch t khác thì t c đ chuy n hoá t l v i

l ng ch t không b chuy n hoá x

Gi s l ng ch t không b bi n đ i th i đi m t là 0 x0 Khi đó

3 T ng tr ng logictic vƠ giá c hƠng hoá

Nhi u n l c đã đ c th c hi n đ phát tri n các mô hình nghiên c u

s phát tri n c a dân s M t trong nh ng mô hình đ n gi n cho vi c nghiên

c u đó là: gi s t l sinh đ trung bình là h ng s d ng và t l t vong trung bình t l v i dân s

N u x t là dân s th i đi m t thì gi s trên d n đ n ph ng trình

vi phân

1dx b ax

x dt   (3.1 )

Trong đó b và a là các h ng s d ng Ph ng trình này đ c g i là ph ng trình logictic và s phát tri n c a dân s đ c xác đ nh b i ph ng trình (3.1 )

đ c g i là t ng tr ng logictic

T (3.1 ta có )

Ph ng trình logictic (3.1 ) cho bi t s t ng tr ng hay suy gi m c a dân s

ph thu c vào dân s ban đ u ít h n hay l n h n a

b Xét m t ví d n a v ng d ng c a ph ng trình vi phân c p m t Xét

mô hình kinh t c a m t th tr ng hàng hoá nh t đ nh Gi s giá c P, ngu n cung S và nhu c u Dc a hàng hoá là nh ng hàm th i gian và s bi n thiên c a giá c t l v i đ chênh gi a nhu c u và ngu n cung Ngh a là

qu n th ban đ u là 1000 và m t tr ng thái cân b ng c a qu n th là 10.000

Ki m tra cho th y cu i m t gi có 2000 vi khu n hi n di n Hãy xác đ nh

qu n th nh m t hàm c a th i gian

2 Vi c cung c p th c ph m cho m t dân s nh t đ nh s tu thu c vào s thay đ i theo mùa nh h ng đ n t c đ t ng tr ng dân s Ph ng trình vi phân dx

dt = Cx(t)costdx Cx t cost

dt  , trong đó C là h ng s d ong, quy đ nh

mô hình đ n gi n cho s t ng tr ng dân s theo mùa Gi i ph ng trình vi phân trong gi i h n c a dân s ban đ u x0và h ng s C Hãy xác đ nh dân s

l n nh t và nh nh t và kho ng th i gian gi a nh ng giá tr l n nh t

3 Gi s c th con ng i tiêu hao m t lo i thu c m t m c t l thu n

v i s ti n thu c yxu t hi n trong máu th i đi m t th i đi m t , m t 0

m i tiêm đ u tiên c a y g0 thu c đã vào trong c th mà tr c đó trong c

th không có thu c

a Tìm l ng thu c còn l i trong máu cu i T gi

b N u th i đi m T m i tiêm th hai c a y g 0  đ c đ a vào c th thì hãy tìm l ng thu c còn l i cu i 2T gi

c N u cu i m i khoang th i gian có đ dài T m t li u thu c y g 0 

đ c đua vào c th thì hãy tìm l ng thu c còn l i cu i nT gi

d Tìm giá tr gi i h n c a k t qu ph n c khi n ti n ra vô cùng

4 N u hàm c u và cung cho m t th tr ng hàng hoá là D c dP  và

a sin

S t thì hãy xác đ nh P t và   phân tích dáng đi u c a nó khi t t ng

5 Nghiên c u m t th tr ng hàng hoá nh t đ nh cho th y hàm c u và cung

b nh thì hãy ch ra r ng s sinh viên m c b nh th i đi m t đ c cho b i

ph ng trình

100 100

10099

kt kt

eI

e





Tuy nhiên, trong quá trình nghiên c u, do th i gian và ki n th c còn

h n ch nên em không th tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n

đ c s đóng góp ý ki n c a quý th y cô và các b n trong khoa đ khóa lu n

c a em đ c hoàn thi n h n

Qua đây em xin chân thành c m th y Tr n V n B ng – gi ng viên

tr ng i h c S Ph m Hà N i 2 đã t n tình giúp đ và h ng d n đ em hoàn thành t t khóa lu n này

Em xin chân thành c m n!

TẨI LI U THAM KH O

1 Nguy n Th Hoàn – Ph m Thu C s ph ng trình vi phân và lí

thuy t n đ nh, NXB Giáo d c, 2007

2 Earl D Rainville – Phillip E Bedient – Richard E Bedient

Elementary Differential Equation, Prentice Hall, Upper Saddle

River, NJ 07458