Trong do viec nghién cùu dàng dieu tiem can cùa he dóng lue là mot trong nhung bài toàn dóng vai trò trung tàm cùa ly thuyét he dòng lue va ly thuyét dình tinh phuang trình vi phàn.. * T
Trang 1DAI HOC QUOC GIÀ HA NOI TRUÒNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIÈN
Trang 2DAI HOC QUOC GIÀ HA NOI TRUÒNG DAI HOC KHOA HOC TU NHIÈN
T.S Nguyén Thiéu Huy T.S Nguyén Sinh Bay Th.s TrdnTà't Dgt
CN Nguyén Bùi Cifong
HA NOI-2007
Trang 3Bào cào tóm tàt :
a Tén de tài : Dàng dieu tiem càn cùa he dpng lue va mot sóùng dung
cùa phuùng trình vi phàn co cham
Ma so: QT 06-01
b Chù tri de tài: PGS.TS Dàng Dình Chàu
e Cac càn ho phdi hgfp :
TS Nguyén Thiéu Huy
TS Nguyén Sinh Bay Thgc SI Tran Tàt Dgt
CN Nguyén Bùi Cuc/ng
d Muc tiéu va nói duns nshién cihi:
He dòng lue tóng quàt là mot trong nhung mò hình ly thuyét toàn hoc co nhiéu ùng dung quan trong trong thuc té Nhung còng trình nghién cùu ve ly thyét He dóng lue tóng quàt bàt dàu xuàt hién tu nùa dàu the' ky XVII nhung hien nay day vàn là nhùng phuang huóng nghién cùu cùa ly thuyét toàn hoc dugc nhiéu nhà khoa hoc quan tàm nhàt Trong
do viec nghién cùu dàng dieu tiem can cùa he dóng lue là mot trong nhung bài toàn dóng vai trò trung tàm cùa ly thuyét he dòng lue va ly thuyét dình tinh phuang trình vi phàn Vói muc dich tùng buóc di sàu vào viec nghién cùu nhung tinh chat ca bàn cùa he dòng lue tóng quàt va khai thàc càc khà nàng ùng dung cùa nò, chùng tòi ( trong de tài QT 06-01) dà trién khai nghién cùu va giài quyét càc bài toàn cu the sau day:
(*) Nghién cùu tinh ón dình va su tuang duang tiem can cùa phuang trình tuyén tinh co cham vói nhiéu tuyén tinh va nhiéu phi tuyén
(*) Nghién cùu mot so' tinh chà't tiéu biéu cùa nùa nhóm rài rac , trình bay mot so dieu kien dù ve su tuang duang tiem can cùa nùa nhóm ròi rac va ho càc toàn tu tién hoà ròi rac
(*) Tinh chà't hàu tu dàng càu cùa nghiem bi chan cùa phuang trình vi phàn vai bién hàng tùng khùc
(*) Ap dung mot so két qua nhan dugc cho mò hình ngoai thuang da quóc già
(*) Nghién cùu mò hình dàn so' phi tuyén phu thuoc vào lùa tuoi va càc ùng dung cùa ly thuyét dinh tinh phuang trình vi, sai phàn trong mò hình dàn so
e Càc két qua dat dugc
• Viét dugc 2 bài bào(dà dàng) va hoàn thành 1 bài bào (dà gùi dàng) ,1 bào cào hòi nghi khoa hoc nhàn dip ky niem 50 nàm truyén thò'ng DHTH Ha Nói
• Hoàn thành 3 luan vàn thac si (dà bào ve)
7 Tình hình kinh phi ciìa de tài: Dà thanh toàn theo dung du dinh
Xàc nhàn cùa BCN khoa
Triròìig Dai hoc Khoa hoc Tir nhién
Trang 4MUC LUC
MÒ DAU 4 CHlTONG 1 Mot so và'n de ve phuang trình vi phàn hàm 5
1 Dinh nghia va ki hieu 5
2 Diéu kien dù ve sir ón dinh déu va 6n dinh tiem càn déu 8
3 Tuang duang tiem càn cùa phuang trình vi phàn co chàm trong
khóng gian Banach 10
C H L T O N G 2 Tinh hàu tu dàng cà'u cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn 13
1 Tóng cùa toàn tu giao hoàn va su tón tai cùa nghiem hàu tu dàng
càu 13
2 Càc he dòng lue rói rac va su lién he vói càc he dòng lue lién
tue 14
CHl/ONG 3 Mot so mò hình ùng dung 17
1 He dòng lue trén nhóm dugc sàp thù tu va khai niem ma dàu 17
2 Mò hình dàn so 19
3 Mò hình ngoai thuang da quóc già 25
KÉT LUAN 30 TÀI LIEU THAM KHÀO 31
PHU LUC
Trang 5M O D A U
Trong nhùng nàm gàn day, tàp the nghién cùu "Ly thuyét dinh tinh cùa phuang
trình vi phàn'" thuóc bg món Giài tich Khoa Toàn - Ca - Tin hoc Truòng Dai Hgc
Khoa hgc Tu Nhién, Dai Hgc Quóc Già Ha Nói dà tién hành nghién cùu nhiéu de tài khoa hgc(toàn hgc) dugc dành già co chà't lugng cao Két qua nhan dugc trong càc de tài này là dà tap trung vào mot huóng nghién cùu mang tinh thói su va co y nghia khoa hgc sàu sàc ve mat ly thuyét Tuy nhién, de dàp ùng nhu càu bue thiét cùa viec ùng dung càc thành tuu dò vào càc bài toàn thuc té phuc vu cugc song nói chung va trong khoa hgc hgc ùng dung nói riéng dòi hòi nhùng nguài làm còng tàc khoa hgc càn biét tu trang bi thém cho minh nhiéu kien thùc mai va càc còng
cu tinh toàn thich hgp De tài mang ma so 06-01 là mot buóc phàt trién tiép nói càc két qua dà co va bàt dàu khai thàc càc khà nàng ùng dung cùa càc két qua nhan dugc toàn bó noi dung cùa de tài gòm ba chuang:
Chuong 1: Trình bay mot so két qua ve dàng dieu cùa he dóng lue tuyén tfnh va
phi tuyén yéu
Chuang 2: Nghién cùu su tón tai cùa nghiem hàu tuàn hoàn va hàu tuàn hoàn tiém
can cùa phuang trình vi phàn trung tfnh vói bién hàng tùng khùc
Chuang 3: Trình bay mot so két qua trong viec khai thàc khà nàng ùng dung cùa
càc két qua nhan dugc cho mò hình dàn so co su nhap cu di cu va mò hình ngoai thuang da quóc già
Trang 6CHllÒNG 1
Mot so vàn de ve phuang trình vi phàn hàm
1 Dinh nghTa va ky hiéu
Chùng ta chgn mot so ki hiéu sau: R^ là khóng gian véc to Euclidean n chiéu voi chuan
|.|, va khi n = 1 ta ki hiéu don gian là R Vói b > a, chung ta ky hiéu C{[a,b],R'^) là khóng gian Banach càc hàm lién tue trén doan [a,b] vào R^ vói tó pò hòi tu déu Vói mòi
(p G C([a,ò],i?"), chuàn cùa (p dugc dinh nghla là \\ip\\ = supa^e^b\v{d)\- Dàc biét, khi [a,b] = [—7', 0], trong do r là hàng so duang, chung ta sé ky hiéu C = C{[-r,0],R^) Vói
io e R,A>0,x e C{[to - r,to + A],R'') va t G [to,to + A] chùng ta ky hiéu xt E C nhu
sau xt{9) = x{t + e),9 e [-r, 0] Già su fi là tàp con cùa i? x C, / : fi -^ /?" là mot hàm
cho truóc, va " " dugc hiéu là dao hàm phài Khi dò:
(1) x{t) = f{t,xt)
chùng ta goi phuang trinh trén là phuang trinh vi phàn co cham (RDEs),(DDEs) hoac phuang trình vi phàn hàm (FDEs) trén fi
Dinh nghia 1.1 Hàm x{a, (p) dugc ggi là nghiem cùa phuang trinh (1) néu tón tai a G i?
va >1 > 0 sao cho X{G, ip) là hàm lién tue tir [a, a + A] vào i?" co càc tfnh chat sau:
(i) xt{a,^) eC {a ^ t ^ a + A)
(ii) Xt{a,ip), (a ^ t ^ a + A), Ik càc hàm ihòa man phuong trinh (1)
Dinh nghla L2 Hàm x{to,ip) dugc goi là nghiem cùa phuang trinh (1) vói diéu kien ban dau (^ G C tai to néu tón tai yl > 0 sao cho x{tQ,(p) là hàm lién tue tu to,to -h A] vào R"'
thoà man càc diéu kien:
(i) x{to,(p) là nghiem cùa phuang trinh (1)
Trang 76
Chùng ta ggi phuang trình (1) là tuyén tfnh néu f{t,Xt) = L{t,Xt) + h{t) trong dò L{t,Xt)
là tuyén tfnh dói voi x^ tuyén tfnh thuàn nhàt néu h{t) ^ 0 Chùng ta ggi (1) là ótónóm néu f{t,xt) = g{Xi) a day g{t) khóng phu thuóc vào t, truòng hgp con lai ta ggi là khóng
ótónóm
Gióng nhu phuang trình vi phàn thucmg (ODEs) ta cung co càc két qua tuang tu nhu sau:
Bó de 1.3 Nèu to G i?, (/? G C cho truàc va f{t,(p) là hàm lién tue trén fi thì viec tìm
nghiem phuaìig trình (1) tuang duang vai viec gidi phuang trình tich phàn sau:
x{t) = ip{0) + Jlf{s,Xs)ds;t>to,
^to = ^\
Dinh ly 1.4 (Tén tgi nghiem) Già su Vi là tàp ma trong Rx C va f là hàm lién tue trén
fi va f lién tue trén fi Né'u {to, (p) G fi, thi tón tgi nghiem cùa phuang trinh (1) di qua {to, (p)
Chùng ta ggi f{t,(p) là Lipschitz vói (p trong tap compact K cùa Rx C néù tón tai so duang A; > 0 sao cho, vói mòi (t,(pi) E K\i =^ 1,2
\f{t.cpi)-f{t,<Pi)\^k\(Pi-(P2\
Dinh ly 1.5 (Duy nhàt nghiem) Già su fi là tàp ma trong R x C, f : Q, ^ R^ lién tue ,
va f{t, (p) là lipschitz vai (p trén mèi tàp compact trong fi Neu (to, p) G fi, thì co duy nhàt nghiem cùa phuang trình (1) di qua {to,<p)
Ta co thè di tim nghiem cùa phuang trinh vi hàm (1) bang hai phuong phàp là phuang phàp tùng buóc va phuang phàp Laplace
Vi du 1.6 (giài bang phuang phàp Laplace) Xét phuang trinh vi phàn co cham:
x{t) = x{t~ 1) ip{t) = t,-l ^t^O
Ta co: x{t) -^ X{p)] x{t) ^ pX{p), x{0) = ^{0) = 0
Néu / ( t ) -^ F{p) va to > 0 thì f{t - to) -^ e~''^F{p)
x{t - 1) -^ e-P[ / e~^'p{t)dt + X{p)] ^ ^—^ - - -f e'^X{p)
Phuong trình vi phàn co chàm dang xét dugc dua ve dang:
Trang 8Mot so* v^n de ve phuang trình hàm
Ta se tìm nghiem x{to,(p),{to = l) , cùa phung trình vi phàn trén doan [0,3] Theo he qua 1,
nghiem cùa phuang trình vi phàn trén co dang:
x{t) = ip{l) + jl Qx{s - l)ds] t>l, x{t) = ip{t) O^t^l;
Trén doan [1,2] ta co:
hay
Trén doan [2,3] ta co:
x{t) = ip{l) + J^6sds;2 >t>l, x{t) = ip{t) O^t^l;
x{t) = l + 3{t-iy;2>t> 1, x{t) = ^{t) 0 ^ i ^ 1;
x{t) = ip{2) + /^ 6x(s - ì)ds; 3 > i > 2,
x(0 = l + 3 ( i - l ) 2 ; 2 > i > 1, Suy ra,
xit) = 6{t - 2)[{t - 2)2 + 1] + 4; 3 > f > 2,
x(i) = l + 3 ( i - l ) 2 ; 2 > t > 1, Nhu vày, nghiem cùa phuang trình trén [0,3] là
x{t) = t;l>t>0, x{t) = l + 3 ( < - l ) 2 ; 2 > t > 1, xit) = 6(i - 2)[{t - 2)2 + 1] + 4; 3 > t > 2,
Trang 98
CU nhu vay ta co the ma rgng nghiem trén mot doan hiju han tuy y
Gióng nhu phuang trình vi phàn thuòng (ODEs) ta cung co càc két qua tuang tu nhu sau:
Bó de 1.8 Neu to e R,(p E C cho truàc va f{t,(p) là hàm lién tue trén fi thì viec tìm
nghiem phuang trình (1) tuang duang vai viec gidi phuang trình tich phàn sau:
x{t) = cp{0) + Jl f{s, Xs)ds; t > to,
Dinh ly 1.9 (Tón tgi nghiem) Già su fi là tàp ma trong RxC va f là hàm lién tue trén
fi va f lién tue trén fi Néu {to, p) G fi, thì tón tgi nghiem cùa phuang trình (1) di qua (to, v^)
Chùng ta ggi f{t, cp) là Lipschitz voi (p trong tap compact K cùa RxC néu tón tai so duang A; > 0 sao cho, vói mòi (t,(pi) E K\i = 1,2
\f{t,<Pi)~f{t,cpi)\^k\<P,-<P2\
Dinh ly 1.10 (Duy nhàt nghiem) Gid su fi là tàp ma trong Rx C, f : fi -^ R"" lién tue ,
va f{t, (p) là lipschitz vai (p trén mèi tap compact trong fi Né'u {to, p) E fi, thì co duy nhàt nghiem cùa phuang trình (1) di qua {to, p)
Ta co thè di tim nghiem cùa phuang trinh vi hàm (1) bang hai phuong phàp là phuang phàp tùng buóc va phuang phàp Laplace
Bay giò chùng ta xét mot truòng hgp riéng cùa phuang trinh vi phàn hàm dò là phuang trình
vi phàn co chàm co dang trong tài liéu [?]
x{t) = Ax{t) + Bx{t - r) + f{t)
Sau khi nghién cùu, chùng tòi dà dat dugc mot so càc két qua ve diéu kién dù cùa su ón dinh déu , ón dinh tiém càn déu va tfnh tuong duong tiém càn cùa phuang trinh co dang trén
2 Diéu kién dù ve su ón dinh déu va ón dinh tiém càn déu
De thuàn tién cho viéc trinh bay két qua lói xin dugc néu lai càc khai niem ón dinh cùa phuong trình vi phàn hàm hay phuang trinh vi phàn co cham:
Dinh nghla 2.1 nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa he (1.1) dugc goi là ón dinh iheo Lyapunov khi t —)• CXD néu Ve > 0 : 3^ — 6{e,(p);^p E C sao cho ||c^|| < 5 ta co
\\x{t,to,ip)\\ < e ; V t > t o
Dinh nghla 2.2 nghiem tàm thuòng x{t) ~ 0 cùa he (1.1) dugc ggi là ón dinh tiém càn
theo Lyapunov khi t —^ oc néu nò thoà man càc diéu kién sau:
Trang 10M6t s6' v^in de ve phucmg trình hàm ' i) NÒ Ón dinh theo Lyapunov
ii) Vto G [a, +00) : 35 = S{to) \\fp>EC sao cho \\p\\ < 5 ta co:
lim||x(t,to,v:^)|| = 0
Dinh nghla 2.3 nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa he (1.1) dugc goi là ón dinh mù néu
vói mòi nghiem x{t) = x{t, to, (p),ipEC luón luón tón tai càc hàng so M, A > 0 khóng phu
thuóc vào (p E C sao cho:
||x(t)||^M.||(/.(to)||-e-^(^-*°);Vt>to
Càc ón dinh trén dugc goi là déu néu 6 khóng phu thuóc vào diéu kién ban dàu tue là
khóng phu thuóc vào ip
Chùng ta xét phuong trinh vi phàn:
(2) ^ = Axit) + f{t,x{t + 6)y,t>0,
at
vói diéu kién ban dàu x{t) = p{t), -h^t ^0 Trong dò x(.) E E\AE L{E); (thóng thuòng
toàn tu A khóng giói nói trong khóng gian E)\f{t,x{t + d)){t){-h ^9^0) thòa man:
voi diéu kien ban dàu: x{t) = p{t), -h ^ t ^ 0] ip{.) E C([-h,0],, E) Khi dò,
phuong trinh (2) thòa man diéu kién cùa dinh ly tón tai va duy nhàt nghiem Do dò, phuong
trình (2) co nghiem duy nhàt trén nùa truc (0, 00) va nò co dang:
x{t) = T{t)p{0) + /Q T{t - 5)/(5, x(5 + 9))ds; t > 0,
x(t) = ^{ty,-h ^ t ^ 0 voi (r(t))(>o là nùa nhóm lién tue manh sinh ra bòi toàn tu A Bang càch su dung bó de
Grown-Belmann cùa phuong trình vi phàn co chàm ta co dinh ly sau:
Dinh ly 2.4 (i) Neu ||r(t)|l ^ M,\'t > 0 ;/// nghiem làm thuòng x{t) = 0 cùa phuang
trinh (2) là ón dinìi déu
(ii) Neu lim(_»3c ||2"(t)|| = 0 thì ngìiiém tdm thuang x{t) = 0 cùa phucnig trinh (2) là ón
dinh mù déu
Tu dò» chùng tòi co dua ra diéu kién dù cùa su ón dinh déu va ón dinh mù déu cùa phuong
trình (2) khi E = R"" nhu sau:
Trang 1110
He qua 2.5 Càc tfnh chat sau là tuang duang:
a) | | r ( t ) K M ; V t > 0
b) nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuong trinh (2) ón dinh
e) nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuang trình (2) ón dinh déu
d) tàt cà càc già tri riéng A cùa A thòa man ReX ^ 0, va néu i?eA = 0, thi A = 0 va A là già
tri don (tue là, ò Jordan ùng vói A co co là 1)
He qua 2.6 Càc tfnh chà't sau là tuang duong:
a) l i m , ^ o o | | r ( t ) | | = 0
b) ||r(t)|| ^ C e " ^ ^ V t > 0
e) nghiem tàm thuòng x{t) = 0 cùa phuang trinh (2) ón dinh tiem càn déu
d) nghiem tàm thuòng x{t) — cùa phuong trinh (2) ón dinh mti déu
e) tàt cà càc già tri riéng cùa A déu co phàn thiic àm, tue là, ReX < 0;VA G a{A)
3 Tuang duang tiém can cùa phuang trình vi phàn co cham trong khóng gian Banach
Sau day, chùng tói giói thiéu tfnh tuong duang tiém can hai he phuang trình vi phàn sau:
(4) ^ = Ax{t),t>0,
at
(5) '^=Ay{t)-\-f{tMt + 6)),t>^,
Dinh nghla 3.1 phuong trinh (4) va phuang trinh (5) goi là tuong duong tiém càn Néu
mgi nghiem x{t) cùa phuang trinh (4), déu co nghiem y{t) cùa phuong trinh (5) sao cho:
(6) lim | | y ( t ) - x ( t ) | | - 0 ,
va ngugc lai vói mói nghiem y{t) cùa phuong trinh (5) co nghiem x{t) cùa phuang trình (4)
sao cho thòa man (6)
Khi dò chùng tòi dà chùng minh dugc su tuong duong tiém càn cùa hai he nhu sau:
Dinh ly 3.2 Gid su tón tgi càc so duang M, C, u va phép chié'u P : E ^ E sao cho:
(a): |ir(t)P|| ^ : U e - - ^ V t G / ^ + ,
(b): \\T{t){I-P)\\^C,ytER
thì khi dò phuang trình (4) va phuang trình (5) là tuang duang tiém càn
Tuong tu nhu két qua a bài bào [?], chùng tói dua ra két qua de àp dung nhu sau:
He qua 3.3 Phuang trinh (4) va phuang trình (5) là tuong duong tiém càn néu 1 trong càc diéu kién sau duoc thòa man:
Trang 12Mot s6' và'n de ve phucmg trình hàm U
i): {T{t))t'>o là tap compact cuoi cùng va bi chan déu
ii): X ~ R"^ va {T{t))t>o bi chan déu (Levinson's theorem)
Trang 13CHlJÓNG 2
Tinh hàu tu' dàng càu cùa nghiem cùa phu'ong trình vi phàn
1 Tóng cùa toàn tu gìao hoàn va su tón tai cùa nghiem hàu tu dàng càu
Trong phàn này chùng ta quan tàm dén sir tón tai cùa nghiem dù tòt hàu tu dàng càu cho càc phuang trinh tién hoà co dang
du
(7) — = Au + f{t),
a day A là mot toàn tu tuyén tfnh (khóng bi chan) ma sinh ra mot nùa nhóm chinh hình cùa
càc toàn tu tuyén tfnh trén mot khóng gian Banach X va / là mot hàm hàu tu dàng càu nhan già tri trong X
Chùng ta già su ràng A là toàn tu sinh cùa mot nùa nhóm giài tfch cùa càc toàn tu tuyén
tfnh trén X Càc nghiem dù tòt trén R cùa Eq (7) dugc hiéu là càc nghiem lién tue cùa phuong trinh duói day
x{t) = T{t - s)x{s) + I T{t- OfiOdt Vt>s,t,sE E,
o day A là toàn tu sinh cùa nùa nhóm {T{t))t^]^ va / E AA{X)
Nhàc lai ràng spu{g) dugc dinh nghia là phó déu cùa g Két qua duói day dà dugc chùng
minh trong [?]:
Dinh ly 1.1 Cho A là toàn tu sinh cùa mot nùa nhóm gidi tich va cho f E AA{X) Thè'
tìiì tón tgi duy nhàt mot nghiem dù tot g E AA{%) cùa Eq (7) sao elio spu{g) C spu{f) vài diéu kien là a {A) fi ispu{f) — 0 duac tìiod man
Diéu này ma róng mot két qua dà biét trong huóng này Hon thè, phuong phàp chùng minh dua trén khai niem ve phó déu là mói Chù y ràng hàm hàu tu dàng càu khóng nhàt thiét là lién tue déu Vi vay, càc phuong phàp truóc day dua trén tinh lién tue déu khóng làm viéc dugc trén bài toàn tóng quàt khi ma / khóng lién tue déu
Tiép theo, chùng ta xét càc phuong trình co dang
dx
(8) — = A{t)x^f{t),
13
Trang 1414
a day A{t) là mot toàn tu tuyén tinh (nói chung khóng bi chan) trén mot khóng gian Banach
X ma sinh ra mot qua trinh tién hoà 1-tuàn hoàn {U{t, s))t>s, va / là mot hàm hàu tu dàng
càu nhan già tri trong X trén R Chùng ta quan tàm càc diéu kien ma dói vói no moi nghiem
dù tot giói nói cùa phuong trình này là hàu tu dàng càu Toàn tu C/(l, 0) dugc ggi là toàn tu monodromy két hgp vói phuang trình
Dinh ly duói day dà dugc chùng minh trong [?]:
Dinh ly 1.2 Cho A{t) trong Eq (8) sinh ra mot qua trinh tién hoà lién tue mgnh l-tudn
lioàn, va cho f là hdu tu dàng càu Gid su thém ràng khóng gian X khóng chùa khóng gian con nào dàng càu vài CQ va phàn pho cùa toàn tu monodromy U{1,0) trén duang tran dan vi
là dém dugc The thì, mgi nghiem dù tot giài nói cùa Eq (8) trén duàng thàng thuc là hàu
tu dàng càu
Chù y ràng càc két qua tuong tir dùng dói vói tfnh hàu tuàn hoàn Tuy nhién, càc phuang phàp chùng minh càc két qua nhu vay dira nhiéu vào tfnh lién tiac déu cùa /
2 Càc he dóng lue ròi rac va su lién he vai càc he dóng lue lién tue
Xét phuong trinh sai phàn tuyén tfnh
(9) Xn+l = BXn + fn, TI E Z,
ò day B là mot toàn tu tuyén tfnh giói nói Duói day chùng ta se ky hiéu ar{B) phàn phó cùa B trén duòng tròn don vi F cùa mat phàng phùc Nhàc lai ràng sp^{x) ky hiéu phó cùa day X dói vói mot khóng gian A ma thoà man Diéu kién H
Bó de 2.1 Cho x E l'^{X) là mot nghiem cùa (9), va cho f E A The thì
(10) spA{x)Car{B)
BÓ de 2.2 Cho A là khóng gian cùa tàt ed càc day ìiàu tu dàng càu trong X, va cho
X E /°^(X) sao cho spj,{x) là dè'm dugc Han the, gid su ràng khóng gian X khóng chùa khóng gian con nào dàng càu vài Co The thì, x E A
Dua trén càc Bó de này chùng ta co thè chùng minh Dinh ly duói day ([?]):
Dinh ly 2.3 Cho B là mot toàn tu tuyè'n tinh giài nói trong X vài ar{B) là dè'm duac,
va cho X khóng gian con nào dàng càu vài CQ Già su thém ràng {xn}n<^z là mot day bi cliàn thod man phuang trình
(11) Xn^\ = BXn + Vn U E Z,
à day {yn}n€Z E aa{li) The thì {x„} là ìiàu tu dàng càu
Trang 15Tfnh hàu tu ding c^u cùa nghiem cùa phifong trình vi phAn 15 Nhò mói quan he giùa càc phuong trinh ròi rac va càc phuong trinh lién tiic chùng ta co
duói day:
Bó de 2.4 Cho u là mot nghiem dù tot giài nói cùa (8) trén R va f là hàu tu dàng càu
Khi dò, u là hàu tu dàng càu né'u va chi né'u day {u{n)}n€Z là hàu tu dàng càu
Vi vày, bó de trén cho phép chùng ta su diing càc ké't qua ve tfnh hàu tir dàng càu cùa
càc day de chùng minh càc két qua tuong tir cùa nghiem cùa phuang trình vi phàn Ky thuàt
này dac biét hiru fch khi / khóng lién tue déu
Bay giò chùng ta xét dàng diéu cùa nghiem cùa phuang trình xàc dinh trén nùa duòng
Dinh ly 2.5 Cho x E 1^{X) là ergodic toàn cuc va a\p{x) là dè'm dugc The thì x là
hàu tuàn hoàn tiém càn
Dinh ly 2.6 Gid su ràng phàn cùa a{B) trén duàng tròn dan vi là dè'm dugc, f là hàu
tuàn hoàn tiém can, x là mot nghiem giài nói cùa (12) ma là ergodic toàn cuc The thì, x là
hàu tuàn hoàn tiém càn
Chùng ta xét duói day phuong trinh
(13) ^^{t) = A{t)x{t) + f{t), t G R + ,
ò day A{t) là mot toàn tu tuyén tfnh trén X ma sinh ra mot qua trinh tién hoà 1-tuàn hoàn
va / là hàu tuàn hoàn tiém can
Dinh ly 2.7 Gid su ràng Eq(13) eó mot nghiem bi chgn x{t), phàn pho cùa a{U{\,Q)
trén duàng tròn dan vi là dè'm dugc, day {x(n)}^^,^- là ergodic toàn cuc Tliè'thì, x{t) là ìiau
tuàn hoàn tiém càn
Trang 16CHUÓNG 3
Mot SO mò hình ùng dung
1 He dòng lue trén nhóm dugc sàp thù tu va khai niém ma dàu
1.1 He dóng lue dugc sàp thù tu dàc biét Ta ggi [M, G, / ] là he dòng lire dugc sàp
thù tu dac biét, trong dò:
M là khóng gian metric G là nhóm dugc sàp thù tir dac biét / là ành xa tu khóng gian
tfch M X G vào M thoà man càc tfnh chat sau:
(i) f{p,e)=p
(ii) f{f{P.9i).92) = f{p.gi92)
(iii) Vói mpi p E M , phàn tu 5 G G va so £ > 0, tón tai so 6 > 0 sao cho vói mgi
q E S{p,6) bàt dàng thùc p{f{p,g)J{q,g)) < e(*) thoà man
Dói khi diéu kién cuoi ta thay bang diéu kién lién tue manh hon là diéu kién lién tue tfch
phàn: vói moi go E G^, so e > 0 va p G M, tón tai so 5 >) sao cho vói mgi q E S{p, 6) bàt dàng thùc (*) thirc hien vói mgi g E {e,go)-
Già su ^ C M, K C G, ta ki hiéu:
f{A,K)^{f{p,g):pEA,gEK}
J:A^f{A,G),E^ = f{A,G+)
Hàm f{p,g) vói diém p co dinh goi là chuyén dòng Tàp goi f{p, G) là quy dao cùa chuyén
dóng (hay quy dao toàn phàn
1.1.1 Tdp bàt bien Tàp A C R oq\ là tàp bàt bién néu f{A,g) = A vói moi g E G
Dinh ly 1.1 Tcjp bàt bien là nwt tàp tgo nèn tu hgp cùa mot so càc quy dao toàn phàn
va ngU(fc lai tàp tu/p càc quy dao toàn phàn làp nèn mot tàp bàt bien
Dinh ly 1.2 H(/p bàt kì cùa càc tcìp bàt bien là nwt tàp bàt bien Giao bàt kì cùa cac
tàp bàt bien là mot tàp bàt bien Phàn bù cùa tàp bàt bien cùng là mot tàp bài biè'n Dao dóng cùa tcìp bàt biè'n cùng là mot làp bài biè'n
1.2, Tàp ij.'-giai han ciia he dòng lue
Hij v"E^
Trang 1718
Dinh nghla 1.3 Diém u)- giói han Diém q E M goi là cu- giói han cùa chuyén dóng
f{p, g) néu vói mgi làn can Uq, V5 G G, tón tai phàn tu g' E Gsao cho g' > g va f{p, g') E U,^
Tap hgp tàt cà càc diém a;- giói han cùa chuyén dòng f{p,g) ta kf hiéu là fip
Tuong tir ta co djnh nghla diém a-giói han cùa chuyén dòng f{p,g) néu vói moi làn can Uq
Mg E G, tón tai phàn tu g' E Gsao cho 5' < g va f{p,g') E Ug, Tàp hgp tàt cà càc diém
u-giói han cùa chuyén dòng f{p,g) ta ki hiéu là Ap
Dinh ly 1.4 Tàp flp{Ap) là tàp dóng bàt bien
Dinh ly 1.5 (i) Néu q E f{p,G) thì fip - fi,
(ii) g G E+ thì fig C fip
1.3 Chuyén dóng ón dinh theo Lagrange Ta dà biét ky hiéu T>A = f{A,G),T.^ =
f{A,G^)
Dinh nghla 1.6 Chuyén dóng f{p,g) là ón dinh duong (ón dinh ) theo Lagrange néu
E+(Sp) là tàp compact
Dinh ly 1.7 Néu G là mot nhóm eó huàng va chuyén dóng f{p,g) là ón dinh Lagrange
tlieo huàng duang thì fi 7^ 0
Djnh ly 1.8 Néu G là mot nhóm co huàng va chuyén dòng f{p,g) là on dinh Lagrange
tlieo huàng duang thì vài mgi e > Q va vài mgi g E G luón tón tgi g' > g sao cho
p{f{p,g'),Qp)<e
1.3.1 Diém dùng
Dinh nghla 1.9 Diém p hay quy dao f{p,g) goi là diém dùng néu vói mgi g E G Va co
f{p.g) ^
p-Dinh ly 1.10 Tcìp hgp càc diém dùng là tcìp dóng Khóng mài quy dao nào khàc diém
dùng leu co thè rc/i vào diém dùng lai mot pliàn tu g E G
Dinh ly 1.11 Nè'u ch'il veri bàt ky 5 > [) nìió lux y, tón tgi q E S{p, 8) sao elio f{q, G) C
S{j),S) thi j) là dièm dùng yèn
Trang 18Cac mó hình img dung _ ^ ^
2 Mò hình dàn so
Sau day chùng tói xin dugc giói thiéu so qua ve mot so mó hình dàn so co dién
2.1 Mó hình dàn so co dién cùa Malthus : Nàm 1789 TR.Malthus dat ra mó hình
dàn so dóng lue ma trong do toc dò tàng truòng cùa quàn thè ti le vói dò lón cùa dàn so vói
càc già thiét sau:
1 Mgi dóng vat déu eó càc tfnh chat sinh thài nhu nhau (khóng eó su khàc nhau ve tuoi hay
ve gióng)
2 Co phàn ùng ngay lap tue khi co càc bién dói cùa mói truòng
3.Khòng co cu trù ( chi co sinh va chét)
Trong mó hình này hàm F(t), biéu dién tóng so phàn tu eó trong quàn thè tai thòi diém
t, b là so trung bình càc con chàu (biéu hien toc dò sinh ) theo mòi dòng vàt va theo don vi
thòi gian, d là ty le càc dòng vat chét theo don vi thòi gian (biéu thi toc dò chét) Nhu vày,
a day A là tham so Malthus là hàng so dói vói quàn thè cho truóc chi su tàng truòng nói
tai Day là phuong trinh vi phàn don gian:
Ta eó thè de dàng tim ra nghiem cùa phuang trinh trén là hàm mù P{t) = e'*^'P(0)
Nhung do qua trinh tu tàp quàn thè ( dóng lén ) va siJ giói han cùa tài nguyén (su thiéu
thón) nén A khóng phài là hàng so ma phu thuóc vào kich thuóc cùa quàn thè va tài nguyén
Tue là: A = A(t, P{t))- Do dò, chùng ta eó thè xét mot mó hình tóng quàt han là:
^ = X,P{t) + f{t,P{t))
Dac biét vào nàm 1838 P.F.Verhulst dua ra mó hình dàn so mói trong dò A giàm khi P{t)
tàng va co su phu thuóc vào tiém nàng cùa mói truòng De mó tà diéu dò ta chon:
f{t,p(t)) p~{t
K
Trang 1920
Tue là:
A ^ A I l - ^
Do dò, hàm P{t) thoà man phuang trinh vi phàn sau:
Phuong trinh vi phàn tra thành phuang trinh logistic Trong dò Ai là hàng so miéu tà sir phàt
trién nói tai cùa quàn thè va I{ àuge goi là tiém nàng tài
Ta co thè giài triJc tiép phuong trinh trén bang phuong phàp phàn ly bién so Ta co:
^^^^ " 1 + [K/P{0) - l]e-^^^ * - °
Ta thày ràng nghiem trén co tfnh chat lim^^^oo = K Do dò, trong su ma róng cùa dàn so
Malthus; dàn so dat trang thài càn bang khóng tàm thuòng khi thòi gian ra vó han
2.2 Mó hình co dién tuyén tinh cùa F.R.Sharpe va A.Lotka: Mó hình cùa Malthusi
va Verhulst là càc vf dii cùa su lién tiic va sir tàt yéu cùa mò hình dàn so Sau dò, ly thuyét dóng hgc lién tiic cùa càc quàn thè sinh hgc dugc nhiéu nhà toàn hgc, sinh hoc va diéu tra dàn
so ma róng va phàt trién Dàc biét, mó hình quàn thè tuyén tfnh co ành huong cùa càu trùc tuoi dugc nghién cùu róng rài Trong so càc mò hình dò, phài kè dèh mò hình cùa F.R.Sharpe
va A.Lotka(1911); A.G.Mckendrick(1926) Ben canh dò mò hình phi tuyén cOng dugc nhiéu nguòi nghién cixu, Nàm 1974, M.Gurtin, R.C MacCamy va F.Hoppensteadt dà giói thiéu mot
so mó hình quàn thè phi tuyén
Sau day tói xin giói thiéu mó hình tuyén tfnh co dién cùa F.R.Sharpe va A.Lotka(1911) dugc hình thành nhu sau:
Lày hàm p(a, t) là hàm mat dò phu thuóc vào tuoi a cùa dàn so tai thòi dièm t Don vi
cùa p{a, t) dà dugc cho trong don vi cùa dàn so chia bòi don vi thòi gian Theo y tuong dò, tóng so dàn tai thòi dièm t cùa càc thành vién cùa quàn thè co dò tuoi tu ai dén a2 là :
Trang 20Cac mó hình ung dung
a day p là hàm khóng khóng àm cùa tuoi goi là dàc trung tuoi thè hién su tiéu hao cùa quàn thé( mortalily modulus) và toàn tu vi phàn D dugc dinh nghla là:
o day, hàm 0 cùng là hàm khóng àm cùa tuoi a là biéu dién cho chùng ta so lugng càc thành
vién cùa quàn thè eó tuoi là a tai thòi diém ban dàu Do càc diéu kién ò trén, hàm cp phài
thoà man diéu kién tuong thfch (compatibility condition) là:
puf
(P{0) = / p{a)4>{a)da
2.3 Mò hình cùa Gunrtin-MacCamy: Dén nàm 1974, Gunrtin-MacCamy dà ma róng
mó hình dàn so phi tuyén Trong dò khà nàng tiéu hao( mortality modulus) và khà nàng sinh san ( fertility modulus) phu thuóc phi tuyén vào mat dò
Già su p{a, t) và P{t) Ta eó tóng so dàn vàn co dang;
P{t) = I p{a,t)da
Jo
Nhuiìg luàt càn bang cùa mó hình Gurtin - MacCamy là:
Dp{aJ.) =:-/,(,;, P(0)/;(a,/)
Trang 2122
Và luàt sinh truòng cùa mó hình Gurtin - MacCamy là:
p ( 0 , t ) - / P{a,P{t))p{a,t)da " t > 0
Jo
Nhu vay, hàm p va P Ih càc hàm khóng àm cho truóc phii thuóc vào hai bién
2.4 Mó hình dàn so ma róng: Nhung nàm gàn day ly thuyét ón dinh cùa mó hình
quàn thè da trang thài, trong do co su nhap cu và di cu dà dugc nhiéu nhà toàn hoc và
dàn so hgc nghién cùu nhu Pollard(1975), Espenshade(1982), Mitra(1983),Cerone(1986) và H.Inaba(1988) Mò hình quàn thè thiét lap nén he Lotka- von Foerster khóng thuàn nhàt He này dà dugc chuyén ve bài toàn Cauchy tóng quàt trong khóng gian Banach Chùng ta se nghién cùu dàng dieu tiém càn cùa nò bang ly thuyét GQ nùa nhóm De thuàn tién chùng tói xin dugc giói thiéu mò hinh dugc mó tà bang he Lotka- von foerster khóng thuàn nhàt:
Dat p(a,t) = {pi{a,t),p2{a,t), ,pn{a,t)y, trong dópi(a,t), 0 ^ z ^ n là hàm mat
dò cùa quàn thè con thù z, tue là J^ Pi{u, t)du là thè hién so cà thè ò quàn thè con thù i trong
eó tuoi tu a dén 6 tai thòi diém t Dat L{à) là mot ma tran n x n, goi là ma tran ty le song sót (the survival rate matric), trong dò phàn tu lij{à) là ty le ma mot cà thè sinh ò quàn thè con thù j sé con song trong quàn thè con thù i a tuoi a Q{a) là mot ma tran n x n , trong
do phàn tu qij{a) là toc dò chuyén dói tue thòi cùa quàn thè ò tuoi a tu quàn thè con j dén quàn thè con i Càc phàn tu trén duòng chéo:
qu{a) = -lii{a) - Y^qij{a), 0 ^ z ^ n
0 dò kf hiéu cùa khà nàng tiéu hao (chét) (mortality modulus) cùa quàn thè con thù i Dàt a; < oc là tuoi thg lón nhàt cùa quàn thè Ta dinh nghla ma tran ty le chuyén tiép
L{b,a) := L{b)L~'^{a) vói 0 ^ a ^ a; và L{a,a) = / Dàt M{a) là ma tran ti le sinh, trong
dò mij{a) > 0 cùa nò là trung bình so cà thè con chàu ò quàn thè con thù i trén don vi thòi gian, dugc sinh ra bòi mot cà thè j Bài toàn là nghién cùu mot mò hình quàn thè co su di
cu và nhap cu Bài toàn dugc mó tà boi he Lotka - von Foerster khóng thuàn nhàt :
( ^ + ^ M « ' 0 = Q{a)p{a,t) + f{a,t,pia,t))
puf
p{0,t) = / M{a)p{a,t)da t > 0
Jo p{a,0) = ó(a),
trong dò hàm
/:[0,a,i X [O,ocì -^C"
Trang 22Càc mó hình ùng dung
VOI
f{a, t,p{a, t)) := lim[p(a + /z, t + /i) - L{a + h, a)p{a, t)],
dugc ggi là hàm mat dò tuoi cùa càc cà thè di cu thuàn tuy (the age-desnity function of the net migrants)
Chùng ta xét toàn tu A dugc ggi là toàn tu dàn so xàc dinh nhu sau:
A : D{A) C L^(0,a;;G") ^ L'{0,u;C')
vói
A(P{a):=-—(P{a) + Q{a)(P{a),
da D{A) := {(p E Li(0,a;;G") : (p lién tue tuyét dói vói <p{0) = J^ M{a)(p{a)da}
trong dò D{A) kf hiéu mién xàc dinh cùa toàn tu A Khi ày he dugc dua ve bài toàn Cauchy: (14) f^p{t) = Ap{t) + f{t,p{t)), t > 0
p(0) = (P vói mòit G /?+, f{t,p{t)) : - f{;t,p{.,t)y,p{t) = p{;t) E L'{0,u-a') := X Tu càc ké't qua dà biét trong bài bào [4] ta eó toàn tu A là toàn tu dóng, mién xàc dinh cùa D{A) trù mat trong X và toàn tu A sinh ra nùa nhóm compact {T{t))t>o-
2.5 Mó hình dàn so nghién cùu chình: Thuc té, so nguòi di cu và nhàp cu sau mot
thòi gian nhàt dinh mòi ành huòng dén toc dò tàng truòng cùa quàn thè cung gióng nhu mot phàn tu cùa quàn thè khi chuyén dói tu trang thài này dén trang thài khàc càn eó thòi gian
de thich nghi thì khi dò nò mói dugc coi hoàn toàn là ò trang thài mói Do dò chùng tói dà dua ra he Lotka - von Foerster khón^ thuàn nhàt co hàm mat dò tuoi co chàm nhu sau
TT + ^ ) P ( « 0 = Q{a)pia, t) + /(a, t.p{a, t + 9)); -h ^ 0 ^ 0
Trang 2324
vói
f{a, t,p{a, t + 9)) := lim[p(a -{-h,t + 9 + h) - L{a-\- h, a)p{a, t + 9)],
Do dò tuong ti; nhu trén ta dua dugc ve bài toàn Cauchy cùa phuang trình \'i phàn co chàm eó dang phuang trình chùng ta dang nghién cùu (2)nhu sau:
-p{t)=Ap{t) + f{t,p{t + 9)), f > 0 ,
p(0) - (P{t), -h^t^O
2.6 àp dung càc két qua dà co vào bài toàn dàn so Già su (r(t))£>olà nùa nhóm dàn
so sinh bòitoàn tu dàn so A theo tài liéu [8], nùa nhóm dàn só(T(t))(>o là nùa nhóm compact
voi t > fi tue là lap compact cuoi cùng Két hgp vói he qua (3.3) ta thày mó hình dàn so eó sir di cu ( vói quy mò khóng qua lón) co sir tuong duong tiém càn vói mò hinh thàn nhàt (khóng eó sijf di cu) Hon nua, trong mó hinh sau khi dà co sir di cu (khóng thuàn nhàt) co
thè tfnh dugc so thành vién ò dò tuoi a , thóng qua so thàn vién tuong ùng vói thành vién o
dò tuoi b cùa mó hinh khóng eó sijf di cu (thuàn nhàt) Tu do cho chùng ta eó su dir doàn so thành vién cùa do tuoi a cùa mó hinh di cu néu chùng ta co so liéu cu thè Càc két qua trén
co thè giùp chùng ta trong viéc diéu chinh so nguòi sao cho phù hgp vói yéu càu lao dóng trong càc vùng khàc nhau cùa mot dàt nuóc bang càch di cu Nhung de àp diing mot càch
co hieu qua dòi hòi phài co mot so khàc phiic mot so khò khan tiép theo ve mat tfnh toàn Chùng tòi dà dir dinh se khàc phijc nò bang càch su diing ly thuyét phuang trình sai phàn
Trang 243 Mó hình ngoai thuang da quóc già
l.Mò hình chung
Tóng thu nhap quóc dàn (Y) bao góm :
Tong già tri xuàt khàu(X) + Tong tiéu dùng (D) + long CP dàu tu ròng (I)
Hay:
Y = X + D + I
Ky hiéu:
Y = Tóng thu nhàp quóc dàn; M = Tóng GT nhàp khàu
X = Tóng GT xuà't khàu; C = Tóng tiéu dùng ; I = Tóng chi phi dàu tu ;
Chù y ràng tóng kinh phf cho tiéu dùng nói dia (D) bang :
Tong chi phi tiéu dùng (C) - Tong GT nhàp khdu (M)
Tue là :
D = C-M
Nén ta co tóng thu nhàp quóc dàn (Y) sé bao góm :
Tong già tri xuà't khàu(X) + Tong tiéu dùng (C)- Tong GT nhàp khdu (M) +
+ tong CP dàu tu ròng (I)
Hay:
Y=X+ C -M +1
Già thiét:
I Thài diém quan sài :
Thòi gian thòi diém quan sàt ròi rac : n = 0, 1, 2,
2.Quy luàt kinh té'
Tóng già tri nhàp khàu (M) và tóng chi phi tiéu dùng nói dia (D) (bao góm tóng chi phi
tiéu dùng (C)trù di tóng chi phf nhàp khàu (M)) ty le vói tóng thu nhàp quóc dàn (Y) ò thòi
ky truóc dò,vi vày ky hiéuchi so j,i là nuóc thù i j ta co:
D,(n-^I)= a,^.Y;(n)(i=l,2) , M,(n^l)= a^,Y-Jn), (i=]J;j=3-i)
Gid su long so' chi cho nhàp kliàu cùa nuàc này là tóng so thu cùa xuàt khdu cùa nude kia
và ngugc lai :
Mj(n)=X,(n) M,(n)=Xj(n),
Tu càc già thiét trén cuòi cùng ta se di dén he phuang trình sai phàn :
2.He hai phuang trình sai phàn :
25
Trang 25y , ( n + l ) = anyi(n)+ ^^nJiM + I;
y 2 ( n + l ) = a2i>'i(i^)+'^22}'2(n) + l2
( n = no, Ho+l, no+2, )
Ky hiéu :
U(n) = col (y2(n) ,y2(n)); B = col.a,,!^); A=( a,^ ) , ,
Ta co phuong trinh ma tran :
U(n+1)= A U ( n ) + B ( n = no, no + L no+2, )
3.Giài phuang trình sai phàn và ve do thj minh hoa:
Trang 27Trong dò: Y = Tòng thu nhàp quó'c dàn ,C = Tóng tiéu dùngj = Tóng dàu tu
M = Tong chi phi nhàp khàu.X - Tóng già trj xuà't khàu
PHLfONG TRÌNH MA TRAN MA TRAN
U(n+1)= AU(n)+B , ( n= no,no+l, ) U(n) = col (y,(n),y:(n) y » ) ; B =(i,p„.„: A=(Qr,^ )„.„
GIAJ HE PHUONG TRINH SAI PHAN BANG PHUONG PHAP MA TRAN
Xét bài toàn vói già tri ban dàu cho truóc :
U(n+1)= AU(n)+B ,
U(no) = Uo ( n = no, no + 1, no+2, )
28
Trang 28S\l dung quy luàt cùa day so ta de dàng thày ràng néu B=0 thì :
U(n)=A"U(l)
Vói B ;' 0 , chùng ta co :
U(1)=AU(0)+B , U(2)= A A U(0)+AB+B , U(3)=A'U(0)+A'B + A B ,
Tuong tu bang phuong phàp quy nap ta co the xàc dinh duoc còng thùc nghiem cùa he là
Tir dò ta nhàn thà'y : Né'u ma tran A" dàn dén khóng khi n dàn dén vó cuc thì ma tran U(n)
sé tiém càn dén già tri càn bang
Fo =A-"'iE-M)-'B
Quay ve vói ly thuyé't ma tran ta thày diéu này sé xày ra khi càc phàn tu cùa ma trc^n A là
duangvà tong cùa mói cól là bé han 1
29
Trang 29KÈT LUAN
Trong nhiùig nàm cuoi cùa the ky 20, sic phàt trién mgnh me cùa Còng nghe tin hgc và nhiéu ngành khoa hgc khàc ( Ky thutìt tin hiéu sò\ Còng nghe sinh hoc, ,., )
dà kéo theo su phàt trién manh me cùa càc ngành toàn hgc ly thuyét nói chung và
he dóng li/c tong quàt nói riéng De dàp icng yéu càu biìc thié't cùa viéc icng diing càc thành tini khoa hgc dò vào dai song hàng ngày dòi hai nguòi nghién cihi khoa hgc càn bié't su diing còng cu khoa hgc mài và ky thuàt tinh toàn thich hap miyi Nhu vdy, yéìi tó sàng tgo và khd nàng tu trang hi dugc nhiéu kién thùc m&i là yéu
tó càn thié't và ca ban nhàt trong viéc thi/c hién và hoàn thien càc de tài nghién cùu khoa hgc Tuy nhién tu dò dàn dèh càc khd nàng ùng diing thuc té lai càn co nhiéu còng sue và tri tue hcm nùa Trong de tài này chùng tòi dà nhàn dugc càc ké't qua tòt ve mat ly thuyét và mò ra nhùng khd nàng hién hién thicc cho phàn ùng dung thuc té Tuy nhién ké't qua cu thè và hién thuc trong viec trién khai ùng dung vàn a trong khuòn kho cùa càc che àn tiép theo
Trang 30TÀI LIÈU THAM KHÀO
[1] K.G Valeev, O.A Raoutukov, Infinite system of diffirentiaì equations, Scientis publishing house Anma-Ata
1974
[2] Klaus-Jochen Engel, Rainer Nagel, One-parametter Semigroups for Linear Evolution Eqitations,
Springer-Verlag New York Berlin London Paris Tokyo Hong kong Barcelona Heidelberg Milan Singapore,2000
[3] A.PAZY, Semigroups of linear operators and appìications to partial diffirentiaì eqnaiions, Springer-Verlag
New York Inc,1983
[4] Cooke K.L,1967, Asymptotic theoryfor the deìay- differentiaì equations J.Math.Analysis and Appi
19,1,160-173
[5] C.M Macrcus, RR Waugh, and R.M, Westevelt, Nonlinear dynamics and stability of analog neiiraì
netw'orks, Physica D, 51(1991),pp 234-247
[6] Dang Dinh Chau On the asymptotic eqiiivaìence of linear diffirentiaì eqiiaiions in Banach spaces, A d a
Mathematica Vietnamica Volume 31 Number l-2006,pp 31-38
[7] H.Inaba, A semigroup - approach to the strong ergodic theorem of the nmltisiate slabìe population process
Mathematica! Population Studies, (1988),Vol.l(l)
[8] H.Inaba, Asymptotic propenies ofthe inhomogeneuos Lotka - von Foerster system Mathematica! Population
Studies, (1988),Vol.l(3)
[9] G.EIeutheriadis, M.Boudourides, On the probìem of asymptotic eqiiivaìence ofordinaiy diffirentiaì equation^
Ita!, J Pure Appi Matli 4(1998), p 61-72
[10] E.V.Voslcoresenski, Asymptotic equivaìence ofsystems of differentiaì equations, Res of matliematic science
[14] Yoshiyuki Hino, Satoru Murakami, Toshiki Naito,Nguyen Van Minh A variaiion of constanis formuìa for
abstract functionaì differentiaì equations in the pìiase spaces (2002)
[15] M.Svec, Itegraì and asymptotic equiveìctice of tw'o systems of diffrentiaì equations, Equadiff Proceedings
of the fifth Czechoslovak confrece on diffirentiaì equations and Their Application held in Bratislava I9SI Teubner, Leipzig, 1982, p 329-338
[16] Choi kyu Sung, Hoe Goo Yoon, Jip Koo Nam Asymptotic equivaìence bcnvecn to linear diffirentiaì systenis,
Ann Differ Equation, 13(1997), 44-52
[17] TranTat Dat, On the exislence of almost periodic periodic and quasi-periodic soluiions of neutral differentiaì
equations with piecewise Constant argument, Intern J of Evolution Equations, 1 (2005) In press
[18] Dang Dinh Chau, Kieu TTiu Linh, On the asymptotic equivaìence of linear evolution equations in Banach
spaces, Intern J of Evolution Equations, 1 (2005) In press
Trang 3128
[19] Nguyén Trung Thanh Massera criterion for periodic solutions of differentiaì equations with piecewise
Constant argument, Journaì of Mathemaiicaì Anaìysis and Applications, 302, (2005), 256-268
[20] Nguyén Tniong Thanh, Asymptotically almost periodic solutions on the half line, Difference Equations and
Appìications To appear
[21] J Liu, G Nguerekata, Nguyén Van Minh, Almost Automorphic Solutions of Second Order Evolution
Equations Appìicabìe Anaìysis In press
[22] Du Due Thang, Nguyén Van Minh, Invariant manifolds of fully nonlinear evolution equations, Intern J of
Evolution Equations, 1 (2005), 81-90
[23] T Nishikawa, Nguyén Van Minh, T Naito, Massera criterion for abstract functionaì differentiaì equations
with advance and delay Appìicabìe Anaìysis, 83 (2004), 1171-1185
[24] T Nishikawa, Nguyén Van Minh, T Naito, On the asymptotic periodic solutions of absu-act functionaì
differentiaì equations Fiinkciaìaj Ekvacioj, 47 (2004), 307-327
[25] Nguyén Van Minh, Ha Binh Minh, A Massera type criterion for almost periodic solutions of higher order
delay or advance abstract functionaì differentiaì equations Abstract and Applied Anaìysis.^ 2004 (2004),
N 10, 881-896
[26] Jung-Cheng Chen, Nguyén Van Minh, Sen-Yen Shaw, C-Semigroups and Almost Periodic Solutions of
Evolution Equations Journal of MafJiematicaì Anaìysis and Appìications 298 (2004), 432-445
[27] J Liu, G Nguerekata, Nguyén Van Minh, A Massera Type Theorem for Almost Automorphic Solutions of
Differentiaì Equations Journaì of Matìxematicaì Anaìysis and Appìications, 299 (2004), 587-599
[28] K Ezzinbi, T Naito, Nguyén Van Minh, J Liu, Periodic solutions of evolution equations Dynamics of
Continuous, Discrete and Impuìsive Systems Series A Mathemaiicaì Anaìysis, 11 (2004), 601-613
[29] Nguyén Van Minh, Nguyén Minh Man, Massera criterion for almost periodic solutions of neutral functionaì
differentiaì equations, Differentiaì Equations and Dynamicaì Systems, 11 (2003), 209-223
[30] T Diagana, G Nguerekata, Nguyén Van Minh, Almost Automorphic Solutions of Evolution Equations,
Proceeding ofthe American Mathemaiicaì Society, 132 (2004), 3289-3298
[31] Nguyén Minh Man, Nguyén Van Minh, On the existence of quasi periodic and almost periodic solutions of
neutral functionaì differentiaì equations, Commutùcaiions in Pure and Applied Anaìysis, 3 (2004), 291-300 [32] Nguyén Van Minh, J Wu, Invariant Manifolds of Partial Functionaì Differentiaì Equations, Journaì of
Differentiaì Equations, 198 (2004), 381-421
[33] T Naito, Nguyén Van Minh, J Liu, On the bounded solutions of Volterra equations, Appìicabìe Anaìysis,
83 (2004), N.5, 433-446
[34] S Murakami, T Naito, Nguyén Van Minh, Massera Theorem for almost periodic solutions of functionaì
differentiaì equations, Journaì of the Matìiematicaì Society ofJapan, 56 (2004), N.I., 247-268
[35] J Liu, T Naito and Nguyén Van Minh, Bounded and periodic solutions of infinite delay evolution equations, Journal of Mathematica! Anaìysis and Applications, 286 (2003), 705-712
[36] Nguyén Van Minh, Tong Thanh Trung, On the asymptotic behavior of inhomogeneous age-struciured
population, Jourtmì of Appìications of Malhemaiics, 1 (2004), 23-35 (In Vietnamese)
[37] Nguyén Van Minh, T Naito, G Nguerekata, A Spectral Countability Condition for Almost Automorphy of Soluiions of Differentiaì Equations Submitted
[38] W Arendt, C J K Batty, Almost Periodic Solutions of First- and Second-Order Cauchy Problems J
Differentiaì Equations 137 (1997), 363-383
[39] \V Arendt, C J K Batty, Asymtotically Almost Periodic Solutions of Inhomogeneous Cauchy Problems
of the haft-line, Buìì London Matti Soc 31 (1999), 291-304
[40] W Arendt, S Schweiker, Discrete spectrum and almost periodicity, Taiwanese J Math 3 (1999), 475-490 [41] W Arendt, C.J.K Batty,M Hieber, F Neubrander, Vector-vaìucd Lapìace iransforms and Caucliy problems,
Monographs in Mathemalics, 96, Birkhouser Verlag, Basel, 2001
Trang 32Càc mò hinh Ung dung [42] B Basir, H Gttnzler, Asymptotic behavior of solutions of systems of neutral and convolution equations, J
Differentiaì Equations 149 (1998), no 1, 115-142
[43] E B Davies, "One-Parameter Semigroups", Academc Press, London, 1980
[44] S.N Chow J.K Hale, Strongly limit-compact maps, Funkc Ekvac 17(1974), 31-38
[45] A M Fink, Almost Periodic Differentiaì Equations, Lecture Notes in Math., 377, Springer, Berlin-New
York, 1974
[46] J.K Hale, "Asymptotic Behavior of Dissipative Systems", Amen Math Soc., Providence, RI, 1988
[47] D Henry, "Geometrie Theory of Semilinear Parabolic Equations", Lecture Notes in Math., Springer-Verlag, Berlin-New York, 1981
[48] Y Hino, T Naito, Nguyén Van Minh, J.S Shin, "Almost Periodic Solutions of Differentiaì Equations in Banach Spaces", Taylor and Francis, London-New York, 2002
[49] Y Katznelson, "An Introduction to Harmonic Anaìysis", Dover Publications, New York , 1968
[50] B.M Levitan, V.V Zhikov, "Almost Periodic Functions and Differentiaì Equations", Moscow Univ Pubi House 1978 English translation by Cambridge University Press 1982
[51] J.L Massera, The existence of periodic solutions of systems of differentiaì equations, Duke Math 7.17,
[54] S Murakami T Naito, Nguyén Van Minh, Evolution Semigroups and Sums of Commuting Operators:
A New Approach to the Admissibility Theory of Function Spaces, J Differentiaì Equations 164 (2000),
240-285
[55] T Naito, Nguyén Van Minh, J S Shin, New Spectral Criteria for Almost Periodic Solution of^volution
Equations, Studia Mathematica 145 (2001), 97-111
[56] T Naito, N V Minh, R Miyazaki, J.S Shin, A decomposition theorem for bounded solutions and the
existence of periodic solutions to periodic differentiaì equations, J Differentiaì Equations 160 (2000),
263-282
[57] J Prass, Bounded solutions of Volterra equations, SIAM J Math Anaì 19 (1988), 133-149
[58] J Prass, "Evolutionary Integrai Equations and Applications", Birkhauser, Basel, 1993
[59] R T Rockafellar (1989), "Proto-differentiability of set-valued mappings and its appìications in optimization
", Ann Inst Poincaré Analyse Non Linéaire 6, 449-482
[60] W M Ruess, Almost periodicity properties of solutions to the nonlinear Cauchy probìem in Banach spaces
in "Semigroup theory and evolution equations" (Delfi, 1989), 421—440, Lecture Notes in Pure and Appi
Math., 135, Dekker, New York, 1991
[61] W M Ruess, W.H Summers, Weak almost periodicity and su-ong ergodic limit theorem for periodic
evolution systems, J Fune Anaì 94 (1990), 177-195
[62] W M Ruess, W.H Summers, Almost periodicity and stability for solutions to functional-differential
equa-tions with infinite delay, Differentiaì and Integrai Equaequa-tions, 9 (1996), no 6, 1225-1252
[63] W.M Ruess, Q.R Vu, Asymptotically almost periodic solutions of evolution equations in Banach spaces
J Differentiaì Equations 111 (1995), 282-301
[64] J.S Shin, T Naito, Semi-Fredholm operators and periodic solutions for linear functionaì differentiaì
equa-tions, J Diff Eq 153(1999), 407-441
[65] C.C Travis, G.F Webb, Exislence and stability for partial functionaì differentiaì equations Trans Amer
Math Soc, 200 (1974), 394-418
[66] Vu Quoc Phong, Almost periodic solutions of Volterra equation, Diff and hit Equations, 7, (1994),
1083-1093
Trang 33[67] J Wu, "Theory and Applications of Partial Functionaì Differentiaì Equations ", Applied Math Sci 119, Springer, Berlin- New York , 1996
[68] T Yoshizawa, "Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions", Applied Math Sciences 14, Springer-Verlag, New York, 1975
Trang 34A C T A M A T H E M A T I C A V I E T N A M I C A 31 Volurr.e 31 Number 1 2006 pp 31-38
O N T H E A S Y M P T O T I C E Q U I V A L E N C E OF
L I N E A R D E L A Y E Q U A T I O N S I N B A N A C H S P A C E
DANG DINH C H A U
as-y m p t o t i c equivaìence of linear evolution e q u a t i o n s with time-delaas-y in Banach
spaces Besides we discuss the asymptotic relationship between Co groups
a n d strongly continuous evolutionary processes T h e obtained results extend
t h e Levinsons t h e o r e m on t h e asymptotic equivaìence of linear differentiaì
where x{t),y[t) € A' A' is a complex Banach space .4 and C{t) are linear
op-erators acting on A' for each t e R- Under suitable conditions equations (1)
and (2) are well posed (see [1] [7 [9]) We recali that equations (1) and (2) are
said to be asymptotically equivalent if there exists a bijection between the set of
solutions {x(f)} of (1) and the one of {y{t)} of (2) such that
(3) lim ||x(0-Z/(OI!=0
t — ^c
An interesting proplem in the qualitative theory of solutions to differentiaì
equa-tions is to find condiequa-tions such that (1) and (2) are as}'mptotically equi^'alent
The first resuhs on this probìem were given by X Levinson in 1946 (see [oj)
Then the results have been developed b}' many authors (see [2] [3j [4j i5_ [6j
[lOj) In recent >'ears nuich attention has been de\-oted to the qualitative theory
of solutions to differentiaì equations with time delay fsee [1] [6] [7] [12j [13]
[14] [15]) In this direction se\-eral authors have focuscd on extending the
clas-sica! results of the as\Tnptotic beha\Tor of solutions to differentiaì equatious In
the modcls relatcd to mechanics and biolog\' (see i]2j ;13j [14j, [lóJ one
u-uall\-Rccci\'cd Februar\' 2 200o: in re^"i:fed foiin Dcccnìber 2 2
Trang 3532 DANG DINH CHAU
Studies retarded differentiaì equations in the form
(4) ^ = Ayit) + /x X] B,it)yit +
r,)-A : = l
In this paper, we are interested in finding conditions such that the solutions of
(4) in the case fx = 0 are asymptotically equivalent to the solutions of (4) in the case ;Ì 7^ 0 We will consider the case g = 1 The case q > l can be treated in a
similar way
2 M A I N RESULTS
For a Banach space X we denote by C{X) the Banach space of ali bounded linear operators on X Together with (1), we consider the differentiaì equation (5) ^ = Ay{t) + B{t)y{t + 9), t > 0
where x{t) e X, y{t) e X -h^ 9 ^0, A e C{X) and B{.) : [0, +oo) -^ C{X)
satisfies the condition
(6) f'^'wBmdxK+oo
Jo
Denote by T{t) and A'(^,fo) the solution operators of (1) and (5), respectively Then {T{t))t^o is a Co-semigroup in X, {N{t,to))t^s is a strongly continuous
evolutionary process (see [16], [17])
Definition 2.1 The equations (1) and (5) are said to be asymptotically
equiv-alent if for every solution x{t) of (1), there is a solution y{t) of (5) such that
(^) ^}^^J\y{t) - xit)\\ = 0,
and conversely for each solution y{t) of (5) there is a solution x(t) of (1) such
that (7) holds
-Suppose that <p(.) e C{[-h,0].X), by Grownwall-Belmann's lemma and the
methods in [12] we can get the following result
Theorem 2.1
(a) For a given o(.) G C([-/i,0],X), there exists a unique solution of (4) on [-/i.-rDc] satisfying y{t) = o{t), {t e [-h,0])
(b) If\\T{t)\\ ^M for allt^O then N{t,to) is a bounded operator, i.e there
exists A > 0 such that
ll^^(^fo)U A^ forali t ^ to > 0
In order to prove tiie as>mptotic equivaìence of (1) and (4) we consider the followmg lemma
Trang 36ASYMPTOTIC EQUI\ALEXCE OF LINEAR DELAY EQUATIONS 33
L e m m a 2.1 Suppose that there is a projector P : X -^ X such that:
(a) \\PT{t)\\ ^ Me—-', for ali t e R+,
From Theorem 2.1 we obtain the following result
T h e o r e m 2.2 Suppose that {T{t))t^Q satisfies ali the conditions af Lemma 2.1
Moveover, the operator P commutes with T{t) for ali t ^ 0 Then (1) and (51
are asymptotically equivalent
Proof By Theorem 2.1, for each G(.) G C[[~h.O],X) equation (5) has an unique
solution satisfying
(8) ij{t) = T{t)ó{0) + f T{t- s)B{s)y{s + e)ds, t ^ 0
JQ
y{t) = Ó{t), -h^t ^0
Let y{to) = yo- /o > 0 Then the solution y{t) of (5) can bc written in the form
y{t) = T{t - to)yo + f T{t- s)B{s)y{s + e)ds
Jto
Trang 3734 DAXG DINH CHAU
Moreover, by Lemma 2.1, we have
T{t) = Uit) + V{t), V{t-s) = Tit-to)V(to-s),
Let Qx = {I — F)x, X e X Then the operator Q : X -^ X ìs invertible Assume that y{t) is a solution of (5) For each sufficiently large ÌQ 6 R^ and j/(fo) G X, taking x(io) = Qy{to) ^^"^ have
^'(^o) = Qyito) = y{to) ^ [ V{to - s)B{s)y{s + 9)ds
where Mi = M.K\\yQ\\, Mo = mK\\yo
For every positive number -: > 0 there exists a sufficiently large number t
t > •2to such that the following inequaHties are valid:
Trang 38ASYMPTOTIC EQUIVALENCE OF LINEAR DELAY EQUATIONS 35
Semilarly, by the existence and uniqueness of solutions of (1) and (5) (see Theorem
2.1) we also get (7) for x{t) = T{t - to)x{to) and y{t) = X{t,to)y{to), where
y(to) = Q~^x{to) The theorem is proved •
E x a m p l e 2 1 In the space I2, we consider Hnear diffrentiaì equations:
dx
(9)
(10)
dt Ax,
^ = Ay{t) + B{t)y{t + e),
where —h^O^O.t^to'^O, x(i), y{t) e h^ In an orthonormal basis we defìne
Trang 3936 DAXG DI.XH CHAU
This shows that \\U{t)\\ ^ e"^ for every t e R^ and ||V'(f)|| ^ m < +oo for every
t e /? Hence T{t) satisfies the conditions of Theorem 2.2 This implies that (9)
and (10) are asymptotically equivalent
The following is a generalization of the Levinson theorem (see [8]) for the asymptotic equivaìence of the linear differentiaì equations with time delay
Theorem 2.3 The equations (1) and (5) are asymptotically equivalent if one of
following conditions is satisfied:
(i) {T{t))t^o ^s ^ eventually compact, uniformly.bounded Co-semigoup
ii) A' = /?'^ and {T{t))t^Q is a uniformly bounded Co-semigoup (Levinson's
theo-rem)
Proof (i) We will show that T{t) satisfies ali the conditions of Lemma 2.1 Since
(T(^ì)f>o is a eventually compact, bounded uniformly CVj-semigroup, we deduce that the spectral set cr(r(l)) is countable and
P = O-i izl - e-^)-^dz
(see [16] [17]) where - is a contour enclosing cri and disjoint from ao Since T(f) comnnites with the resolvent (A/ - 4 ) - ^ we see that P commutes with Tit)
Let
Uit) = PTit) Vit) = iI-P)Tit)
We have a{Uiì)) C {A G C : |A < 1} Hence r^iUil)) < 1 Thus we need only
to prove that ||0'(0|| ^ JUC^^'^ for ali t > O.M,u> > 0 By assumption, iTit))t>o
Trang 40ASYMPTOTIC EQUIVALENCE OF LINEAR DELAY EQUATIOX5 37
is a eventually compact semigroup So 0-2 has fìnitely many elemeuts Using the
spectral maping theorem we have
\\V{t)\\ ^m<+oc,
VteR-Thus T{t) satisfies the conditions of Lemma 2.1 and the assertion (i) is proved
(ii) It suffices to observe that every bounded hnear operator on R^ is compact
The theorem is proved •
T h e o r e m 2.4 Suppose that X — H, H is Hilbert spase, and A i-s a compact,
self-adjaint linear operator in H, If ali the solutions of (1) are bounded, then (1)
and (5) are asymptotically equivalent
Proof Since A G C{X) is self-adjoint and compact, we have that
a(A) = {Ajfc : lim Xk = 0,Xk e R,k = 1,2, }
Let {ek}f^ be an orthonomal basis of H consisting eigen-vectors of 4 Then we
can write A in the form
A = diag{Ai,A2 ,An, }
Moreover, ali the solutions of (1) are bounded Hence
^ ( t ) = d i a g { € ^ ^ ^ e ^ ^ ^ , e ^ ' ^ ^ } and ReA;, ^ 0 A: = 1.2,
We deduce that {T{t))f^o is a uniformly bounded Co-semigroup Using Theorem
2.1 we can show that there exists a possitive Constant MQ satisfying
\\T{t - to) - N{t,to)\\ ^ 2Mo, Vf e i ? -
Let x{t) = T{t-to)^ and y{t) = N{t,to)^ be solutions of (1) and (5) respectively
For every e > 0, there exists no e N such that
\\{I-Pnm<-^^ V n > n o
4iWo
Taking AQ = max{Ai, A2, • • •, A^Q} we have AQ < 0, which impUes that there exists
a number t* > to such that for any t > t* we get