Một số ứng dụng của phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử

Phươngtrìnhloạihaivớitoántửđơnđiệu vàliêntụcLipschit………..13 Chương2.Phươngpháptháctriểntheothamsốđốivớiphươngtrìnhloạihaivớit oántửđơnđiệuvàliêntụcLipschitz…………16 2.1... TậpAgọilàtậpđóng

versionw w w p d f f a c t o r y c o m

LỜICẢMƠN

Tôixinchânthànhcảmơncácthầygiáo,côgiáogiảngdạychuyênngànhToánGiảitíchtrườngĐạihọcSưPhạmHàNội2đãgiúpđỡtôitrongs u ốtquátrìnhhọctậpvàthựchiệnđềtài

Đặcbiệt,tôixincảmơnTS.KhuấtVănNinhđãtrựctiếphướngdẫntôitrongsuốtquátrìnhnghiêncứuđềtàivàhoànchỉnhđềtài.Xincảmơnc ácbạnhọcviênlớpK11ToánGiảitíchđãgiúpđỡvàcónhữngđónggópquýbáuchobảnluậnvănnày

HàNội,tháng9năm2009Tác

giả

TôixincamđoanluậnvănlàcôngtrìnhnghiêncứucủariêngtôidướisựhướngdẫntrựctiếpcủaTS.KhuấtVănNinh

Trongkhinghiêncứuluậnvăn,tôiđãkếthừathànhquảkhoahọccủacácnhàkhoahọcvớisựtrântrọngvàbiếtơn

HàNội,tháng9năm2009Tácgi

ả

Chương1.Mộtsốkháiniệmmởđầu……… 7

1.1 Khônggianmetric………7

1.1.1.Địnhnghĩakhônggianmetric……… 7

1.1.2.Tậpmởvàtậpđóng……… 71

1.3.Ánhxạliêntục……… 8

1.1.4 Khônggianmetricđầy……… 8

1.1.5 NguyênlýBanachvềánhxạco……… 9

1.2 Khônggiantuyếntínhđịnhchuẩn……… 9

1.3 Phươngphápxấpxỉliêntiếp……… 11

1.4 Phươngtrìnhloạihaivớitoántửđơnđiệu vàliêntụcLipschit……… 13

Chương2.Phươngpháptháctriểntheothamsốđốivớiphươngtrìnhloạihaivớit oántửđơnđiệuvàliêntụcLipschitz…………16

2.1 Sựtồntạinghiệm………16

………303.2.2.Sựtồntạinghiệm……….31

Cácphươngphápđểnghiêncứuxấpxỉphươngtrìnhtoántửrấtphongphúvàđadạng.Phươngphápt h á c triểntheothamsốđểgiảiphươngt r ì n h loạihaivớitoántửđơnđiệuvàliêntụcLipschitzlàmộttrongnhữngphươngphápcóứngdụngrộngrãi,phươngphápđượcthựchiệnthôngquaviệcchian h ỏbàitoánphứctạpthànhnhữngbàitoánđơngiảncóthểgiảiđượcbằngphươngphápánhxạco.

Phươngphápnàyđãsửdụngquátrìnhlặpthôngquamộtsốhữuhạncácbướctheothamsố vàmỗibướcđượcthựchiệnnhờphươngphápá n h xạco

Bởiv ậytôiđãchọnđềtài“Mộtsốứngd ụngc ủaphươngphápt h á c triểntheot h

a m sốđ ể giảiphươngt r ì n h toántử”đểthựch iệnluậnvănc ủamình

2 Mụcđíchnghiêncứu

Luậnv ănt r ì n h bàynhữngnghiêncứuvềl ý thuyếtcủaphươngphápt h á c triểntheothamsốđểgiảiphươngtrìnhtoántửvàứngdụngcủaphươngpháp

3 Đốitượngvàphạmvinghiêncứu

Vớimụcđíchnghiêncứunóit r ê n củaluậnvăn,nhữngnhiệmvụnghiêncứucủaluậnvănlà:

NghiêncứulýthuyếtcủaphươngpháptháctriểntheothamsốđốivớiphươngtrìnhloạihaivớitoántửđơnđiệuvàliêntụcLipschitz

Nghiêncứuứngdụngcủaphươngphápnóitrênđểgiảiphươngtrìnhtoántửloạihaitrongmộtsốkhônggianđịnhchuẩn

4 Phươngphápnghiêncứu

Ápdụngphươngpháplặpquamộtsốhữuhạncácbướctheothamsốvàmỗibướcđượcthựchiệnnhờphươngphápánhxạcođểtínhnghiệmg ầnđúngcủaphươngtrình

5 Giảthuyếtkhoahọc

Nghiêncứuứngdụngcủaphươngpháptháctriểntheothamsốđểgiảiphươngtrìnhtoántửloạihaitrongmộtsốkhônggianđịnhchuẩn

LuậnvănđượchoànthànhdướisựhướngdẫntrựctiếpcủathầygiáoTS.KhuấtVănNinh.Tácgiảmongrằngluậnvănnàysẽcónhữngđónggóphữuíchtrongviệcgiảivànghiêncứuphươngtrìnhtoántử

Tácgiảxintrântrọngc ảmơnsựgiúpđỡtậntình,chuđáo,củathầygiáoTS.KhuấtVănNinh,cảmơncácthầy(cô)giáophòngsauđạihọc,khoaToántrườngĐạiHọcSưPhạmHàNội2cùngbạnbè,đồngnghiệpđãđộngviên,khíchlệvàtạođiềukiệntốtnhấtgiúphoànthànhđềtàinày

HàNội,tháng9năm2009Tác

giả

Chương1 Mộtsốkháiniệmmởđầu

1.1 Khônggianmetric

1.1.1 Địnhnghĩakhônggianmetric

TagọilàkhônggianmetricmộttậphợpX≠ cùngvớimộtsốánhxạd từtíchD escartesX x XvàotậphợpsốthựcRthoảmãncáctiênđềsauđây:

1 (x,y X)d(x,y)≥0,d(x,y)=0x=y,(tiênđềđồngnhất)

2 (x,yX)d(x,y)=d(y,x),(tiênđềđốixứng)

3 (x,y,zX)d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y),(tiênđềtamgiác)

ÁnhxạdgọilàmetrictrênX,sốd(x,y)gọilàkhoảngcáchgiữahaiphầntửx&y.CácphầntửcủaXgọilàcácđiểm,cáctiênđề1,2,3gọilàcáctiênđềmetric

TậpAgọilàtậpđóngtrongkhônggianM,nếumọiđiểmkhôngthuộcA đềulà điểmngoàicủaA,haynóicáchkhác,nếuđiểmxA,thìtồntạimộtlâncậncủax khôngchứađiểmnàothuộctậpA.

Địnhlý1.1

Trongkhônggianmetricbấtkỳ,mọihìnhcầumởlàtậpmở,mọihìnhc ầuđóngl àtậpđóng.

(>0)(n0N * )(m,n≥n0)thìd(xn,xm)<hay limd (x, x )0

Địnhnghĩa1.1.8

KhônggianmetricM=(X,d)gọilàkhônggianđầy,nếumọidãycơb ảntron gkhônggiannàyhộitụ.

MọiánhxạcoA ánh xạkhônggianmetricđầyM = (X,d)vàochínhnó

đềucóđiểmbấtđộng x duynhất,nghĩalà x X thoảmãnhệthức Ax x

kiện:

GiảsửXlàkhônggianmetric đủvàánhxạT:X→Xth ỏamãnđ iều

d(Tx,Ty)≤d(x,y)vớihằngsố<1vàx,yX.

Khiđ ótồntạiduynhấtphầntửx *Xsaochox *Tx * h ơnnữavới

tiêuđềsauđây:

1.(xX) x ≥0, x =0x=(Kíhiệuphầntửkhônglà)

2.(xX)

Theonguyênlýánhxạco,x*=limx

Tacó:

n n

Xétphươngtrìnhloạihai

x+Ax=fTrongđóA l à toántửt á c dụngtừkhônggianBanachXvàoX, f l à phầntửchotrước

 2

bấtđẳngthứcsauđâyđúng:

x1 x2  1Ax1 Ax2 x1 x2 2Ax1 Ax2 (1.4.1)DotínhđơnđiệucủaánhxạA,từbấtđẳngthức(1.4.1)suyra:

Phươngphápxấpxỉl i ê n tiếp,phươngt r ì n h loạih a i vớitoántửđơnđ iệuvàliêntụcLipschitzlà đốitượngnghiên cứuchínhtrongchương2vàchương3.

Chương2 Phươngpháptháctriểntheothamsốđốivớiphư ơngtrìnhloạihaivớitoántửđơnđiệuvàliêntụcL

1N>Lvàđặt0

x(0)=ftheohướngđếnphầntửx(1)=u

theothambiếntừphầntử

Thựchiệncácbướctiếptheonhưvậytheothambiếnsẽđếnnghiệmcủaphươngtrình(2.1.2)saumộtsốhữuhạnbước

Nhưvậyphươngtrìnhxuấtphát(2.1.3)tươngđươngvớiphươngtrình( 2 1

5 ) cũnggiảiđượcduynhấtvớiphầntửtuỳýf

Cụthểđốivớiphươngtrình:

x+Ax=ftrongđóA l à toántửtácdụngtừkhônggianBanachXvàoX,flàphầntửch o trước.GiảthiếtA(0)=0

y 1AF1 (

y)  f,n 0,1,2 (2.1.9)

n1

2 1 n

Kn1 exp(L)-1 f(1K )exp(q)-1

Địnhlý2.2

GiảsửánhxạAtácdụngtrongkhônggianBanachXlàđơnđiệuvàl i ê n tục LipschitzvớihằngsốLipschitzL.Khiđódãynghiệmxấpxỉ

x(n,N),N>L,n=1,2,…,đượcdựngvớiquátrìnhlặp(2.1.12),hộitụ

đếnnghiệmđúngxcủaphươngtrình(2.1.3),theochuẩncủakhônggianX,h ơnnữa tacóướclượng

f,n=1,2,…

Saisố (n) saumộtsốhữuhạnn p h é p lặpkhigiảiphươngtrình

(n).Nhưv ậysaisốcủanghiệmxấpxỉ

x n thu

đượcsaukhithựchiệnnphéplặptrongmỗiquátrìnhlặpđãsửdụngsẽlà

x nx(20) 2(n)q(n)2(n)2(n)1(n)

k qi ,1 ,k 2,3, , N

1 3 ) là x(n,N),tr on g đ óNlàsốcácbướctheothambiến ,nl à sốphéplặpđượcthựchiệntrongmỗiquátrìnhlặpđãsửdụng

Chương2t r ì n h bàyphươngpháptháctriểntheothamsốđốivớiphươngtrìnhloạihaivớitoántửđơnđiệuvàliênlụcLipschitz.

Phươngphápđểnghiêncứuxấpxỉphươngtrìnhtoántửrấtphongphúvàđadạng.Cóthểgiảixấpxỉphươngtrìnhtoántửbằngmộtsốphươngphápn h ưphươngpháplặp,phươngphápsaiphân,phươngphápGalerkin,….

Tuynhiênnhữngphươngphápnàychỉápdụngdễdàngđốivớiphươngt r ì n h màánhxạcủaphươngtrìnhlà ánhxạcovớihệsốconhỏhơn1

PhươngpháptháctriểntheothamsốđốivớiphươngtrìnhloạihaivớitoántửđơnđiệuvàliênlụcLipschitzlàmộtquátrìnhlặpsửdụngmộtsốhữuh ạncácbướctheothambiến vàmỗibướcđượcthựchiệnnhờphươngphápánhxạco.Ưuđiểmcủaphươngphápnàylàápdụngchocảphươngt r ì n h màánhxạlàánhxạcovớihệsốcolớnhơn1

Chương3 Giảiphươngtrìnhtoántửloạihaitrongmộtsốkhông

Đưaphươngtrình(3.2)vềdạngtươngđương

Giảsửg(x)thoảmãnđiềukiệnLipschitz

g(x2)g(x1)Kx2x1

vớihằngsốK<1vàánhxạđoạn[a,b]vàotrongnó.Khiđóg(x)làmộtánh

x)sinxsin 1

y+1fF 1y =

Nghiệmcủaphươngtrình(3.7)đượcxácđịnhquacôngthứcxấpxỉcủaphéplặpđơn

x00,1vàthựchiệnsau20phéplặpchỉsốk vớiướclượngchotrước tathuđượckếtquảsau:

until( a b s ( a b s ( x [ i + 1 ] )

-a b s ( x [ i ] ) ) < 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) ; z[k+1]:=x[i+1];x[k+1]:=x[i+1];write('x[',k+1,']

=',x[k+1]:10:8);

str(x[k+1]:10:8,a);write(f,a);

end;

close(f);a ssign(f, 'vidu2

txt');

fork:=0to19dobegin

read(f,a);readln;end;

A(x,y)A(x,y) f1(x,y) f1(x,y) f 2 (x,y) f 2 (x,y)

f1(x,y) f1(x,y) f1(x,y) f1(x,y) f 2 (x,y) f 2 (x,y) f 2 (x,y) f 2 (x,y)

x y  xy)

(1/2)*z[k]);

y[i+1]:=(-1/2)*(arctan(y[i])-(1/2)*x[i])-(1/2)*(arctan(t[k])-until (abs(abs(x[i+1])-abs(x[i]))<0.0000000001) and(abs(abs(y[i+1])-abs(y[i]))<0.0000000001);

write(f,b);end;

close(f);a ssign(f, 'vidu

end;

end

Tacóthểgiảiphươngtrìnhtoántửtrongmộtsốkhônggianđịnhchuẩnv ớiánhxạcủaphươngtrìnhlàánhxạcovớihệsốcolớnhơn1bằngphép

n h ỏhơn1,từđócóthểt ì m đượcnghiệmx ấpxỉduynhấtcủaphươngtrìnhbằngnguyênlýánhxạco

Luậnvăntrìnhbàylogic,khoahọccácnộidungở3chương.Chương1trìnhbàymộtsốkháiniệmmởđầu.Chương2trìnhbàynộidungcủaphươngpháptráctriểntheothamsốđốivớiphươngtrìnhloạihaivớitoántửđơnđiệuvàliêntụcLipschitz.Chương3nghiêncứuứngdụngcủaphươngpháptháctriểntheothamsốđểgiảiphươngtrìnhtoántửtrongmộtsốkhônggianđịnhc h u ẩn

Luậnvăn

trìnhbàythuậttoángiảiphươngtrìnhtoántửloạihaivớitoántửđơnđiệuvàliêntụcLipschitztrongmộtsốkhônggianđịnhchuẩnvàxâydựnglậptrìnhgiảibằngmáytính.Cáclậptrìnhnày

cóthểápdụngchocácvídụkhácnhaucủaphươngtrìnhtoántửbằngcáchthaycácsốliệutronglậpt r ì n h

Việcxâydựnglậptrìnhcóvaitròquantrọngtrongviệcđưaranghiệmxấpxỉcủaphươngtrình.Nhờđóviệcnghiêncứuứngdụngcủaphươngphápt h á c triển

theothamsốđểgiảiphươngtrìnhtoántửsẽđơngiảnhơn

Vớiphạmviluậnvănvàthờigiancóhạn,luậnvănkhôngtránhkhỏinhữngthiếusót.Tá c giảmongnhậnđượcsựchỉbảo,gópýcủathầycôvàbạnđọcđểvấnđềnghiêncứuđượchoànthiệnhơnvàluậnvăntrởthànhmộtt à i liệukhoahọchữuích

TÀILIỆUTHAMKHẢO [A] TàiliệuTiếngViệt