Tôpô yếu trong không gian banach

Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết về tô pô yếu trong không gian Banach để thấy được... Không gian tôpô X gọi là tách được nếu tồn tại tập hợpM⊂ X đếm được và trù mật trong X.. Khô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

LÊ THỊ THU HIỀN

TÔPÔ YẾU TRONG

KHÔNG GIAN BANACH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học

Th.S HOÀNG NGỌC TUẤN

Hà Nội - 2013

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Ngọc Tuấn - Người

thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luậncủa mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giảitích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoáluận này

Do thời gian và kiến thức có hạn và cũng là lần đầu nghiên cứu khoahọc cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy,

em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạnsinh viên

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Lê Thị Thu Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Qua quá trình nghiên cứu khóa luận: “ Tôpô yếu trong không gian nach” đã giúp em tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích Qua đó cũng giúp

Ba-em bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lựctìm hiểu, nghiên cứu của bản thân em cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo của

thầy giáo - Th.S Hoàng Ngọc Tuấn Kết quả của đề tài “ Tô pô yếu trong không gian Banach” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2013

Sinh viên

Lê Thị Thu Hiền

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian tôpô 3

1.1.1 Kiến thức mở đầu về không gian tôpô 3

1.1.2 Không gian compact 5

1.2 Không gian định chuẩn 6

1.2.1 Kiến thức mở đầu về không gian định chuẩn 6

1.2.2 Toán tử tuyến tính bị chặn 8

1.2.3 Nguyên lí bị chặn đều Banach - Steinhaus 9

1.2.4 Không gian liên hợp 10

Chương 2 Tôpô yếu trong không gian Banach 12

2.1 Tôpô yếu và tôpô yếu* 12

2.2 Cấu trúc cực biên 31

Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 46

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầuthế kỉ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học cổđiển Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát

từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phươngtrình vi phân

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích lũy đượcmột nội dung hết sức phong phú Những phương pháp và kết quả rất mẫumực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liênquan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích Ngoài ra, nó còn cónhững ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa họckhác

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngànhtoán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kếtnhững kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào

đó đề ra những mẫu toán học tổng quát và trìu tượng

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải

tích hàm em đã chon đề tài: “Tôpô yếu trong không gian Banach” Nghiên

cứu đề tài này chúng ta có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về tôpô, một nội dungkhá quen thuộc và bao hàm nhiều tính chất đặc trưng và tổng quát của giảitích hàm

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết về tô pô yếu trong không gian Banach để thấy được

các tính chất của nó.

3 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu

Các kiến thức liên quan đến tô pô yếu và tô pô yếu*

4.Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, nghiêncứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp, so sánh,

5 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến tô pô yếu trong không gianBanach

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luậngồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tôpô yếu trong không gian banach

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian tôpô

1.1.1 Kiến thức mở đầu về không gian tôpô

Định nghĩa 1.1 Cho X là một tập bất kỳ Ta nói một họ τ những tập con

của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên X nếu:

(i) Hai tập φ và X đều thuộc họ τ.

(ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là: giao của một số hữu hạn tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó.

(iii) τ kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là: hợp của một số bất kỳ (hữu hạn hay vô hạn) tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó.

Một tập X , cùng với một tôpô τ trên X , gọi là không gian tôpô (X , τ)(hayđơn giản không gian tôpô X )

Định nghĩa 1.2 Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X Tập con V của X

được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V Nếu lân cận V của x là tập mở thì V được gọi là lân cận của x.

Mọi lân cận của X đều chứa một lân cận mở

Định nghĩa 1.3 Cho không gian tôpô X tập con A và điểm x ∈ X

• Điểm x gọi là điểm trong của A nếu có một lân cận V sao cho V ⊂ A.

• Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu có một lân cận V sao cho

V ∩ A = ∅.

• Điểm x gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có

V ∩ A 6= ∅ và V ∩ (X\A) 6= ∅.

Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A Kí hiệu: ∂ A.

• Ta gọi phần trong của A là hợp tất cả các tập mở chứa trong A Kí hiệu: Ao.

Từ định nghĩa ta có: Ao là tập mở lớn nhất chứa trong A A ⊂ B thì

Định nghĩa 1.5 Không gian tôpô X gọi là tách được nếu tồn tại tập hợp

M⊂ X đếm được và trù mật trong X.

Định nghĩa 1.6 Cho X là không gian tôpô thỏa mãn với mọi cặp các điểm

khác nhau x1, x2∈ X đều có hai lân cận V1,V2của x1, x2sao cho V1∩V2= ∅ Khi đó, X được gọi là không gian tách (hay không gian Hausdorff), và tôpô của nó cũng gọi là tôpô tách (hay tôpô Hausdorff).

1.1.2 Không gian compact

i∈I0

Di ⊇ A

Chú ý: Ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact.

Định nghĩa 1.8 (Không gian compact)

Không gian X được gọi là không gian compact nếu X là một tập compact trong X Tức là nếu Di là mở trong X với mọi i ∈ I và S

i∈I

Di = X thì có một tập hữu hạn I0 ⊆ I sao cho S

Xi của một họ các không gian tôpô không rỗng {Xi, i ∈ I}

là không gian compact khi và chỉ khi Xi là không gian compact với mọi

i∈ I

1.2 Không gian định chuẩn

1.2.1 Kiến thức mở đầu về không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.9 Cho X là không gian vectơ trên trường K ( K = R hoặc

K = C ) Ánh xạ k·k : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu:

(i) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X ;

(ii) kxk = 0 khi và chỉ khi x = 0;

(iii) kλ xk = |λ | kxk với mọi x ∈ X và λ ∈ K;

(iv) kx + yk ≤ kxk + kykvới mọi x, y ∈ X ( bất đẳng thức tam giác).

Không gian vectơ với chuẩn (X , k.k) được gọi là không gian tuyến tínhđịnh chuẩn (hoặc đơn giản là không gian định chuẩn)

Ví dụ: Không gian C[0,1] biểu thị không gian vectơ của tất cả các hàm

vô hướng có giá trị liên tục trên [0, 1], cho bởi chuẩn

k f k

∞ = sup {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]} = max {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]}

Chúng ta dễ dàng kiểm tra được C [0, 1] là không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.10 Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu

mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.

Mệnh đề 1.1 Cho X là không gian định chuẩn Ta đặt

d(x, y) = kx − yk , ∀x, y ∈ X (∗)Khi đó d là một metric trên X

Nhận xét: Nhờ Mệnh đề 1.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở

thành không gian metric với metric (*) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đãđúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.Nguyên lý phạm trù Baire đã được phát biểu trong không gian metric,sau đây ta sẽ phát biểu lại trong không gian định chuẩn.

Định nghĩa 1.11 Cho không gian định chuẩn X Tập E ⊂ X gọi là không

đâu trù mật trong không gian X , nếu hình cầu bất kỳ B ⊂ X đều chứa một hình cầu B1 sao cho B1∩ E = ∅.

Định nghĩa 1.12 Cho không gian định chuẩn X Tập F ⊂ X gọi là tập

phạm trù thứ nhất, nếu tập F là hợp đếm được những tập không đâu trù mật trong không gian X Tập con của X không là tập phạm trù thứ nhất thì gọi

là tập phạm trù thứ hai.

Mệnh đề 1.2 Mọi không gian Banach là tập phạm trù thứ hai.

Định nghĩa 1.13 Tập Y 6= ∅ gọi là không gian định chuẩn con của không

gian định chuẩn X , nếu Y là không gian tuyến tính con của không gian X và chuẩn xác định trên Y là chuẩn xác định trên X Nếu Y đồng thời là tập đóng trong không gian X , thì Y gọi là không gian định chuẩn con đóng của không gian X

Định nghĩa 1.14 Cho X = (X , k.k) là một không gian Banach, M ⊂ X

Khi đó:

• BX = {x ∈ X : kxk ≤ 1 kí hiệu hình cầu đơn vị đóng của X

• SX = {x ∈ X : kxk = 1} kí hiệu hình cầu đơn vị của X

• Bao tuyến tính ( hoặc khoảng) của M được kí hiệu bởi span (M) ; nghĩa là giao của tất cả các không gian con tuyến tính của X chứa M Tương đương, khoảng (M) là không gian con nhỏ nhất ( theo nghĩa bao hàm) của X chứa M Tương tự, span (M) là viết tắt cho bao lồi đóng tuyến tính của M.

• Bao lồi của Mđược kí hiệu bởi conv (M); nghĩa là giao của tất cả các tập lồi chứa M và conv (M) là kí hiệu bao lồi đóng của M.

Định nghĩa 1.15 Cho X là không gian Banach Tập A ⊂ X được gọi là lồi

nếu:

∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ A

Định nghĩa 1.16 Cho X là không gian Banach, tập A ⊂ X Đoạn nối x, y

được định nghĩa như sau:

[x,y] = {z ∈ A : z = λ x + (1 − λ )y, 0 ≤ λ ≤ 1}

1.2.2 Toán tử tuyến tính bị chặn

Định nghĩa 1.17 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường

P(P = R hoặc P = C) Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi

là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:

(i) (∀x, x0 ∈ X) A(x + x0) = Ax + Ax;

(ii) (∀x ∈ X ) (∀α ∈ P) Aαx = αAx.

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính và khi Y = P thì toán tử tuyến tính gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.18 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyến

tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số

C > 0 sao cho:

kAxk ≤ C kxk , ∀x ∈ X

Ta kí hiệu B(X ,Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từkhông gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y Nếu X = Y ,đặtB(X ) = B(X , X )

Định lý 1.2 Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào

không gian định chuẩn Y Khi đó, ba mệnh đề sau tương đương:

(i) A liên tục;

(ii) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X ;

(iii) A bị chặn.

Định lý 1.3 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Nếu Y là không gian

Banach, thì B(X ,Y ) là không gian Banach.

1.2.3 Nguyên lí bị chặn đều Banach - Steinhaus

Định nghĩa 1.19 Cho họ (At)t∈T gồm các toán tử tuyến tính At từ không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T là tập chỉ số có lực lượng nào đấy Họ (At)t∈T gọi là bị chặn từng điểm, nếu với mỗi x ∈ X

tập (Atx)t∈T bị chặn Họ (At)t∈T gọi là bị chặn đều, nếu tập (kAtk)t∈T bị chặn.

Định lý 1.4 (Nguyên lí bị chặn đều Banach- Steinhaus)

Nếu họ (At)t∈T các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X vào không gian định chuẩn Y bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều.

1.2.4 Không gian liên hợp

Định nghĩa 1.20 Cho không gian định chuẩn X trên trường K (K = R hoặc

K = C) Ta gọi không gian I(X, K) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu là X∗.

Như vậy, không gian liên hợp X∗ của không gian định chuẩn X là khônggian Banach

Không gian liên hợp của không gian X∗ gọi là không gian liên hợp thứhai của không gian định chuẩn X , kí hiệu là X∗∗, các không gian liên hợpthứ ba X∗∗∗ không gian liên hợp thứ tư X∗∗∗∗, của không gian định chuẩn

X được định nghĩa tương tự

Định lý 1.5 ( Hahn, Banach)

Cho C là một tập lồi đóng trong không gian Banach X Nếu x0 ∈ C thì/

tồn tại f ∈ X∗ sao choRe( f (x0)) > sup {Re( f (x)) : x ∈ C}.

Hệ quả 1.1 Cho X là một không gian Banach thực

(i) Cho C là một tập lồi mở trong X Nếu x0∈ C thì tồn tại f ∈ X/ ∗ và λ ∈ R sao cho f (x0) = λ và f (x) < λ với mọi x ∈ C.

(ii) Cho A, B là các tập lồi rời nhau trong X Nếu A là mở, thì tồn tại f ∈ X∗

và λ ∈ R sao cho f (a) < λ với mọi a ∈ A và f (b) ≥ λ với mọi b ∈ B.

Định lý 1.6 Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn Ta nói rằng X là

tách được nếu tồn tại một dãy {xi}∞

i=1 trong X mà trù mật trong X

Mệnh đề 1.4 Cho X là một không gian Banach Nếu X∗ là tách được, thì

X là tách được.

Mệnh đề 1.5 Ta có:

(i) Nếu p ∈ [ 0, ∞], thì không gian lp là tách được.

(ii) Các không gian C và C0 là tách được.

(iii) Không gian l∞ là không tách được.

Mệnh đề 1.6 Không gian C∗[ 0,1] là không tách được.

2.1 Tôpô yếu và tôpô yếu*

Định nghĩa 2.1 Cho X là không gian định chuẩn Phép nhúng chính tắc π

từ X vào X∗∗ được định nghĩa với x ∈ X theo công thức

π (x) : f 7→ f (x)

.

Chú ý rằng π là toán tử tuyến tính Thật vậy,

π (α x + β y) ( f ) = f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) = [α π (x) + β π (y)] ( f )Hơn nữa, với x ∈ X ta có kπ(x)k = lim

f ∈BX ∗ | f (x)| ≤ lim

f ∈BX ∗ k f k · kxk ≤ kxk.Xét f0 ∈ SX∗ sao cho f0(x) = kxk, ta có kπ(x)k ≥ | f0(x)| = kxk

Vậy kπ(x)k = kxk

Cách dùng kí hiệu tự nhiên này, với x ∈ X ta thường viết x ∈ X∗∗ thay vìviết π(x) ∈ X∗∗, và ta đồng nhất X với π(X ) ∈ X∗∗ Đặc biệt, x( f ) = x( f )với x ∈ X và f ∈ X∗

Tính chất 2.1 Với mọi không gian định chuẩn X , đều tồn tại không gian

đủ e X của nó, tức là, một không gian Banach e X sao cho X là tập con trù mật của e X

Chứng minh. Chúng ta có thể sử dụng eX = π(x)X

∗∗

.Cho trước các không gian định chuẩn X ,Y và T ∈ B(X ,Y ), ta định nghĩatương tự T∗∗ = (T∗)∗ Chú ý rằng với x ∈ X ta có T∗∗(π(x)) = π(T (x)); đặcbiệt T∗∗(π(X )) ⊂ π(Y ) Ta có T∗∗(X ) ⊂ Y và T∗∗|X = T

Định nghĩa 2.2 Cho X là một không gian định chuẩn.

Tôpô yếu (w-) trên X là tôpô sinh bởi một cơ sở gồm các tập

O= {x ∈ X : | fi(x − x0)| < ε, i = 1, 2, , n}

Với mọi x0 ∈ X, f1, , fn và ε > 0.

Tương tự, tôpô yếu* (w∗-) trên không gian liên hợp X∗ của không gian

X được sinh bởi một cơ sở gồm các tập

O∗ = { f ∈ X∗: |( f − f0)(xi)| < ε, i = 1, 2, , n}

Với mọi f0 ∈ X∗, x1, , xn ∈ X và ε > 0.

Trong trường hợp phức, ta có thể định nghĩa tương đương tôpô yếu trên

X chỉ dùng các hàm từ XR Tôpô yếu* trên không gian X∗ cũng có thể đượcđịnh nghĩa tương đương dùng |Re( f − f0)(xi)| trong sự mô tả cơ sở củachúng

Cho X là một không gian Banach thực Kí hiệu nửa không gian của X làtập mở yếu có dạng {x ∈ X : f (x) < α } với f ∈ X∗\ {0} và α ∈ R nào đó.Giao hữu hạn của các nửa không gian tạo thành một cơ sở của tôpô yếu.Chú ý rằng tôpô yếu* và tôpô yếu là Hausdorff Thật vậy, cho trước

f 6= g trong không gian X∗ tồn tại x ∈ X và một vô hướng α sao cho

f(x) > α > g(x) Các tập mở yếu* {h ∈ X∗ : h(x) > α } và{h(x) ∈ X∗ : h(x) < α } tách f và g Chứng minh tương tự cho trường hợptôpô yếu, trong đó có sử dụng định lí Hahn-Banach Cũng chú ý rằng nếutập A ⊂ X là mở yếu (tương ứng A ⊂ X∗ là mở yếu*) thì tập x + A là tập mởyếu (tương ứng mở yếu*) với mọi x ∈ X (tương ứng x ∈ X∗)

Hiển nhiên mọi tập mở yếu thì cũng mở theo chuẩn, vì vậy tôpô chuẩnthì mạnh hơn tôpô yếu Vì các tập hợp xác định tôpô yếu* trên X* là trong

số các tập xác định tôpô yếu trên X*, nên tôpô yếu mạnh hơn tôpô yếu* trênX* Hơn nữa, A ⊂ X là compact yếu khi và chỉ khi π(A) là compact yếu*trong X**

Chú ý rằng ta không giả sử hai phần tử tùy ý của I là có quan hệ.

Định nghĩa 2.4 Một lưới trong tập X khác rỗng là một ánh xạ N từ tập chỉ

số I vào X Thay vì viết N(α), ta thường viết xα và kí hiệu lưới là {xα}α ∈I Cho {xα}α ∈I là một lưới Cho J là một tập chỉ số và S : J → I là một ánh

xạ với tính chất sau: cho trước α0 ∈ I, tồn tại β0 ∈ J sao cho α0 ≤ S(β ) với mỗi β0 ≤ β Khi đó lướixS(β )

β ∈J được gọi là lưới con của lưới {xα}

α ∈I.

Giả sử rằng X là một không gian tôpô Ta sẽ mô tả sự hội tụ của các lướivừa định nghĩa trong X

Định nghĩa 2.5 Ta nói rằng một lưới {xα}

α ∈I trong không gian tôpô X hội

tụ đến điểm x ∈ X nếu mọi lân cận U (x) của x đều tồn tại α0 ∈ I sao cho

xα ∈ U(x) với mỗi α0≤ α Khi đó ta nói rằng x là giới hạn của {xα}α ∈I và viết xi → x.

Ta nói rằng x ∈ X là một điểm tụ của lưới {xα}α ∈I nếu với mọi lân cận

U(x) của x và α0 ∈ I đều tồn tại α ∈ I sao cho α0 ≤ α và xα ∈ U(x).

Chú ý rằng nếu xα → x, thì mọi lưới con của {xα} cũng hội tụ đến x.Một lưới hội tụ đến x khi và chỉ khi mọi lưới con có x là một điểm tụ

Tôpô của một không gian tôpô X có thể được chỉ rõ bằng việc mô tả sựhội tụ của các lưới Do đó, tất cả các khái niệm thuộc tôpô có thể được định

nghĩa bởi thuật ngữ lưới Ví dụ, cho trước một tập con A của không giantôpô X , bao đóng A của nó là bằng với tập tất cả các giới hạn của các lướitrong A Như vậy, tập A là đóng khi và chỉ khi nó bao gồm tất cả các giớihạn của các lưới hội tụ với các phần tử trong A.

Ta đưa vào một vài kí hiệu thích hợp cho sự hội tụ xn → x (hoặclim(xn) = x) nghĩa là sự hội tụ trong chuẩn trừ khi biểu diễn bằng kí hiệukhác Ta cũng viết xn

w

−→ x ( đôi khi w − lim(xn) = x) để nói rằng {xn} hội

tụ đến x trong tôpô yếu của X ; với các phiếm hàm ta dùng fn

Mệnh đề 2.1 Cho X là một không gian định chuẩn.

(i) Cho f , f1, f2, , ∈ X∗ Khi đó fn w

Trong trường hợp mô tả ở (i), ta nói rằng fn hội tụ theo từng điểm đến

f trên X Hơn nữa nói chung, cho các ánh xạ F, Fn : X → Y và một tập con

G⊂ X, ta nói rằng Fn→ F theo từng điểm trên G nếu Fn(x) → F(x) (hội tụtrong Y ) với mọi x ∈ G

Chứng minh. (i): Giả sử rằng fn → f theo từng điểm trên X Nếu O là một

tập mở trong tôpô yếu* chứa f , tồn tại ε > 0 và x1, x2, , xm ∈ X sao cho

n ( fn) = f trong tôpô yếu* và xét với x ∈ X Cho

ε > 0, tập A = {g ∈ X∗ : |(g − f )(x)| < ε} là mở yếu*, và như vậy với n đủlớn ta có fn ∈ A, nghĩa là | fn(x) − f (x)| < ε

(ii) Chứng minh tương tự

Mệnh đề 2.2 Nếu một không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều, thì tôpô

yếu trong X trùng với tôpô chuẩn trong X , và tôpô yếu* trong X∗ trùng với tôpô chuẩn trong X∗.

Chứng minh. Ta chứng minh tính chất thứ hai bằng cách chỉ ra rằng mọi tập

mở trong X∗ là mở yếu* Để thấy được điều này, lấy O ⊂ X∗ là tập mở Lấy

f0 ∈ O và ε > 0 để sao cho f0+ εBX∗ ⊂ O Cho {e1, e2, , en} là một cơ sởcủa X , và ta định nghĩa k| f |k = max

1≤i≤n| f (ei)| Vì mọi chuẩn trong X∗là tươngđương(X∗ là hữu hạn chiều), ta chọn δ > 0 để với mỗi f ∈ X∗,k| f |k ≤ δ , ta

có k f k < ε Khi đó tập mở yếu*  f : max

f(ei) − f0)(ei < δ chứa trong{ f : k f − f0k < ε} Vậy, O là mở yếu*

Cho không gian vô hạn chiều X tôpô yếu* không trùng với tôpô chuẩncủa X* Để chứng minh tính chất thứ hai này trước tiên ta cần bổ đề sau

Bổ đề 2.1 Cho X là một không gian véc tơ, và cho f , f1, f2, , fn là các phiếm hàm tuyến tính trên X Nếu

n

T

i=1

fi−1(0) ⊂ f−1(0), thì f là một tổ hợp tuyến tính của f1, , fn.

Ta sử dụng tính chất dưới đây từ đại số tuyến tính

Khẳng định: Cho E1, E2, E3là các không gian véc tơ, và cho f : E1→ E3

và g : E1→ E2là các ánh xạ tuyến tính Có một ánh xạ tuyến tính h : E2→ E3

mà f = h ◦ g khi và chỉ khi g−1(0) ⊂ f−1(0)

Chứng minh. Giả sử g−1(0) ⊂ f−1(0) Cách xác định h : g[E1] → E3 vớih(g(x)) = f (x) với x ∈ E Để kiểm tra tính đồng nhất, giả sử g(x1) = g(x2).Khi đó(x1− x2) ∈ g−1(0) ⊂ f−1(0), như vậy f (x1) = f (x2) Thác triển h đểđược một ánh xạ tuyến tính trên E2, rõ ràng h(g) = f Chiều ngược lại là rõràng

Chứng minh Bổ đề 2.1: Sử dụng khẳng định với E1 = X , E2 = Rn, E3 = R , f = f và g(x) = ( f1(x), , fn(x)) ta nhận được một ánh xạtuyến tính h : Rn → R mà f (x) = h(g(x)) Ánh xạ h có thể được viết là

h(y) = ∑ αiyi với α1, , αn nào đó và mỗi y = (yi) ∈ Rn Bởi vậy

f(x) = ∑ αifi(x) với mỗi x ∈ X

Mệnh đề 2.3 Cho X là một không gian định chuẩn vô hạn chiều và O ⊂ X

Nếu O 6= ∅ là mở yếu thì O không bị chặn.

Đặc biệt, tôpô yếu và tôpô chuẩn không trùng nhau

f1, , fn∈ X∗, sao cho {x; | f1(x)| < ε} ⊂ O Rõ ràng, tập

N = {x ∈ X : f (x) = 0, i − 1, , n} = ∩ f−1(0)

được bao hàm trong O Ta khẳng định rằng N 6= {0} Thật vậy, giả sử rằng

N = {0} Khi đó với mỗi f ∈ X∗ ta có N ⊂ f−1(0), vì vậy theo Bổ đề 2.1, f

là một tổ hợp tuyến tính của f1, , fn Vì vậy X∗ = span { fi}, mâu thuẫn

Vì thế ta có thể tìm 0 6= x ∈ N Khi đó với mỗi vô hướng λ ta có λ x ∈ N,

do vậy O bao gồm một dãy qua x Vì vậy O không thể bị chặn trong X

Định nghĩa 2.6 Cho X ,Y là các không gian định chuẩn và F ⊂ B(X ,Y ).

Ta nói rằng F là bị chặn theo từng điểm nếusup {kT (x)kY : T ∈ F} < ∞ với mọi x ∈ X

Nếu F bị chặn trong B(X ,Y ) - nghĩa là, tồn tại C > 0 sao cho kT k < C với mọi T ∈ F – khi đó F là bị chặn theo từng điểm Thật vậy, với x ∈ X ta

Ta khẳng định rằng Nn là tập đóng, tập lồi và đối xứng trong X Tính đốixứng của Nnlà hiển nhiên Để kiểm tra tính đóng, lấy xk∈ Nn và xk→ x ∈ X.Cho trước T ∈ F, ta có kT (xk)kY ≤ n, như vậy kT (x)kY ≤ n do tính liên tục

Để thấy rằng Nn là tập lồi, lấy x1, x2 ∈ Nn và λ ∈ [0, 1] Khi đó, với mỗi

Do đó δ BX ⊂ Nn0 Vì vậy cho nên, cho trước T ∈ F, với mỗi x ∈ BX ta có

T(λ x + λ0y) = lim(Tn(λ x + λ0y)) = lim(Tn(λ x) + Tn(λ0y))

= lim(λ Tn(x)) + lim(λ0Tn(y)) = λ T (x) + λ0T(y)

Vì Tn(x) → T (x) ta có kTn(x)k → kT (x)k; đặc biệt, ta có được {kTn(x)k : n ∈ N}

là bị chặn với mọi x ∈ X Theo Định lí Banach-Steinhaus, {Tn} là bị chặntrong B(X ,Y ) Kí hiệu C = lim inf kTnk Khi đó

kT (x)k = lim kTn(x)k = lim inf kTn(x)k ≤ lim inf(kxk kTnk)

Điều này chứng tỏ rằng kT (x)k ≤ C kxk; nghĩa là, T là bị chặn và

kT k ≤ C

Định nghĩa 2.7 Cho X là một không gian Banach Ta nói rằng tập M ⊂ X

là bị chặn yếu(w-) nếu sup { | f (x)| : x ∈ M} < ∞ với mọi f ∈ X∗ Ta nói rằng tập M ⊂ X∗ là bị chặn yếu* nếu sup{| f (x)| : f ∈ M} < ∞ với mọi x ∈ X

Định lý 2.2 (Banach - Steinhaus) Cho X là một không gian Banach Nếu

M⊂ X∗ là bị chặn yếu* thì M là bị chặn Nếu M ⊂ X là bị chặn yếu thì M

là bị chặn.

Chứng minh. Nếu M ⊂ X∗ là bị chặn yếu*, thì M là bị chặn theo từng điểmtrong B(X , K); do đó, theo Định lí 2.1, M là bị chặn trong B(X , K) = X∗.Nếu M ⊂ X là bị chặn yếu, thì π(M) là bị chặn theo từng điểm trongB(X∗, K); do đó, theo Định lí 2.1 π(M) là bị chặn trong B(X∗, K) = X∗∗ Vì

π là một phép đẳng cự, nên M là bị chặn trong X

Định lý 2.3 Cho X là một không gian Banach và F ∈ X∗∗ Nếu F là liên tục trong tôpô yếu*, thì tồn tại x ∈ X sao cho F = π(x) (hoặc ngắn gọn, F ∈ X ) Lưu ý rằng theo định nghĩa của tôpô yếu*, mọi π(x) ∈ X∗∗ là liên tục yếu*.

Chứng minh. Nếu F là liên tục yếu* trên X∗, thì F là bị chặn bởi một lâncận yếu* U nào đó của 0 trong X∗ với U =



f ∈ X∗ : max

1≤i≤n| f (xi)| < ε

,ở

đó x1, x2, , xn ∈ X và ε > 0 Lấy f ∈ X∗ sao cho f (xi) = 0 với i = 1, 2, , n.Khi đó k f ∈ U , vì vậy |F(k f )| ≤ 1 với mọi k Vì vậy F( f ) = 0 Vậy thì,

n

T

i=1

π (xi)−1(0) ⊂ F−1(0); do đó, theo Bổ đề 2.1, F là một tổ hợp tuyến tínhcủa π(x1), , π(xn) Vậy F ∈ X

Sau đây ta sẽ chứng minh thêm một số định lí tách Để đơn giản, ta chỉxét các không gian thực

Cho không gian vô hạn chiều X tôpô yếu* không trùng với tơpơ chuẩncủa X* Để chứng minh...

Mệnh đề 2.3 Cho X không gian định chuẩn vô hạn chiều O ⊂ X

Nếu O 6= ∅ mở yếu O khơng bị chặn.

Đặc biệt, tơpơ yếu tôpô chuẩn không trùng

f1,... X

Định lý 2.2 (Banach - Steinhaus) Cho X không gian Banach Nếu

M⊂ X∗ là bị chặn yếu* M bị chặn Nếu M ⊂ X bị chặn yếu M

là bị chặn.