Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích hàm, em đã chọn đề tài “Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát” làm đề tài khoá luận tốt nghiệp.. Nghiên cứu đề

Lời cảm ơn

Khóa luận này của em đã được hoàn thành với sự chỉ bảo, hướng dẫn tận

tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường.

Qua đây em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt thời gian

làm khóa luận Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy côgiáo trong tổ giải tích, cũng như các thầy cô giáo trong khoa Toán trườngĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốtnghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Sim

Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Lời cam đoan

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận

tình của Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cùng với đó là sự cố gắng của bản thân.

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành quảnghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng vàlòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiến cứu trong khóa luận này là kếtquả của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả nghiên cứu của cáctác giả khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2012Sinh viên

Hoàng Thị Sim

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị 3

§1 Không gian tôpô 3

1.1 Định nghĩa không gian tôpô 3

1.2 Tập đóng Error! Bookmark not defined. 1.3 Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận 3

1.4 Điều kiện tương đương của ánh xạ liên tục 4

1.5 Tôpô xác định bởi họ ánh xạ, tôpô tách (Hausdorff) 4

1.6 Tập hợp compact 4

§2 Không gian Fréchet 5

2.1 Sơ chuẩn, nửa chuẩn trên một không gian véctơ 5

2.2 Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương 6

2.3 Không gian Fréchet 9

§3 Không gian Banach, không gian Hilbert 9

3.1 Không gian Banach 9

3.2 Không gian Hilbert 10

Chương II Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát 11

§1 Tôpô yếu trong không gian Hilbert 11

1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục 11

1.2 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert 13

§2 Tôpô yếu trong không gian Banach 14

2.1 Không gian liên hợp 14

2.2 Tôpô yếu 15

2.3 Không gian phản xạ 20

§3 Tôpô yếu trong không gian véctơ tôpô 24

3.1 Tôpô yếu* σ (

X *, X

) 24

3.2 Không gian tách

3.3 Áp dụng

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào nửa đầu thế kỉ

XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học cổ điển.Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát từviệc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phương trình

vi phân…

Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích luỹ đượcmột nội dung hết sức phong phú Những phương pháp và kết quả rất mẫumực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liênquan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích Ngoài ra, nó còn cónhững ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học khác

Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngànhtoán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kếtnhững kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào đó

đề ra những mẫu toán học tổng quát và trừu tượng

Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải tích

hàm, em đã chọn đề tài “Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát” làm đề

tài khoá luận tốt nghiệp Nghiên cứu đề tài này chúng ta có thể thấy được sựphong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây là tôpô yếu vàtôpô yếu* trên một số không gian Thông qua đó thấy được vai trò quan trọngcủa chúng trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng của chúng vào các lĩnhvực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khác nói chung

Hoàng Thị Sim 1 Lớp K34C SP Toán

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết về tôpô yếu trong các không gian tổng quát để thấythấy được sự phong phú, đa dạng của các tôpô khác nhau mà cụ thể ở đây làtôpô yếu và tôpô yếu* trên một số không gian Thông qua đó thấy được vaitrò quan trọng của chúng trong nhiều vấn đề giải tích và ứng dụng của chúngvào các lĩnh vực khác của toán học nói riêng và các lĩnh vực khoa học khácnói chung

3 Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu

- Các kiến thức liên quan đến không gian tôpô, không gian Fréchet,

không gian Banach, không gian Hilbert và không gian véctơ tôpô

- Các kiến thức liên quan đến tôpô yếu và tôpô yếu*

4 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, so sánh…

Nội dung khoá luận gồm hai chương:

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị

Chương II Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

Kết luận

Chương I Một số kiến thức chuẩn bị

§1 Không gian tôpô 1.1 Định nghĩa không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.1 Không gian tôpô là một cặp ( X ,τ ) , trong đó X là

một tập hợp và τ là một họ những tập con của X thoã mãn các điều kiện

1.3 Cơ sở, lân cận, cơ sở lân cận

Giả sử ( X ,τ ) là một không gian tôpô

là tập mở trong

Định nghĩa 1.3.1 Một họ B ⊆ τ





được gọi là cơ sở đối với tôpô τ nếu

Định nghĩa 1.3.3 Một họ ℵ những lân cận của

sở lân cận của x nếu với mọi lân cận M của x đều tồn tại N ∈ℵ

sao cho

{ i 

1.4 Điều kiện tương đương của ánh xạ liên tục

Định lý 1.4.1 Một ánh xạ f từ một không gian tôpô X vào một không gian

tôpô Y là liên tục khi và chỉ khi nó có một trong hai điều kiện dưới đây:

i) Nghịch ảnh (bởi f) của mọi tập mở (trongY ) đều là tập mở (trong X ) ii)Nghịch ảnh (bởi f) của mọi tập đóng (trongY ) đều là tập đóng (trong

ii)Hai trường hợp đầu mút:

τ = {x}, tôpô rời rạc, ở đây chỉ có các dãy không đổi mới hội

tôpô thô (hay tôpô không rời rạc), ở đây mọi dãy đều hội

iii) Tổng quát, những tập càng mở thì càng khó hội tụ

Bây giờ, giả sử ϕi : X

→ Y i ,i ∈ I là các ánh xạ từ không gian tôpô X vào

các không gian Y i Liệu rằng tôpô nào yếu nhất trên X mà làm cho tất cả các

sử X là một không gian véctơ thực hoặc phức Định

nghĩa 2.1.1 Một sơ chuẩn trên X là một ánh xạ các

Định nghĩa 2.1.2 Một nửa chuẩn trên X là một ánh xạ

các điều kiện:

thỏa mãni) ρ (x + y) ≤ ρ(x) + ρ ( y),∀x, y ∈ X

ii)

iii)

ρ (λ x) = λ ρ (x),∀x ∈ X ,∀λ ∈□

ρ (x) ≥ 0,∀x ∈ X

2.2 Không gian véctơ tôpô, không gian lồi địa phương

Định nghĩa 2.2.1 Ta nói một tôpô τ trên không gian véctơ X gọi là tương hợp với cấu trúc đại số, nếu các phép toán đại số trong X liên tục

trong tôpô đó, tức là nếu:

Định nghĩa 2.2.2 Một không gian véctơ X trên đó có một tôpô tương hợp

với cấu trúc đại số gọi là một không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 2.2.3 Một không gian véctơ tôpô X gọi là không gian lồi địa

phương nếu trong X có một cơ sở lân cận (của gốc) gồm toàn tập lồi.

Trong một không gian lồi địa phương, một cơ sở của các lân cận của 0 được cho bởi các tập có dạng

x0 bất kì thuộc X được cho bởi các

Định lý 2.2.1 Một không gian lồi địa phương là Hausdorff.

Chứng minh Lấy x ≠ y Khi

Điều này rõ ràng là vô lí, do đó O x ∩ O y = ∅ Từ đó ta có

Định nghĩa 2.2.4 Trong tôpô lồi địa phương,

∀α ∈ Α, ρα (x n − x)

→ 0

khi

Định nghĩa 2.2.5 Cho không gian tuyến tính X Một tập lồi C trong X

được gọi là cân đối hoặc tròn nếu

⇒ λx

∈ C,∀λ, λ

η

η

= 1.

Định nghĩa 2.2.6 Cho không gian tuyến tính X Một tập lồi C trong X

được gọi là hấp thu nếu tC = X

là các tập lồi, cân đối và hấp thu.

Định lí 2.2.2 Giả sử X là không gian tuyến tính cùng với một tôpô

Hausdorff trong đó phép cộng và phép nhân vô hướng là liên tục Khi đó X



là không gian lồi địa phương khi và chỉ khi 0 có một cơ sở lân cận là các tập lồi, cân đối, hấp thu.

Chứng minh

( ⇒ ) Điều này có từ chú ý ở trên

( ⇐ ) Điều mà chúng ta cần làm ở đây là xây dựng họ các nửa

Dễ dàng kiểm tra được

{ ρC (x) < 1} ≤ C ≤ { ρC (x) ≤ 1} .Nhưng ý nghĩa của cơ sở lân cận cho bởi nửa chuẩn giống cơ sở lân cận

nguyên thủy của C Do đó, hai tôpô là trùng nhau, tức là tôpô nguyên thủy là cảm sinh bởi tôpô xác định bởi các nửa chuẩn Bởi vậy, không gian X là lồi

Định lý 2.2.3 Giả sử X là không gian véctơ lồi địa phương, khi đó các điều

sau là tương đương:

1) X metric hóa được (tôpô là cảm sinh bởi khoảng cách).

2) 0 có một cơ sở lân cận đếm được bao gồm các tập lồi, cân đối, hấp thu 3) Tôpô được xác định bởi một họ đếm được các nửa chuẩn.

2.3 Không gian Fréchet

Định nghĩa 2.3.1 Một không gian Fréchet là một không gian lồi địa phương

metric hóa được và đủ

Ví dụ 2.3.1 Lớp Schwartz S các hàm giảm nhanh:

trên S ) được gọi là không gian các hàm phân bố nhiệt suy rộng.

S là không gian Fréchet.

D(Ω) = không gian các hàm suy

§3 Không gian Banach, không gian Hilbert 3.1 Không gian Banach

Định nghĩa 3.1.1 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach

nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới phần tử của X

x, y

x, x

3.2 Không gian Hilbert

Định nghĩa 3.2.1 Cho không gian tuyến tính X trên trường, K ta gọi là tích

vô hướng trên không gian X mọi ánh xạ từ tích Descartes X ×

X , và gọi là chuẩn sinh bởi tích

Định nghĩa 3.2.2 Không gian tuyến tính trên trường K cùng với một tích vô

hướng gọi là không gian tiền Hilbert

Như vậy, mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi công thức (3.2.1).

Định nghĩa 3.2.3 Ta gọi một tập H ≠ ∅ gồm

các phần tử không gian Hilbert nếu H thoả mãn các

điều kiện:

i) H là không gian tuyến tính trên trường K

ii) H được trang bị một tích vô hướng ., .

x, y, z … nào đó là

iii) H là không gian Banach với chuẩn x

= x, x ,∀x ∈ H

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là không gian Hilbert con của không gian Hilbert H

Chương II Tôpô yếu trong một số không gian tổng quát

§1 Tôpô yếu trong không gian Hilbert 1.1 Phiếm hàm tuyến tính liên tục

Giả sử H là không gian Hilbert.

Với mỗi phần tử cố định y

f (x) = x,

là tuyến tính liên tục trên H Đảo lại, thì mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên một không gian Hilbert cũng đều có dạng đó Điều này được chỉ rõ trongđịnh lí sau:

Định lý 1.1.1 (Định lí Riesz) Nếu f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục

trên không gian Hilbert H thì tồn tại một phần tử duy nhất a của H sao cho

Chứng minh Giả sử a là phần tử cố định thuộc không gian H Nhờ các

tính chất của tích vô hướng và bất đẳng thức Schwarz, công thức

f (x) = x,

xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian H

Bây giờ giả sử f là phiếm hàm tuyến tính liên tục bất kỳ trên H Ký hiệu

H0 là một tập con đóng trong H.T Thật vậy, nếu dãy điểm

nghĩa là phần tử a trong biểu diễn

(1.1.1) được xác định một cách duy nhất bởi phiếm hàm f .

0

 0

Cuối cùng ta chứng minh hệ thức (1.1.2) Nhờ bất đẳng thức Schwarz tacó

với H và sẽ phân biệt hội tụ mạnh và hội tụ yếu trên H

1.2 Sự hội tụ yếu trong không gian Hilbert

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử H là không gian Hilbert Dãy {x n

}

được gọi là hội

tụ yếu đến phần tử x ∈ H ,nếu với

tôpô yếu trên H

Ví dụ 2.2.1 Giả sử không gian Hilbert H là khả ly, và {e1, ,e n} là một cơ sở

§2 Tôpô yếu trong không gian Banach 2.1 Không gian liên hợp

Định nghĩa 2.1.1 Cho không gian định chuẩn X trên trường K ( K = □ hoặc

K = □ ) Ta gọi không

K ) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không gian X và kí hiệu

X *

Như vậy, không gian liên hợp

gian Banach

X * của không gian định chuẩn X là không

Không gian liên hợp của không gian X *

gọi là không gian liên hợp thứ hai

của không gian định chuẩn X và kí hiệu

X ** , các không gian liên hợp thứ ba

X

*** không gian liên hợp thứ tư X ****

,… của không gian định chuẩn X

được định nghĩa tương tự

Như vậy tôpô σ ( X

, X *

) là tôpô yếu nhất trên X đảm bảo tất cả các phiếm

hàm f ∈ X * đều liên tục Nói cách khác,

ii)Trong một không gian vô hạn chiều, tôpô yếu không metric hóa được iii) Một cơ sở lân cận của x 0 được cho bởi các tập hợp có dạng:

Chứng minh Giả sử x ≠ y Áp dụng dạng hình học của định lí

Định lý 2.2.3 Nếu dim X < ∞ thì tôpô yếu và tôpô mạnh trùng nhau.

x0 ∈U , khi đó có r > 0 sao cho

Giả sử

{e1, ,e n} là một cơ sở của X với e i = 1

Giả sử { f1, ,

f n} là một cơ sở đối ngẫu, nói cách khác f Cơ sở j (e i ) = σi , j

đối ngẫu có tính chất là nếu chúng ta có thể mở rộng cho mọi y bất kì:

y = ∑ f i ( y)e i Khi đó tập:

N = x ∈ X :| f i (x − x0 ) |< 1, n∀=r, i  

là mở yếu, bởi vậy: x ∈

Trong trường hợp này, nó có bao đóng yếu là

Chứng minh trường hợp này

}

Định lý 2.2.4 Giả sử C

⊆ X

khi C là đóng mạnh.

Chứng minh.

là một tập lồi Khi đó, C là đóng yếu khi và chỉ

(⇒) Khi mở yếu ⇒ mở mạnh, lấy phần bù ta được đóng yếu ⇒ đóng mạnh (⇐) Giả sử C là đóng mạnh Khi đó, chúng ta chỉ ra rằng C là đóng yếu,

là tập mở yếu ( bởi nghịch ảnh của một tập mở

qua ánh xạ liên tục là một tập mở) chứa x0 và nằm trong C C

Do đó, C C là

Hệ quả 2.2.4 Giả sử ϕ là một hàm số lồi, nửa liên tục dưới

yếu Đặc biệt, nếu

⇒ ϕ là nửa liên tục dưới yếu.

Chú ý Cho trước lồi, liên tục mạnh ⇒ nửa liên tục dưới yếu

Ví dụ x  x là hàm số lồi, liên tục Do đó, nó là nửa liên tục dưới yếu, do

2.3.Không gian phản xạ

Định nghĩa 2.3 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian phản xạ

nếu

X = X **

Nhận xét Không gian phản xạ là không gian Banach.

Định lí l.3.1 (Định lí Kakutani) Giả sử X là không gian Banach Khi đó

i

< ε ,∀i = 1, n

hay không? Điều này tương

đương với câu hỏi ở đó k

h

ông? x ∈

B X sao cho

i

f i , x − η

, f i < ε với mỗi i

hayGiả sử

Bây giờ chúng ta chứng minh định lí Kakutani.

J (B X ) =

B X **

bởi tính tuyến tính của J

Theo định lí 1.2.5, nếu T là một toán tử tuyến tính khi đó nó là liên tục

mạnh-mạnh khi và chỉ khi nó là liên tục yếu-yếu

Do đó, J là liên tục từ σ ( X

, X * )

vào σ ( X **,

X ***)

Điều này mạnh hơn

là sự tồn tại liên tục của J từ σ ( X

Chứng minh

B M là tập compact yếu của tập compact B X vì nó là tập lồi Do

đó,

B M là compact yếu Suy ra, M là phản xạ.

Hệ quả 2.3.1.2 Giả sử X là không gian Banach phản xạ Nếu C là một

)

Chứng minh C là đóng yếu và C ⊆ mB X , với m > 0 Khi

đó mB X là compact trong σ ( X , X * ) và do đó C là compact

trong σ ( X , X *)

Định lý 2.3.2 Giả sử X là không gian Banach phản xạ và ϕ(x)

Chứng minh Trước hết chúng ta cần nhớ lại tính chất sau: “Một hàm nửa

liên tục dưới nhận giá trị nhỏ nhất trên một tập compact”

§3 Tôpô yếu trong không gian véctơ tôpô 3.1 Tôpô yếu* σ ( X *

, X ) Giả sử X là không gian Banach trên trường K ( K = □ hoặc K = □ ).

Trên X *

chúng ta định nghĩa tôpô yếu σ ( X *, X ** )

Nhưng

X ⊆ X ** Bởi

vây, ở đó có một vài phần tử còn yếu hơn tôpô yếu Từ đó chúng ta đưa ra định nghĩa sau:

Định nghĩa 3.1.1 Tôpô yếu* σ (

X *, X

) trên X *

được định nghĩa là tôpô

đầu sinh bởi họ ánh xạ

( ϕx x∈

X

,ϕ

x

: X * → K

)