Nhập môn đại số tenxơ

LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tôi trong bốn năm học v

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo cô giáo trong khoa Toán, các thầy cô trong tổ Đại số, những người tận tình dạy dỗ, giúp đỡ tôi trong bốn năm học vừa qua cũng như tạo điều kiện cho tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo :

Ths Nguyễn Huy Hưng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo và đóng

ghóp nhiều ý kiến quý báu trong tôi thực hiện khóa luận

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Nhƣ Thúy Vân

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả của cá nhân tôi trong quá trình học tập, tìm tòi học hỏi và nghiên cứu Bên cạnh đó được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là giúp đỡ nhiệt tình của thầy giáo Ths

Nguyễn Huy Hưng

Tôi xin cam đoan kết quả khóa luận tốt nghiệp của tôi với đề tài “Nhập môn đại số ten xơ” không trùng lặp hay sao chép kết quả của đề tài khác

Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiêm

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Nhƣ Thúy Vân

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đại số tenxơ, đại số đối xứng và đại số ngoài là một công cụ hữu hiệu trong toán học, cơ học lượng tử, vật lý lý thuyết,…Nhiều kết quả, hay phương pháp nghiên cứu của đại số tenxơ còn ảnh hưởng đến một số lĩnh vực khác của toán học và đời sống, trong nghiên cứu khoa học

Với niềm yêu thích bộ môn Đại số, và được sự giúp đỡ tận tình của thầy

giáo Ths Nguyễn Huy Hưng, tôi mạnh dạn thực hiện kháo luận tốt nghiệp với đề

tài: “ Nhập môn đại số ten xơ ”

2 Mục đích nghiên cứu

Cung cấp nghiên cứu về tích tenxơ của không gian véctơ

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: Các kiến thức cơ bản về tính chất phổ dụng của các không gian véctơ

+ Phạm vi: Nội dung kiến thức trong phạm vi của đại số tuyến tính

4.Nhiệm vụ nghiên cứu: Tìm hiểu lý thuyết về tích tenxơ

5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích tài liệu có liên quan và tổng hợp kinh nghiệm của bản thân

6 Cấu trúc khóa luận

Chương 1, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản như không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính Chương 2, đây là nội dung chính của khóa luận Các khái niệm như tích tenxơ của hai không gian, hai không gian con, hai không gian thương, tích tenxơ của hai ánh xạ được trình bày khá chi tiết Chương 3, tôi trình bày những kết quả mở rộng của chương 2 cho nhiều không gian

CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Ở chương này, tôi trình bày một số kiến thức cơ bản như khái niệm không gian véctơ, ánh xạ tuyến tính, ánh xạ song tuyến tính để dùng trong chương 2 và 3

1.1 Không gian véctơ

1.1.1 Định nghĩa : Cho V là một tập khác rỗng mà các phần tử kí hiệu là , ,

, và K là một trường Giả sử V được trang bị hai phép toán, gồm:

1.1.2 Ví dụ

Tập X là tập khác rỗng, V là một K - không gian véctơ Tập  gồm tất

cả các ánh xạ  : X V với các phép toán:

( + )(x) = (x) + (x), (.)(x) =.(x)

Với , ,K là một K - không gian véctơ

1.1.3 Cơ sở, chiều

Tập SV được gọi là độc lập tuyến tính nếu với mọi bộ phận hữu

hạn phần tử s1, s2, s3….,sn thuộc S, từ điều kiện

1

n i i

Định lý : Trong không gian véctơ luôn tồn tại cơ sở, hai cơ sở bất kỳ luôn

có cùng lực lượng Lực lượng của nó được gọi là số chiều của không gian véctơ

Tổng trực tiếp của không gian véctơ: Cho V, W là hai không gian véctơ trên trường : Tổng trực tiếp của V và W được tạo thành từ cặp (v , w) ,v  V,

w  W với các phép toán được định nghĩa theo từng thành phần:

(v, w) +(v’, w’) = (v+v’, w+w’),

(v, w) = ( ,w)

Nếu e = {ei}iI là cơ sở của V, h = {hi}jJ là cơ sở W thì e và h là cơ sở của

VW

Không gian con: W V được gọi là không gian con nếu W là nhóm con

1.2.2 Ví dụ

Ánh xạ : RR, x(x) = 2010x là ánh xạ tuyến tính giữa các R không gian Thật vậy, r, s R, x, y R, ta có (r.x + s.y) = 2010(r.x + s.y)

= 2020r.x + 2010s.y = r.(x) + s (x)

1.2.3 Ánh xạ song tuyến tính

Giả sử E, F, G là ba không gian véctơ bất kỳ, xét ánh xạ :EF G

 được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu thỏa mãn:

 ( x1x y2, )( , )x y2 , x x1, 2 E y y ; ,1 2 F

( , x y y ) ( , ) x y ( , x y )

Khi G=  thì  thì được gọi là hàm song tuyến tính

Ta có thể ký hiệu Im là không gian véctơ con của G bởi

Bây giờ, ta xét B(E,F;G) gồm tất cả các ánh xạ song tuyến tính đi từ EF đến G Bằng cách định nghĩa phép cộng ánh xạ 1 và 2:

1.2.5 Ánh xạ song tuyến tính của không gian con không gian thương

Cho ánh xạ song tuyến tính : E x F  G và cặp không gian con E1E

  lần lượt là hai phân tích trực tiếp của E và

F, và giả sử với mọi cặp ( , ) luôn tồn tại ánh xạ song tuyến tính :

NếuE1E vàF1  F là hai không gian véctơ con và  1: E x1 F1G là một ánh

xạ song tuyến tính : E x F  G, có hạn chế lên E1 x F1 là 1

Ta giả sử ánh xạ :E x F  G là song tuyến tính, và với các không gian con E1 E và G1G , (x1,y )G1, với mọi xE1, yF 1

Xét :E E/E và 1  :GG1

Ta định nghĩa ánh xạ song tuyến tính  : (E E )x/ 1) F G G bởi: / 1

Cho p + 1 không gian véctơ E i i( 1,p),G Ánh xạ : E1x…xE p G được

gọi là p - tuyến tính nếu với mọi i( 1 i p):

ta có được cấu trúc không gian véctơ con trong tập L E( 1, ,E G p; )

Không gian gồm tất cả các hàm - tuyến tính đi từ E x…x1 E được viết gọn là p

1

( , , p; )

CHƯƠNG 2 TÍCH TENXƠ CỦA HAI KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Đây là chương chứa các khái niệm tích tenxơ của hai không gian véctơ, tích tenxơ của hai không gian con, hai không gian thương, tích tenxơ của các ánh

xạ tuyến tính và các tính chất của chúng

2.1 Tính chất phổ dụng

Cho E và F là hai không gian véctơ và  là ánh xạ song tuyến tính từ

ExF vào không gian véctơ T Ta nói  có tính chất phổ dụng nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:

1: các véctơ xy x( y y, F) sinh ra T, hoặc tương đương Im T 2: nếu  là một ánh xạ song tuyến tính từ E x F vào một không gian bất

kỳ H, thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính f: TH sao cho biểu đồ sau giao hoán:

(2.1)

Hai điều kiện trên tương đương với điều kiện sau:

: Với mọi ánh xạ song tuyến tính :E x F  H thì tồn tại duy nhất một ánh

xạ song tuyến tính f: TH sao cho (2.1) giao hoán

Thật vậy giả sử 1 và 2 cùng thỏa mãn, và cho hai ánh xạ tuyến tính:

T

Ngược lại, giả sử cho  Hiển nhiên 2 thỏa mãn

Để chứng minh 1 ta lấy T1 là không gian véctơ con của T sinh bởi các véctơ có dạng x  y ( xE , yF) Khi đó xác định một ánh xạ song tuyến tính: E x F T1 sao cho i(x , y ) = x  y , xE , yF, trong đó i:T1 T

là một ánh xạ nhúng Từ suy ra tồn tại một ánh xạ tuyến tính f: T  T1 sao cho (x, y )= f( x  y ), xE, yF Áp dụng i vào trong hệ thức trên ta được:

(if) (x  y ) = (i )(x,y ) = x  y

Mặt khác

id(x  y ) = x  y , xE,  y F

Trong đó id là ánh xạ đồng nhất của T Dựa vào tính chất của , ta chỉ ra được

if = idT do vậy i là toàn ánh và do đó T = T1 suy ra 1

2.2 Những tính chất cơ bản

Ta đưa ra một vài tính chất được suy ra từ định nghĩa

Cho :E xF  T là một ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng

Bổ đề 2.2.1 Cho r véctơ a i (i= 1, r ) độc lập tuyến tính trong E và r véctơ bất kỳ trong F là b i , (i= 1, r ) Khi đó từ i i

(x , y ) =

1

r i i

f



 (x)gi( y ), xE , y F

Ở đó gi

là các hàm tuyến tính tùy ý trong F Từ 2 suy ra tồn tại hàm tuyến tính

h trong T sao cho:



 , trong đó x y i i, i( 1, )r là các véctơ độc lập tuyến tính trong E và F

1

1

r

r i i i



 , thì ta có

z=

1

r

i i i







Suy ra điều này trái với giả thiết r nhỏ nhất Do đó các véctơ xi độc lập tuyến tính Chứng minh tương tự, ta có các véctơ yi độc lập tuyến tính

(x x y, )( , )x y ( , )x y

và

1 2 1 2

( ,x y y )( ,x y)( ,x y ) Đặt :

Tương tự như vậy ta chứng minh được  tuyến tính đối với biến y

Chứng minh 1, biểu diễn véctơ zT dưới dạng tổng của hữu hạn phần tử

,

,( , )

 

  , xE , yF Suy ra

g: C(E x F)H sao cho

g(x, y) =  (x, y)

Từ tính song tuyến tính của  chỉ ra rằng N(E, F)ker g

Chứng tỏ rằng ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng

2.5 Tích tenxơ của hai không gian véctơ

2.5.1 Định nghĩa: Tích tenxơ của hai không gian véctơ E và F là một cặp (T, ) trong đó : E x FT là một ánh xạ song tuyến tính có tính chất phổ dụng Không gian được xác định duy nhất bởi E và F đến một đẳng cấu, và cũng được gọi là tích tenxơ của E và F, được ký hiệu bởi E  F

Ta chỉ ra tenxơ có tính chất giao hoán theo nghĩa là :

E  F F  E Thật vậy, xét ánh xạ song tuyến tính:

: E x F E  F , với (x, y) = yx

 : F x E E  F , với  (y, x) = xy

Từ 2 suy ra chúng cảm sinh các ánh xạ song tuyến tính

f: E x F F  E và g: F  E E  F sao cho:

Vì 1y = y nên ánh xạ này thỏa mãn 1

Chứng minh 2 : Cho :   FH là một ánh xạ song tuyến tính bất kỳ và xét ánh xạ tuyến tính f: FH , f(y) = (1,y) thì ta có:

 y , yF : (,y) =  (1,y) = f(y) = f(y) = f( y)

Do đó 2 được chứng minh

b) Cho không gian véctơ R2 Khi đó R

R

R2 = R2

2.6 Hạn chế của ánh xạ song tuyến tính thành ánh xạ tuyến tính

Cố định E, F và G là ba không gian véctơ, Xét đẳng cấu:

: L(E  F, G) B(E, F, G) Xác định bởi:

(f) = f, f L(E  F, G)

Từ 2 ta dễ dàng chỉ ra  là một toàn ánh vì nó cho biết bất kỳ một ánh xạ song tuyến tính : E x FG nào đều có thể phân tích thành tích tenxơ Ta chứng minh  là một phép nội xạ Giả sử f = 0 với mọi ánh xạ f: E  FG

đã biết Từ 1 không gian E  F được sinh ra bởi tích của xy do vậy f = 0 Mối quan hệ giữa ánh xạ song tuyến tính : E  FG ở trên được biểu diễn bởi sơ đồ sau:

Mệnh đề 2.6.1 Cho : E x F G là một ánh xạ song tuyến tính

và f: E  F G là một ánh xạ tuyến tính cảm sinh Do đó, f là toàn ánh khi và chỉ khi  thỏa mãn 1 , và f là đơn ánh khi và chỉ khi  thỏa mãn 2

 (x, y) = f(x, y).,

E x F  H



f

EF

thì thỏa mãn 2

Ngược lại, giả sử  thỏa mãn 2 Khi đó ánh xạ song tuyến tính : E x F E

x F, cảm sinh một ánh xạ h: GE x F sao cho

xy = hf(x, y) Mặt khác, (x, y) = f((x, y) sao cho

xy = hf(xy )

Do đó hf = idE x F Vì vậy, f là một đơn ánh

2.7 Tích tenxơ của hai không gian con

Giả sử ánh xạ song tuyến tính : E x FT có tính chất phổ dụng và cho hai không gian con E1  F; F1  F , ' là hạn chế của  lên E1 x F1

Đặt T1 = Im', ta chỉ ra rằng (T1

'

,) là tích tenxơ của E1 và F1

Tính chất 1 được suy trực tiếp từ định nghĩa Chứng minh 2 ta giả sử 1: E1

x F1 H là một ánh xạ song tuyến tính Mở rộng 1 thành ánh xạ song tuyến tính : E x FH Vì  có tính chất phổ dụng nên tồn tại ánh xạ song tuyến tính

f : TH sao cho

2.7.1 Ví dụ

V là không gian véctơ với cơ sở{e1, e2}, W là không gian véctơ cơ sở {  1, 2, 3}; V1 là không gian con của V sinh bởi e1, W1 là không gian con của W sinh bởi 1 Khi đó V1W1 = ke1k1

2.8 Tích tenxơ của hai không gian thương

Cho các không gian con E1  F; F1  F và đặt:

T(E1 , F1) = E1 F+ EF1

Xác định một ánh xạ song tuyến tính : E x F(E F)/ T(E1, F1) bởi

 (x, y) =  (xy), với  là một phép chiếu chính tắc

Vì (x1, y) = 0 nếu x1E1, yF và (x, y1) = 0, nếu x1E1, y1 F1 nên  cảm sinh một ánh xạ song tuyến tính

 : E/E1 x F/F1 (E F)/ T(E1, F1) sao cho :

 (x y, ) =  (x, y) xE/E1, yF/F1

Để chứng minh  thỏa mãn , trước hết ta có :

Im = Im = Im = (E F)/ T(E1, F1) suy ra  thỏa mãn 1 Chứng minh 2: Xét ánh xạ song tuyến tính bất kì:

 : E/E1 x F/F1 H Xác định ánh xạ song tuyến tính : E x FH thỏa mãn

(x, y) =  (x y, ) Thì tồn tại một ánh xạ tuyến tính f: E FH, sao cho

f  f Suy ra

 (x y, ) = (x, y) = f(xy) = f (xy) = f (x, y) = f (x y, ) , xE/E1, yF/F1

Do đó  = f  Suy ra  thỏa mãn 2 và từ những kết quả trên, ta có đẳng cấu chính tắc sau:

E/E1 F/F1  (E F)/ (E1 F+ EF1)

2.9 Tích tenxơ của tổng trực tiếp

Giả sử có hai họ không gian tuyến tính E, I và với mọi cặp

( , ),(  EF, ) là tích tenxơ của E và F Thế thì ánh xạ song tuyến tính

trong đó  :EE p,  :F F là phép chiếu chính tắc i :E F G

    

là những đơn cấu chính tắc Thế thì cặp ( G ,) là tích Tenxơ của E và F Điều kiện 1hiển nhiên thỏa mãn Để kiểm tra 2, cho một ánh xạ song tuyến tính tùy ý   : E F H Xét ánh xạ

:



 E F H bởi (x, y) =  (i x j y ,  ), trong đó

:

Giả sử cặp (E F, ) là tích tenxơ của không gian véctơ của E và F

Hai phân tích trực tiếp E =E và F =F ta chỉ ra rằng EF là tổng trực

tiếp của các không gian con E F :

Từ đó, ta có không gian E F là tổng các không gian con của E F

Để chứng minh sự phân tích (2.2) là trực tiếp ta xét tổng trực tiếp của

Nếu xE ,yF thì từ định nghĩa của f, g và  suy ra:

( , ) ( , )

h x y  fx gy

(i x j y ,  ) =  

Nhưng từ đẳng thức này ta chỉ ra rằng h ánh xạ mọi không gian con E F

của E  F lên không gian con i( E F) của G Vì sự phân tích

 

 

 và ánh xạ song tuyến tính : E Fsao cho cặp (G,) là tích tenxơ của E và F Xác định một ánh xạ song tuyến tính : E x FG bởi

(x, y) = E



 F, trong đó

Để chứng minh 2 ta xét : E x FH là một ánh xạ song tuyến tính tùy ý và

có hạn chế lên E F là  Khi đó, tồn tại một ánh xạ tuyến tính:

f : G H sao cho

Do đó f  =  Suy ra 2 được thỏa mãn

2.11 Tích tenxơ của các véctơ cơ sở

Giả sử (a ) I và (b ) J tương ứng là cơ sở của r không gian véctơ E và F, thế thì các tích (a b  ) I,Jlà cơ sở của E F Thật vậy, ta xét Evà F là

không gian con một chiều của E và F được sinh ra bởi a và b Thế thì từ tập

vào E, F và E F thì E F được sinh ra bởi những phần tử riêng biệt

a b, do đó E F là tổng trực tiếp của không gian con một chiều được

sinh bởi các tích a b nên tích trên là cơ sở của EF

Đặc biệt nếu E và F hữu hạn chiều thì EF cũng hữu hạn chiều và

dim(EF ) = dimE.dimF (2.3)

2.12 Áp dụng cho ánh xạ song tuyến tính

Cho E, F là các không gian véctơ với cơ sở tương ứng là (x ) I và (y ) J

thì a blà cơ sở của EF Do đó mọi ánh xạ của tập hợp ( x  y ) lên không gian G có thể mở rộng duy nhất thành ánh xạ tuyến tính

đều có thể mở rộng thành một ánh xạ song tuyến tính duy nhất: EF G và

mọi ánh xạ song tuyến tính  có được một cách tương tự Đặc biệt, không gian

Im được sinh ra bởi các véctơ ( x, y) Kết quả này được chỉ ra rằng nếu E

và F là hữu hạn chiều thì dimIm dimE.dimF

Dễ dàng ta xây dựng một tập cơ sở của B(E,F;G) với điều kiện E và F hữu hạn chiều Nếu x i i( 1,n); y j(j1,m); (z ) K là cơ sở của E, F và G thì tích

là một cơ sở của B(E,F;G)

Nếu G hữu hạn chiều thì dim B(E,F;G) = dim E dim F dim G

Đặc biệt

B(E,F;G) = dim E dim F