Định lý điểm bất động và một số ứng dụng

Vì vậy em xin khẳng định nội dung của đề tài: “Định lí điểm bất động và một số ứng dụng” không có sự trùng lặp với các đề tài khác... Lí do chọn đề tài Lí thuyết điểm bất động là một phầ

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Bùi Kiên Cường

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận

tình, nghiêm khắc của thầy Bùi Kiên Cường Bên cạnh đó em cũng

được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô giáo trong khoa toántrường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2

Vì vậy em xin khẳng định nội dung của đề tài: “Định lí điểm bất động và một số ứng dụng” không có sự trùng lặp với các đề tài khác.

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

ĐINH THỊ NHÂM

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ của các thầy, cô giáo trong

tổ Giải tích, các thầy cô trong khoa Toán, các thầy cô giáo trong trườngĐHSP Hà Nội 2 và các bạn sinh viên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc của mình tới thầy giáo Bùi Kiên Cường – người đã tận tình

giúp đỡ em trong quá trình hoàn thành khóa luận

Do lần đầu tiên làm quen với công tác nghiên cứu khoa học Hơnnữa do thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, mặc dù đã rất cốgắng nhưng chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót Em kính mongnhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn sinh viên

để khóa luận của em được hoàn thiện và có nhiều ứng dụng trong thực tế

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

ĐINH THỊ NHÂM

MỤC LỤC

Phần mở đầu 3

1.Lí do chọn đề tài 3

2.Mục đích nghiên cứu 3

3.Nhiệm vụ nghiên cứu 3

4.Phương pháp nghiên cứu 3

5.Cấu trúc của khóa luận 4

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian metric 5

1.2 Không gian Hilbert 7

1.3 Không gian L2a, b 12

1.4 Toán tử tích phân 16

Chương 2: Định lí điểm bất động và một số ứng dụng 24

1 Định lí Banach về ánh xạ co 24

2.Ứng dụng của định lí Banach ánh xạ co 31

2.1 Ứng dụng trong việc giải phương trình giá trị thực 31

2.2 Ứng dụng trong việc giải phương trình ma trận 32

2.3 Ứng dụng trong việc giải phương trình tích phân 36

2.4 Ứng dụng trong việc giải phương trình vi phân 41

Kết luận 48

Tài liệu tham khảo 49

SVTH: Đinh Thị Nhâm 3 K35G- SP Toán

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàmphi tuyến - một môn toán học cơ bản vừa mang tính lí thuyết vừa mangtính ứng dụng rộng rãi Ngay từ đầu thế kỉ 20, các nhà toán học trên thếgiới đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới nay có thể khẳng định rằng líthuyết điểm bất động đã được phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công

cụ không thể thiếu được để giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực

tế đặt ra Nói đến lí thuyết điểm bất động không thể không nhắc đến định

lí điểm bất động Vậy, nội dung định lí đó như thế nào? Định lí ấy cóứng dụng gì trong toán học, cụ thể trong việc giải phương trình giá trịthực, giải phương trình ma trận, giải phương trình tích phân và giải

phương trình vi phân? Đó chính là lí do em chọn đề tài: “Định lí điểm bất động và một số ứng dụng”.

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học và khóa luận tốtnghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu định lí điểm bất động

Nghiên cứu việc áp dụng định lí điểm bất động trong việc giảiphương trình giá trị thực, giải phương trình ma trận, giải phương trìnhtích phân và giải phương trình vi phân

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lí luận

Phương pháp phân tích, tổng hợp và đánh giá

5 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóaluận gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Định lí điểm bất động và một số ứng dụng

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là không gian metric một tập hợp X  

Do đó hệ thức (1.1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) về metric.

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric M   X , d , dãy điểm

o  X Dãy điểm  x n 

được gọi là hội tụ tới

Điểm x o còn gọi là giới hạn của dãy  x n

Ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ của một dãy điểm  x n

1

là sự hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric M   X , d  Dãy điểm

hội tụ trong M đều là dãy

Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric M   X , d

Khi K  X thì M gọi là không gian compact.

Tập K gọi là tập compact tương đối trong không gian M nếu mọi dãy vô hạn phần tử của tập K đều chứa một dãy con hội tụ (tới phần tử thuộc X ).

1.2 Không gian Hilbert

Đối với mỗi x  X , ta đặt: x  (x, x)

Định nghĩa 1.2.2 (định nghĩa không gian Hilbert)

không gian Hilbert, nếu tập hợp H thỏa mãn các điều kiện:

1) H là không gian tuyến tính trên trường P

2) H được trang bị một tích vô hướng (.,.)

3) H là không gian Banach với chuẩn x  (x, x), xH

Ta gọi mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert

H là không gian Hilbert con của không gian H

1.2.3 Phần bù trực giao, tập con trực giao

Định nghĩa 1.2.3

Cho không gian Hilbert H , hai phần tử

nhau, kí hiệu x  y , nếu (x, y)  0

x, y H gọi là trực giao với

Định nghĩa 1.2.4

gọi là trực giao với tập hợp A ,

Dễ thấy F cũng là không gian con của H khi đó ta có biểu diễn:

H  E  F x  x1  x2 , x1E, x2 F

Định lí 1.2.2 (định lí về hình chiếu lên không gian con)

Cho không gian Hilbert H và

x  y  z, yH o , z  H0

1.2.5 Hệ trực chuẩn

Định nghĩa 1.2.6

Cho không gian Hilbert H Một tập hợp (còn gọi là hệ thống) gồm

hữu hạn hay đếm được các phần tử

Cho (e n )n1 là một hệ trực chuẩn trong không gian Hilbert H Năm

mệnh đề sau tương đương:

1) Hệ (e n )n1 là cơ sở trực chuẩn của không gian H ;

5) Bao tuyến tính của hệ (e n )n1 trù mật khắp nơi trong không gian

H (nghĩa là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính của một số hữu hạn bất kỳ các

phần tử thuộc hệ (e n )n1 trù mật khắp nơi trong không gian H ).

1.2.7 Dạng tổng quát của phiến hàm tuyến tính liên tục

Định lí 1.2.4 (F Riesz)

Mọi phiến hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều

có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng:

f (x) (x, a), xH

f  a

1.2.8 Toán tử liên hợp

Định nghĩa 1.2.8

Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert X vào không gian Hilbert Y Toán tử B ánh xạ không gian Y vào không gian

X gọi là toán tử liên hợp với toán tử A , nếu:

(Ax, y) (x, By),xX ,yY Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A

1.2.9 Toán tử tự liên hợp

Định nghĩa 1.2.9

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó được gọi là tự liên hợp, nếu:

(Ax, y) (x, Ay),x, yH

Toán tử liên hợp còn được gọi là toán tử đối xứng

Định lí 1.2.5

Toán tử tuyến tính bị chặn A ánh xạ không gian Hilbert H vào

chính nó là tự liên hợp khi và chỉ khi tích vô hướng (Ax,

Cho không gian Hilbert H Dãy điểm (x n ) 

điểm xH , nếu với mọi điểm yH

biến mọi dãy hội tụ yếu trong không gian X thành dãy hội tụ mạnh (còn gọi là hội tụ theo chuẩn) trong không gian Y

Định lí 1.2.7

Nếu X là một không gian Hilbert, thì liên hợp của mọi toán tử compact trong X đều là một toán tử compact.

1.2.12 Điều kiện Lipschitz

Ta nói rằng trên a,b ánh xạ A thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y , nếu tồn tại số L 

1.3.2 Không gian tuyến tính L2 a,b

Tập hợp L2 a,b định nghĩa trên cùng với phép cộng hai hàm số và

phép nhân với một số thực là một không gian tuyến tính trên R

Thật vậy: Ta sẽ chứng minh các phép toán trên

tiên đề về không gian tuyến tính

Tiên đề 1: x, yL2 a,b: x  y  y  x

Tiên đề 3: đặt  (t)  0 h.k.n / a,b  L2 a,b

Tiên đề 8:  R,x, yL2 a,b:  (x  y)  x   y

Vì:   (x  y)(t)  (x  y)(t)  x(t)  y(t) x(t)   y(t)

h.k.n / a,b

Vậy L2 a,b là một không gian tuyến tính thực

1.3.3 Không gian định chuẩn L2 a,b

Với mỗi xL2 a,b ta đặt tương ứng với một số thực kí hiệu là x

b Theo định lí tập L2 a,b thì xL2 a,b : 0  x(t) 2 dt 

a

Do (1.3.1) hoàn toàn xác định và cho ta một ánh xạ từ không gian

tuyến tính L2 a,b vào tập số thực R Kí hiệu ánh xạ đó là Khi đó

 L2 a,b,  là một không gian định chuẩn

Áp dụng bất đẳng thức Minkowski cho các hàm x(t), y(t) ta có:

  

L2 a,b còn là không gian Banach.

1.3.4 Không gian Hilbert L2 a,b

Tích vô hướng trên

a

Ta chứng minh (1.3.2) thỏa mãn hệ tiên đề của tích vô hướng

Tiên đề 1: x, yL2 a,b: ( y, x) (x, y)

Tiên đề 4: xL2 a,b,(x, x)  0;(x, x)  0  x 

b Thật vậy: (x, x)   x2 (s)ds  0 x

a (x, x)  0  x2 (s)  0  x(s) 

Theo trên đã chứng minh L2 a,b không gian tuyến tính trên trường

số thực R và được trang bị tích vô hướng (1.3.2) Ngoài ra nó còn là không

gian Banach do đó là một không gian Hilbert

1.4 Toán tử tích phân.

1.4.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục

Giả sử X là một tập hợp compact trong không gian

□ , K là một hàm số liên tục trên X  X Ta sẽ chứng minh rằng nếu L2 ( X )

+) Do K là hàm số liên tục trên X X , mà X là không gian

compact nên K sẽ liên tục đều trên X X , nghĩa là:

(  0)(  0)(x ', x", s ', s" X : x ' x"  , s ' s" 

thì: K (x ', s ')  K (x", s")  

 2 1X(ở đây ta xét trường hợp   0 Nếu  

1

X X



Vậy A là một toán tử tuyến tính liên tục từ

)

vào L2 ( X ) , A

1.4.2 Toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích.

Giả sử X là tập hợp đo được (theo nghĩa Lesbesgue) trong không

Ta sẽ chứng minh nếu L2 ( X ) thì tích phân

(1.4.3)

Do đó từ bất đẳng thức Bunhiacopxki suy ra tích phân ở vế phải của

(1.4.2) tồn tại với hầu hết x X , và:

Ta đã chứng minh A là một ánh xạ từ không gian L2 ( X ) vào chính

nó Dễ dàng thấy A là một toán tử tuyến tính.



2

Từ (1.4.3) và (1.4.4) suy ra:

A   K (x, s) dxds  2

X Vậy A là một toán tử tuyến tính bị chặn và:

A   K (x, s) dxds

X

A được gọi là toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích.

1.4.3 Toán tử tích phân trong không gian L2 a,b

Định nghĩa: Cho một hàm hai biến K (t, s) có bình phương khả tích.

Ax(t)   (t  s)sds

1

Tính tuyến tính và tính bị chặn của toán tử tích phân

Trong không gian

L2 a,b toán tử tích phân cho bởi công thức(1.4.6) L2 a,b là toán tử tuyến tính bị chặn

x(s) 2 ds 

b b

 x 2   K (t, s) 2 dsdt

a a

Từ đó và từ (1.4.5) suy ra Ax(t)L2 a,b

A là toán tử tuyến tính Thật vậy:

Định lí 1.4.1: Toán tử tích phân sinh bởi hạch đối xứng là một toán

Tính compact của toán tử tích phân

Định lí 1.4.2: Toán tử tích phân là một toán tử compact trong

L2 a,b

Trong không gian L2 a,b toán tử tích phân:

b Ax(t)   K (t, s)x(s)ds,

được xác định trên hình vuông D a  t, s b và thỏa

b b

  K (t, s)



2

dtds 

a a

(1.4.8)

Toán tử liên hợp của toán tử tích phân

Toán tử tích phân

xác định bởi công thức:

A : X  Y ( X ,Y

A :L2 a,b  L2 a,b Gọi A là toán tử

liên hợp của A khi đó với

hạch Toán tử tự liên hợp

K (t, s)  K (s,t)

Nếu X Y  L2 a,b và toán tử tích phân A trong L2 a,b được

xác định bởi hạch K (t, s) là tự liên hợp tức là: A A

khi và chỉ khi

K (t, s)  K (t, s)  K (t, s) h.k.n

Vậy mọi tích phân đối xứng đều là toán tử tự liên hợp

Tích của hai toán tử tích phân

2

Cho hai toán tử tích phân trong L2 a,b :

b Ax(t)   K (t, s)x(s)ds

a b

CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

1 Định lí Banach ánh xạ co

Định nghĩa 1.1 (Ánh xạ co) Một ánh xạ T từ một không gian

metric ( X , d ) vào chính nó (T : X  X

Lipschitz nếu có một hằng số thực dương  sao cho

d (Tx,Ty)  d (x, y) x, yX Nếu 0  1 thì T được gọi là một ánh

xạ co,  được gọi là hệ số co của T

và Tx  (1  x)3 , khi đó việc tìm nghiêm

của phương trình Tx  x tương đương với việc giải phương trình

Một ánh xạ T từ không gian metric  X , d

Định lí 1.1 (Định lí Banach về ánh xạ co)

Cho T : X  X là một ánh xạ co với hệ số co  từ không gian metric đủ ( X , d

) vào chính nó Khi đó ánh xạ T tồn tại duy nhất một

điểm bất động u  X Hơn nữa, với bất kỳ x 

T (u)  u Đây là điều kiện đủ để chứng tỏ

rằng d T u ,u  0 T u u

d T u ,u  0 , nghĩa là:



m

dương N Khi đó T có một điểm bất động duy nhất.

Vì vậy T  x cũng có một điểm bất động của T N Vì điểm bất động của

T N là duy nhất, nên suy ra rằng T  x  x Cũng vậy, nếu T  y   y , thì

T N  y   y , nhờ tính duy nhất một lần nữa ta được y  x

Định lí dưới đây là mở rộng của định lí Banach ánh xạ co Chúng

ta bỏ qua việc chứng minh vì kết quả tổng quát được chứng minh trongmuc sau Tuy nhiên, kết quả chứng minh nó là một bài toán đẹp

Định lí 1.3 Cho M là một không gian metric có hai metric d và  , và giả

metric đầy đủ C 0,1 và xem xét các không gian con đóng M của

C 0,1 bao gồm những ánh xạ f  C 0,1 mà f 1  1 Vì M là không

gian con đóng của một không gian metric đầy đủ nên M chính là không

trong M thu được bằng cách đặt

Sau đó chúng ta có

d T  f ,T  g    sup

T  f t   T  g t   t o f t o   g t o   d  f , g 

t0,1

Nhưng nếu f  g thì suy ra rằng f t   g t  với mỗi t 0,1 và

vì f 1  g 1  1 nên t o  1 Do đó, nếu f , g 

 g ,

d T  f ,T  g    d  f , g 

Bây giờ giả sử T  f   f với f  M Điều này có nghĩa rằng với

mỗi t 0,1, f t   tf t  Nghĩa là f t   0 với mọi t 0,1 Mặt

khác, f 1  1 Điều này mâu thuẫn với giả thiết rằng f là liên tục, vì vậy T không có điểm bất động trong M

Định lí 1.4 Cho M , d  là một không gian metric compact và cho

T :M  M là một ánh xạ co được Khi đó T có một điểm bất động duy

 T  x o    d T  x o ,T 2  x o    d  x o ,T  x o     x o  ,

Suy ra rằng x o  T  x o 

Bây giờ cho x 

tồn tại và r  0 Cũng vậy, vì M là compact nên dãy T n  x  có một

dãy con hội tụ

đều hội tụ tới x o , vì vậy suy ra rằng lim T n  x  x o

n

Cho S biểu thị lớp của những hàm  :□   0,1

điều kiện đơn giản sau  t n   1  t n  0

d T  x,T  y     d  x, y  d  x, y .

Khi đó T có một điểm bất động duy nhất z  M , và T n  x  hội tụ tới

lim  d  x n , x n1   , và vì   S

suy ra r  0 Điều này mâu thuẫn bước 1.

giác

Bước 2 x n là dãy Cauchy

Chứng minh Giả sử limsup d  x n , x m   0 Nhờ bất đẳng thức tam

bước 1 ta suy ra

limsup1   d  x , x   1   ,

n m m,n

Từ đó limsup d  x n , x m    1

m,n

Nhưng vì  

S

lại là một mâu thuẫn

điều này có nghĩa limsup d  x n , x m   0 , điều

này

m,n

Chứng minh định lí 1.5 là hoàn thành Cho x  M Vì M là không

gian đầy đủ và vì T n  x  là dãy Cauchy,

2.1 Ứng dụng trong việc giải phương trình giá trị thực

Cho X  R là không gian metric của các số thực với x  x và

a,b R f :a,ba,b, một hàm khả vi sao cho:

f  x  k 1.

dụng định lí giá trị trung bình Lagarange với bất kỳ

f  x x