Các tiên đề tách và một số ứng dụng

Mục đích nghiên cứu của đề tàiBước đầu liên quan với việc nghiên tài cứu khoa học vàtìm hiểu sâu hơn về hình học đặc biệt là các tiên đề tách vàmột số ứng dụng của nó.. Các tiên đề tách

MỞ ĐẦU 2

1 doLý chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 2

3 tượngĐối nghiên cứu của đề tài 3

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài 3

5 thuyếtGiả khoa học 3

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài 3

7 Phương pháp nghiên cứu 3

8 dungNội công trình nghiên cứu 4

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1.1 Không gian metric 5

1.2 Tập mở và tập đóng 9

1.3 Không gian topo 15

1.4 Không gian con Tích Descartes Không gian thương 18

1.5 Ánh xạ liên tục Phép đồng phôi 21

CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 23

2.1 Các tiên đề tách T i 23

2.2 Một số định lý và hệ quả 27

2.3 Một số ứng dụng của tiên đề tách trong không gian compact 36

2.4 Các phản ví dụ 40

KẾT LUẬN 58

TÀI LIỆU THAM KHẢO 59

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

Bước đầu liên quan với việc nghiên tài cứu khoa học vàtìm hiểu sâu hơn về hình học đặc biệt là các tiên đề tách vàmột số ứng dụng của nó Các tiên đề tách đề cập tới việc táchđiểm, tách điểm và tập hợp đóng hoặc tách các tập hợp đóng

3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu về các tiên đề tách và một số vấn đề có liênquan đến các tiên đề tách và một số ứng dụng

4 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu của đề tài

Giới hạn nội dung: nghiên cứu các tiên đề tách và một sốvấn đề liên quan

Giới hạn đối tượng: các tiên đề tách

Giới hạn thời gian: 5 tháng

5 Giả thuyết khoa học

Hệ thống lý thuyết về các tiên đề tách làm thành tài liệuchuyên sâu giúp các bản thân em có thể tìm hiểu sâu hơn vềvấn đề này

6 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

Nghiên cứu một số phần kiến thức nhỏ là chuẩn bị cơ bảnliên quan đến toán học

7 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện bài này tác giả khóa luận đã sử dụng cácphương pháp nghiên cứu sau đây:

Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá

Nghiên cứu sách giáo trình, các sách tham khảo và các tàiliệu liên quan đến vấn đề này

Quá trình làm khóa luận đã sử dụng nhiều phương phápngiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng hợp kiến thức

từ các tài liệu được lấy làm tài liệu tham khảo

8 Nội dung công trình nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric

1.2 Tập hợp mở và tập hợp đóng

1.3 Không gian topo

1.4 Không gian con Tích Descartes Không gian thương 1.5 Ánh xạ liên tục Phép đồng phôi

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này đề cập đến một số kiến thức cơ bản về khônggian metric, không gian topo, tập đóng tập mở, không giancon, tích Descartes, không gian thương, ánh xạ liên tục vàphép đồng phôi

1.1 Không gian metric

Ví dụ 1.1.2 Không gian ơclit (Euclide) ℝ k là không gian

metric với metric d xác định như sau:

Nếu x   1, , k  và y   1, ,k  là hai phần tử của ℝ k

1

 k

2 2thì d  x, y     i

 i 1

 i 



Hiển nhiên d thỏa mãn hai tiên đề đồng nhất và đối xứng

Ta kiểm tra tiên đề tam giác Trước hết, để ý rằng nếu

d  x, y   sup

a t b

x t   y t  , x, y  □

Giả sử M là một tập hợp con của không gian metric

 X , d  Dễ thấy rằng hàm số d M  d M  M là một metric trên tập

M

gọi là metric cảm sinh bởi

metric d trên M

Theo định nghĩa, ta suy ra:

x n  a  d  x n , a   0  n    hay lim  x n , a   0

n

Cho dãy {x n } bất kì và nk  k  1, 2,  là dãy các số tự

Vì vậy, người ta nói rằng sự hội tụ trong không gian Ơclit

ℝ k là sự hội tụ theo các tọa độ

Định nghĩa 1.1.3 Dãy x n 

gọi là dãy cơ bản nếu:

Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric mà trong nó mọi dãy

cơ bản đều hội tụ được gọi là không gian metric đủ

Ví dụ 1.1.7 Không gian metric rời rạc là một không gian metric đủ

1.2 Tập mở và tập đóng

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử X là một không gian metric,

Ví dụ 1.2.1 Trong không gian rời rạc X , với a  X

S  a,1  a

ta suy

S a,1  X

A được gọi là tập hợp mở nếu mọi điểm thuộc A đều là

điểm trong của A

A được gọi là tập hợp mở nếu

(ii) Hợp của một họ tùy ý các tập hợp mở là một tập hợp

(iii) Giao của một số hữu hạn các tập hợp mở là một tậphợp mở

Chứng minh

(i) Hiển nhiên

(ii) Giả sử G

tồn tại i  0 sao cho S  x, i   G i i  1, , n 

(iii) Chứng minh tương tự câu (ii)

cho x  U  V

lân cận điểm đếm được

Định lý 1.2.4 Mọi điểm của không gian metric đều có cơ

X Ta định nghĩa phần trong của A là tập

Tập hợp A là tập hợp mở khi và chỉ khi IntA  A

Định nghĩa 1.2.5 Cho không gian metric X , tập hợp A là tập hợp con của X Điểm x  X được gọi là điểm dính của A nếu mọi lân cận V của x thì V  A  

Tập hợp tất cả các điểm dính của A được gọi là bao đóng của A Ký hiệu: A hoặc clA.

Chú ý: Vì X là một tập hợp đóng chứa A nên bao đóng của tập hợp A luôn tồn tại.

Hiển nhiên ta có:

(i) Nếu x  A thì x  A nên suy ra A  A

(ii) A là một tập hợp đóng và đó là một tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A

(iii) Tập hợp A là tập hợp đóng khi và chỉ khi A  A (iv) Nếu A  B thì   

Định lý 1.2.5 Giả sử A là một tập hợp con của không gian

của x đều có điểm chung với A.

Chứng minh

Nếu x   thì V  X \  là một lân cận của x không chứa

điểm chung với

A Đảo lại, nếu tồn tại một lân cận V của x

sao cho

Do đó   X \ V Vậy x  .□

Định nghĩa 1.2.6 Cho X là không gian metric tập hợp

A, B là các tập hợp con của X ta định nghĩa

A trù mật trong B nếu B  

X được gọi là khả ly nếu tồn tại tập hợp A đếm được và

trù mật trong X tức là A  X

1.3 Không gian topo

Tập hợp X gọi là không gian, các phần tử của X gọi là

mở của không gian X Họ  gọi là một topo trên tập hợp X

Ngược lại, G được gọi là tập mở nếu G không phải tập mở.

gian topo Vì họ các tập hợp mở trong một không gian metricthỏa mãn các điều kiện của một topo

thực mở rộng □ sao cho với mọi A  □ , A   khi và chỉ khi A

Nếu A  x thì V được gọi là một lân cận của điểm x Nếu V là tập mở thì V là lân cận mở của A.

điểm x (hay cơ sở địa phương của không gian X tại điểm x )

Nhận xét:

Hợp các lân cận của x là một lân cận của x

Giao hữu hạn các lân cận của x cũng là một lân cận của

x

Nhận xét: Trên một tập hợp X có thể cho nhiều topo khácnhau

là hai không gian topo trên

X Ta nói 1 mạnh hơn 2 ( 2 yếu hơn 1 ) nếu 1  2 tức là

với topo 1 Ký hiệu: 1  2

Hiển nhiên, topo rời rạc trên một tập hợp X là mạnh nhất và topo phản rời rạc trên X là yếu nhất trong tất cả các topo trên X

Không phải hai topo bất kì trên cùng một tập hợp X bao giờ cũng so sánh được Giả sử A và B là hai tập hợp con thực

sự không rỗng khác nhau của một tập hợp X Trên X ta trang

bị hai topo  A   X , , A ; B   X , , B Dễ thấy  A và B

Định nghĩa 1.3.6 Giả sử  X ,   là một không gian topo,

Định nghĩa 1.3.7 Giả sử A là một tập hợp con của không gian topo X Điểm x  X gọi là một điểm tụ của tập hợp A

Các điểm của tập hợp A \

A d

gọi là các điểm cô lập của tập

hợp A Điểm x của không gian topo X là một điểm cô lập của

X khi và chỉ khi x là một tập hợp mở Thật vậy, x là một

đương với

đóng

1.4 Không gian con Tích Descartes Không gian thương

một tập hợp con của

X Đặt M  V  M : V  M  U ,U  

M gọi là topo cảm sinh bởi topo 

Định lý 1.4.1 Giả sử X là một không gian topo và M là

A  M  F

,

trong đó F là một tập hợp đóng trong X

bao đóng A của tập hợp A trong không gian X liên hệ với

và

Từ đó suy ra

không gian con đóng của không gian các số thực với tôpô tự

A được hiểu là tôpô cảm sinh vào A bởi tôpô tự nhiên trên ℝ.Khi nói tới các khoảng hoặc các tập hợp những số thực màkhông có giải thích gì thêm thì ta hiểu các tập hợp đó đượctrang bị topo tự nhiên Dễ dàng chứng minh được rằng haikhoảng mở bất kì, hai khoảng đóng bất kì không suy biến thànhmột điểm, hai khoảng nửa đóng bất kì là đồng phôi với nhau

với topo đầu  xác

gian topo   X s , s   ,

định nghĩa ở chương sau)

s S

trên

xác định như

Định nghĩa 1.4.2 Cho X là một không gian topo, R là

một quan hệ tương đương trong

X

Gọi X / R là tập hợp cáclớp tương đương và

i : X

 X / R, x  i  x   x ( x

đương chứa x ) là ánh xạ thương.

Đó là topo mạnh nhất trong các topo trang bị trên X / R sao cho ánh xạ i liên tục Tập hợp

1.5 Ánh xạ liên tục Phép đồng phôi

cho f U   V

f gọi là liên tục (trên X ) nếu f liên tục tại mọi điểm x

của X

Ví dụ 1.5.1 Nếu X là một không gian topo rời rạc và Y là

một không gian topo tùy ý thì mọi ánh xạ

vào không gian topo Y.

f gọi là một phép đồng phôi nếu f và ánh xạ ngược

của nó đều liên tục

CHƯƠNG 2: CÁC TIÊN ĐỀ TÁCH VÀ MỘT

SỐ ỨNG DỤNG

Chương này đề cập tới nội dung các tiên đề tách và một sốứng dụng tách điểm, tách tập thông qua các định lý, hệ quả vàmột số phản ví dụ

2.1 Các tiên đề tách T i

mà không chứa điểm y hoặc ngược lại.

Giả sử   X ,    là họ các T1 - không gian Xét  x I

và  y I là hai điểm thuộc  X  x , y

I

 I

tiên đề tách

T2 :

lân cận V của y sao cho U  V  

Ví dụ 2.1.3 Cho X là một tập hợp vô hạn Họ D những tập hợp con của X bao gồm X và tất cả những tập hợp con

đóng D bao gồm tập hợp rỗng và phần bù của các tập hợp con hữu hạn của X là một

gian thỏa mãn tiên đề tách

T3 :

hợp đóng trong X và O  Y

là một

3

2

T 1 :3

Không gian hoàn toàn chính quy được gọi là không gian Tykhonoff

2gian

x  f 1  

0, 1   , F 

f 1   1

,1 

lân cận U của E và một lân cận V của F sao cho U  V  .

P    x, y   □ 2 : y  0 , P    x, y   □ 2

không phải là một không gian chuẩn tắc.

2.2 Một số định lý và hệ quả

Định lý 2.2.1 Một không gian topo là

và chỉ khi mọi tập hợp một điểm đóng

Chứng minh

Ngược lại, giả sử mọi tập hợp một điểm trong không gian

U  X

gian □

(i) Mọi lân cận của x chứa vô số điểm A

(ii) Mọi lân cận của x chứa ít nhất một điểm khác của A khác x

Vậy mọi lân cận của x chứa vô số điểm của A □

chính quy khi và chỉ khi với mọi x  X

và mọi tập hợp mở G chứa x , tồn tại tập hợp mở U chứa x sao cho

Vậy X là không gian chính quy □

và f  y   1, y  X \ V

Chứng minh

V là lân cận mở của x suy ra x  X \ V là đóng, X là

Định lý 2.2.5 Giả sử  X ,   là T1 - không gian,  X ,   là

không gian chuẩn tắc khi và chỉ khi đối với mọi tập hợp mở G

và mọi tập hợp đóng F chứa trong G tồn tại tập hợp mở U

Từ định lý có hệ quả quan trọng sau:

tồn tại hàm liên tục

g : X

là hai tập hợp đóng rời nhau

Suy ra X là không gian chuẩn tắc.

Ngược lại, giả sử X là không gian chuẩn tắc Cho

F1, F2 là

2 

hai tập hợp đóng rời nhau, chọn hai tập hợp mở rời nhau

Vậy bổ đề được chứng minh.

Định lý 2.2.7 Không gian con bất kì của một

1

T i - không

của một không gian chuẩn tắc là một không gian chuẩn tắc

Chứng minh

Ta chứng minh định lý cho trường hợp

hợp còn lại được chứng minh tương tự

Giả sử M là một không gian con của không gian chính quy

X Giả sử x  M và A là một tập hợp con đóng trong M



r

r

r

không chứa x Khi đó A  M  A, trong đó A là bao đóng của tập hợp A trong X Do đó x  A Vì vậy tồn tại các tập hợp

Vậy M là một không gian chính quy □

Định lý 2.2.8

i  3 1 .2

 là

hợp compact và thì tồn tại tập hợp mở G và H sao cho

s

Giả sử C là tập hợp compact trong X , lấy bất kì x  X \ C.

x bất kì thuộc X \ C nên X \ C mở, suy ra C đóng trong X

hợp compact không rỗng, rời nhau thì tồn tại các tập hợp mở

xạ đóng.

Chứng minh

Giả sử A là một tập hợp đóng trong X Khi đó A là một

compact của không gian Y Vì Y là Hausdorff nên từ đó suy ra

Hệ quả 2.3.3 Nếu là f :  X1, 1    X 2 , 2  song ánh, liên

là

f là một phép đồng phôi.



Chứng minh

Ta chỉ cần chỉ ra f biến tập hợp đóng thành tập hợp đóng

Do

X 2 là

suy ra f là phép đồng phôi.

Hệ quả 2.3.4 Giả sử trên một tập hợp X trang bị hai loại

compact,  X , 2  là T

Định lý 2.3.3 Giả sử X là một không gian Tykhonoff, C

là tập hợp compact, K đóng trong X , C  K   Khi đó tồn

Đặt

g  x   min  f X  x  i  1, , n với x  X , thì g là một hàm liên tục trên X , lấy giá trị trên

ngược lại không đúng Để thấy rằng điều ngược lại không đúng

ta đi vào phần tiếp theo

2.4 Các phản ví dụ

a,  X ,   là không gian topo

T1 - không gian

Chứng minh

a, Ta đi kiểm tra 3 điều kiện của không gian topo

(i) Rõ ràng   , X  ;

i

y1  x0

thì x0  không chứa y2

Suy ra  X ,   là T0 - không gian

X G   hoặc G  X hoặc X \ G hữu hạn} Ta chứng

tra 3 điều kiện của không gian topo

2,  X ,  

3,  X ,   không phải là T3 - không gian

và bất kìcác tập hợp mở

U , V lần lượt chứa 0 và Z có giao nhau khác

là một topo trên X ta đi kiểm tra 3 điều kiện của

không gian topo

(i) Rõ ràng , X   ;

Nếu

A, B   hoặc A, B   ' thì A  B  

vậy tập hợp các số vô tỉ là tập hợp đóng trong không gian topo