Mục đích của luận án là mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất động cho một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như không gian b-mêtric sắp thứ tự bộ phận không gian b-mêtric nón trên các đại số Banach;...
Trang 2Tªp thº h÷îng d¨n khoa håc:
1 PGS TS Tr¦n V«n n
2 TS Nguy¹n V«n Dông
Ph£n bi»n 1: GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u
Ph£n bi»n 2: GS.TSKH Nguy¹n V«n Mªu
Ph£n bi»n 3: PGS.TS Nguy¹n Nhöy
Luªn ¡n s³ ÷ñc b£o v» tr÷îc Hëi çng ch§m luªn ¡n c§p Tr÷ínghåp t¤i Tr÷íng ¤i håc Vinh
v o hçi ng y th¡ng n«m
Câ thº t¼m hiºu luªn ¡n t¤i:
1 Th÷ vi»n Nguy¹n Thóc H o, Tr÷íng ¤i håc Vinh
2 Th÷ Vi»n Quèc gia Vi»t Nam
Trang 3MÐ U
1 Lþ do chån · t i
Nguy¶n l½ ¡nh x¤ co Banach l mët trong nhúng cæng cö húu ½ch cõa to¡n håc hi»n
¤i Vi»c nghi¶n cùu nhúng v§n · li¶n quan ¸n k¸t qu£ n y l mët nëi dung cètlãi cõa gi£i t½ch phi tuy¸n V§n · mð rëng Nguy¶n l½ ¡nh x¤ co Banach tr¶n c¡c lîpkhæng gian m¶tric ¢ v ang ÷ñc nhi·u t¡c gi£ quan t¥m nghi¶n cùu theo nhúngh÷îng kh¡c nhau v ¤t ÷ñc nhi·u k¸t qu£ ¡ng kº, ti¶u biºu vîi nhúng cæng tr¼nhnêi bªt cõa Kannan (1968), Boyd v Wong (1969), Ciric (1974), Rhoades (1977), Ran
v Reurings (2004), Ran v Reurings (2004), Rus v Serban (2008), Shatanawim v Al-Rawashdeh (2012), Wardowski (2012), , Razani v Parvaneh (2013)
C¡c ành lþ iºm b§t ëng câ nhi·u ùng döng rëng r¢i trong nhi·u l¾nh vüc cõato¡n håc v khoa håc kh¡c nh÷ gi£i t½ch, ph÷ìng tr¼nh vi-t½ch ph¥n, kinh t¸ v kÿthuªt, khoa håc m¡y t½nh H÷îng nghi¶n cùu lþ thuy¸t iºm b§t ëng m¶tric ph¡ttriºn chõ y¸u theo 3 v§n · sau:
Nghi¶n cùu ành lþ iºm b§t ëng cho c¡c ¡nh x¤ co v ¡nh x¤ co suy rëng tr¶nlîp c¡c khæng gian m¶tric
Nghi¶n cùu ành lþ iºm b§t ëng cho c¡c ¡nh x¤ co v ¡nh x¤ co suy rëng tr¶nc¡c lîp khæng gian kh¡c nhau: khæng gian Banach, khæng gian m¶tric ri¶ng, khænggian m¶tric nân, khæng gian b-m¶tric,
Nghi¶n cùu c¡c ùng döng cõa c¡c ành lþ iºm b§t ëng trong mët sè l¾nh vüc cõato¡n håc nh÷: chùng minh sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»m cõa c¡c lîp ph÷ìng tr¼nhvi-t½ch ph¥n, ph÷ìng tr¼nh h m,
Tr¶n cì sð â · t i °t v§n · nghi¶n cùu nhúng nëi dung sau:
- Nghi¶n cùu mët sè t½nh ch§t cõa mët sè lîp c¡c ¡nh x¤ tr¶n c¡c khæng gian
b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khænggian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C∗- ¤i sè
- X¥y düng mët sè lîp ¡nh x¤ co suy rëng tr¶n c¡c khæng gian b-m¶tric sp thù
tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîigi¡ trà trong C∗- ¤i sè
- Ùng döng c¡c k¸t qu£ thu ÷ñc v o vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët
sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n
Vîi c¡c lþ do n¶u tr¶n chóng tæi chån · t i nghi¶n cùu cho luªn ¡n cõa m¼nh l :
Trang 4" ành lþ iºm b§t ëng cho mët sè lîp ¡nh x¤ tr¶n khæng gian b-m¶tric
v ùng döng"
2 Möc ½ch nghi¶n cùu
Möc ½ch cõa luªn ¡n l mð rëng c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cho mët
sè lîp ¡nh x¤ tr¶n c¡c lîp khæng gian nh÷ khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn,khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong
C∗- ¤i sè v ùng döng c¡c k¸t qu£ thu ÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët
sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n
3 èi t÷ñng nghi¶n cùu
èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa luªn ¡n l c¡c khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn,khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong
C∗- ¤i sè, c¡c ¡nh x¤ co suy rëng, iºm b§t ëng, iºm tròng nhau tr¶n khæng gian
b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sè Banach, khænggian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C∗- ¤i sè, mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n
4 Ph¤m vi nghi¶n cùu
Luªn ¡n nghi¶n cùu c¡c ành lþ iºm tròng nhau, ành lþ iºm b§t ëng trongkhæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sèBanach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C∗- ¤i sè v ùng döng c¡c k¸t qu£ thu
÷ñc v o nghi¶n cùu b i to¡n tçn t¤i nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n
5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu
Chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu lþ thuy¸t cõa gi£i t½ch h m, lþ thuy¸tph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n v lþ thuy¸t iºm b§t ëng trong qu¡tr¼nh thüc hi»n · t i
6 þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n
Luªn ¡n ¢ l m phong phó th¶m c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng trongkhæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn, khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sèBanach, khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C∗- ¤i sè çng thíi, ùng döng c¡c k¸tqu£ thu ÷ñc v o vi»c nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët sè lîp ph÷ìng tr¼nh t½chph¥n
7 Têng quan v c§u tróc luªn ¡n
Nëi dung luªn ¡n ÷ñc tr¼nh b y trong 3 ch÷ìng Ngo i ra, luªn ¡n cán câ Líi cam
oan, Líi c£m ìn, Möc löc, Mð ¦u, K¸t luªn v Ki¸n nghà, Danh möc cæng tr¼nhkhoa håc cõa nghi¶n cùu sinh li¶n quan trüc ti¸p ¸n luªn ¡n v T i li»u tham kh£o.Ch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y c¡c nghi¶n cùu v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nhx¤ trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn v ùng döng Möc 1.1, chóng tæinghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T-co
Trang 5suy rëng trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn Möc 1.2, chóng tæi nghi¶ncùu v· sü tçn t¤i iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-T-h¦u co suy rëng trongkhæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn Möc 1.3, chóng tæi ¢ ùng döng k¸t qu£ t¼m
÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n C¡c k¸tqu£ cõa ch÷ìng n y ¢ ÷ñc «ng tr¶n t¤p ch½ Nonlinear Analysis: Modelling andControl
Ch÷ìng 2 chóng tæi tr¼nh b y c¡c nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng trongkhæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n c¡c ¤i sè Banach v ùng döng Möc 2.1 chóngtæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian b-m¶tric nân tr¶nc¡c ¤i sè Banach Möc 2.2, chóng tæi nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng cholîp c¡c ¡nh x¤ ϕ-co y¸u suy rëng trong c¡c khæng gian b-m¶tric nân tr¶n c¡c ¤i sèBanach Möc 2.3, chóng tæi nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng bë æi cho mët
sè ¡nh x¤ trong khæng gian b-m¶tric nân ¦y õ tr¶n c¡c ¤i sè Banach Möc 2.4,chóng tæi ¢ ùng döng k¸t qu£ t¼m ÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mëtlîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y ang ÷ñc gûi «ng tr¶nmët sè t¤p ch½ To¡n håc quèc t¸
Ch÷ìng 3 chóng tæi tr¼nh b y c¡c nghi¶n cùu v· sü tçn t¤i iºm b§t ëng trongkhæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong C∗- ¤i sè v ùng döng Möc 3.1 chóng tæi tr¼nh
b y mët sè kh¡i ni»m, t½nh ch§t cì b£n cõa khæng gian b-m¶tric vîi gi¡ trà trong
C∗- ¤i sè Trong Möc 3.2, chóng tæi thi¸t lªp mët sè ành lþ iºm b§t ëng cho lîpc¡c ¡nh x¤ ϕ-co suy rëng v ¡nh x¤ ϕ-co chu©n suy rëng trong khæng gian b-m¶tricvîi gi¡ trà trong C∗- ¤i sè Möc 3.3, chóng tæi thi¸t lªp v chùng minh mët sè ành
lþ iºm b§t ëng bë æi cho mët lîp c¡c ¡nh x¤ trong khæng gian b-m¶tric vîi gi¡trà trong C∗- ¤i sè Möc 3.4, chóng tæi nghi¶n cùu b i to¡n v· sü tçn t¤i nghi»m cõamët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n C¡c k¸t qu£ cõa ch÷ìng n y ¢ ÷ñc «ng tr¶n t¤pch½ Scientific publications of the state university of Novi Pazar v t¤p ch½ Journal ofAdvanced Mathematical Studies
Trang 6CH×ÌNG 1
IM TRÒNG NHAU CHO MËT SÈ LÎP NH X TRN KHÆNGGIAN b-MTRIC SP THÙ TÜ BË PHN V ÙNG DÖNG
Trong ch÷ìng n y chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m ¡nh x¤ T-co v ¡nh x¤ (ψ, L)-T-h¦u
co suy rëng trong khæng gian b-m¶tric, ph¡t biºu v chùng minh mët sè k¸t qu£ v·
iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T-co suy rëng v ¡nh x¤
(ψ, L)-T-h¦u co suy rëng trong khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn Ngo i
ra, chóng tæi ùng döng k¸t qu£ t¼m ÷ñc º nghi¶n cùu sü tçn t¤i nghi»m cõa mëtlîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n
1.1 iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T -co suy
rëng tr¶n khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn
Trong möc n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v c¡c t½nh ch§t cì b£n cõakhæng gian b-m¶tric v thi¸t lªp mët sè k¸t qu£ v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nhx¤ trong khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn
ành ngh¾a 1.1.8 Cho X l tªp kh¡c réng v c¡c ¡nh x¤ f, g : X → X Khi â f v
g ÷ñc gåi l giao ho¡n n¸u f gx = gf x vîi måi x ∈ X
ành ngh¾a 1.1.9 Cho X l tªp kh¡c réng v c¡c ¡nh x¤ f, g : X → X N¸u
w = f x = gx vîi x ∈ X th¼ x ÷ñc gåi l mët iºm tròng nhau cõa f v g v w ÷ñcgåi l gi¡ trà tròng nhau cõa f v g
ành ngh¾a 1.1.10 Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn v c¡c ¡nh x¤ f, g, h, k : X → X Khi â
Trang 71 C°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t÷ìng th½ch n¸u lim
n→∞ d(f hgx n , ghf x n ) = 0, vîi måi d¢y
{xn} trong X sao cho lim
n→∞ hf x n = lim
n→∞ hgx n = t vîi t n o â thuëc X N¸u l§y
hx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch N¸u ta l§y gx = x
vîi måi x ∈ X, th¼ f ÷ñc gåi l h-t÷ìng th½ch
2 C°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t÷ìng th½ch y¸u n¸u f hgx = ghf x vîi méi hgx = hf x.N¸u ta l§y hx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l t÷ìng th½ch y¸u N¸u
ta l§y gx = x vîi måi x ∈ X th¼ f ÷ñc gåi l h-t÷ìng th½ch y¸u
3 C°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t«ng y¸u èi vîi k n¸u hf (X) S hg(X) ⊆ hk(X) v vîi måi x ∈ X, ta câ hf x hgy vîi måi y ∈ (hk)−1(hf x) v hgx hf y vîi måi
y ∈ (hk)−1(hgx) N¸u ta l§y hx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l t«ngy¸u èi vîi k N¸u l§y kx = x vîi måi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t«ng y¸u
4 C°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t«ng y¸u bë phªn èi vîi k n¸u hf (X) ⊆ hk(X) v vîimåi x ∈ X, ta câ hf x hgy vîi måi y ∈ (hk)−1(hf x) N¸u ta l§y hx = x vîi måi
x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l t«ng y¸u bë phªn èi vîi k N¸u ta l§y kx = x vîimåi x ∈ X th¼ c°p (f, g) ÷ñc gåi l h-t«ng y¸u bë phªn
5 f ÷ñc gåi l g- ìn i»u khæng gi£m èi vîi (h, ) n¸u hgx hgy, th¼ ta câ
hf x hf y N¸u ta l§y hx = x vîi måi x ∈ X, th¼ f ÷ñc gåi l g- ìn i»u khænggi£m èi vîi “ ” N¸u ta l§y gx = x vîi måi x ∈ X, th¼ f ÷ñc gåi l ìn i»ukhæng gi£m èi vîi (h, )
ành ngh¾a 1.1.11 Cho (X, d, s) l khæng gian b-m¶tric vîi s > 1 v c¡c ¡nh x¤
T, S : X → X, ¡nh x¤ S ÷ñc gåi l T-co n¸u tçn t¤i k ∈ [0, 1) sao cho vîi måi
x, y ∈ X, ta câ
d(T Sx, T Sy) ≤ kd(T x, T y). (1.1)N¸u T x = x vîi måi x ∈ X th¼ ¡nh x¤ T-co l ¡nh x¤ co Banach
V½ dö 1.1.12 L§y X = [1, ∞), x²t b-m¶tric ÷ñc cho bði d(x, y) = |x − y|2 vîi måi
Trang 8ð ¥y i > 1 l mët h¬ng sè v
M s (x, y) = maxnd(Sx, Ry), d(Sx, f x), d(Ry, gy),d(Sx, gy) + d(Ry, f x)
2s
o
3 C¡c ¡nh x¤ f, g, R v S l li¶n töc
4 C¡c c°p (f, S) v (g, R) l t÷ìng th½ch
5 C¡c c°p (f, g) v (g, f ) l t«ng y¸u bë phªn èi vîi R v S, t÷ìng ùng
Khi â, c¡c c°p (f, S) v (g, R) câ mët iºm tròng nhau z trong X Hìn núa, n¸u Rz
v Sz l so s¡nh ÷ñc, th¼ z l mët iºm tròng nhau cõa f, g, R v S
Sau ¥y l mët v½ dö m chóng ta d¹ d ng nhªn th§y c¡c c°p (f, S) v (g, R) câmët iºm tròng nhau l iºm 0 trong X Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp n y ành lþ
ành lþ 1.1.13 l¤i khæng ¡p döng ÷ñc cho c¡c ¡nh x¤ f, g, R, S
V½ dö 1.1.14 Cho tªpX = [0, 1], x²tb-m¶tricd ÷ñc cho bði cæng thùcd(x, y) = |x−y|2
vîi måi x, y ∈ X v quan h» thù tü “ ” tr¶n X x¡c ành bði
x y n¸u v ch¿ n¸u x ≥ y vîi måi x, y ∈ X.
ành lþ 1.1.15 Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi
s > 1 v T, f, g, S, R : X → X l c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
Trang 94 C¡c ¡nh x¤ f, g, R v S l li¶n töc.
5 C¡c c°p (f, S) v (g, R) l T-t÷ìng th½ch
6 C¡c c°p (f, g) v (g, f ) l T-t«ng y¸u bë phªn èi vîi R v S, t÷ìng ùng
Khi â, c¡c c°p (f, S) v (g, R) câ mët iºm tròng nhau z trong X Hìn núa, n¸u
T Rz v T Sz l so s¡nh ÷ñc, th¼ z l mët iºm tròng nhau cõa f, g, R v S
Nhªn x²t 1.1.16 1 Trong ành lþ 1.1.15 n¸u ta l§y ¡nh x¤ T l ¡nh x¤ çng nh§tth¼ ta thu ÷ñc ành lþ 1.1.13
2 B¬ng c¡ch sû döng ành lþ 1.1.15, ta ch¿ ra ÷ñc sü tçn t¤i iºm tròng nhaucõa c¡c ¡nh x¤ trong V½ dö 1.1.14
Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta suy ra r¬ng ành lþ 1.1.15 l mët mð rëng thüc sü cõa
5 g l ìn i»u khæng gi£m èi vîi (T, )
6 Tçn t¤i x 0 ∈ X sao cho T x 0 T gx 0
Khi â, g câ mët iºm b§t ëng z trong X
Trang 101.2 iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-T -h¦u co suy rëng tr¶n
khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn
Trong möc n y, chóng tæi ÷a ra kh¡i ni»m ¡nh x¤ (ψ, L)-T-h¦u co suy rëng v chùng minh mët sè k¸t qu£ iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-T-h¦u co suyrëng trong khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn
ành ngh¾a 1.2.1 K½ hi»u Ψ l hå t§t c£ c¡c h m ψ : R + → R + thäa m¢n c¡c
i·u ki»n sau:
1 ψ l h m li¶n töc v khæng gi£m
2 ψ(t) = 0 n¸u v ch¿ n¸u t = 0
Khi â, ψ ÷ñc gåi l mët h m thay êi kho£ng c¡ch
ành ngh¾a 1.2.2 Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric sp thù tü bë phªn vîi
s > 1 v c¡c ¡nh x¤ S, T, g : X → X Khi â, ¡nh x¤ S ÷ñc goi l (ψ, L)-T-h¦u co suyrëng èi vîi g n¸u vîi måi x, y ∈ X m T gx T gy ta câ
ψ(sid(T Sx, T Sy)) ≤ ψ(MsT(x, y)) + Lψ(NsT(x, y)), (1.6)vîi ψ ∈ Ψ, i > 1, L ≥ 0 n o â, trong â
MsT(x, y) = maxnd(T gx, T gy), d(T gx, T Sx), d(T gy, T Sy),
d(T gx, T Sy) + d(T gy, T Sx)
2s
o ,
v
NsT(x, y) = minnd(T gx, T Sx), d(T gy, T Sy), d(T gx, T Sy), d(T gy, T Sx)o.
Trong ành ngh¾a tr¶n n¸u ta l§y T l ¡nh x¤ çng nh§t tr¶n X th¼ S l ¡nh x¤
(ψ, L)-h¦u co suy rëng èi vîi g
N«m 2015, Huang, Radenov½c v Vujakov½c ¢ thi¸t lªp k¸t qu£ v· iºm tròngnhau cho lîp c¡c ¡nh x¤ (ψ, L)-h¦u co suy rëng èi vîi g trong khæng gian b-m¶tric
¦y õ sp thù tü bë phªn
ành lþ 1.2.3.Cho (X, d, , s) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi
s > 1 v g, S : X → X l hai ¡nh x¤ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
1 S(X) ⊆ g(X)
2 Vîi ψ ∈ Ψ, i > 1 v L ≥ 0 n o â, ta câ
ψ(sid(Sx, Sy)) ≤ ψ(M s (x, y)) + Lψ(N s (x, y)) (1.7)
Trang 11vîi måi x, y ∈ X sao cho gx gy, trong â
M s (x, y) = maxnd(gx, gy), d(gx, Sx), d(gy, Sy),d(gx, Sy) + d(gy, Sx)
2s
o ,
N s (x, y) = minnd(gx, Sx), d(gy, Sy), d(gx, Sy), d(gy, Sx)o.
3 S v g l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc
4 S l ¡nh x¤ ìn i»u g-khæng gi£m èi vîi “ ”
5 C°p (S, g) l t÷ìng th½ch
6 Tçn t¤i x 0 ∈ X sao cho gx 0 Sx 0
Khi â, S v g câ mët iºm tròng nhau trong X
Sau ¥y l mët v½ dö m chóng ta d¹ d ng nhªn th§y c¡c ¡nh x¤ S v g câ mët
iºm tròng nhau l iºm 0 trong X Tuy nhi¶n, ành lþ 1.2.3 l¤i khæng ¡p döng ÷ñccho c¡c ¡nh x¤ S v g
V½ dö 1.2.4 Cho X = R +, x²t b-m¶tric cho bði d(x, y) =| x − y |2 vîi måi x, y ∈ X v
vîi måi x ∈ X, v i > 1 C¡c ¡nh x¤ g v S câ mët iºm tròng nhau l iºm 0 trong
X Tuy nhi¶n, trong tr÷íng hñp n y ành lþ 1.2.3 l khæng ¡p döng ÷ñc cho g v S.B¥y gií, chóng tæi s³ thi¸t lªp mët ành lþ v· iºm tròng nhau cho lîp c¡c ¡nh x¤
(ψ, L)-T-h¦u co suy rëng trong khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn Hìnnúa, b¬ng c¡ch sû döng ành lþ n y ta câ thº ch¿ ra sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõac¡c ¡nh x¤ trong V½ dö V½ dö 1.2.4
ành lþ 1.2.5.Cho (X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi
s > 1 v T, S, g : X → X l c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
1 S(X) ⊆ g(X)
2 T l ¡nh x¤ mët-mët
3 S l ¡nh x¤ (ψ, L)-T-h¦u co suy rëng èi vîi g
4 S v g l c¡c ¡nh x¤ li¶n töc
Trang 125 S l ¡nh x¤ ìn i»u g-khæng gi£m èi vîi (T, ).
6 C°p (S, g) l T-t÷ìng th½ch
7 Tçn t¤i x 0 ∈ X sao cho T gx 0 T Sx 0
Khi â, S v g câ mët iºm tròng nhau trong X
Nhªn x²t 1.2.6 1 Trong ành lþ 1.2.5 n¸u ta l§y ¡nh x¤ T l ¡nh x¤ çng nh§tth¼ ta thu ÷ñc ành lþ 1.2.3
2 B¬ng c¡ch sû döng ành lþ 1.2.5, ta ch¿ ra ÷ñc sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõac¡c ¡nh x¤ trong V½ dö 1.2.4
Tø c¡c k¸t qu£ tr¶n ta suy ra r¬ng ành lþ 1.2.5 l mët mð rëng thüc sü cõa
Kþ hi»u Γ l tªp hñp c¡c h m sè γ : R + → R + thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau:
1 γ l khæng gi£m v γ(t)p ≤ γ(t p ) vîi måi p ≥ 1
2 γ(t) ≤ t vîi måi t ∈ R +
C¡c gi£ thi¸t 1.3.1 B¥y gií, ta s³ nghi¶n cùu ph÷ìng tr¼nh (1.8) d÷îi c¡c gi£ thi¸tsau:
(a 1 ) η : I → R l h m li¶n töc, vîi I = [0, 1]
(a 2 ) f : I × R → R l h m li¶n töc v thäa m¢n i·u ki»n: tçn t¤i h¬ng sè L ≥ 0 v
γ ∈ Γ sao cho vîi måi t ∈ I v vîi måi u, v ∈ R m u ≥ v, ta câ
| f (t, u) − f (t, v) |≤ Lγ(u − v).
(a3) f (t, x) l h m ìn i»u khæng gi£m èi vîi “ ” theo bi¸n x, ngh¾a l vîi måi
x 1 , x 2 ∈ R m x 1 x 2, ta câ f (t, x 1 ) f (t, x 2 ) vîi måi t ∈ I
(a 4 ) K : I × I → R + l h m li¶n töc tr¶n I × I v tçn t¤i h¬ng sè A ≥ 0 sao cho
Z e−t0 K(t, r)dr ≤ A vîi måi t ∈ I.
(a 5 ) Tçn t¤i ¡nh x¤ T : C(I) → C(I) sao cho T l ¡nh x¤ mët-mët v vîi måi
x ∈ C(I), t ∈ I ta câ
Tη(t) + λ
Z e−t0 K(t, r)f r, x(r)dr= η(t) + λ
Z e−t0 K(t, r)f r, T x(r)dr, (1.9)
Trang 13v tçn t¤i x 0 ∈ C(I) sao cho vîi måi t ∈ I, ta câ
Tη(t) + λ
Z e−t0 K(t, r)f (r, x0(r))dr≤ T (x0(t)). (1.10)
(a 6 ) (λAL)p ≤ 2i(p−1)1 vîi i > 1 v p > 1 l c¡c h¬ng sè
ành lþ 1.3.3 Vîi t§t c£ c¡c gi£ thi¸t (a1) − (a6), ph÷ìng tr¼nh (1.8) câ mët nghi»mtrong X
Ti¸p theo, chóng tæi ÷a ra v½ dö sau º ch¿ ra r¬ng tçn t¤i c¡c h m sè T, K, g v
f thäa m¢n t§t c£ c¡c gi£ thi¸t cõa ành lþ 1.3.3
V½ dö 1.3.4 Cho X = C(I)l tªp hñp t§t c£ c¡c h m thüc li¶n töc tr¶n tªp I = [0, 1].Tr¶n X ta x²t b-m¶tric cho bði d(x, y) = supt∈I | x(t) − y(t) | 2 vîi måi x, y ∈ X v quanh» thù tü “ ” ÷ñc x¡c ành bði x y n¸u x(t) ≥ y(t) vîi måi t ∈ I Khi â,
(X, d, s, ) l khæng gian b-m¶tric ¦y õ sp thù tü bë phªn vîi s = 2 X²t ph÷ìngtr¼nh t½ch ph¥n
x(t) =t2− t
2
e−4t5.2 i
+ 1
2 i+1
Z e−t0
t2etr2 x(r) + r2dr.
Sû döng ành lþ 1.3.3, ta ch¿ ra ÷ñc x(t) = t2 vîi måi t ∈ [0, 1] l mët nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh tr¶n
K¸t luªn Ch÷ìng 1
Trong Ch÷ìng 1 cõa luªn ¡n, chóng tæi ¢ thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ sau
• ÷a ra ành lþ 1.1.15, ành lþ 1.1.23 kh¯ng ành sü tçn t¤i iºm tròng nhau cõalîp c¡c ¡nh x¤ thäa m¢n i·u ki»n T-co suy rëng trong khæng gian m¶tric b-m¶tric
¦y õ sp thù tü bë phªn çng thíi ùng döng c¡c k¸t qu£ n y v o vi»c nghi¶n cùu
sü tçn t¤i nghi»m cõa mët lîp ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n
C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tr½ch tø b i b¡o: S Radenov½c, T V An and L T Quan.(2017), Some coincidence point results for T-contraction mappings on partially or-dered b-metric spaces and applications to integral equations, Nonlinear Analysis:Modelling and Control., 22 (4), 545-565
• ÷a ra ành lþ 1.2.5 v ành lþ 1.2.9 kh¯ng ành sü tçn t¤i iºm tròng nhaucõa lîp ¡nh x¤ (ψ, L)-T-h¦u co suy rëng trong khæng gian m¶tricb-m¶tric ¦y õ spthù tü bë phªn
C¡c k¸t qu£ n y ÷ñc tr½ch tø b i b¡o: S Radenov½c, N Dedov½c, T V An and L T.Quan (2017), Some coincidence theorem for almost generalized(ϕ, L)-T-contractions
in partially ordered b-metric spaces and applications to integral equations ( ang gûi
«ng)