Chương I: Bài 3: Thể tích khối đa diện lớp 12

* Chóp có mặt bên hoặc mặt phẳng có chứa đỉnh vuông góc với đáy, đường cao nằm trong mặt bên hoặc mặt phẳng có chứa đỉnh vuông góc với đáy tại giao tuyến.. cóBC =2a, đáyABC là tam giác

CHƯƠNG I – BÀI 3 – THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

12

a A

① Thể tích khối lăng trụ: V = S đáy.Chiều cao

② Diện tích xung quanh: S xq = Tổng diện tích các mặt bên

③ Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + S2đáy

2 Hình chóp:

① Thể tích khối chóp: V = 1

3Sđáy.Chiều cao

② Diện tích xung quanh: S xq = Tổng diện tích các mặt bên

③ Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + Sđáy

B – ĐƯỜNG CAO TRONG HÌNH CHÓP VÀ LĂNG TRỤ+ Đường cao hình chóp :

* Chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, đường cao chính là cạnh bên đó

* Chóp có hai mặt bên vuông góc với đáy, đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên vuông góc đáy

* Chóp có mặt bên ( hoặc mặt phẳng có chứa đỉnh) vuông góc với đáy, đường cao nằm trong mặt bên (hoặc mặt phẳng có chứa đỉnh) vuông góc với đáy tại giao tuyến

* Chóp đều, đường cao là từ đỉnh đến tâm đa giác đáy

* Chóp có hình chiếu vuông góc của một đỉnh xuống mặt đáy thuộc một cạnh của mặt đáy,đường cao là từ đỉnh tới hình chiếu

3 2

39

10

a a

39

10

a a

10

a a

21

a a

34

7

a a

Ví dụ 2 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ; cạnh AB a ; BC a 3 , SA

vuông góc với đáy Tính thể tích hình chóp S ABC trong các trường hợp sau :

Câu 1: [2H1-3]Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt đáy, SB

tạo với mặt phẳng SAD một góc bằng  30o Tính thể tích V của khối chóp S ABCD

A.

3

23

Câu 2: [2H1-2] Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a SA, vuông góc với mặt đáy

, SD tạo với mặt phẳng SAB một góc bằng  30 Tính thể tích V của khối chóp.

30 0

C D

B A

3a

A

B

C S

á

3 3

Diện tích mặt đáy:

3 2

3 3.3

3 3

Câu 7: Cho hình chóp S ABC. với SASB, SBSC, SCSA, SA a , SB b , SCc Thể tíchcủa hình chóp bằng

Câu 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B biết AB a AC 2a SA 

ABC và SA a 3 Thể tích khối chóp S ABC là:

Tam giác ABC vuông tại B nên: 2 2

Thể tích khối chóp: đ  

3 áy

Câu 12: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh SA vuông góc với mặt đáy,biết AB2a, SB3a Gọi V là thể tích khối chóp S ABC Tính tỉ số 8V3

Vì tam giác ABC vuông cân tại C

Vì tam giác ABC vuông tại B

36

312

33

a .

Lời giải Chọn A.

a 5

Do đó .

3

1.3

34

Dạng 2 Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

1.1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O , mặt phẳng SAB 

vuông góc với đáy, tam giác SAB là tam giác cân tại  S Tính thể tích hình chóp S.ABCDtrong các trường hợp sau :

H

a a

S

DA

HJ

4 17

a a

44

4 17

a a

44

4 17

a a

HJ

S

DA

H

1

J

a a

44

4 17

a a

Câu 15: Hình chópS ABC cóBC =2a, đáyABC là tam giác vuông tại ,C SAB là tam giác vuông cân

tạiSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy GọiI là trung điểm cạnhAB

a Chứng minh rằng, đường thẳngSI ^mp ABC( ) .

S

DA

H

1

J

b Biếtmp SAC hợp với( ) mp ABC một góc( ) 60 Tính thể tích khối chóp0 S ABC .

Câu 16: Hình chóp S ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiB, BA =3a, BC =4a,

(SBC) (^ ABC) Biết SB =2 3,a SBC· =300 Tính thể tích khối chópS ABC và khoảng cách từB đếnmp SAC ( )

Câu 17: Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiA, choAB =a AC, =a 3, mặt bên

SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích của khối chópS ABC

Câu 18: Cho tứ diệnABCDcóDABClà tam giác đều, DBCDlà tam giác vuông cân tạiD Mặt phẳng

(ABC vuông góc với mặt phẳng) mp BCD và( ) ADhợp vớimp BCD một góc( ) 60 Tính thể 0

tích của khối tứ diện ABCDbiếtAD =a

Câu 19: Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông tạiB, cóBC =a Mặt bên(SAC)

vuông góc với mặt phẳng đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt phẳng đáy một góc45 0

Tính thể tích khối chóp đã cho

Câu 20: Cho hình chópS ABC có đáyABClà tam giác đều cạnha, DSBC cân tạiSvà nằm trong mặt

phẳng vuông góc vớimp ABC Tính thể tích của khối chóp( ) S ABC

Câu 21: Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác vuông cân tạiAvớiAB =AC =a Biết rằng:

SAB

D cân tại đỉnhSvà nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimp ABC và( ) mp SAC hợp với( )

mp ABC một góc45 Tính thể tích khối chóp0 S ABC

Câu 22: Cho hình chópS ABC có ·BAC =90 ,0 ABC· =30 ,0 DSBC là tam giác đều cạnhavà

mp SAB ^mp ABC Tính thể tích khối chópS ABC

Câu 23: Cho hình chópS ABC có đáyABC là tam giác đều, DSBC có đường caoSH =hvà

mp SBC vuông góc với mp ABC Biết rằng( ) SBhợp vớimp ABC một góc( ) 30 Tính thể 0

tích của khối chópS ABC

Câu 24: Cho tứ diệnABCDcóDABCvàDBCDlà những tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt

phẳng vuông góc với nhau ChoAD =a, tính thể tích của khối tứ diện này

Câu 25: Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vuông Mặt bênSABlà tam giác đều có đường

cao SH =hvà đường cao này nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimp ABCD Tính thể tích ( )khối chóp

Câu 26: Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật Mặt bênSABlà tam giác đều cạnh là

avà nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimp ABCD Biết( ) mp SAC hợp với( ) mp ABCD( )một góc bằng30 Tính thể tích khối chóp0 S ABCD đã cho

Câu 27: Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình chữ nhật với

Câu 28: Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình thoi vớiAC =2BD=2avàDSADvuông cân

tại đỉnh Svà nằm trong mặt phẳng vuông góc vớimp ABCD Tính thể tích khối chóp( )

S ABCD

Câu 29: (CÐ A- 2010)

Cho hình chópS ABCD có đáyABCDlà hình vuông cạnha,mp SAB( ) ^mp ABCD( ),

SA =SB, góc giữa đường thẳngSC và mặt phẳng đáy bằng45 Tính theo0 athể tích của khối chópS ABCD

1.3 Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: [2H1-2] Khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 1, tam giác SAB đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD Thể tích khối chóp trên gần số nào sauđây nhất?

A 0,3 B 0,5 C 0, 4 D 0, 2

Lời giải Chọn A.

Gọi H là trung điểm 3

Câu 2: [2H1-2] Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt phẳng SAB

vuông góc với đáy ABCD Gọi  H là trung điểm của AB , SH HC , SA AB Gọi  là

góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ABCD Giá trị của  tan là:

a 2

Trong tam giác HBC vuông tại B ta có:

Câu 3: [2H1-4] Hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB3,BC4; SC  5

Tam giác SAC nhọn và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD Các mặt  SAB và

SAC tạo với nhau một góc  và  cos 3

Cách 1: Dùng phương pháp tọa độ.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với

12 5

K I

S

B

H

Ta có V S ABCD. 2V S BAC. 2.V B SAC.

Do mặt phẳng BAC  SAC Từ B kẻ BH AC BH SAC

Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác đều có I là trung điểm AB , biết SI vuông góc với

mặt đáy Tính thể tích khối chóp biết rằng AB a , SA2a

Diện tích mặt đáy đáy 2 3

SIA vuông tại I nên 2 2 2 2 15

Câu 30: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác đều có I là trung điểm AB , biết SI vuông góc với

mặt đáy Tính độ dài cạnh đáy biết 7

Gọi b là cạnh tam giác ABC , ta có:

SCI vuông cân tại I nên:

Câu 31: Cho hình chóp S ABC tam giác ABC vuông tại B , BC a , AC2a, tam giác SAB đều

Hình chiếu của S lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm M của AC Tính thể tích khốichóp S ABC

Câu 32: Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu vuông góc của

S trên mặt phẳng ABC là trung điểm của cạnh AB , góc tạo bởi cạnh SC và mặt phẳng

ABC bằng 30 Tính thể tích của khối chóp o S ABC

Chọn D

Câu 33: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB2a, AD a Hình chiếu

của S lên đáy là trung điểm H của cạnh AB ; góc tạo bởi SC và đáy là 45 Thể tích khốichóp S ABCD là:

Câu 34: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AD2 ,a AB a Gọi H là trung

điểm của AD , biết SH ABCD Tính thể tích khối chóp biết SA a 5

Câu 35: Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Gọi H là trung điểm cạnh AB biết

Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB a ; AD a 3 Hình chiếu

S lên đáy là trung điểm H cạnh AB ; góc tạo bởi SD và đáy là 60o Thể tích của khối chóp

Câu 37: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân tại A , ABAC a , BAC 1200 Mặt bên SAB

là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp

S ABC

a

Câu 38: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều;

mặt bên SAB nằm trong mặt phẳng vuông góc với

mặt phẳng đáy và tam giác SAB vuông tại S ,

Goi H là hình chiếu vuông góc của S trên đoạn AB

Ta có SAB  ABC, SAB  ABC AB suy ra

Tam giác SAB vuông tại S , SA a 3,SB a nên

32

a

SH  , AB2a

Tam giác ABC đều cạnh 2a nên SABC a2 3

3

1

Câu 40: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác đều cạnh a , biết rằng tam giác SAB đều và nằm trong

mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp

Gọi H là trung điểm AB , ta có SH AB

mà SAB  ABC và SAB  ABC BC

Câu 41: Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vuông cân tại C , biết rằng tam giác SAB đều, nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy và SC a 5 Tính theo a độ dài cạnh AB

A.5 a B.5a 5

C.a 3 D.a 5

Hướng dẫn giải Chọn D.

Gọi H là trung điểm AB SH AB (Vì tam giác SAB đều)

Mà SAB  ABC SH ABC

CH  AB ( Vì tam giác ABC vuông cân tại C )

Tam giác SHC vuông tại H 2 2 2 2 3 2 1 2

Câu 42: Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác cân tại A AB, ACa , BAC   120  Mặt bên

SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối

Câu 43: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam

giác vuông cân tại B , AB a Gọi I là

trung điểm AC , tam giác SAC cân tại S và

nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Tính thể tích khối chóp S ABC , biết góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45

a

120°

H B

A

C S

S

A

C

B H

A

3

212

312

24

34

Hướng dẫn giải Chọn A.

Vì tam giác SAC cân tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc

với đáy và I là trung điểm AC nên SI ABC Suy ra góc

giữa SB và mặt phẳng đáy là góc SBI Theo giả thuyết ta có

Câu 44: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều cạnh a , BCD là tam giác vuông cân tại D,

ABC  BCD và  AD hợp với BCD một góc  60o.Tính thể tích tứ diện ABCD

Do đó

2 2

Câu 45: Hình chóp S ABC có BC2a , đáy ABC là tam giác vuông tại C , SAB là tam giác vuông cân

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Biết mp SAC hợp với   mp ABC 

Câu 46: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC vuông cân tại A với ABAC a biết tam giác SAB cân

tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABC ,mặt phẳng  SAC hợp với  ABC một

Chọn C.

Gọi H là trung điểm của AB , tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

ABC nên SH AB và SH ABC

Câu 47: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B , có BC a ; Mặt bên SAC

vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 450.Tính thể tích khốichóp S ABC

Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều

và vuông góc với đáy.Thể tích hình chóp S ABCD là

.Gọi H là trung điểm của AB , tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với

ABC nên SH AB và SH ABCD

Câu 49: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi với AC2BD2a và SAD vuông cân

tại S , nằm trong mặt phẳng vuông góc với ABCD Tính thể tích khối chóp  S ABCD

O H

32

34

Hướng dẫn giải Chọn B.

a a

Câu 51: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SAB đều cạnh a và nằm trong mặt

phẳng vuông góc với ABCD , biết  SAC hợp với  ABCD một góc  300 Tính thể tích khốichóp S ABCD

a

a a

K O H

D

B

A

C S

Câu 52: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB2a,BC4a, SAB vuông

góc với ABCD , hai mặt bên  SBC và  SAD cùng hợp với đáy  ABCD một góc  300.Tính thể tích khối chóp S ABCD

2a 4a

O H

D A

Câu 53: Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông ở A và D; AB2a;

AD DC a  Tam giác SAD vuông ở S Gọi I là trung điểm AD Biết SIC và  SIBcùng vuông góc với ABCD , hai mặt bên  SBC và  SAD cùng hợp với đáy  ABCD mộtgóc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD

Dạng 3 Khối chóp đều

1.1 Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 Cho hình chóp đều S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a tâm O Tính thể tích hình

chóp S ABCD trong các trường hợp sau :

a SO = 2a b SC ABCD ,   300. c  SAB ABCD ;( ) 450.

3 2

3 2

OM

B

A

C

DS

OM

Gọi M là trung điểm của AB

A

C

DM

H

S

OB

A

C

DM

H

Gọi M là trung điểm của AB

Ví dụ 2 Cho hình chóp đều S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a tâm O Tính thể tích hình

chóp S ABC trong các trường hợp sau :

a SO2a b SC ABC,   300 c  SAB ABC;( ) 450.

A

C

DM

H

S

OB

A

C

DM

3 2

B

S

OM

H

 ,( ) 3  ,( )3 9 109.   ,( ) 3 109

a

Gọi M là trung điểm của AB

Gọi M là trung điểm của AB

d/ Cạnh đáy bằng a, mặt bên hợp với đáy một góc 60 0 ĐS: 3 3

d/ Cạnh đáy bằng 2a, mặt bên hợp với đáy một góc 45 0

Câu 56: Cho khối tứ diện đềuABCDcạnh bằnga GọiM là trung điểm của cạnhDC

a/ Tính thể tích khối tứ diện đềuABCD ĐS: 3 2

60 Tính thể tích của khối chópS ABCD theo avà khoảng cách từ điểmAđếnmp SBC ( )

Câu 58: Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy bằngavà ·BSA =600.

a/ Tính tổng diện tích tổng mặt bên của hình chóp đều này ĐS: 2 3

Câu 60: Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a

a/ Tính thể tích của khối chópS ABCD Tính khoảng cách từAđếnmp SBC ( )

b/ Gọi  là góc tạo bởi cạnh bênSAvàmp SBC Tìm ( ) sina?

Câu 61: (TN THPT - 2008)

Cho hình chóp đềuS ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a GọiI là trung điểm của cạnh

BC

a/ Chứng minh: SA ^BC

b/ Tính thể tích khối chópS ABI theo a

Câu 62: Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD , có mặt bên hợp với mặt đáy một góc45 và khoảng cách0

từ chân đường cao của khối chóp đến mặt bên bằnga Tính thể tích của khối chópS ABCD. .

ĐS: 8 3 3

3

a

Câu 63: Cho hình chópS ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng minh rằngS ABCD là hình

chóp đều Tính độ dài cạnh của hình chóp này khi biết thể tích của nó bằng9 3 2

2

ĐS: AB =3a

Câu 64: Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy bằnga GọiSH là đường cao của hình chóp.

Khoảng cách từ trung điểm I củaSH đến mặt bên(SBC bằng) b Tính thể tích khối chóp

=

Câu 65: Cho hình chóp tứ giác đềuS ABCD có cạnh đáy bằnga, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy

bằng j , 0( 0< <j 900) Tính tang góc giữa hai mp SAB và( ) mp ABCD theo( ) j Tính thể

M H

D

C B

A

+ Vì ABCD là khối tứ diện đều nên chân đường cao H hạ từ đỉnh A trùng với trọng tâm đáy

8 3

62

Gọi H là tâm của ABC  SH ABC.

Ta có

2

Câu 67: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Biết thể tích khối chóp bằng a3, AB a Tính theo a độ

dài đường cao hạ từ đỉnh S của khối chóp?

A a 3 B 4a 3 C 4a 6 D 2a 3

Hướng dẫn giải Chọn B.

Gọi H là tâm của ABC  SH ABC

Câu 68: Cho hình chóp tam giác đều S ABC Biết thể tích khối chóp bằng 2a3 3, đường cao hạ từ

đỉnh S của khối chóp bằng 3a Tính theo a độ dài đoạn AB?

A 2a 2 B 2a 3 C 3a 2 D 3a 3

Hướng dẫn giải Chọn A.

Gọi H là tâm của ABC  SH ABC