chuyên đề Số phức lớp 12

SKKN gồm hệ thống kiến thức, phương pháp giải toán số phức thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp, thi tuyển sinh đại học cao đẳng các khối A,B, D. Tài liệu hữu ích cho các em học sinh lớp 12 luyện thi.

Lời nói đầu

Kể từ khi chương trình toán THPT bổ sung nội dung số phức, trong  ki thi đại học các năm gần đây, luôn có 01 điểm dành cho nội dung  này. So với các phần khác, thì 01 điểm này dễ lấy hơn nhiều, như nội dung khảo sát sự biến thiên  và vẽ 

đồ thị hàm số. Dễ cho cả người dạy và người học. 

Trong chuyên đề nhỏ này, tôi chỉ xin trình bày nội dung số phức liên quan đến nội dung thi của chương trình cơ bản. So với chương trình học nâng cao, HS học  theo  phân  ban  cơ  bản  sẽ  không  phải  học  nội  dung  dạng  lượng  giác  của  số phức, phương trình bậc hai với hệ số phức. Theo PPCT mới, ở ban cơ bản bài tập tìm quỹ tích các điểm biểu diễn các số phức  cũng không có. Tôi xin trích dẫn đề thi đại học , đề thi cao đẳng , đề thi tốt nghiệp các năm 2009, 2010, 2011, 2012 các khối A, B, D ở cả  hai  chương trình cơ bản và và nâng cao để chúng  ta cùng trao đổi từ đó có định  hướng  đúng nhất  trong giảng dạy bám sát  nội dung  thi. 

Số phức trong đề thi đại học các năm

2009  Gọi  z1,  z2  là  nghiệm  của  PT  z2 

z

i z



 

Tính modun của số phức 1+ z + z2 

3

1

i z

2009  Trong  (Oxy)  tìm  tập  hợp  điểm 

biểu  diễn  các  số  phức  z  thỏa mãn điều kiện  

Số phức trong đề thi cao đẳng các năm

Gọi  z1,  z2  là  hai  nghiệm  phức  của phương trình  2

z  z  i

Tính  z1  z2   

Số phức trong đề thi tốt nghiệp các năm

Cho hai số phức z1= 2+5i và z24i.  Xác  định  phần  thực,  phần  ảo của số phức z1.z2. 

 = 3-2011  Giải phương trình  

(1- i)z+(2-i)=4-5i trên tập số C. 

Giải phương trình  (z-i)2+4 =0 trên tập số 

*Phép cộng và phép trừ các số phức

  Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Ta định nghĩa: 

' ( ') ( ')' ( ') ( ')

2 1 2

.

z

z z z

Chú ý : tất cả các tính chất mà đúng với phép toán trên các số thực thì cũng đúng trên các số phức

4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

*Cho phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0, có =b2 – 4ac. 

+). Nếu  > 0, PT có 2 nghiệm thực phân biệt 

a

b x

2

2 , 1

2

|

|

2 , 1

x1,2   ' ||' 

5. Một số kết quả cần nhớ : 

1). i0 = 1  i4n = 1      2).  i1 = i  i4n + 1 = i 

     3). i2 = - 1  i4n + 2 = - 1      4).  i3 = - i  i4n + 3 = - i 

5). (1 – i)2 = - 2i       6).   (1 + i)2 = 2i 

PHẦN II : CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP DẠNG 1 : BÀI TOÁN VẬN DỤNG CÁC PHÉP TOÁN SỐ PHỨC, SỐ PHỨC

VÀ CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN

Với dạng bài tập này bên cạnh việc kiểm tra được kĩ năng làm phép toán số phức còn giúp HS ghi nhớ các khái niệm cơ bản liên quan tới số phức

Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i  = 1; i5 = i; i6 = -1… 

Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; 

 n  N* 

  Vậy in  {-1;1;-i;i},  n  N. 

  Nếu n nguyên âm, in = (i-1)-n =  1  

n

n

i i

  Như vậy theo kết quả trên, ta dễ dàng tính được các phép toán lũy thừa của

số phức với số mũ lớn, như các ví dụ dưới đây:

 (1 + i)14 = (2i)7  = 128.i7 = -128.i 

z = (1+i)15  = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i. 

z3 =  3(1+i) và z3 = - 3(1-i) 

Bài tập luyện tập : Bài 1 Thực hiện các phép tính sau:

1). z = (4 – i)(3 + 2i) + (1 – i)2  2). z = (2 + 3i)2 – (3 + 4i)3 

3). Z = (1 – i)(2 – i)(3 + i)  4). Z = ( 1+ i)2008 – (1 + i)2009 + (1 + i)2010 5). Z  = 

i

i i

4

) 2 1 )(

1 (

i i

i i

) 4 ( 3

2

i

i i

 9). z2 – 2z + 4i  10). Z = (1 – i)10 – (4 + i)(1 – 2i) 

    Tính |z| và tìm z.  

DẠNG 2 : BÀI TOÁN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ẨN PHỨC

Trong dạng này tôi chia nhỏ thành 2 dạng :

+ Giải các phương trình mẫu mực như phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai, phương trình trùng phương ….với ẩn là số phức z,

+ Giải tìm số phức z thông qua đặt z = a+bi (thường gặp trong các đề thi)

Ví dụ 1: Tìm số phức sau:  

a.(1 + z)(2 + 3i) = 1 + i      b

i

i z

i i z

3 3 3

2

z z

z

i z

1 1

3 3

z z

     (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = 0 

2

1 1

3 3

2

2

z z

z z

z i z

i z

z

z z

Nhưng trước hết ta nên bắt đầu từ bài toán so sánh hai số phức

Ví dụ 6:  Tìm các số thực x, y thoả mãn:  

      3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i 

Giải:   

Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – 1 +(x – y)i

 (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i

x y

3 1

3). x(1 + 4i) + (y2 – 5)I = 3y + 3  4). x(3 + 5i) + y(1 – 2i)2 = 9 + 14i 

i z

i z

 Bài 8: Tìm số phức z biết z2+ |z| = 0 

Bài 9: Tìm số phức z= x+yi biết x, y thỏa mãn đẳng thức : x(3+5i) + y(1-2i)3 = 9 + 14i 

Sử  dụng  dữ  kiện  của  đề  bài  để  tìm  mối  liên  hệ  giữa  x  và  y  từ  đó  suy  ra  tập  hợp điểm M. 

Một số quỹ tích thường gặp:

Với z = x+yi (x, y là các số thực) khi đó nếu: 

 * x= a : Quỹ tích z là đường thẳng x = a (song song với Oy)  

 * y= b: Quỹ tích z là đường thẳng y = b (song song với Ox). 

 * (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z là đường tròn tâm I(a.b) bán kính R 

 * (x-a)2 +(y-b)2  R2 Quỹ tích z là hình tròn tâm I(a.b) bán kính R ( kể cả biên)  *(x-a)2 +(y-b)2 > R2 Quỹ tích z là các điểm nằm ngoài đường tròn tâm I(a.b) bán kính R. 

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức 

2 Giải:

Ví dụ 3: Tìm quỹ tích các điểm nằm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau đây: 

1 |z + z +3|=4 

2 |z + z + 1 - i| = 2 

3 2|z-i|=|z-z +2i| 

x x

Đặt z = x + yi  z = x – yi. Khi đó: (3)  |x+(y-1)i| = |(x+y)i| 

 x2 +(y-1)2 = (x+y)2  x2 – 4y = 0  y = 

2 4

x

. 

Vậy tập hợp các điểm M là parabol y = 

2 4

x

. 

Ví dụ 4 (D-2009):  

Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện: 

z  i Giải:

x

.  

Ví dụ 5 (B-2010):  

Trong mp(Oxy), tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều 

kiện z i  (1 i z)Giải:

b) Phần ảo của z thuộc khoảng   1;3. 

c) Phần thực và phần ảo của z đều thuộc đoạn  2; 2. 

Bài 2. Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa điều kiện: 

c) 1 z  3.      d)  z 4 

Bài 3 Tìm tập hợp điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z = x + yi, thỏa mãn điều kiện sau : 

z



  , k là 1 số thực dương ? Bài 4 Tìm các số phức thỏa điều kiện sau : 

i z

i z

 Bài 5: Tìm các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn một trong các điều kiện sau: 

Bài 6. Xác định tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng toạ độ thoả mãn các điều kiện sau. 

       a) z 1  zi b) z 2 3z 3z  0 

Tài liệu tham khảo

1 Lê  Hồng  Đức  (chủ  biên),  “  Bài  giảng  trọng  tâm  chương  trình  chuẩn  toán 12”, NXB đại học quốc gia Hà Nội,2009. 

5 Trần Phương, “ Số phức ”, NXB đại học sư phạm,2009. 

Lời kết

      Bản  thân  tôi  khi  soạn  chuyên  đề  này,  nhận  thấy  rằng  vẫn  còn  nhiều  nội dung  liên quan đến số phức tôi chưa khai thác hết. Với thời gian và năng  lực có hạn tôi chỉ xin trình bày ở đây những bài toán đơn giản nhất, bám sát nội dung thi tốt nghiệp, thi ĐH – CĐ. Hi vọng chuyên đề sẽ là cuốn tài liệu hữu ích cho các em học sinh.  

      Rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các em học sinh.        Tôi xin chân thành cảm ơn ! 

Bình Xuyên ngày 15 tháng 3 năm 2013 

Đào thị Tươi