IV- TÍCH PHAÂN Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi TẦM CAO MỚI Bảng tích phân đầy dủ 1... Tích phân từng phần : udv uv = − vdu Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp.
Trang 1IV- TÍCH PHAÂN (Tài liệu được cung cấp bởi Trung tâm luyện thi TẦM CAO MỚI)
Bảng tích phân đầy dủ
1 ∫dx x c= +
2 ∫Kdx Kx c= +
1
x
α α
α
+
+
∫
4 1
ln | |
x dx− = x +c
∫
5 1dx ln | |x c
∫
( 1)
−
∫
e dx e= +c
∫
8
ln
x
a
∫
9 ∫lnxdx x= lnx x c− +
10 (ax+b) 1 ( ) 1
1
ax b
a
α α
α
+
+
+
∫
11 1 dx 1ln |ax b| c
+
∫
12 ax b 1 ax b
a
∫
13 ∫sinx= − cosx c+
14 ∫cosxdx= sinx c+
2
1
cos x dx= +tg x dx tgx c= +
16
2 2
1
sin x dx= +cotg x dx= −cotgx c+
17 sin(ax b dx) 1cos(ax b) c
a
∫
18 cos(ax b dx) 1sin(ax b) c
a
∫
19 2
1
1dx arctgx c
+
∫
20 2 2
( )x
+
∫
21 2 2
ln( ) 2
x a
−
∫
22 1 2 arcsin
1 x dx= x c+
−
∫
23 21 2dx arcsin( )x c
a
−
∫
24 21 dx ln |x x2 k | c
+
∫
25 u'dx ln | |u c
∫
26 u' dx 2 u c
∫
27 2
u
u = − +u
∫
28
∫
30 2
cos (ax b)dx=a tg ax b+ +c
+
∫
31 2
cot ( ) sin (ax b) = −a g ax b+ +c
+
∫
| |
x +bdx= x + +b n x+ x + +b c
∫
∫
Các em có thể gửi mail qua địa chỉ giasutamcaomoi@yahoo.com để cập nhật thông tin và các đề thi cung như các tài liệu khác
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 1
Trang 21 Định nghĩa, công thức, tính chất :
* F là 1 nguyên hàm của f ⇔ f là đạo hàm của F.
Họ tất cả các nguyên hàm của f :
∫f ( x ) dx = F(x) + C (C ∈ R)
α +
∫du u C ; u du∫ u 1 C
1 , α≠ – 1
du ln u C; e du e C;
sinudu= −cos u C+
∫ ; ∫cos udu = sin u + C
∫du / sin 2 u = − cot gu + C ; ∫du / cos 2 u = tgu + C
a a
f(x)dx F(x) F(b) F(a)
* ∫aa= 0 ; ∫ab= −∫ba ,∫ ∫ ∫ac= ab+ bc
∫
∫
b a
b a
b a
b a
b
a
f k kf
; g f ) g f
2 Tích phân từng phần :
udv uv = − vdu
Thường dùng khi tính tích phân các hàm hỗn hợp
a ∫x n e x , ∫x n sin x ;∫x n cos x : u = x n
b ∫x n ln x : u = ln x
c ∫e x sin x ,∫e x cos x : u = e x hay dv = e x dx
từng phần 2 lần, giải phương trình ẩn hàm ʃ
3 Các dạng thường gặp :
a ∫sin m x cos n + 1 x : u = sinx
∫cos m x sin n + 1 x : u = cosx
∫sin 2 m x cos n x : hạ bậc về bậc 1
b ∫tg 2 m x / cos n x : u = tgx (n ≥ 0)
∫cot g 2 m x / sin n x : u = cotgx (n ≥ 0)
c ∫ chứa a2 – u2 : u = asint
∫ chứa u2 – a2 : u = a/cost
∫ chứa a2 + u2 : u = atgt
d ∫R (sin x , cos x ) , R : hàm hữu tỷ
R(–sinx, cosx) = – R(sinx, cosx) : u = cosx
R(sinx, –cosx) = – R(sinx, cosx) : u = sinx
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 2
Trang 3R(–sinx,–cosx) = R(sinx, cosx) : u = tgx ∨ u = cotgx
R đơn giản : u = tg2x
∫
π
− π
=
2
/
0
x 2 u đặt thử
:
0
x u
đặt
thử
:
e ∫x m ( a + bx n ) p / q , ( m + 1 ) / n ∈ Z : u q = a + bx n
f ∫ m + n p / q + + ∈ Z : u q x n = a + bx n
q
p n
1 m , ) bx
a
(
x
g ∫dx /[( hx + k ) ax 2 + bx + c : hx + k =1u
h ∫R ( x , ( ax + b ) /( cx + d ) , R là hàm hữu tỷ : u = ( ax + b ) /( cx + d )
i ∫ chứa (a + bxk)m/n : thử đặt un = a + bxk
4 Tích phân hàm số hữu tỷ :
∫P ( x ) / Q ( x ) : bậc P < bậc Q
* Đưa Q về dạng tích của x + a, (x + a)n, ax2 + bx + c (∆ < 0)
* Đưa P/Q về dạng tổng các phân thức đơn giản, dựa vào các thừa số của Q :
n
n 2
2 1
n
) a x (
A
) a x (
A a x
A )
a x ( , a x
A a
x
+ + + +
+ +
→ + +
→
+
+ + +
+
+ + +
+
→
<
∆
+
c bx ax
dx c
bx ax
B c
bx ax
) b ax 2 ( A ) 0 (
c
bx
2 2
2 2
5 Tính diện tích hình phẳng :
a D giới hạn bởi x = a, x = b, (Ox), (C) : y = f(x) : =∫
b a
D ( x ) dx S
f(x) : phân thức hữu tỉ : lập BXD f(x) trên [a,b] để mở .; f(x) : hàm lượng giác : xét dấu f(x) trên cung [a, b] của đường tròn lượng giác
b D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x)
(C') : y = g(x) : =∫ −
b a
D ( x ) g ( x ) dx S
Xét dấu f(x) – g(x) như trường hợp a/
c D giới hạn bởi (C1) : f1(x, y) = 0 , (C2) : f2 (x, y) = 0
α/
b D a
S =∫f(x) g(x) dx −
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 3
x=b x=a
f(x)
g(x )
f(y) y=b g(y
Trang 4β/ D
a
S =∫f(y) g(y) dy −
Với trường hợp α) : nếu biên trên hay biên dưới bị gãy, ta cắt D bằng các đường thẳng đứng ngay chỗ gãy
Với trường hợp β) : nếu biên phải hay biên trái bị gãy, ta cắt D bằng các đường ngang ngay chỗ gãy
Chọn tính ∫ theo dx hay dy để ∫ dễ tính toán hay D ít bị chia cắt
Cần giải các hệ phương trình tọa độ giao điểm
Cần biết vẽ đồ thị các hình thường gặp : các hàm cơ bản, các đường tròn, (E) , (H), (P), hàm lượng giác, hàm mũ, hàm .
Cần biết rút y theo x hay x theo y từ công thức f(x,y) = 0 và biết chọn + hay − (y = + : trên , y = − : dưới , x = + : phải , x = − : trái)
6 Tính thể tích vật thể tròn xoay :
a D như 5.a/ xoay quanh (Ox) :
[ ]
∫
π
=
b a
2 dx ) x ( V
b a
2 dy ) y ( V
b a
2
2 ( x ) g ( x )] dx f
V
b a
2
2 ( y ) g ( y )] dy f
V
b c 2 c
a
2 ( x ) dx g ( x ) dx f
V
b c 2 c
a
2 ( y ) dy f ( y ) dy g
V
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 4
f(x)
a
b
f(x)
g(x ) a
f(y) a
g(y)
b
f(x)
g(x 0)
f(x) -g(x)
b c
f(y) -g(y) a
Trang 5Chú ý : xoay quanh (Ox) : ∫ dx ; xoay quanh (Oy) : ∫ dy.
Chúng ta bước đi bằng đôi chấn chứ không phải bằøng cặp mắt
Chúc các em một năm gặt hái nhiều thành
công
GV: Trần Hải Nam – Tell: 01662 843844 – TT luyện thi Tầm Cao Mới – 0532 478138 - 01684356573 5
