III.Ph ơng pháp tích phân từng phần.Định lí... Nói chung nên chọn u là phần của fx mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v dx = ' là phần của fxdx là vi phân một hàm số đã biết hoặc c
Trang 1III.Ph ơng pháp tích phân từng phần.
Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên [ ] a b ; thì:
( ) ( )' ( ( ) ( ) ) ( ) ( )'
b
a
hay
b
a
áp dụng công thức trên ta có qui tắc công thức tích phân từng phần sau:
• Bớc 1: Viết f(x)dx dới dạng udv uv dx = ' bằng cách chọn một phần thích hợp của f(x) làm u(x) và phần còn lại dv v x dx = '( )
• Bớc 2: Tính du u dx = ' và v = ∫ ∫ dv = v x dx'( )
• Bớc 3: Tính '
vdu = vu dx
uv
a.
• Bớc 5: áp dụng công thức trên
Ví dụ 5: Tính
1
ln
e
x xdx
∫
Giải: Đặt u ln x
dv xdx
=
=
2
dx du
x x v
=
⇒
=
Ví dụ 1: Tính các tích phân sau:
a)
2
5
1
ln x
dx x
∫ b)
2
0
cos
π
∫ c)
1
0
x
xe dx
∫ d)
2
0
cos
x
π
∫
Giải: a) Đặt
5
4
ln
4
dx
x
Do đó:
2 2
1
dx
−
Trang 2b) Đặt
c)Đặt u x x du dxx
xe dx xe = − e dx e e = − = − − = e e
d) Đặt
⇒
0
π
⇒
2
0
2 2
1
2
*Cách đặt u và dv trong phơng pháp tích phân từng phần
( )
b
x
a
P x e dx
b
a
b
a
b x
a
∫
e
Chú ý: Điều quan trọng khi sử dụng công thức tích phân từng phần là làm thế nào để chọn u và
'
dv v dx = thích hợp trong biểu thức dới dấu tích phân f(x)dx Nói chung nên chọn u là phần của f(x) mà khi lấy đạo hàm thì đơn giản, chọn dv v dx = ' là phần của f(x)dx là vi phân một hàm số
đã biết hoặc có nguyên hàm dễ tìm
Trang 3Có ba dạng tích phân thờng đợc áp dụng tích phân từng phần:
• Nếu tính tích phân P x Q x dx ( ) ( )
β
α
∫ mà P(x)là đa thức chứa x và Q(x) là một trong những hàm số: eax, cos , sin ax ax thì ta thờng đặt
'
( ) ( )
du P x dx
u P x
=
=
• Nếu tính tích phân P x Q x dx ( ) ( )
β
α
∫ mà P(x) là đa thức của x và Q(x) là hàm số ln(ax) thì
ta đặt
( )
'
( )
du Q x dx
u Q x
=
=
• Nếu tính tích phân I eax cos bxdx
β
α
β
α
ta đặt cos 1
sin
ax
u e
b
=
=
hoặc đặt sin 1
cos
ax
u e
b
=
=
Trong trờng hợp này, ta phải tính tích phân từng phần hai lần sau đó trở thành tích phân ban
đầu Từ đó suy ra kết quả tích phân cần tính
VÍ DỤ :
a/ I=2
0
.cos
π
∫ b/J=
1
.ln
e
∫
a/:
I=x cosx 2
π
- 2
0
sin x dx
π
∫ = cosx 2
π
= -1
1 ln
.
2
=
=
J= lnx
2
2
x
1
e
-
2 1
.
e
x
+
Trang 41/
ln 2
2
0
. x
x e dx−
∫ Đặt u = x ⇒ du = dx
dv = 2 1 2
2
e dx− ⇒ =v e−
ln 2 ln 2 2
2 0 0
ln 2 ln 2
1
=
3 2ln 2
=
16
x
x
xe
−
−
−
∫
2/
2
1
(3x+ 2).lnxdx
Đặt u = lnx ⇒ du 1dx
x
=
dv = ( 3x + 2 ) dx ⇒ v = 3 2 2
2
x x
+
2 2
1 1
x
⇒ = + −∫ + = 10ln 2 17
4
−
3/ 2
0
(3 2 )sinx xdx
π
−
∫
Đặt u = 3 – 2x ⇒ du = – 2 dx
dv = sinxdx ⇒ v = - cosx
2 2 0 0
(3 2 )cos 2 cos
π π
4/
5
2
2 ln(x x− 1)dx
∫
Đặt u = ln(x – 1) ⇒ du = 1
1dx
x−
dv = 2xdx ⇒ v = x 2 – 1
5 5
2 2
1
1
x
−
5 5 2
2 2
(x 1) ln(x 1) (x 1).dx
2
Bài tập
Tính các tích phân sau:
1/
π
+
∫2 2
0
(x 1)sin xdx Đáp số: π − 1
2/ +
∫
2
2
1
ln(1 x)
dx
x Đáp số: 3ln 3 3 ln 2
2
Trang 53/ ∫1 2 +
0
x ln(x 1)dx Đáp số: ln 2 1
2
−
4/
π
+
∫2
0
cosx.ln(1 cosx)dx Đáp số: 2
2
π −
5/
1
2
0
x
xe dx
∫ Đáp số: 2 1
4
e +
6/ 2
1
ln
e
xdx
∫ Đáp số: e - 2
7/
1
0
(x + 1)e dx x
∫ Đáp số: 3( 2 1)
4
e −
8/
1
cos(ln )
e
x dx
π
∫ Đáp số: 1
2
eπ
− −
9/ cos
0
(e x x)sinxdx
π
+
∫ Đáp số: e 1
− +
10/ 2
0
cos
x
π
∫ Đáp số: e22 1
π
−