TOÁN CAO CẤP 3593460576965658.pdf

36 2.2.3 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân... Nguyên nhân: Hàm f liên tục theo từng biến nhưng không khả tích trên S do đó không thể nghiệm đúng định l

= R− 1

0 = R = RRR

V2016dV

Bản thảo

Phiên bản 1.2.1Sửa lần cuối ngày 31/12/2015

Mục lục

1.1 Tính tích phân bằng định nghĩa 3

1.2 Đổi thứ tự lấy tích phân 4

1.3 Đổi biến 5

1.3.1 Đổi biến bằng phép biến đổi affine 6

1.3.2 Đổi biến trong tọa độ cực 8

1.4 Một số tích phân đặc biệt 11

1.5 Định lí Fubini 13

1.6 Tích phân ba lớp 16

1.7 Ứng dụng của tích phân bội 25

2 Tích phân đường - Tích phân mặt 30 2.1 Tích phân đường loại 1 30

2.2 Tích phân đường loại 2 31

2.2.1 Tích phân đường loại 2 bằng định nghĩa 31

2.2.2 Công thức Green 36

2.2.3 Điều kiện để tích phân đường không phụ thuộc vào đường lấy tích phân 38

2.3 Tham số hóa của một mặt 46

2.4 Tích phân mặt loại 1 51

2.5 Tích phân mặt loại 2 54

2.6 Định lí Ostrogradski, Định lí Stokes 59

2.6.1 Định lí Gauss-Ostrogradski 59

2.6.2 Định lí Stokes 64

1 Tích phân bội

1.1 Tính tích phân bằng định nghĩa

Bài tập 1.1 Chứng minh hàm số f (x, y) = 1 khả tích trên [a, b] × [c, d]

Giải Với mọi phân hoạch P {(xi, yj) : i = 0 n, j = 0 k} ta có

mij(f ) = inf{f (x, y) : (x, y) ∈ [xi−1, xi] × [yj−1, yj]} = 1,và

U (f ) = inf{U (f, P ) : P là một phân hoạch} = (b − a)(d − c)

L(f ) = sup{L(f, P ) : P là một phân hoạch} = (b − a)(d − c)

Giải Giả sử P {(xi, yj) : i = 0 n, j = 0 k} là một phân hoạch bất kì của[a, b] × [c, d] Vì [xi−1, xi] và [yj−1, yj] chứa các số hữu tỉ và vô tỉ nên mij(f ) = 0,

Mij(f ) = 1 với mọi i, j Do đó L(f, P ) = 0, U (f, P ) = (b − a)(d − c) Suy ra

U (f ) = (b − a)(d − c), L(f ) = 0 Vì a < b, c < d nên L(f ) 6= U (f ), tức là f khôngkhả tích

1.2 Đổi thứ tự lấy tích phân

2, −p4 − 2y2 ≤ x ≤ p4 − 2y2} Tacó

Z Z

D

ydxdy =

√ 2

(

Z 2x 0

ex2dy)dx =

Z 1 0

2xex2dx = e − 1

Bài tập 1.5 Đổi thứ tự lấy tích phân

Thực hiện phép đổi biến x = x(u, v) và y = y(u, v) thỏa mãn

• là các hàm liên tục và có đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng D0 của mặtphẳng Ouv

• x = x(u, v) và y = y(u, v)xác định song ánh từ D0 trong mặt phẳng Ouv vào

D trong mặt phẳng Oxy

• Định thức Jacobi

J (u, v) =

(1.3.1)

khác 0 trong D0

f (x(u, v), y(u, v)) |J (u, v)| dudv (1.3.2)

1.3.1 Đổi biến bằng phép biến đổi affine

0

x + y = 1 1

1

D

u v

=

... khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân

Giả sử D miền đơn liên P, Q đạo hàm riêng cấp liên tụctrên D Khi bốn mệnh đề sau tương đương

1 ∂Q∂x = ∂P∂y